PODSTAWY MECHANIKI
PRACA DOMOWA
OBLICZENIA BELKI O PRZEKROJU KOA
OWYM
Wykonał:
Stanisław Musiolik
Politechnika Śląska wydział Elektryczny
Studia niestacjonarne
kierunek: Elektrotechnika
rok akademicki 2007/2008
sta
1. Dane do obliczeń.
l1 [mm] l2 [mm] l3 [mm] L [mm] P [N] P1 [N] P2 [N] q [N/mm] Re [MPa]
600 700 800 3000 2000 20000 6000 10 300
- belka o przekroju kołowym
poniewa\
Pa = Nm-2 , stąd obliczenia wykonano dla jednostek:
l1 [m] l2 [m] l3 [m] L [m] P [N] P1 [N] P2 [N] q [N/m] Re
[Pa = Nm-2]
0,6 0,7 0,8 3 2000 20000 6000 10000 300*106
obliczona długość l4 = L-(l1+l2+l3) = 0,9 m
Szkic
y
P1
q
A B
0 x
P
P2
l1 l2 l3 l4
L
2. Obliczenia reakcji podpór
Z warunków równowagi:
ŁPix = 0; (równanie 1) P - Ra + P1 - P2 + q*l4 - Rb = 0
ŁMia = 0; (równanie 2) P*l1  P1*l2 + P2*(l2+l3)  q*l4*(l2+l3+l4/2) + Rb*(L-l1) = 0
z równania 2 wyznaczymy Rb
Rb = [-P*l1 + P1*l2 - P2*(l2+l3) + q*l4*(l2+l3+l4/2)] / (L-l1)
po podstawieniu danych Rb = 8895,83 [Nm]
sta
z równania 1 wyznaczymy Ra
Ra = P + P1 - P2 + q*l4 - Rb
po podstawieniu danych Ra = 16104,17 [Nm]
3. Rozkład momentów gnących na długości belki.
W celu wyznaczenia momentów gnących belkę dzielimy na cztery przedziały:
przedział 1 dla 0 d" d" l1
d" x d"
d" d"
d" d"
P*x + Mg1 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg1 = -Px
przedział 2 dla l1 d" d" l1+l2
d" x d"
d" d"
d" d"
P*x  Ra*(x-l1) + Mg2 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg2 = - P*x + Ra*(x-l1)
przedział 3 dla l1+l2 d" d" l1+l2+l3
d" x d"
d" d"
d" d"
P*x  Ra*(x-l1) + P1*[x-(l1+l2)] + Mg3 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg3 = - P*x + Ra*(x-l1) - P1*[x-(l1+l2)]
sta
przedział 4 dla l1+l2+l3 d" d" L-( l1+l2+l3)
d" x d"
d" d"
d" d"
P*x  Ra*(x-l1) + P1*[x-(l1+l2)]  P2[x-(l1+l2+l3)] + q/2[x-(l1+l2+l3)]2 + Mg4 = 0
po przekształceniu otrzymamy
Mg4 = - P*x + Ra*(x-l1) - P1*[x-(l1+l2)] + P2[x-(l1+l2+l3)] - q/2[x-(l1+l2+l3)]2
4. Wyznaczenie naprę\
enia zginającego dopuszczalnego kg dla obcią\
eń stałych.
kg = 0,53 * Re
gdzie:
kg  naprę\
enie dopuszczalne dla materiału z którego wykonana jest belka,
Re - granica plastyczności materiału. W zadaniu Re = 300MPa,
0,53 - współczynnik bezpieczeństwa (wg. tabeli określającej średnie wartości współczynników
bezpieczeństwa)
stąd
kg = 0,53 * 300 = 159 [MPa = MNm-2]
5. Wyznaczenie średnicy belki.
Przekształcając zale\
ność
�g = M(x)/Wg d" kg
gdzie:
�g  naprę\
enie zginające w belce wywołane momentem gnącym (�g = kg),
M(x)  moment gnący,
Wg  wskaz
nik wytrzymałości przekroju na zginanie, dla przekroju kołowego Mg = d3/32, gdzie d średnica
przekroju,
kg  naprę\
enie dopuszczalne.
sta
stąd:
M(x)/ d3/32 = kg
d = 3"32 * M(x)/ kg * 
po podstawieniu danych dla wybranych długości z:
przedziału 1, długości 0,2[m], M(x) = Mg1(0,2) = 400 [Nm], kg = 159 * 106 [Pa=Nm-2]
d = 3"32 * 400/ 159 * 103 * 3,14 = 0,02947 m = 29,47 mm
przedziału 2, długości 0,7[m], M(x) = Mg1(0,7) = 210,42 [Nm], kg = 159 * 106 [Pa=Nm-2]
d = 3"32 * 210,42/ 159 * 103 * 3,14 = 0,02381 m = 23,81 mm
6. Zestawienie wyników w tabeli.
Przedział x [m] Mg [Nm] d [mm]
0 0 0
0,2 -400 29,47
1 0,4 -800 37,16
0,5 -1000 40,02
0,6 -1200 42,53
0,6 -1200 42,53
0,65 -494,79 31,65
0,685 0 0
0,7 210,42 23,81
2
0,8 1620,83 47,01
1 4441,67 65,79
1,2 7262,50 77,5
1,3 8672,92 82,22
1,3 8672,92 82,22
1,4 8083,33 80,32
1,6 6904,17 76,2
3
1,8 5725,00 71,58
2 4545,83 66,3
2,1 3956,25 63,3
2,1 3956,25 63,3
2,2 3916,67 63,08
2,4 3537,50 60,98
4
2,6 2758,33 56,13
2,8 1579,17 46,6
3 0,00 0
sta
6.1 wykres momentów gnących występujących na długości belki
Mg = f(L)
L [m]
-2000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
0
2000
4000
6000
8000
6.2 wykres średnicy belki na długości
d = f(L)
100
80
60
40
20
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
L [m]
Mg [N/m]
d[mm]
sta