�ż

(Microsoft Word - ROZDZIA\243 IV.doc)










To jest wersja
html pliku http://wm.atr.bydgoszcz.pl/kmrip/E-ksiazki_pliki/Ksiazka%204/ROZDZIA%C5%81%20IV.pdf.G o o g l e
automatycznie generuje wersję html dokumentu podczas indeksowania
Sieci.Aby utworzyć łącze lub zakładkę do tej strony, użyj
następującego adresu url:
http://www.google.com/search?q=cache:nw-pBd2TvLkJ:wm.atr.bydgoszcz.pl/kmrip/E-ksiazki_pliki/Ksiazka%25204/ROZDZIA%C5%81%2520IV.pdf+wyznaczenie+logarytmicznego+dekrementu&hl=pl
Google nie jest w żaden sposób związany z
autorami tej strony i nie odpowiada za jej
treść.





Znalezione
słowa zostały podświetlone: 
wyznaczenie 
logarytmicznego 
dekrementu 









Page 1
...wielkie
umysły,
my l
podobnie...
ROZDZIAŁ
IV
DRGANIA
UKŁADÓW
O SKO CZONEJ
LICZBIE STOPNI SWOBODY
1. WST
P
2. ZAŁO ENIA
DO BADA MODELI
3. DRGANIA
UKŁADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
4. DRGANIA
UKŁADÓW O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
5. DRGANIA
UKŁADÓW O SKO CZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY






Page 2
1. WST
P
Głównym celem
dynamicznego badania konstrukcji jest pomiar jej rzeczywistej
odpowiedzi dla
oceny poprawno ci wyników rozwi zania teoretycznego, czyli
weryfikacja
modelu
matematycznego dla uzyskania informacji o obci eniach oraz innych
parametrach,
które
s
wymagane w
analizie dynamicznej. Badania dynamiczne pozwalaj
na
wprowadzanie
uzasadnionych zmian projektowych konstrukcji w celu podniesienia
jej
warto ci u
ytkowych i niezawodno ci działania.
W tym rozdziale
przedstawiono podstawy teoretyczne opisu i analizy układów
mechanicznych o
ró nym stopniu skomplikowania. Dotyczy to ró nej liczby stopni
swobody,
decyduj cej o
skomplikowaniu modelu maszyny, a tym samym o zło ono ci analizy
matematycznej.
Z punktu
widzenia liczby stopni swobody wprowadza si podział układów
mechanicznych
na:
- układy o
jednym stopniu swobody,
- układy o sko
czonej liczbie swobody (układy dyskretne),
- układy o
niesko czonej liczbie stopni swobody.
Układ, który mo
e gromadzi�ź tylko jedn posta�ź energii i lokalizowa�ź j tylko w
jednym
elemencie, jest nazywany układem dynamicznym pierwszego rz du, gdy
równania
opisuj ce jego
ruch s funkcj tylko jednej zmiennej i jej pierwszej pochodnej. Inne
zasady
przedstawiono
podczas opisu zachowania si modeli układów, w ró nych warunkach
wymusze
.
2. ZAŁO ENIA
DO BADA MODELI
Rzeczywiste
układy mechaniczne to układy masowo – dyssypacyjno - spr yste
opisywane za
pomoc przemieszcze , ich pochodnych zwi zanych z odkształceniami
oraz
wywołuj cymi je
siłami. Wielko ci opisuj ce s ze sob sprz one, s zmienne w czasie i
nazywane
s
w dynamice
maszyn sygnałami. Sygnały przemieszcze , pr dko ci i
przyspiesze oraz
działaj cych sił maj charakter uogólniony, tzn. przemieszczenia s
zarówno
translacyjne jak i rotacyjne, a siły s skupione i pary sił s reprezentowane
przez ich
momenty.
Równania ruchu,
opisuj ce drgania dyskretnego modelu fizycznego, maj w ogólnym
przypadku posta�ź
[33,64]:
0
),
,...
,...,
,
,
,...,
,...,
,
,
,...,
,...,
,
,
,...,
,
(
2
1
..
..
2
..
1
..
.
2
.
1
.
2
1
=
t
R
R
R
R
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
F
w
i
n
i
n
i
n
k
gdzie: n
- liczba stopni swobody, w – liczba wi zów, t – czas,
R
j
– j-ta nieznana
siła
uogólniona
(reakcja), q
i
– i-te
przemieszczenie,
i
q
.
- i-ta pr dko �ź
uogólniona,
i
q
..
-
i-te
przy pieszenie
uogólnione.
Przy modelowaniu
dynamicznych własno ci układów mechanicznych stosuje si
szereg uproszcze
w zakresie opisu i zasad budowy modeli fenomenologicznych.
W celu
modyfikacji własno ci dynamicznych układów mechanicznych buduje si
modele
strukturalne, które odzwierciedlaj organizacj wewn trzn i zachowuj własno
ci
transformacyjne
układu.
Ka dy układ
mechaniczny zło ony jest z elementów: masowych (punkty materialne,
nieodkształcalne
lub odkształcalne bryły), spr ystych (spr yny) i tłumi cych (np.
tłumiki).
Mówi si wi c o
układach m, k, c (masowo – dyssypacyjno - spr ystych). Tylko w
uproszczeniu mo
na mówi�ź o modelu masowym, masowo-spr ystym lub
masowo-






Page 3
dyssypacyjnym.
Ka dy układ (model), posiadaj cy własno ci spr yste wytr cony z
poło enia
równowagi, b dzie realizował ruch przemienny wokół poło enia równowagi.
Taki
ruch nazywamy
drganiami mechanicznymi.
Drgania
mechaniczne w zale no ci od: liczby stopni swobody układu, równania
(równa ) opisuj
cego ruch, sposobu wytr cenia z poło enia równowagi (sposobu
wymuszenia),
modelu układu, charakteru sygnału przemieszcze i kierunku ruchu
dzielimy
na
[14,33,71]:
- drgania
układów o jednym stopniu swobody, o wielu stopniach swobody - drgania
układów
dyskretnych: o
niesko czonej liczbie stopni swobody - drgania układów ci głych;
- drgania
liniowe; nieliniowe;
- drgania
autonomiczne (swobodne); nieautonomiczne (wymuszone: zewn trznie
lub
wewn
trznie);
- drgania
zachowawcze (bez tłumienia); niezachowawcze (z dyssypacj energii; lub
z
tłumieniem);
- drgania
zdeterminowane; stochastyczne;
- drgania wzdłu
ne, poprzeczne, translacyjne, rotacyjne (gi tne, skr tne), itp.
Kluczem do okre
lenia dynamiki obiektów czyli drga obiektów mechanicznych jest
zatem znajomo �ź
mo liwych odpowiedzi układu dynamicznego, do którego mo na
zredukowa�ź
badany obiekt.
2.1 Drgania
translacyjne i skr tne
W praktycznych
zastosowaniach na pocz tku rozwa a modelowane obiekty bada
przedstawiane s
jako elementarne modele drgaj ce o jednym stopniu swobody.
Przykłady
takich układów z
wymuszeniem siłowym lub momentowym przedstawiono na rys. 4.1
[a).model o
wymuszeniu siłowym, b). model o wymuszeniu momentowym].
Czy wnioski płyn
ce z analizy drga typu skr tnego s takie same jak dla drga typu
translacyjnego?
Rys.4.1 Schematy
modeli fizycznych o jednym stopniu swobody dla drga translacyjnych
a).
oraz dla drga
skr tnych b).
Stosuj c zasad
d’Alemberta dla ka dego z modeli otrzymuje si równania:
model
translacyjny a).
model skr tny
b).
Ćł
=
+
0
bezwl
i
F
F
Ćł
=
+
0
bezwl
sil
i
M
M
.
..
0
)(
=
�ł
�ł
�ł
x
m
x
c
kx
t
F
0
)(
..
.
=
�ł
�ł
�ł
ϕ
ϕ
ϕ
I
C
K
t
M
ostatecznie za
:
)(
.
..
t
F
kx
x
c
x
m
=
+
+
)(
.
..
t
M
K
C
I
=
+
+
ϕ
ϕ
ϕ
(4.1)
Otrzymane
równania, słuszne nie tylko dla układu o jednym stopniu swobody,
s
identyczne, a
wi c wnioski płyn ce z analizy ich rozwi za b d równie
identyczne.






Page 4
2.2
Wymuszenie siłowe i kinematyczne
Dla tej samej
ogólno ci rozwa a rozpatrzmy wymuszenia siłowe i kinematyczne
przedstawione na
rys.4.2. W pierwszym przypadku wymuszenie pochodzi od zadanej
zewn trznej siły
b d momentu, za w drugim przypadku mamy zadany ruch na torze
(wymuszenie
kinematyczne) [14].
Oba przypadki
wymuszenia s modelowo równowa ne, a zadane przemieszczenie z(t)
działaj c
poprzez spr yn k i tłumik c jest ródłem siły równowa nej F(t), przy
czym
.
)(
zc
kz
t
F
+
=
. Wiedz c o tym
mo na dalsze rozwa ania ograniczy�ź do drga translacyjnych
z wymuszeniem
siłowym, a wnioski przenosi�ź na dowolny ruch z dowolnym typem
wymuszenia.
Rys.4.2
Ilustracja równowa no ci wymuszenia siłowego a). i kinematycznego b)
[14].
2.3
Wyznaczanie parametrów zast pczych
Podstawowe
metody wyznaczania parametrów (cech) strukturalnych modeli układów
mechanicznych to
metody identyfikacji; prostej dla układów prostych i zło onej dla układów
o
wielu stopniach
swobody.
W przypadku
prostych układów mechanicznych, niekoniecznie o małej liczbie
stopni
swobody, ale z
łatwym podziałem na dyskretne elementy masowe, spr yste i tłumi ce
najbardziej
efektywna jest metoda analityczna oparta na znajomo ci geometrii i własno
ci
materiałowych
elementów konstrukcyjnych układu.
Metoda
analityczna zawiera si w kilku etapach. Najpierw dokonuje si my
lowej
dyskretyzacji
rzeczywistego układu mechanicznego. Ł czy si elementy w grupy o
zbli onych
cechach dominuj cych, np. o wyra nie przewa aj cych cechach masowych
nad
spr ystymi lub
tłumi cymi. Elementy masowe traktuje si wi c jako nieodkształcalne
bryły
lub punkty
materialne. Elementy bezmasowe ((spr yste i tłumi ce) najcz ciej
traktowane
jednocze nie
jako spr ysto-tłumi ce s ujmowane jako odkształcalne. Tak poł
czone
elementy w grupy
przedstawia si tylko jednym elementem zwanym zast pczym lub
zredukowanym.
Jest on reprezentowany tylko jednym parametrem zredukowanym, b d
cym
albo wprost
parametrem strukturalnym, albo elementem pewnej kombinacji
parametrów
zredukowanych.
Parametry zast
pcze wyznacza si dla potrzeb analizy dynamiki układu, najcz ciej
przy zało eniu
równowa no ci dynamicznej grupy elementów konstrukcyjnych i
elementu
zast pczego.
Równowa no �ź dynamiczna oznacza równowa no �źenergii ruchu
elementów
układu
rzeczywistego i elementów zast pczych, co oznacza ich równowa no �ź
energii
kinetycznej,
potencjalnej i funkcji dyssypacji energii.






Page 5
2.4
Wyznaczanie mas zast pczych
Rzeczywiste
elementy masowe s w ogólno ci bryłami nieodkształcalnymi, wi c ich
energia
kinetyczna jest sum energii kinetycznej ruchu post powego z pr dko ci
V
s
rodka
masy oraz
energii kinetycznej ruchu obrotowego dookoła osi chwilowego
obrotu,
przechodz cej
przez rodek masy.
2
2
2
1
2
1
i
i
i
i
kz
J
V
m
E
ω
+
=
(4.2)
Zast pczymi
elementami masowymi mog by�ź albo punkty materialne, albo bryły
doskonale
sztywne. Zakłada si
najcz
ciej,
e punkty
materialne wykonuj
ruch
prostoliniowy, a
bryły ruch obrotowy dookoła stałej osi.
Dokonuj c
redukcji masy korbowodu mechanizmu korbowo-tłokowego (rys.4.3) do
dwóch punktów A
i B pokrywaj cych si z osi sworznia wału korbowego O oraz z osi
sworznia
tłokowego przyjmuje si oznaczenia:
- masa korbowodu
m
k
,
- długo �ź
korbowodu l
k
,
- moment
bezwładno ci J
s
wzgl dem osi
przechodz cej przez rodek masy S odległy od osi
A o a
= A S oraz od osi B o b = B S, przy czym a + b =
l
k
.
Rys.4.3 Schemat
mechanizmu korbowo - tłokowego.
Równowa no �ź
dynamiczna energii zachodzi�ź musi dla dowolnych warto ci
V
s
ruchu
post powego
oraz
ω
ruchu
obrotowego, a wi c równie dla ich szczególnych warto ci
równych
niejednocze nie zeru. Wynikaj
st d równania
równowa no ci mas oraz
równowa no ci
momentów bezwładno ci wzgl dem osi przechodz cej przez rodek masy
S:
B
A
k
m
m
m
+
=
dla
ω
=
0
(4.3)
2
2
b
m
a
m
J
B
A
S
+
=
dla
V
S
=
0
(4.4)
a st d warto ci
mas zast pczych m
A
i
m
B
:
2
2
2
b
a
b
m
J
m
k
S
A
�ł
�ł
=
(4.5)
2
2
2
a
b
a
m
J
m
k
S
B
�ł
�ł
=
(4.6)
Warunek równowa
no ci statycznej oznacza równowa no �ź momentów statycznych
układu
rzeczywistego i zast pczego:
0
=
�ł
b
m
a
m
B
A
(4.7)
Spełnienie
jednocze nie trzech warunków równowa no ci statycznej i dynamicznej
wymaga zast
pienia korbowodu trzema punktami materialnymi (A,S,B) i wówczas
równania
równowagi s nast
puj ce:
S
B
A
k
m
m
m
m
+
+
=
2
2
b
m
a
m
J
B
A
S
+
=
(4.8)






Page 6
0
=
�ł
b
m
a
m
B
A
Masy zast pcze w
układzie tym przyjmuj posta�ź:
;
k
S
A
al
J
m
=
;
k
S
B
bl
J
m
=
ab
J
m
m
S
k
S
�ł
=
(4.9)
2.5 Zast pcze
sztywno ci modelowanych układów
Je eli w
układzie wyst puj ró ne elementy spr yste, nale y wówczas wyznaczy�ź
zast pczy
współczynnik spr ysto ci. Mo na tu rozwa y�ź dwa przypadki poł
cze
spr ystych – poł
czenie równoległe i szeregowe. Zast pczy współczynnik spr ysto ci
wyznacza si z
warunku równowagi energii potencjalnych.
Jak wynika z
rys.4.4 energia potencjalna poł czenia równoległego przy przesuni ciu
o
x
wynosi:
2
2
2
1
2
1
2
1
x
k
x
k
E
P
+
=
(4.10)
Rys.4.4 Poł
czenia spr yste: równoległe a). i szeregowe b). oraz sztywno �ź zast
pcza.
Energia
potencjalna układu zast pczego przy tym samym przesuni ciu
wynosi:
2
2
1
x
k
E
z
P
=
(4.11)
Po porównaniu
tak opisanych energii otrzymuje si dla poł czenia
równoległego:
2
1
k
k
z
k
+
=
(4.12)
Dla poł
cze
szeregowych
nadajemy przesuni cie x na ko cu spr yny o
współczynniku
k
2
. Spr yna o
współczynniku spr ysto ci k
1
zostanie
odkształcona o z i
energia
potencjalna obu spr yn wynosi:
2
2
2
1
)
(
2
1
2
1
z
x
k
z
k
E
P
�ł
+
=
(4.13)
Poniewa w
punkcie A jest równowaga dwóch sił: k
1
z =
k
2
(x-z) ,
mo na wyznaczy�ź:
x
k
k
k
z
2
1
2
+
=
(4.14)
Po podstawieniu
(4.14) do (4.13) i przekształceniu otrzymuje si
:
2
2
1
2
1
2
1
x
k
k
k
k
E
P
+
=
(4.15)
Porównuj c dalej
(4.10) i (4.15) otrzymuje si zast pczy współczynnik spr ysto ci dla
poł czenia
szeregowego:
2
1
2
1
k
k
k
k
k
z
+
=
(4.16)
2.6
Oszacowanie zast pczego tłumienia obiektu
Parametr ten
jest niezb dny przy oszacowaniu amplitudy odpowiedzi rezonansowej
modelu b d
szybko ci zaniku drga . Do jego wyznaczenia nale y z
eksperymentu






Page 7
wyznaczy�ź
logarytmiczny dekrement tłumienia �ą, b d stopie tłumienia ξ oraz cz sto
�ź
własn
ω
0
, co cz sto
wykorzystuje si do weryfikacji modelu.
Realizacja
eksperymentu testem impulsowym, polegaj cym na uderzeniowym
wymuszeniu
obiektu w punkcie spodziewanego działania wymuszenia i odbiorze
odpowiedzi
w punkcie
redukcji R. Jako wynik uzyskuje si obraz drga zanikaj cych, przedstawiony
na
rys.4.5.
ξ
�
=
=
�ą
2
ln
3
1
A
A
�ą
=lnA
1
/A
3
=2
� ξ
Rys.4.5
Ilustracja do wyznaczenia logarytmicznego dekrementu tłumienia �ą i
zast pczego
tłumienia
c
z
.
Wynikiem
eksperymentu jest tu logarytmiczny dekrement tłumienia �ą, b d
stopie
tłumienia
ξ
oraz cz sto �ź
własna
ω
0
, co słu y do
weryfikacji oblicze i badanego modelu.
Drgania tłumione
przedstawione na rys.4.5 s nieokresowe, jednak kolejne poło enia
rodkowe i
kolejne wychylenia s osi gane po jednakowych odst pach czasu. Zatem,
okres
drga tłumionych
mo na wyznaczy�ź z zale no ci:
2
2
0
1
2
2
n
T
�ł
=
=
ω
π
ω
π
(4.17)
który jest wi
kszy od okresu drga tłumionych:
0
0
1
2
ω
π
=
–T
T
(4.18)
Dekrement
logarytmiczny tłumienia, definiowany jako stosunek warto ci dwóch
kolejnych
maksymalnych amplitud, przyj to za miar tłumienia drga
:
1
1
)
(
)(
ln
nT
T
t
x
t
x
=
+
=
�ą
(4.19)
Stopie tłumienia
dla ułatwienia dalszej analizy mo na zapisa�ź w
postaci:
0
ω
ξ
h
c
c
kr
=
=
oraz
1
,
2
=
=
=
ξ
gdy
mk
c
c
kr
(4.20)
Dla rys. 4.5 mo
na napisa�ź:
z
z
z
zkr
z
kr
k
m
c
c
c
c
c
2
=
=
=
ξ
(4.21)
W takim razie
dekrement logarytmiczny tłumienia wynosi:
z
z
z
z
z
z
k
m
c
k
m
c
π
π
πξ
=
=
=
�ą
2
2
2
(4.22)






Page 8
a z tego
tłumienie zast pcze:
z
z
z
k
m
c
π
�ą
=
(4.23)
Znaj c zatem z
eksperymentu dekrement logarytmiczny tłumienia �ą oraz z dalszych
oblicze
zast pcz mas i
sztywno �ź (m
z
,
k
z
) mo na
wyznaczy�ź warto �ź zast pczego tłumienia c
z
w
badanym
modelu.
3. DRGANIA
UKŁADÓW O JEDNYM STOPNIU SWOBODY
Drgania układu
powstaj ce na skutek naruszenia poło enia równowagi układu
mechanicznego,
który nast pnie porusza si pod działaniem sił spr ystych, ci ko ci
lub
tarcia nazywa si
drganiami swobodnymi. W układach o jednym stopniu swobody
naruszenie
poło enia
równowagi charakteryzuje si
warunkami pocz
tkowymi: pocz tkowym
poło eniem
x
0
i pocz tkow pr
dko ci
0
*
x
.
3.1 DRGANIA
SWOBODNE
Drgania
swobodne układu o jednym stopniu swobody mo na przedstawi�ź
modelem
jak na rys.4.6,
bez uwzgl dnienia siły zewn trznej P(t).
c =
�ą
Rys.4.6 Model
układu o jednym stopniu swobody
Jako współrz dn
uogólnion przyjmuje si przemieszczenie x
masy
m
odniesione
do
poło enia
równowagi statycznej układu [8,13,17].
Drganiami
wymuszonymi układu mechanicznego nazywa si takie drgania, które
zachodz wskutek
działania sił zewn trznych P(t) na układ.
Równanie
dynamiczne ruchu masy m otrzymuje si korzystaj c z II zasady
Newtona:
P
G
R
S
x
m
+
+
�ł
�ł
=
**
(4.24)
gdzie: P – siła
wymuszaj ca, G – ci ar masy układu, S – siła reakcji spr yny,
R – siła oporu
tłumika.
Przy zało eniu,
e odkształcenia spr yny s niewielkie, mo na przyj �ź, e siła S jest
liniow
funkcj
x:
]
[
st
x
k
S
δ
+
=
(4.25)
Współczynnik
k nazywa si
współczynnikiem
spr ysto ci obci enia spr yny do
wywołanego
przez nie ugi cia [N/m]. Natomiast:
k
G
st
=
δ
(4.26)
oznacza ugi cie
statyczne spr yny, wywołane ci arem G.
Siła R mo e
przedstawia�ź nie tylko opór tłumika specjalnie wprowadzonego
układu,
ale równie siły
tarcia w prowadnicach, opór o rodka, w którym drga ciało, itp. Pozostaj c
na






Page 9
gruncie układów
liniowych, przyjmuje si , e siła oporu jest proporcjonalna do pr dko
ci
ruchu
ciała o masie m:
*
x
c
R
=
(4.27)
Ten typ oporu
nazywamy liniowym tłumieniem wiskotycznym (lepkim), współczynnik
c
nazywa si
współczynnikiem tłumienia lepkiego i ma wymiar [kg/s] .
Za pomoc (4.27)
mo na wyrazi�ź siły oporu tłumików olejowych lub sił tarcia w
przypadku
lizgania si po sobie cz ci dobrze smarowanych, czy te w czasie ruchu ciała
w
cieczy lub
gazie przy zało eniu, e pr dko �ź v jest dostatecznie mała. Po podstawieniu
(4.25)
i (4.27) do
(4.24) otrzymuje si :
k
G
t
P
kx
x
c
x
m
st
δ
�ł
+
=
+
+
)(
*
**
(4.28)
Je eli teraz
uwzgl dnimy zale no �ź (4.26), otrzymamy poszukiwane równanie drga w
postaci:
)(
*
**
t
P
kx
x
c
x
m
=
+
+
(4.29)
Drgania
swobodne nie tłumione
Przyczyna ruchu
obiektu, a wi c i modelu wynika tu z zadanych warunków
pocz tkowych.
Przyjmuj c w (4.29) c = 0 i P(t) = 0, otrzymuje si równanie
drga
swobodnych
układu zachowawczego (układu, w którym obowi zuje zasada
zachowania
energii) w
postaci:
0
**
=
+
kx
x
m
(4.30)
Dziel c obie
strony (4.30) przez m, otrzymuje si :
0
2
0
**
=
+
x
x
ω
(4.31)
gdzie:
m
k
=
0
ω
nazywane jest
cz sto ci drga własnych.
Rozwi zanie
ogólne równania (4.31) ma posta�ź:
t
C
t
C
x
0
2
0
1
sin
cos
ω
ω
+
=
(4.32)
Równanie to
zawiera dwie stałe dowolne C
1
,
C
2
, które
wyznacza si z warunków
pocz tkowych.
Przyjmuj c, e w chwili t = 0, x = x
0
oraz
0
*
*
x
x
=
,
wówczas:
0
1
x
C
=
,
0
0
*
2
ω
x
C
=
(4.33)
oraz
t
x
t
x
x
0
0
0
*
0
0
sin
sin
ω
ω
ω
+
=
(4.34)
Drgania
swobodne (4.34) mo na równie zapisa�ź w postaci przemieszczenia drga
:
)
sin(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
x
(4.35)
gdzie:
2
0
0
*
2
0
÷
÷
÷
�
’
«
≈
+
=
ω
x
x
A
,
0
*
0
0
tg
x
x
ω
ϕ
=
(4.36)
Ze wzorów
(4.35) i (4.36) wynika, e drgania swobodne liniowego układu
zachowawczego
maj posta�ź drga
harmonicznych o amplitudzie A i k cie przesuni cia
fazowego
ϕ
,
zale nego od
warunków pocz tkowych. Cz sto ci za drga
własnych
0
ω
i okres
drga






Page 10
0
0
2
ω
π
=
T
zale wył cznie
od masy i spr ysto ci układu.
Ró niczkuj c
równanie (4.35) otrzymuje si pr dko �źdrga
:
)
cos(
0
0
*
ϕ
ω
ω
+
=
t
A
x
(4.37)
b d c równie
okresow funkcj czasu o tym samym okresie co przesuni cie. Z kolei
ró niczkuj c pr
dko �ź otrzymuje si warto �ź przyspieszenia drga :
x
t
A
x
2
0
0
2
0
**
)
sin(
ω
ϕ
ω
ω
�ł
=
+
�ł
=
(4.38)
Jest ono
okresow funkcj czasu o tym samym okresie co przesuni cie i pr dko
�ź.
Przy pieszenie
jest proporcjonalne do przesuni cia i jest skierowane przeciwnie do
przesuni cia
(4.38), czyli jest stale skierowane do poło enia równowagi [33,71].
Równanie (4.38)
mo na napisa�ź w postaci:
0
2
0
**
=
+
x
x
ω
(4.39)
i jest ono
równaniem drga
harmonicznych
albo równaniem drga
oscylatora
harmonicznego.
Wynika z niego, e drgania własne układu o jednym stopniu swobody s
w
zupełno ci okre
lone przez cz sto �ź drga własnych. Amplituda drga zale y od
warunków
pocz tkowych
(patrz 4.36), natomiast cz sto ci własne i okres drga od nich nie zale
.
Drgania
swobodne tłumione
Równanie drga
swobodnych tłumionych otrzymuje si , przyjmuj c we wzorze (4.29)
P(t)=0:
0
*
**
=
+
+
kx
x
c
x
m
(4.40)
lub po
podzieleniu przez mas w postaci:
0
2
2
0
*
**
=
+
+
x
x
h
x
ω
(4.41)
gdzie:
,
2
m
c
h
=
m
k
=
2
0
ω
.
Rozwi zaniem
tego równania jest posta�ź:
rt
Ae
x
=
,
a
równanie
charakterystyczne dla (4.41) ma
posta�ź:
0
2
2
0
2
=
+
+
ω
hr
r
(4.42)
Ogólne rozwi
zanie tego równania zale y od warto ci i znaku wyró nika, który ma
znan
posta�ź:
)
(4
2
0
2
ω
�ł
=
�ą
h
St
d:
2
0
2
2,
1
ω
�ł
+
�ł
=
h
h
r
t
r
tr
e
A
e
A
t
x
2
1
2
1
)(
+
=
(4.43)
Analizuj c
pierwiastki charakterystyczne r
1,2
zauwa a si , e
wyznaczaj one trzy obszary
zachowania si
modelu, zale nie od warto ci współczynnika tłumienia
h:
0
ω
–
h
;
0
ω
=
h
;
0
ω
�ż
h
.
(4.44)
Wprowadzaj c
bezwymiarowy stopie tłumienia
ξ
, który spełnia
relacje:
0
ω
ξ
h
c
c
kr
=
=
;
mk
c
c
kr
2
=
=
;
gdy
1
=
ξ
(4.45)
wida�ź, e
krytyczna warto �ź tłumienia zale y od masy i spr ysto ci. Wskazane trzy warto
ci
tłumienia
(4.44) charakteryzuj tłumienie nadkrytyczne, krytyczne i
podkrytyczne, dla
których mo na
przypisa�ź nast puj ce rozwi zania:






Page 11
-
tłumienie nadkrytyczne:
kr
c
c
–
,
)1
(
–
ξ
;
t
t
e
A
e
A
x
0
2
0
2
)1
(
2
)1
(
1
ω
ξ
ξ
ω
ξ
ξ
�ł
�ł
�ł
�ł
+
�ł
+
=
-
tłumienie krytyczne:
kr
c
c
=
,
)1
(
=
ξ
;
t
e
t
A
A
x
0
)
(
2
1
ξω
�ł
+
=
(4.46)
-
tłumienie podkrytyczne:
kr
c
c
�ż
,
)1
(
�ż
ξ
;
t
i
i
e
A
e
A
x
0
2
0
2
)
1
(
2
)
1
(
1
ω
ξ
ξ
ω
ξ
ξ
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
+
=
- okres drga
tłumionych:
2
2
0
0
1
2
2
h
T
�ł
=
=
ω
π
ω
π
jest wi kszy od
okresu drga nie
tłumionych:
0
0
1
2
ω
π
=
–T
T
;
-
logarytmiczny dekrement tłumienia (jako stosunek dwu kolejnych
amplitud)
umo liwiaj cy
eksperymentalne okre lanie współczynnika tłumienia wyznacza si
z
zale no
ci:
1
1
)
(
)(
ln
hT
T
t
x
t
x
=
+
=
δ
.
W
zastosowaniach technicznych z tłumieniem nadkrytycznym mamy do czynienia
w
konstrukcji ró
nego rodzaju indykatorów wskazówkowych, za z tłumieniem
podkrytycznym
w układach
amortyzacji. Materiały konstrukcyjne cechuj si bardzo małym
stopniem
tłumienia
1
�ż�ż
ξ
co objawia si
słabym zanikiem drga w konstruowanych układach.
3.2 DRGANIA
WYMUSZONE
Mo liwy
charakter wymusze w funkcji czasu, które mog wyst powa�ź w realnych
przypadkach
obci e dynamicznych układów spr ystych mo na podzieli�ź na:
procesy
zdeterminowane,
gdzie nast pstwo warto ci siły w czasie jest ci le okre lone jedn
funkcj
p(t) = f(t)
oraz procesy przypadkowe, gdzie opis wymuszenia ujmuje cały
zbiór oddzielnych
realizacji
p(t) = {f
i
(t)}.
Dokładniejszy podział na klasy zwi zane z rodzajem opisu procesów
wymuszaj cych i
wskazaniem mo liwo ci ich zastosowa przedstawiono w rozdziale VII.
Drgania
wymuszone to drgania powstaj ce wtedy, gdy punkt drgaj cy w o rodku
o
stałej
tłumienia
poddany jest
dodatkowo działaniu siły sinusoidalnie zmiennej z biegiem
czasu. Drgania
odbywane w warunkach rzeczywistych, w dowolnym o rodku materialnym,
zawsze s poł
czone z przekazywaniem energii otoczeniu w zwi zku z pokonywaniem
sił
oporu. W wyniku
wykonywanej pracy energia ciała drgaj cego maleje, zmniejsza si te
amplituda drga
.
Drgania nie
podtrzymywane sił zewn trzn ulegaj tłumieniu, gasn , zanikaj �" st d
ich nazwy:
drgania tłumione, gasn ce, zanikaj ce.
W o rodkach o
wi kszych stałych tłumieniach (o wi kszych dekrementach
logarytmicznych
tłumienia) wygaszanie drga jest gwałtowniejsze. Teoretycznie spadek
amplitudy A do
zera powinien nast pi�ź dopiero po czasie t = �ś to w praktyce ju po
czasie
sko czonym
obserwuje si faktyczny zanik drga . Warto podkre li�ź, e badanie
drga
tłumionych w
okre lonym o rodku pozwala wyznaczy�ź jego współczynnik oporu.
3.2.1
Drgania wymuszone nietłumione
Opis drga
wymuszonych nietłumionych uzyskuje si , przyjmuj c w (4.29) c=0
i
P(t)=cos
ω
t, w
postaci:






Page 12
t
P
kx
x
m
ω
cos
0
**
=
+
(4.47)
albo:
t
q
x
x
ω
ω
cos
2
**
=
+
,
gdzie:
m
k
=
2
ω
,
m
P
q
0
=
.
Równanie to
jest równaniem ró niczkowym liniowym niejednorodnym. Jego rozwi
zanie
ogólne jest
równe sumie rozwi zania ogólnego x
1
odpowiedniego
równania jednorodnego
(4.30) oraz
rozwi zania szczególnego x
2
:
2
1
x
x
x
+
=
(4.48)
przy
czym:
t
C
t
C
x
0
2
0
1
1
sin
cos
ω
ω
+
=
.
Rozwi zania
szczególnego równania (4.47) szukamy w postaci:
t
A
x
ω
cos
2
=
(4.49)
gdzie A jest
stałym współczynnikiem, którego warto �ź nale y wyznaczy�ź. Podstawiaj c
do
wyra enia
(4.47) wyra enie (4.49) otrzymuje si :
0
cos
]
)
(
[
2
2
0
=
�ł
�ł
t
q
A
ω
ω
ω
(4.50)
Aby powy sze
równanie było spełnione, winno by�ź:
0
)
(
2
2
0
=
�ł
�ł
q
A
ω
ω
,
czyli
2
2
0
ω
ω
�ł
=
q
A
, co po
podstawieniu do (4.49) daje:
t
q
x
ω
ω
ω
cos
2
2
0
2
�ł
=
(4.51)
Uwzgl dniaj c
zale no ci (4.51) i (4.48) otrzymujemy zatem:
t
q
t
C
t
C
x
ω
ω
ω
ω
ω
cos
sin
cos
2
2
0
0
2
0
1
�ł
+
+
=
(4.52)
Ruch punktu
materialnego stanowi wi c wynik superpozycji dwóch rodzajów ruchu
drga
harmonicznych.
Pierwsze z nich pokrywaj
si
z badanymi wcze
niej drganiami
swobodnymi,
drugie za odpowiadaj szczególnemu rozwi zaniu (4.51). Te ostatnie
drgania
nosz nazw drga
wymuszonych, a ich okres jest taki sam jak okres siły P wywołuj cej
te
drgania:
T=2π/ω.
Amplituda drga
wymuszonych wynosi wi c [33]:
2
0
2
2
0
2
2
0
1
1
1
1
ω
ω
δ
ω
ω
ω
�ł
=
�ł
=
st
q
A
(4.53)
gdzie:
k
P
st
0
=
δ
jest
wychyleniem statycznym.
Gdy
0
=
ω
, czyli gdy
siła wymuszaj ca jest stała, otrzymujemy:
k
P
x
st
0
2
=
=
δ
,
układ
wykonuje
drgania swobodne, których rodkiem jest poło enie równowagi układu.
Gdy
�ś
�ął
0
ω
ω
, to amplituda
drga wymuszonych
�ś
�ął
A
.
Gdy
1
0
�ął
ω
ω
, tzn. gdy cz
sto �ź
siły wymuszonej
zbli a si do cz sto ci własnej, amplituda
�ś
�ął
A
. Przypadek ten
nosi
nazw rezonansu
i polega na zwielokrotnieniu amplitudy drga w porównaniu z ugi ciem
statycznym.
Rezonans jest
zjawiskiem zachodz cym w układach drganiowych, gdy cz stotliwo �ź
drga wymuszaj
cych ω jest równa lub bliska cz stotliwo ci drga własnych
ω
0
.
Rezonans
polega na
szybkim wzro cie amplitudy drga układu fizycznego, tym wi kszym im
mniejsze
jest tłumienie
drga w układzie. Charakterystyk rezonansow układu przedstawia
krzywa






Page 13
rezonansowa. Im
szersza jest krzywa rezonansowa, tym łatwiej jest pobudzi�ź układ
drganiowy do
drga wymuszonych - układ jest mniej selektywny. Powstaj w nim drgania
ju
przy cz
stotliwo ciach drga wymuszaj cych, znacznie ró ni cych si od cz stotliwo
ci
rezonansowej. W
miar zbli ania si cz stotliwo ci drga wymuszaj cych do cz stotliwo
ci
drga własnych
układu, amplituda drga wymuszonych ro nie i osi ga maksymaln warto
�ź,
gdy:
ω
=
ω
r
.
Sko czona warto
�ź amplitudy drga rezonansowych wynika st d, e w układach
rzeczywistych
cz �ź energii zostaje stracona - układ jest dyssypatywny [14,33,71].
Drgania
wymuszone tłumione
Rozwa aj c
drgania układu mechanicznego z rys.1 w przypadku gdy
t
P
t
P
ω
sin
)(
0
=
, mo
na
napisa�ź
równanie drga wymuszonych tłumionych:
t
P
kx
x
c
x
m
ω
sin
0
*
**
=
+
+
(4.54)
Przyjmuj c, e
tłumienie jest podkrytyczne [
)1
�ż
ξ
zastosowania
praktyczne] albo
mk
c�ż
równanie powy
sze po podzieleniu przez mas mo na przedstawi�ź w postaci:
t
q
x
x
h
x
ω
ω
sin
2
2
0
*
**
=
+
+
(4.55)
Rozwi zanie
tego równania przy warunkach pocz tkowych:
0
,0
,0
*
=
=
=
x
x
t
mo
na
przedstawi�ź w
postaci:
)
sin(
)
sin(
1
1
ϕ
ω
ω
�ł
+
�ł
�ł
=
�ł
t
A
v
t
e
A
x
ht
(4.56)
gdzie:
2
2
2
2
2
0
1
4
)
(
1
1
ω
ω
ω
ω
h
q
A
+
�ł
=
,
2
2
2
1
1
2
tg
ω
ω
ω
�ł
�ł
=
h
h
v
(4.57)
2
2
2
2
2
0
4
)
(
ω
ω
ω
h
q
A
+
�ł
=
,
2
2
0
2
tg
ω
ω
ω
ϕ
�ł
=
h
(4.58)
We wzorze
(4.56) pierwszy składnik przedstawia drgania swobodne tłumione, powstałe
na
skutek przyło
enia siły wymuszaj cej przy zerowych warunkach pocz tkowych. Drugi
składnik
przedstawia natomiast drgania ustalone wymuszone. Po pewnym czasie
drgania
swobodne zostaj
wytłumione i mo na je pomin �ź. Pozostaj drgania wymuszone maj ce
posta�ź drga
harmonicznych o cz sto ci siły wymuszaj cej :
)
sin(
ϕ
ω
�ł
=
t
A
x
. Drgania te
s
opó nione w
fazie w stosunku do obci enia o k t
ϕ
wyznaczony z
drugiego wzoru (4.58).
Drgania
liniowe układu (o jss) przy wymuszeniu harmonicznym
Je eli układ
mechaniczny posiada tylko jeden stopie swobody i posiada liniowe
charakterystyki
spr ysto ci i tłumienia (rys.4.7), a działa na niego harmoniczna
siła
wymuszaj ca, to
równanie jego ruchu jest:
)t
(
H
Cq
q
B
q
A
=
+
+
#
##
,
(4.59)
q – współrz dna
uogólniona (przemieszczenie translacyjne x[m], rotacyjne ),
A – { m – masa
[kg]; I masowy moment bezwładno ci [kgm
2
]},
B – {b -
współczynnik tłumienia translacyjnego [Ns/m];
b
0
- współczynnik
tłumienia rotacyjnego Nms/rad]},
C – {c –
współczynnik sztywno ci translacyjnej [N/m];
c
0
– współczynnik
sztywno ci rotacyjnej [Nm/rad]},
H(t) – {F(t) –
siła wymuszaj ca [N];
M(t) – moment
wymuszaj cy [Nm]}.






Page 14
Rys.4.7 Modele
układów o jednym stopniu swobody
Drgania
autonomiczne (swobodne)
Je eli na układ
wst pnie wyprowadzony z poło enia równowagi nie działaj
adne
wymuszenia
[H(t)=0], to otrzymujemy nast puj ce równanie:
0
Cq
q
B
q
A
=
+
+
#
##
,
(4.60)
Jest to
równanie drga swobodnych tłumionych. Je eli pominiemy tłumienie ,
to
równanie
ulegnie dalszemu uproszczeniu:
0
Cq
q
A
=
+
+
##
,
(4.61)
Rozwi zaniem
ogólnym powy szego równania jest funkcja sygnału
harmonicznego:
(
)
(
)
ϕ
+
ω
=
t
sin
q
t
q
0
0
(4.62)
0
– cz sto �ź
kołowa sygnału [rad/s];
- faza sygnału
harmonicznego [rad].
Po podstawieniu
otrzymamy:
(
)
(
)
0
t
sin
q
A
C
0
0
2
0
=
ϕ
+
ω
ω
�ł
(4.63)
która to zale
no �ź, jest spełniona dla dowolnej chwili czasowej t tylko wtedy,
gdy:
A
C
A
C
=
=
�ł
0
2
0
st
t
0
ω
ω
(4.64)
Jest to cz sto
�ź kołowa nie tłumionych drga własnych, nazywana cz sto ci własn
układu.
Okres drga
własnych jest równy:
A
C
2
2
T
0
0
π
=
ω
π
=
(4.65)
Ogólne rozwi
zanie ma posta�ź:
(
)
÷
÷
�
’
«
≈
ϕ
+
=
t
C
A
sin
q
t
q
0
(4.66)
gdzie amplituda
drga q
0
i faza , s
stałymi całkowania, zale nymi od warunków
pocz tkowych
ruchu.
Je eli wyst
puje tłumienie wiskotyczne (B� 0), to równanie drga (4.60) w
wyniku
podzielenia
obustronnie przez współczynnik bezwładno ci A przyjmie nast puj c
posta�ź:
0
q
q
h
2
q
2
0
=
ω
+
+
#
##
(4.67)
gdzie:
[
]
rad/s
A
2
B
h
=
(4.68)
jest
jednostkowym współczynnikiem tłumienia wiskotycznego,
natomiast
[
]
rad/s
A
C
0
=
ω
(4.69)
jest cz sto
ci własn układu.






Page 15
4. DRGANIA
UKŁADÓW O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY
W wielu
przypadkach analizy dynamicznej obiektów mechanicznych zamiast
jednego
stopnia swobody
trzeba uwzgl dni�ź kilka stopni swobody ruchu drgaj cego. Dotyczy to
szczególnie
obiektów o konstrukcji niejednorodnej z gwałtown zmian własno ci masowo
–
spr ysto –
dyssypacyjnych, np. podwieszenie do belki ci aru na linie,
wstawienie
podatnego sprz
gła w linii nap dowej agregatu maszynowego czy podparcie bryły
sztywnej
spr ynami i
tłumikami w wielu płaszczyznach. Najmniejsz komplikacj wyró nia si
tu
model o dwóch
stopniach swobody, na którego przykładzie mo na wyja ni�ź wi kszo �ź
cech
szczególnych
układów o wielu stopniach swobody [14,33,57].
Opis obiektu o
dwóch stopniach swobody (rys.4.8) jest nieco trudniejszy, chocia
efekt ko cowy
jest podobny [64].
UKŁAD O 2
SSW
Rys.4.8 Model
układu o dwóch stopniach swobody
Po uwolnieniu z
wi zów ka dego elementu, otrzymuje si nast puj ce układy sił
działaj cych na
te elementy:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
.
,
,
:
;
c-
,
b-
,
,
,
:
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
2
1
q
q
c
q
q
b
t
P
II
q
q
q
q
c
q
q
b
t
P
I
�ł
�ł
�ł
�ł
#
#
#
#
#
(4.70)
Stosuj c zasad
d’Alemberta dla ka dego z tych elementów, mo emy zapisa�ź dwa
równania:
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
t
P
q
q
c
q
q
b
q
m
t
P
q
q
c
q
q
b
q
c
q
b
q
m
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
+
�ł
�ł
�ł
�ł
=
+
�ł
+
�ł
+
�ł
�ł
=
#
#
##
#
#
#
##
(4.71)
Wprowadzaj c
pewne uporz dkowanie powy szych równa , otrzymamy układ
ró niczkowy
równa ruchu:
(
)
(
)
(
)
(
)
t
P
q
c
q
c
q
b
q
b
q
m
t
P
q
c
q
c
c
q
b
q
b
b
q
m
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
=
�ł
+
�ł
+
=
�ł
+
+
�ł
+
+
#
#
##
#
#
##
(4.72)
Stosuj c prawa
rachunku macierzowego, równanie ruchu (4.70) mo na
zapisa�ź:
(
)
(
)
(
)
(
)
t
P
t
P
q
q
c
c
c
c
c
q
q
b
b
b
b
b
q
q
m
m
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
0
0
=
�ł
�ł
+
+
�ł
�ł
+
+
#
#
##
##
(4.73)
lub
ogólnie:
Q
Cq
q
B
q
A
=
+
+
#
##
(4.74)
Jak wida�ź, mimo
wielu zało e w czasie modelowania układu wyst puj ce tu
równania ruchu
układu s nieliniowe i ich rozwi zanie nie jest proste. Mo na to
wykona�ź






Page 16
analitycznie,
poprzez ró nego typu linearyzacj członów nieliniowych, numerycznie całkuj
c
krok po kroku
metod ró nic sko czonych, albo numerycznie na modelu analogowym.
Charakterystyczne
warto ci opisu układu: cz sto ci własne i postacie drga , cz sto
trudne do
wyznaczenia analitycznego mo na okre li�ź w drodze identyfikacji zło onej
w
czasie
eksperymentu, co zostanie omówione w dalszej cz ci
opracowania.
5. DRGANIA
UKŁADÓW O SKO CZONEJ LICZBIE STOPNI
SWOBODY
Układy drgaj ce
mo na umownie podzieli�ź na dwa podzbiory: układy dyskretne i
układy ci głe.
Umowno �ź podziału wynika z tego, e układy drgaj ce s przestrzennymi
elementami
zbudowanymi z materiałów odkształcalnych, s wi c układami ci głymi
o
niesko czonej
liczbie stopni swobody. Dla celów praktycznych wiele układów
fizycznych
mo na jednak
uwa a�ź za dyskretne. W praktyce decyzja, czy dany układ potraktowa�ź
jako
dyskretny, czy
jako ci gły zale y od argumentów uzasadniaj cych z jednej strony dokładno
�ź
wyników oblicze
, a z drugiej korzy �ź uzyskania wyników oblicze wynikaj ca z
dyskretyzacji
rozpatrywanego układu [33,57].
Układ
dyskretny jest takim układem, którego równania ruchu mo na wyrazi�ź
za
pomoc zbioru
równa ró niczkowych zwyczajnych dla sko czonej liczby poszukiwanych
funkcji jednej
zmiennej rzeczywistej - czasu.
W analizie
dynamicznej układów dyskretnych dla przypadku małych drga
posługujemy
si
trzema
rodzajami współrz dnych. Współrz dne zewn trzne (np.
kartezja skie)
słu ce do opisu konfiguracji układu drgaj cego w poło eniu
równowagi
statycznej.
Współrz dne lokalne, które s funkcjami czasu i opisuj
przemieszczenia
elementów
masowych układu drgaj cego z poło enia równowagi statycznej. Współrz
dne
uogólnione
Lagrange’a, które s tak e funkcjami czasu, s zbiorem niezale nych wielko
ci
geometrycznych,
za pomoc których mo na okre li�ź wszystkie przemieszczenia lokalne.
Liczba współrz
dnych uogólnionych nie mo e by�ź mniejsza od liczby dynamicznych
stopni swobody.
Cz sto liczb współrz dnych uogólnionych przyjmuje si równ liczbie
dynamicznych
stopni swobody. Jest to przypadek tzw. bazy minimalnej
[8,14,33,57,71].
W przypadku
małych drga współrz dne lokalne s liniow transformacj współ-
rz dnych
uogólnionych, przy czym współczynniki transformacji zale
wył cznie
od
konfiguracji
układu dynamicznego.
Układ o
sko czonej liczbie stopni swobody przedstawiany jest jako zbiór
punktów
materialnych
poł czonych bezmasowymi spr ynami i tłumikami. Rozwa ane układy
liniowe
w praktyce in
ynierskiej to najcz ciej takie, w których siły spr yste i tłumienia
s
liniowymi
funkcjami przemieszcze i pr dko ci punktów materialnych. S to
układy
holonomiczne, a
liczba stopni swobody równa si liczbie współrz dnych uogólnionych.
Współrz dne
uogólnione s przesuni ciami lub k tami obrotu mas.
Drgania
swobodne nietłumione
Najbardziej
ogóln postaci równa ró niczkowych ruchu s równania Lagrange'a
drugiego
rodzaju. Ruch układu holonomicznego, skleronomicznego o n stopniach
swobody,
opisany we
współrz dnych uogólnionych za pomoc tych równa , ma
posta�ź:
j
j
j
Q
q
E
q
E
dt
d
=
÷
÷
�
’
«
≈
∂
∂
�ł
÷
÷
÷
�
’
«
≈
∂
∂
*
(4.75)
gdzie: E
- energia kinetyczna układu, Qj - zewn trzna siła uogólniona
odpowiadaj ca






Page 17
współrz dnej
q
j
, skierowana
zgodnie z dodatnim zwrotem tej współrz dnej.
Energia
kinetyczna rozpatrywanego układu ma posta�ź kwadratowej formy pr dko
ci
uogólnionych:
Ćł
=
=
n
j
i
j
i
ij
q
q
a
E
1
,
*
*
2
1
)
,...,
2,
1
,(
n
j
i
=
(4.76)
Liczby
a
ij
=
a
ji
nazywaj si w s
p ó ł c z y n n i k a m i b e z w ł a d n o c i układu.
W przypadku
drga swobodnych układów spr ystych bez tłumienia siły uogólnione
Q
j
wyra aj si
poprzez energi potencjaln układu:
j
j
q
V
Q
∂
∂
�ł
=
)
,...,
2,
1
(
n
j
=
(4.77)
przy czym
energia potencjalna układu jest dodatnio okre lon
form
kwadratow
współrz dnych
uogólnionych ze stałymi współczynnikami:
Ćł
=
=
n
j
i
j
i
ij
q
q
c
V
1
,
2
1
)
,...,
2,
1
,(
n
j
i
=
(4.78)
gdzie liczby
c
ij
=
c
ji
nazywaj si
współczynnikami spr ysto ci:
ji
j
i
ij
c
q
q
V
c
=
÷
÷
�
’
«
≈
∂
∂
=
2
(4.79)
Energia
potencjalna jest funkcj współrz dnych uogólnionych, ale mo na przyj �ź, e
w
poło eniu
równowagi jest równa zeru. Podobnie w poło eniu równowagi s równe
zeru
uogólnione siły
spr ysto ci, co pozwala po podstawieniach (4.77) i (4.78) do (4.75)
uzyska�ź
równania ró
niczkowe ruchu w postaci:
n
n
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
q
a
q
a
1
2
12
1
11
**
1
2
**
12
1
**
11
...
...
�ł
�ł
�ł
�ł
=
+
+
+
n
n
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
q
a
q
a
2
2
22
1
21
**
2
2
**
22
1
**
21
...
...
�ł
�ł
�ł
�ł
=
+
+
+
(4.80)
......................................................................................
n
nn
n
n
n
nn
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
q
a
q
a
�ł
�ł
�ł
�ł
=
+
+
+
...
...
2
2
1
1
**
2
**
2
1
**
1
Wprowadzaj c
dalej zdefiniowane energie w postaci :
Ćł
=
=
n
j
j
j
q
a
E
1
2
*
2
1
oraz
Ćł
=
=
n
j
i
j
i
ij
q
q
c
V
1
,
2
1
(4.81)
to układ
przechodzi w układ równa ró niczkowych rozprz onych wzgl dem
uogólnionych
przyspiesze
:
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
1
2
12
1
11
1
**
1
...�ł
�ł
�ł
�ł
=
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
2
2
22
1
21
2
**
2
...�ł
�ł
�ł
�ł
=
(4.82)
....................................................
n
nn
n
n
n
n
q
c
q
c
q
c
q
a
�ł
�ł
�ł
�ł
=
...
2
2
1
1
**
Jest to prosta
posta�ź równa ró niczkowych ruchu. Z kolei je eli do sumy kwadratów
doprowadzi si
energi potencjaln :
Ćł
=
=
n
j
i
j
i
ij
q
q
a
E
1
,
*
*
2
1
oraz
Ćł
=
=
n
j
j
j
q
c
V
1
2
2
1
(4.83)






Page 18
wówczas układ
przechodzi w układ równa ró niczkowych rozprz onych wzgl dem
współrz dnych
uogólnionych:
n
n
q
a
q
a
q
a
q
c
**
1
2
**
12
1
**
11
1
1
...�ł
�ł
�ł
�ł
=
n
n
q
a
q
a
q
a
q
c
**
2
2
**
22
1
**
21
2
2
...�ł
�ł
�ł
�ł
=
(4.84)
.......................................................
n
nn
n
n
n
n
q
a
q
a
q
a
q
c
**
2
**
2
1
**
1
...�ł
�ł
�ł
�ł
=
i nazywa si
odwrotn postaci równa ruchu.
Do prostej
postaci równa ruchu mo na doj �ź, korzystaj c bezpo rednio z
drugiego
prawa Newtona
dla wydzielonych z układu punktów materialnych, wyra aj c siły
spr ysto ci
przez przemieszczenia:
0
1
**
=
+
Ćł
=
n
j
i
ij
i
i
y
r
y
m
(4.85)
gdzie:
i
m - i-ta
skupiona masa;
i
y -
przemieszczenie masy;
ij
r -
jednostkowa reakcja układu.
Je li oprócz
mas skupionych układ mechaniczny ma tak e ciała sztywne, to k ty
obrotu tych
ciał mo na oznaczy�ź przez y
i
, a przez
m
i
rozumie si
momenty bezwładno ci
wzgl dem osi,
wokół których zachodz obroty. Sumy znajduj ce si w ka dym z równa
(4.85)
przedstawiaj wzi te z przeciwnym znakiem siły działaj ce na ka d z mas
[8,13].
5.1 Drgania
własne nietłumione (Zagadnienie własne)
Zagadnienie
własne, dotycz ce drga swobodnych nietłumionych, opisuje ruch
układu
dynamicznego
bez sił wymuszaj cych i bez uwzgl dnienia tłumienia. Ruch jest
spowodowany
warunkami pocz tkowymi, tj. nadaniem układowi pocz tkowego
przemieszczenia
lub pocz tkowej pr dko ci.
Problematyk
zagadnienia własnego podzielono nast puj ce cz ci:
a). analiz cz
sto ci własnych i wektorów własnych - te wielko ci graj główn rol w
okre laniu
reakcji dynamicznej liniowych układów poddanych działaniu sił wymuszaj
cych,
b). okre lenie
wła ciwo ci powy szych poj �ź,
c). rozwi zania
zagadnienia własnego.
Analiza
cz sto ci własnych i wektorów własnych
Równanie ruchu
drga własnych otrzymuje si z równania ruchu (4.74) po pomini ciu
członu
zawieraj cego
macierz tłumienia oraz wektor obci e zewn trznych. Wówczas
otrzymuje
si
:
0
**
=
+
Kq
q
B
(4.86)
gdzie: 0 jest
wektorem zerowym. Warunki pocz tkowe, po których nast puje ruch układu,
s
nast puj
ce:
0
)0
(
q
q
=
oraz
0
*
*
)0
(
q
q
=
(4.87)
Rozwi zanie dla
zadanego zagadnienia pocz tkowego (4.86) i (4.87) polega na
podaniu
warunków, dla których jest mo liwy ruch rozpatrywanego układu. Przez analogi
z
układem o
jednym stopniu swobody zało ymy, e drgania własne s ruchem harmonicznym
i
rozwi zania
równania (4.86) poszukujemy w postaci funkcji harmonicznych o cz sto
ci
ω
i
fazie pocz
tkowej
ϕ
,
czyli:
)
sin(
)(
ϕ
ω
+
=
�ął
t
q
t
q
(4.88)






Page 19
gdzie:
�ął
q jest
wektorem amplitud drga własnych, który reprezentuje kształt
przemieszcze
elementów
masowych układu w kierunku współrz dnych uogólnionych, czyli kształt
postaci
drga
.
Po podstawieniu
wyra enia (4.88) i jego drugiej pochodnej do równania ruchu (4.86)
otrzymuje si
:
0
)
sin(
)
(
2
=
+
+
�ł
�ął
ϕ
ω
ω
t
q
K
B
(4.89)
Poniewa
równanie to powinno by�ź spełnione dla dowolnej chwili t, otrzymamy nast
puj cy
układ równa
algebraicznych, w którym wyst puje nieznany
wektor
�ął
q oraz
nieznana cz sto �ź
kołowa
ω
:
0
)
(
2
=
�ł
�ął
q
B
K
ω
(4.90)
Jest to układ
liniowych jednorodnych równa algebraicznych, który ma rozwi zania
niezerowe tylko
wówczas, gdy:
0
)
det(
2
=
�ł
B
K
ω
(4.91)
Po rozwini ciu
tego wyznacznika otrzymuje si wielomian n-tego stopnia wzgl
dem
2
ω
(dla
układu maj cego
n dynamicznych stopni swobody). Równanie to nazywa si
równaniem
charakterystycznym
zagadnienia własnego lub równaniem cz sto ci. Pierwiastkami
równania (4.91)
s cz sto ci kołowe drga własnych:
n
ω
ω
ω
,...,
,
2
1
,
(n=d).
W ród
pierwiastków mog wyst pi�ź pierwiastki wielokrotne, wektor utworzony
ze
zbioru cz sto
ci uporz dkowanych w kolejno ci warto ci rosn cych nazywa si
wektorem
cz sto ci, a
pierwsz cz sto �ź
ω
1
nazywa si
cz sto ci podstawow :
]
,...,
,
[
2
1
n
ω
ω
ω
ω
=
.
Mo na dowie �ź,
e dla symetrycznych i dodatnio okre lonych macierzy bezwładno ci
i macierzy
sztywno ci o warto ciach rzeczywistych, warto ci liczbowe
wektora
ω
s
rzeczywiste i
dodatnie.
Ka dej cz sto
ci
ω
i
odpowiada takie
rozwi zanie
i
w
q
=
�ął
, e
:
0
)
(
2
=
�ł
i
i
w
B
K
ω
(4.92)
Wektor
w
i
nazywa si i-tym
wektorem własnym lub i-t postaci drga własnych. Okre
la on
z dokładno ci
do stałego czynnika rozkład przemieszcze na kierunkach współrz
dnych
uogólnionych
podczas drga z cz sto ci
ω
i
. Opisuje wi c
odkształcon posta�ź układu
dynamicznego
drgaj cego z dan cz sto ci drga własnych. Zbiór wektorów
własnych
ω
i
tworzy macierz
własn W:
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
�"
�ż
�Ś
�Ś
�Ś
�Ś
 
�
=
=
nn
n
n
n
n
n
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
W
,...
,
,
....
..........
..........
,...
,
,
,...
,
,
]
,...,
,
[
2
1
2
22
21
1
12
11
2
1
(4.93)
Rozwi zanie
drga własnych układu dyskretnego opisanego równaniem ruchu (4.86)
lub (4.92) jest
kombinacj liniow drga harmonicznych o cz sto ciach
kołowych
ω
i
i
amplitudach
proporcjonalnych do wektorów w
i
,
czyli:
{
}
{
}
Ćł
+
=
+
=
i
c
s
i
ci
i
si
i
q
t
q
t
W
t
q
t
q
w
t
q
ω
ω
ω
ω
cos
sin
)
cos
sin
(
)(
(4.94)
gdzie:
{
}
)
(cos
sin
t
diag
t
i
ω
ω
=
;
T
cn
c
c
i
q
q
q
q
]
,...,
,
[
2
1
=
.
Elementy
wektorów q
s
oraz
q
c
s dowolnym
stałymi, które mo na wyznaczy�ź warunków
pocz tkowych
(4.87).






Page 20
Nale y podkre
li�ź, e głównymi zagadnieniami analizy drga własnych dla danego
układu
dynamicznego s [8,13]:
- obliczenia
wektora cz sto ci drga własnych;
- obliczenia
macierzy własnej W (zbioru wektorów własnych);
- analiza ruchu
mas układu dla zadanych warunków pocz tkowych.
Macierz własna
W została zdefiniowana jako uporz dkowany zbiór
wektorów
własnych i
zapisana została zale no ci (4.93). Macierz
widmow
�"Ś
definiuje si
jako
macierz
diagonaln , gdzie na głównej przek tnej znajduj si kwadraty cz sto ci
własnych:
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
Ÿ
�"
�ż
�Ś
�Ś
�Ś
�Ś
�Ś
 
�
=
=
�"Ś
n
n
w
diag
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
.....
..........
..........
....
..........
..........
..........
,
]
,...,
,
(
ω
ω
ω
ω
ω
(4.94)
Ka da cz sto �ź
własna i ka dy wektor własny spełniaj nast puj c zale no �ź (uogólnion
do
poj �ź macierzy
własnej W i macierzy widmowej
�"Ś
macierzow
:
�"Ś
=
BW
KW
(4.95)
która w zwartej
formie przedstawia relacj wszystkich warto ci i wektorów własnych.
Mo na
stwierdzi�ź,
e wektory
własne s
nie tylko
ortogonalne, ale tak e
normalizowane z
wag macierzy bezwładno ci.
Rozwi
zanie zagadnienia własnego
Okre lenie wła
ciwo ci układu drgaj cego, tj. macierzy widmowej
�"Ś
i
macierzy
własnej W
lub tylko ograniczonej liczby ich pierwszych elementów, wymaga rozwi
zania
zagadnienia
własnego (4.90), które dla wygody dalszych rozwa a mo na napisa�ź w
nast puj cej
postaci:
Bw
Kw
�
=
(4.96)
gdzie: K
- jest macierz sztywno ci; B - macierz bezwładno ci układu
drgaj cego o n
dynamicznych
stopniach swobody; za
2
ω
�
=
. Istnieje n
warto ci własnych
i
�
(rad
2
/
s
2
)
i
odpowiada im
n wektorów własnych w spełniaj cych równanie (4.96). Wielko
ci
i
�
i
w
i
tworz n
par własnych (
i
�
,w
i
), i = 1,
2,...,n, gdzie warto ci własne mog by�ź uporz dkowane
w nast puj cy
sposób:
n
n
�
�
�
�
�ń
�ń
�ń
�ń
�ń
�ł1
2
1
...
0
(4.97)
Warto ci
własne
i
�
s pierwiastkami
równania charakterystycznego (4.91), tj.:
0
)
det(
)
(
=
�ł
=
B
K
f
�
�
(4.98)
gdzie:
f(
�
) jest
wielomianem n-tego stopnia. Je li n jest du
liczb (np.
kilka tysi cy lub
wi cej), to d
ymy do okre lenia pierwszych (najni szych) p cz sto ci własnych
i
odpowiadaj cych
im p wektorów własnych.
W dynamice
maszyn macierz sztywno ci K jest zawsze dodatnio okre lona, a
w
sformułowaniach
metody elementów sko czonych jest cz sto macierz pasmow . Natomiast
macierz B
mo e mie�ź ró ne wła ciwo ci - mo e by�ź macierz pełn lub pasmow i
wówczas
jest zawsze
dodatnio okre lona. Mo e by�ź jednak równie macierz diagonaln ,
której
niektóre
elementy mog by�ź równe zeru. Wówczas macierz B jest macierz pół
dodatnio
okre lon . Je
li elementy na jej głównej przek tnej s wi ksze od zera, to macierz B
jest
dodatnio okre
lona.
Tworzenie
niezawodnych i efektywnych metod rozwi zania zagadnienia własnego
było
przedmiotem wielu prac naukowych - szczególnie po upowszechnieniu komputerów.
S
to głównie
metody numeryczne - iteracyjne, których obliczenia s zako czone wówczas,
gdy






Page 21
uzyska si rozwi
zanie z zadan dokładno ci . Metody te mo na podzieli�ź na główne
trzy
grupy: metody
iteracji wektora, metody transformacyjne, techniki iteracyjne
wielomianu
równania
charakterystycznego.
Uzasadnienie, e
metody rozwi zywania zagadnienia własnego maj charakter
iteracyjny
wynika st d,
e nale y znale
�ź pierwiastki wielomianu równania
charakterystycznego
f(
�
),
(4.98). Nie istniej jednak jawne zale no ci na obliczenie tych
pierwiastków w
przypadkach, kiedy stopie wielomianu jest wi kszy ni 4, czyli dla n >
4
konieczne jest
zastosowanie procesu iteracyjnego. Dla okre lenia pary własnej
(
i
�
,w
i
), je
li
jeden człon
jest obliczony iteracyjnie, drugi mo e by�ź obliczony bez iteracji.
Dotychczas
przedstawiono wiele algorytmów, kombinacji dwóch lub wi cej metod
do
rozwi zania
zagadnienia własnego du ych systemów. Szczegółowe omówienie tych
metod
podaj
specjalistyczne opracowania [8,13,17].
Przykład
[8,13]. Wyznaczy�ź macierzowe równanie ruchu i rozwi za�ź zagadnienie
własne
modelu
obliczeniowego przedstawionego na rys.4.9. Elementy pionowe s
osiowo
nieodkształcalne, mo
liwy jest wi c tylko ruch poziomy obu mas.
Rozwi
zanie. Układ ma dwa stopnie swobody. Do opisu ruchu przyj to dwie
współrz dne
uogólnione
q
1
i
q
2
. Bilans
energetyczny prowadzi do nast puj cych wyników:
Rys.4.9 Model
układu dynamicznego o dwóch stopniach swobody
- energia
kinetyczna:
)
2(
2
1
)
(
2
1
2
2
*
2
1
*
2
2
*
2
2
1
*
1
q
m
q
m
q
m
q
m
E
k
+
=
+
=
- energia
potencjalna:
]
2
3[
2
1
]
2
)
[(
2
1
]
)
(
[
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
kq
q
kq
kq
q
k
q
q
k
q
k
k
q
q
k
q
k
E
p
+
�ł
=
=
+
�ł
+
=
�ł
+
=
- praca sił
wymuszaj cych:
2
2
1
1
)(
)(
q
t
F
q
t
F
L
+
=
Wstawiaj c powy
sze wyra enia do równa Lagrange’a otrzymuje si macierzowe równanie
ruchu w
postaci:






Page 22
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
=
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
�ł
�ł
+
Ÿ
Ÿ
Ÿ
�"
�ż
�Ś
�Ś
�Ś
 
�
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
)(
)(
3
0
0
2
2
1
2
1
2
**
**
1
t
F
t
F
q
q
k
k
k
k
q
q
m
m
Równanie
charakterystyczne zagadnienia własnego przyjmuje wi c posta�ź:
0
3
5
2
)
(
2
2
2
=
+
�ł
=
k
km
m
f
�
�
�
którego rozwi
zanie s dwa pierwiastki:
m
k
/
5,
0
1
=
�
oraz
m
k
/
0,
2
2
=
�
. Wektor cz sto
ci
ma nast puj ce
warto ci:
s
rad
m
k
m
k
/
4
2
/
0,
2
/
5,
0
2
1
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
=
Ÿ
Ÿ
�"
�ż
�Ś
�Ś
 
�
=
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
=
π
π
ω
ω
ω
Okresy drga
własnych dla poszczególnych cz sto ci s równe:
s
T
0,
1
/
2
1
1
=
=
ω
π
,
s
T
5,
0
/
2
2
2
=
ω
π
.
Po okre leniu
cz sto ci własnych w celu wyznaczenia wektorów własnych korzysta si
z
równania ruchu
(4.92). Dla pierwszej cz sto ci mamy:
[
]
0
1
2
1
=
�ł
w
B
K
ω
co dalej w
jawnej postaci daje:
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
=
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
Ÿ
Ÿ
�"
�ż
�Ś
�Ś
 
�
�ł
�ł
�ł
�ł
0
0
2
3
22
11
2
1
2
1
ω
ω
ω
ω
m
k
k
k
m
k
które po
wstawieniu warto ci
m
k
/
5,
0
2
1
=
ω
jest równowa ne
układowi równa
algebraicznych
jednorodnych:
0
5,
0
0
2
22
11
21
11
=
+
�ł
=
�ł
kw
kw
kw
kw
Układ ten ma
niesko czenie wiele rozwi za , co nie pozwala na wyznaczenie
amplitudy drga
swobodnych, lecz jedynie umo liwia wyznaczenie kształtu drga
układu z
dokładno ci do
stałej. Mamy wi c, po skre leniu drugiego
równania:
11
21
2
ω
ω
=
To umo liwia po
przyj ciu dowolnej warto ci
11
ω
obliczy�ź warto
�ź
21
ω
. W
praktyce
post pujemy
tak, aby maksymalna warto �ź wektora w
1
była równa
jedno ci:
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
=
0,
1
5,
0
1
w
Druga cz sto �ź
umo liwia okre lenie drugiego wektora własnego,
czyli:
[
]
0
2
2
2
=
�ł
w
B
K
ω
Po wstawieniu
warto ci
m
k
w
/
0,
2
22
=
otrzymuje si
układ równa :
0
0
22
12
22
12
=
�ł
�ł
=
�ł
�ł
kw
kw
kw
kw
z którego
wynika:
22
12
w
w
�ł
=
. Wektor własny
w
2
korzystnie jest
przyj �ź w postaci:
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
��ł
=
0,
1
0,
1
2
w
Macierz własna
rozpatrywanego przykładu jest wi c nast puj ca:
Ÿ
�"
�ż
�Ś
 
�
�ł
=
0,
1
0,
1
0,
1
5,
0
W
,
a
wektory własne
pokazano na rys. 4.10.






Page 23
Rys.4.10
Pierwsza i druga posta�ź drga własnych układu.
5.2 Drgania
swobodne tłumione
Je eli układ
mechaniczny zawiera oprócz sił spr ystych a elementów tarcia
wiskotycznego
(siły tłumienia zale ne liniowo od pr dko ci), to równania ró niczkowe
ruchu
układu w
prostej postaci s nast puj ce:
Ćł
Ćł
=
=
=
+
+
n
j
n
j
j
ij
j
ij
i
q
c
q
q
a
1
1
*
**
1
0
�ą
)
,...,
2,
1
(
n
i
=
(4.99)
lub w
postaci odwrotnej:
Ćł
Ćł
=
=
=
+
+
n
j
n
k
ji
k
k
ij
j
j
i
y
y
m
y
1
1
*
**
0
δ
�ą
δ
(4.100)
gdzie:
k
�ą
- współczynnik
tłumienia wiskotycznego.
Je eli ka dy z
kierunków k pokrywa si z ka dym z kierunków j (tj. je li
wszystkie
elementy tarcia
s przyło one do mas układu), to liczba powy szych równa jest równa
n.
Je eli s tak e
elementy tarcia, które daj siły oporu nie przyło one bezpo rednio do jednej
z
mas układu, to
równanie (4.100) mo na uło y�ź tak e dla kierunku działania tych sił,
przy
czym ka dy z
takich elementów tarcia zwi ksza liczb stopni swobody układu o 1/2.
Rozwi zanie
układu równa (4.99) opisuj drgania swobodne tłumione, tj.
drgania,
jakie wykonuje
układ mechaniczny wyprowadzony z poło enia równowagi, przy
warunkach
pocz tkowych
ruchu ró nych od zera. Warunki te zapisujemy w nast puj cy sposób:
0
=
t
,
0i
i
q
q
=
,
0
*
*
i
i
q
q
=
,
)
,...,
2,
1
(
n
i
=
(4.101)
Przy tych
warunkach pocz tkowych nale y zbada�ź przebieg rozwi za układu, np.
(4.99). Rozwi
zania układu tych równa szukamy w postaci
funkcji:
t
i
i
e
A
q
�
=
(4.102)
gdzie:
A
i
-pewne stałe
rzeczywiste,
�
- liczba
rzeczywista lub zespolona.
Po podstawieniu
(4.102) do (4.99) i uproszczeniu przez e
�
t
otrzymamy:
Ćł
Ćł
=
=
=
+
+
n
j
n
j
j
ij
i
ij
i
i
A
c
A
A
a
1
1
2
0
�ą
�
�
(4.103)
Jest to liniowy
układ równa algebraicznych o niewiadomych
A
i
. Układ ten
posiada
niezerowe rozwi
zania, je li współczynnik przy niewiadomych jest równy zeru.
Współczynnik
ten piszemy w nast puj cej postaci:






Page 24
(4.104)
Równanie
(4.104) nazywa si równaniem charakterystycznym, a jego rozwi
zanie
pierwiastkami
charakterystycznymi. Równanie charakterystyczne mo e posiada�ź
pierwiastki
rzeczywiste lub
zespolone. W przypadku pierwiastków rzeczywistych ogólne rozwi
zanie
mo emy napisa�ź
w postaci:
Ćł
=
=
n
j
t
ij
i
j
e
A
y
1
�
(4.105)
Je eli
pierwiastki charakterystyczne s zespolone, ogólne rozwi zanie ma
posta�ź:
Ćł
=
�ł
=
n
j
j
t
v
ij
i
j
e
A
y
1
)
sin(
ϕ
ω
(4.106)
gdzie:
ij
A -
rozwi zanie układu (4.103),
j
ϕ
- stałe zale ne
do warunków pocz tkowych,
j
j
v
ω
,
- odpowiednie
cz ci rzeczywiste i urojone pierwiastka
charakterystycznego
j
�
.
Poniewa
j
�
w rozwi zaniach
(4.102) i
,
j
v w
(4.103) s ujemne, rozwi zania układu
(4.99)
d
do zera. Rozwi
zania (4.102) d
do zera
asymptotycznie, nie wykonuj c
oscylacji, a
rozwi zania (4.103) d
do zera w
sposób oscylacyjny [8,13].
5.3 Drgania
wymuszone nietłumione
Nieraz na układ
n punktów materialnych działaj siły spr yste oraz siły zewn
trzne
zale ne od
czasu P(t), działaj ce w kierunku i = l, 2, ..., n. Równanie ró niczkowe
ruchu
mo emy w
prostej postaci zapisa�ź nast puj co:
)(
1
**
t
P
y
r
y
m
i
n
j
i
ij
i
i
=
+
Ćł
=
(4.107)
lub w
postaci odwrotnej:
)(
1
**
1
1
t
P
y
m
y
j
n
j
ij
j
i
n
j
ij
Ćł
Ćł
=
=
=
+
δ
δ
(4.108)
Rozwi zanie
ogólne układu (4.107) lub (4.108) składa si z rozwi zania ogólnego
układu
jednorodnego i rozwi zania szczególnego układu niejednorodnego. Rozwi
zania
ogólnego układu
jednorodnego opisuj drgania swobodne nietłumione, które pominiemy w
dalszych rozwa
aniach (w układach rzeczywistych wyst puje pewne tłumienie i
drgania
swobodne
zanikaj , z tego wzgl du mo emy rozwi zanie drga swobodnych pomin �ź),
a
zajmiemy si -
rozwi zaniem szczególnym układu niejednorodnego. Rozwi zania te
opisuj
drgania, które
nazywamy drganiami wymuszonymi.
Poniewa do
układów liniowych stosuje si zasad superpozycji, mo na rozwa a�ź
drgania
wymuszone kolejno siłami przyło onymi do poszczególnych punktów
materialnych,
a nast pnie
otrzymane rozwi zania dodawa�ź. Rozwi zania równa ró niczkowych (4.107)
lub
(4.108) mo na
przedstawi�ź w postaci rozło enia na postacie własne:






Page 25
Ćł
=
=
n
j
j
j
t
q
a
y
1
1
1
)(
Ćł
=
=
n
j
j
j
t
q
a
y
1
2
2
)(
(4.109)
..........................
Ćł
=
=
n
j
j
nj
n
t
q
a
y
1
)(
gdzie:
a
ij
- amplitudy
znormowanych postaci własnych drga , a funkcje
q
j
(t)
wyznacza si z
układu równa ró
niczkowych ruchu :
Ćł
=
=
+
n
j
j
j
t
P
a
q
q
1
1
1
2
1
1
**
)(
ω
Ćł
=
=
+
n
j
j
j
t
P
a
q
q
1
2
2
2
2
2
**
)(
ω
(4.110)
.....................................
Ćł
=
=
+
n
j
j
jn
n
n
n
t
P
a
q
q
1
2
**
)(
ω
gdzie:
n
ω
ω
,...,
1
- cz sto ci
drga własnych.
Je eli siły
P
j
(t) maj
posta�ź wymusze harmonicznych w postaci:
,
sin
01
1
t
P
P
ω
=
,
sin
02
2
t
P
P
ω
=
...,
,
sin
0
t
P
P
n
n
ω
=
(4.111)
to rozwi zaniem
dowolnego z równa (4.110) jest suma:
t
a
P
q
i
n
j
ji
j
i
ω
ω
ω
sin
2
2
1
0
�ł
=
Ćł
=
(4.112)
Zamiast (4.112)
mo na napisa�ź:
t
a
P
a
y
i
n
j
ji
j
n
s
is
i
ω
ω
ω
sin
2
2
1
0
1
�ł
=
Ćł
Ćł
=
=
(4.113)
W tym przypadku
amplitudy drga mog by�ź tak e otrzymane nie bezpo rednio, je eli
podstawi si w
(4.107) lub (4.108):
t
A
y
i
i
ω
sin
=
(4.114)
Amplitudy drga
A
i
wyznaczamy z
układu równa algebraicznych otrzymanych po
podstawieniu
(4.114) do (4.107) lub (4.108) i uproszczeniu
przez
ω
t w
prostej postaci:
Ćł
=
=
+
�ł
n
j
i
i
ij
i
i
P
A
r
A
m
1
0
2
ω
(4.115)
lub w
postaci odwrotnej:
Ćł
Ćł
=
=
=
�ł
n
j
j
n
j
ij
ij
i
j
P
A
m
A
1
0
1
2
δ
δ
ω
(4.116)
Po rozwi zaniu
tych równa otrzymamy amplitudy drga układu. W przeciwie stwie
do drga
swobodnych tłumionych, które opisuj stan przej ciowy, drgania
wymuszone
okre laj stan
ustalony. Stanem ustalonym jest równie stan spoczynku w poło eniu
równowagi
układu mechanicznego. Drgania wymuszone układów z tłumieniem
dodatnim
opisuj stan
ustalony stacjonarny, gdy siła wymuszaj ca jest funkcj okresow .
Drgania
wymuszone
nietłumione opisuj stan ustalony niestacjonarny, gdy cz sto �ź siły wymuszaj
cej






Page 26
jest równa
jednej z cz sto ci własnej układu, tzn. gdy mamy do czynienia ze
zjawiskiem
rezonansu
[14,33,71].
5.4 Drgania
wymuszone tłumione
Przy
harmonicznych siłach wymuszaj cych (4.111) wpływ sił tarcia
wiskotycznego
wyra a si w
dwóch podstawowych efektach:
- fazy drga ró
nych punktów układu nie pokrywaj si ze sob i ró ni si od fazy sił
wymuszaj
cych,
- amplitudy
drga punktów układu s mniejsze od odpowiadaj cych im amplitud układu
bez
tarcia i wsz
dzie s sko czone.
Dynamiczne
równania ruchu w prostej postaci maj
zapis:
)(
1
1
*
**
t
P
y
r
y
y
m
i
n
j
n
j
i
ij
i
ij
i
i
=
+
+
Ćł
Ćł
=
=
�ą
(4.117)
lub w
postaci odwrotnej:
)(
1
1
*
**
1
1
t
P
y
y
m
y
j
n
j
ij
n
j
ij
j
j
j
j
n
j
ij
Ćł
Ćł
Ćł
=
=
=
=
+
+
δ
δ
�ą
δ
(4.118)
Amplitudy drga
wymuszonych wyznacza si drog podstawienia rozwi zania:
t
b
t
a
y
i
i
i
ω
ω
cos
sin
+
=
,
)
,...,
2,
1
(
n
i
=
(4.119)
do równa ró
niczkowych ruchu. W miejsce wyra enia (4.119) mo na tak e przyj �ź:
)
sin(
ϕ
ω
�ł
=
t
A
y
i
i
,
)
,...,
2,
1
(
n
i
=
(4.120)
gdzie:
2
2
i
i
i
b
a
A
+
=
,
i
i
i
a
b
=
ϕ
tg
(4.121)
K
t
ϕ
i
nazywa si k tem
przesuni cia fazowego, za A
i
- amplitud drga
.
Rozwa ania
przedstawione w tym punkcie znajduj zastosowanie podczas analizy
stanu
dynamicznego układów mechanicznych o dwóch i wi cej stopniach swobody. Wiele
z
informacji tu
przedstawionych stanowi podstaw wprowadzanej do bada dynamiki
maszyn
analizy
modalnej.