WYKA
AD Nr 15
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
1. PODSTAWOWE POJ
CIA
Def.1.1. (przestrzeń dwuwymiarowa i punkt tej przestrzeni)
Zbiór wszystkich uporządkowanych par (x, y) liczb rzeczywistych nazywamy przestrzenią
dwuwymiarowÄ… i oznaczamy R2 .
Pary (x, y) nazywamy punktami przestrzeni R2 , natomiast liczby x, y  współrzędnymi tych punktów.
y
P(x, y)
x
Rys. 1. Punkt w przestrzeni dwuwymiarowej
Uwaga: R2 = R × R , zatem w R2 każdy punkt ma dwie współrzÄ™dne.
Def.1.2. (odległość punktów w przestrzeni dwuwymiarowej)
Niech P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 ) będą punktami przestrzeni R2 .
Odległość punktów P1, P2 płaszczyzny oznaczamy symbolem P1P2 i określamy następująco:
2 2
P1P2 = (x2 - x1) + (y2 - y1)
y
P1(x1, y1)
P1P2
P2 (x2 , y2 )
x
Rys.2. Odległość punktów na płaszczyz
nie
195
Def.1.3. (otoczenie punktu na płaszczyz
nie)
Niech P0 (x0 , y0 ) będzie punktem płaszczyzny, r  dowolną liczbą dodatnią ( r > 0 ).
Otoczeniem punktu P0 o promieniu r na płaszczyz
nie nazywamy następujący zbiór punktów:
U(P0 , r) = { P : P0P < r }
Def.1.4. (sąsiedztwo punktu na płaszczyz
nie)
Niech P0 (x0 , y0 ) będzie punktem płaszczyzny, r  dowolną liczbą dodatnią ( r > 0 ).
Sąsiedztwem punktu P0 o promieniu r na płaszczyz
nie nazywamy następujący zbiór:
S(P0 , r) = U(P0 , r)\ {P0}
Uwaga: Jeżeli w rozważaniach nie jest istotny promień otoczenia lub sąsiedztwa, wówczas oznaczamy:
U(P0 )  otoczenie punktu P0 , S(P0 )  sÄ…siedztwo punktu P0 .
Uwaga: Otoczeniem punktu na płaszczyz
nie jest koło otwarte o środku w tym punkcie, natomiast
sąsiedztwem punktu  koło otwarte bez środka.
Def.1.5. (funkcja dwóch zmiennych)
Niech D ‚" R2 . Jeżeli każdemu punktowi przestrzeni R2  P(x, y)" D przyporzÄ…dkujemy dokÅ‚adnie
jedną liczbę z " R , to mówimy, że w zbiorze D określona jest funkcja dwóch zmiennych z = f (x, y).
Liczby x, y są zmiennymi niezależnymi, z  zmienną zależną, f  symbol przyporządkowania f : D R .
Przykład funkcji dwóch zmiennych:
Funkcja z = Ąx2 y, gdzie x > 0, y > 0 wyraża objętość walca o promieniu x i wysokości y.
Def.1.6. (dziedzina naturalna funkcji dwóch zmiennych)
Zbiór wszystkich par (x, y)" D , dla których odpowiedni wzór postaci z = f (x, y) ma sens
matematyczny nazywamy dziedzinÄ… naturalnÄ… funkcji.
Przykład:
Niech z = ln(1- x2 - y2).
Wówczas D = {(x, y)" R2 : 1- x2 - y2 > 0 }= {(x, y)" R2 : x2 + y2 < 1}.
Zatem dziedziną naturalną tej funkcji jest wnętrze koła o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu 1.
Def.1.7. (wykres funkcji dwóch zmiennych)
Punkty przestrzeni o współrzędnych (x, y, f (x, y)), gdzie (x, y)" D związane z równaniem z = f (x, y)
tworzÄ… pewnÄ… powierzchniÄ™ zwanÄ… wykresem funkcji f (x, y) .
196
D
Rys.3. Wykres funkcji dwóch zmiennych niezależnych
Przykład: Podać wykres funkcji dwóch zmiennych z = 9 - x2 - y2 .
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina tej funkcji: D = {(x, y)" R2 : 9 - x2 - y2 e" 0 }= {(x, y)" R2 : x2 + y2 d" 9 }, czyli jest to
koło ośrodku w punkcie (0,0) i promieniu 3.
Ponieważ z = 9 - x2 - y2 , więc z2 = 9 - x2 - y2 .
2
Stąd x2 + y2 + z = 9 ; jest to równanie sfery o środku w punkcie (0,0,0) i promieniu 3. Ale ponieważ
z e" 0 , zatem jest to tylko górna jej połówka.
z
3
z = 9 - x2 - y2
3
y
3
x
Rys. 2. Wykres funkcji z = 9 - x2 - y2
2. GRANICA I CI
GA
OŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych nie różni się w sposób istotny od definicji granicy funkcji
jednej zmiennej.
197
Def.2.1. (ciąg punktów na płaszczyz
nie)
Ciągiem punktów na płaszczyz
nie nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej punktu tej
płaszczyzny. Wartość tego przyporządkowania dla liczby n " N oznaczamy Pn(xn, yn ), (xn, yn )" D ,
D ‚" R2 i nazywamy n  tym wyrazem tego ciÄ…gu. CiÄ…g zaÅ› oznaczamy nastÄ™pujÄ…co: (Pn ) lub ((xn, yn )).
Def.2.2. (granica ciÄ…gu)
Mówimy, że ciąg (Pn ) = ((xn, yn )) jest zbieżny do punktu P0(x0, y0) , co zapisujemy
lim Pn = P0 lub lim(xn, yn)= (x0, y0)
n" n"
wtedy i tylko wtedy, gdy
lim xn = x0 lub lim yn = y0
n" n"
Def.2.3. (granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech P(x, y), P0(x0, y0)" R2 oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w S(P0).
Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie P0 , co zapisujemy lim f (x, y) = g
PP0
wtedy i tylko wtedy, gdy
îÅ‚ìÅ‚ lim(xn, yn)= y0)öÅ‚ Ò! ìÅ‚ lim f yn)= g ÷Å‚Å‚Å‚
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
(xn,
"((xn, yn ))‚" S(x0, y0) (x0, ÷Å‚
ïÅ‚íÅ‚ n"
Å‚Å‚ íÅ‚ n" łłśł
ðÅ‚ ûÅ‚
Def.2.4. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech P(x, y), P0(x0, y0)" R2 oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w S(P0).
Funkcja f ma granicę niewłaściwą " w punkcie P0 , co zapisujemy lim f (x, y) = "
PP0
wtedy i tylko wtedy, gdy
îÅ‚ìÅ‚ lim(xn, yn)= y0)öÅ‚ Ò! ìÅ‚ lim f yn)= "öÅ‚Å‚Å‚
ëÅ‚ ëÅ‚
(xn,
"((xn, yn ))‚" S(x0, y0) (x0, ÷Å‚ ÷łśł
ïÅ‚íÅ‚ n"
Å‚Å‚ íÅ‚n" Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
Rys.4. Ilustracja geometryczna granicy funkcji w punkcie
a) właściwej, b) niewłaściwej
198
Tw.2.1. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie P0 to
1) lim ( f (x, y) Ä… g(x, y))= lim f (x, y) Ä… lim g(x, y) ;
PP0 PP0 PP0
2) lim (Ä… Å" f (x, y))= Ä… Å" lim f (x, y) , Ä… " R ;
PP0 PP0
3) lim ( f (x, y) Å" g(x, y))= lim f (x, y) Å" lim g(x, y) ;
PP0 PP0 PP0
lim f (x, y)
ëÅ‚ öÅ‚ PP0
f (x, y)
4) lim ìÅ‚ ÷Å‚ = , lim g(x, y) `" 0 ;
ìÅ‚ ÷Å‚
PP0 PP0
g(x, y) lim g(x, y)
íÅ‚ Å‚Å‚
PP0
Tw.2.2. (o granicy funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, h i w spełniają następujące warunki:
1) lim h(x, y) = h0 ,Å" lim w(x, y) = w0 ,
PP0 PP0
2) " P(x, y) " S(P0 ) (h(x, y), w(x, y))`" (h0, w0),
3) lim f (h, w) = g ,
(h,w)(h0 ,w0 )
to lim f (h(x, y), w(x, y)) = g .
P( x, y)P0(x0 , y0 )
Def.2.5. (ciągłość funkcji w punkcie)
Niech P(x, y), P0(x0, y0)" R2 oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w U(P0).
Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie P0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim f (x, y) = f (x0, y0).
PP0
Tw.2.3. (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie P0 , to w tym punkcie ciągłe są również funkcje:
f + g, f - g, f Å" g, f ÷ g (o ile g(x0, y0) `" 0 ).
Def.2.6. (ciągłość funkcji na zbiorze)
Funkcja f jest ciągła na zbiorze otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3. POCHODNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.3.1. (pochodne cząstkowe rzędu pierwszego)
Niech z = f (x, y) określone w D, punkt P0(x0 , y0 )" D . Symbolem "x oznaczamy przyrost zmiennej x,
a symbolem "y  przyrost zmiennej y, przy czym "x `" 0, "y `" 0 oraz P(x0 + "x, y0 )" D, .
P(x0 , y0 + "y)" D .
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f (x, y) względem zmiennej x w punkcie P0 nazywamy
granicę właściwą
f (x0 + "x, y0 ) - f (x0 , y0 )
lim
"x0
"x
199
" z
a oznaczamy lub fx' (P0 ).
" x
P0
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f (x, y) względem zmiennej y w punkcie P0 nazywamy
granicę właściwą
f (x0 , y0 + "y) - f (x0 , y0 )
lim
"y0
"y
" z
'
a oznaczamy lub f (P0 ).
y
" y
P0
Przykład: Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe I  go rzędu funkcji z = x2 y w punkcie
P0(x0 , y0 ).
RozwiÄ…zanie:
2 2 2
2 2 2
" z (x0 + "x) y0 - x0 y0 (x0 + 2x0"x + ("x) )y0 - x0 y0 2x0 y0"x - ("x) y0
= lim = lim = lim =
"x0 "x0 "x0
" x "x "x "x
P0
"x(2x0 y0 - "xy0 )
= lim = lim (2x0 y0 - "xy0 ) = 2x0 y0
"x0 "x0
"x
2 2 2
" z x0 (y0 + "y)- x0 y0 x0 "y
2 2
= lim = lim = lim x0 = x0
"y0 "y0 "y0
" y "y "y
P0
Uwaga: W definicji pochodnych cząstkowych jedna ze zmiennych jest ustalona. Dlatego też w praktyce
pochodną cząstkową względem zmiennej x obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy
założeniu, że zmienna y ma wartość stałą. Analogicznie pochodną cząstkową względem zmiennej y
obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy założeniu, że zmienna x ma wartość stałą.
y
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe I  go rzędu funkcji: a) z = x2 y b) f (x, y) = x
RozwiÄ…zanie:
a) z = x2 y x " R, y " R
' ' '
" z " z
= (x2 y) = y Å"(x2) = y Å" 2x = 2xy , = (x2 y) = x2 Å"(y)' = x2 Å"1 = x2
x x y y
" x " y
y
b) f (x, y) = x x > 0
' '
" f " f
y y-1 y y
= (x ) = y Å" x = (x ) = x Å" ln x
x y
" x " y
Def.3.2. (pochodne cząstkowe rzędu drugiego)
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f (x, y) w punkcie P0(x0 , y0 ) definiujemy jako pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
' '
"2 f f (x0 + "x, y0 ) - f (x0 , y0 )
x x
= lim
"x
" x2 "x0
P0
200
' '
"2 f f (x0 , y0 + "y) - f (x0 , y0 )
x x
= lim
"y0
" y " x "y
P0
' '
f (x0 , y0 + "y) - f (x0, y0 )
"2 f
y y
= lim
"y
" y2 "y0
P0
' '
f (x0 + "x, y0 ) - f (x0 , y0 )
"2 f
y y
= lim
"x0
" x " y "x
P0
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " " f "2 f " " f
Uwaga: Pochodne czÄ…stkowe rzÄ™du drugiego = ìÅ‚ ÷Å‚ , = ìÅ‚ ÷Å‚ nazywamy
" x " x " y " y
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚ " y2 ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"2 f " " f "2 f " " f
pochodnymi czystymi, zaÅ› = ìÅ‚ ÷Å‚ , = ìÅ‚ ÷Å‚ pochodnymi mieszanymi.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " x " y " y " x " y " x
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji z = cos(x2 + y2).
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu I  go:
'
" z
2
= [cos(x2 + y2)] = -sin(x2 + y2)Å"(x2 + y2) = -2xsin(x2 + y2)
x x
" x
'
" z
2
= [cos(x2 + y2)] = -sin(x2 + y2)Å"(x2 + y2) = -2y sin(x2 + y2)
y y
" y
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II  go:
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z
2 2
= ìÅ‚ ÷Å‚ = [- 2xsin(x2 + y2)] = (- 2x)' Å" sin(x2 + y2)+ (- 2x)Å"[sin(x2 + y2)] =
x x x
" x " x
" x2 ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
= -2sin(x2 + y2)- 2x cos(x2 + y2)Å" 2x = -2[sin(x2 + y2)+ 2x2 cos(x2 + y2)]
ëÅ‚ öÅ‚
"2z " " z
2 2
= ìÅ‚ ÷Å‚ = [- 2xsin(x2 + y2)] = (- 2x)Å"[sin(x2 + y2)] = -2x cos(x2 + y2)Å" 2y =
y y
ìÅ‚ ÷Å‚
" y " x " y " x
íÅ‚ Å‚Å‚
= -4xy cos(x2 + y2)
ëÅ‚ öÅ‚
"2z " " z
2 2
= ìÅ‚ ÷Å‚ = [- 2y sin(x2 + y2)] = (- 2y)Å"[sin(x2 + y2)] = -2y cos(x2 + y2)Å" 2x =
x x
ìÅ‚ ÷Å‚
" x " y " x " y
íÅ‚ Å‚Å‚
= -4xy cos(x2 + y2)
ëÅ‚ öÅ‚
"2 z " " z
2 2
= ìÅ‚ ÷Å‚ = [- 2y sin(x2 + y2)] = (- 2y)' Å"sin(x2 + y2)+ (- 2y)Å"[sin(x2 + y2)] =
y y y
" y " y
" y2 ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
= -2sin(x2 + y2)- 2y cos(x2 + y2)Å" 2y = -2[sin(x2 + y2)+ 2y2 cos(x2 + y2)]
201
Tw.3.1. (twierdzenie Schwarza)
Jeżeli funkcja f (x, y) ma w pewnym obszarze &! ciągłe pochodne cząstkowe mieszane
"2 f "2 f
, to, w każdym punkcie tego obszaru są one równe.
" x " y " y " x
Def.3.3. (pochodne cząstkowe rzędu n)
Jakąkolwiek pochodną rzędu pierwszego jakiejkolwiek pochodnej cząstkowej rzędu n-1 nazywamy
pochodną cząstkową rzędu n ze względu na odpowiednią zmienną.
Przykłady:
ëÅ‚ öÅ‚
"3 f " "2 f
ìÅ‚ ÷Å‚
a) = pochodna cząstkowa rzędu trzeciego;
" y
" y " x2 ìÅ‚ " x2 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
"4 f " "3 f
ìÅ‚ ÷Å‚
b) = pochodna cząstkowa rzędu czwartego.
" x
" x4 ìÅ‚ " x3 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
4. RÓŻNICZKA FUNKCJI
Def.4.1. (różniczka funkcji)
Niech funkcja f (x, y) posiada pochodne cząstkowe I  go rzędu w punkcie P0(x0, y0).
Różniczką funkcji f w punkcie P0 nazywamy funkcję df (P0)(" x, " y) zmiennych " x," y określoną
wzorem:
" f " f
df (P0)(" x, " y) = (P0)Å"" x + (P0)Å" " y
" x " y
lub w innym zapisie:
" f " f
df (x0, y0)(" x," y) = (x0, y0)Å" " x + (x0, y0)Å" " y
" x " y
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZEC
PRZYBLIŻONYCH.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe I  go rzędu w punkcie P0(x0, y0), to
f (x0 + " x, y0 + " y) H" f (x0, y0)+ df (x0, y0)(" x, " y).
Przy czym
´(" x," y)
lim = 0
2 2
("x,"y)(0,0)
(" x) + (" y)
2 2
Co oznacza, że bÅ‚Ä…d ´(" x," y) tego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż wyrażenie (" x) + (" y) .
202
5. EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.5.1. (ekstrema lokalne)
Niech funkcja z = f (x, y) będzie określona w pewnym otoczeniu punktu P0(x0 , y0 ).
Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie P0 maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje takie sąsiedztwo
S(P0 ), że dla każdego punktu P(x, y) " S(P0 ) spełniona jest nierówność:
f (P) d" f (P0 ); [ f (P) e" f (P0 ) ]
Uwaga: W przypadku, gdy znaki nierówności słabych ( d" , e" ) zastąpimy nierównościami ostrymi (< , > )
mówimy o ekstremach lokalnych właściwych.
z
max
f (P0 )
f (P)
y
P(x, y)
P0 (x0 , y0 )
x
Rys.3. Maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych
Tw.5.1. (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja f (x, y) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0(x0 , y0 ) oraz ma w tym
punkcie ekstremum lokalne to
" f " f
(P0 ) = 0 i (P0 ) = 0
" x " y
Uwaga: Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający, (co ilustruje poniższy przykład).
203
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja z = xy posiada ekstrema lokalne?
RozwiÄ…zanie:
" f " f
Pochodne cząstkowe I  go rzędu wynoszą: = y , = x .
" x " y
y = 0
Å„Å‚
Z układu równań wynika, że istnieje jeden punkt  podejrzany o ekstremum, a mianowicie (0,0) .
òÅ‚
x = 0
ół
Funkcja nie ma jednak w nim ekstremum, ponieważ f (0,0) = 0 oraz z > 0 dla punktów płaszczyzny
(x, y) należących do I  szej i III  ciej ćwiartki płaszczyzny XOY, natomiast z < 0 dla punktów
płaszczyzny (x, y) należących do II  giej i IV  tej ćwiartki. Zatem ta funkcja przyjmuje zarówno
wartości dodatnie, jak i ujemne dla pewnych punktów (x, y) dowolnie bliskich punktowi (0,0) .
Tw.5.2. (warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
2
Jeżeli funkcja f (x, y) jest klasy C (tj. ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie)
" f " f
w pewnym otoczeniu punktu P0(x0 , y0 ), a ponadto = 0 i = 0 oraz W(P0 ) > 0 , gdzie
" x " y
"2 f "2 f
(P0 ) (P0 )
" y " x
" x2
W(P0 ) =
"2 f "2 f
(P0 ) (P0 )
" x " y
" y2
to funkcja posiada ekstremum lokalne w P0 .
W przypadku gdy:
"2 f
(P0 ) > 0 to funkcja posiada minimum lokalne w P0
" x2
"2 f
(P0 ) < 0 to funkcja posiada maksimum lokalne w P0 .
" x2
Uwaga: Gdy W(P0 ) < 0 to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w P0 , natomiast gdy W(P0 ) = 0 mamy
przypadek wątpliwy, który wymaga dodatkowych badań wykorzystujących definicję ekstremum.
PrzykÅ‚ad: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ex+2 y Å"(x2 - y2)
RozwiÄ…zanie:
1° Wyznaczamy dziedzinÄ™ funkcji: D = { (x, y): x " R '" y " R }
2° Obliczamy pochodne czÄ…stkowe I  go rzÄ™du:
" f
= ex+2 y(x2 - y2)+ ex+2 y Å" 2x = ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)
" x
" f
= 2ex+2 y(x2 - y2)+ ex+2 y Å"(- 2y) = 2ex+2 y Å"(x2 - y2 - y)
" y
204
" f
Å„Å‚
= 0
ôÅ‚
" x
ôÅ‚
3° Tworzymy ukÅ‚ad równaÅ„
òÅ‚
" f
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
" y
ół
Å„Å‚
ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)= 0
ôÅ‚
czyli mamy
òÅ‚
ôÅ‚
2ex+2 y Å"(x2 - y2 - y)= 0
ół
Å„Å‚
x2 - y2 + 2x = 0
ôÅ‚
Ponieważ " (x, y)" R2 ex+2 y > 0 stąd mamy .
òÅ‚
ôÅ‚ - y2 - y = 0
x2
ół
Odejmując stronami otrzymujemy - y - 2x = 0 , wstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:
y =
Å„Å‚ -2x
òÅ‚
2
ółx - 4x2 + 2x = 0
y =
Å„Å‚ -2x
òÅ‚
ół- 3x2 + 2x = 0
y =
Å„Å‚ -2x
y =
Å„Å‚ -2x
ôÅ‚
czyli
òÅ‚ òÅ‚ 2
(-
ółx 3x + 2) = 0
ôÅ‚x = 0 (" x =
ół 3
Otrzymujemy zatem dwa układy:
y =
Å„Å‚ -2x
y =
Å„Å‚ -2x
ôÅ‚
lub
òÅ‚ òÅ‚ 2
ółx = 0
ôÅ‚x =
ół 3
4
Å„Å‚
ôÅ‚y = -
y = 0
Å„Å‚
ôÅ‚
3
StÄ…d lub
òÅ‚ òÅ‚
ółx = 0
ôÅ‚x = 2
ôÅ‚
ół 3
2 4
öÅ‚
Zatem istniejÄ… dwa punkty stacjonarne ( podejrzane o ekstremum): P1(0,0), P2ëÅ‚ ,- ÷Å‚
.
ìÅ‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
4° Obliczamy pochodne czÄ…stkowe rzÄ™du II  go:
"2 f
2
= [ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)] = ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)+ ex+2 y Å"(2x + 2) = ex+2 y(x2 - y2 + 4x + 2)
x
" x2
2
" f
2
x+2 y x+2 y
=[ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)] = 2ex+2 y Å"(x2 - y2 + 2x)+ e Å" (- 2y)= 2e (x2 - y2 + 2x - y)
y
" y " x
"2 f
2
x+2 y
=[2e Å"(x2 - y2 - y)] = 2 Å" 2ex+2 y Å"(x2 - y2 - y)+ 2ex+2 y (- 2y -1)= 2ex+2 y(2x2 - 2y2 - 4y -1)
y
" y2
205
5° Tworzymy wyznacznik:
ex+2 y(x2 - y2 + 4x + 2) 2ex+2 y(x2 - y2 + 2x - y)
W (x, y) =
2ex+2 y(x2 - y2 + 2x - y) 2ex+2 y(2x2 - 2y2 - 4y -1)
6° Obliczamy wartoÅ›ci wyznacznika w punktach stacjonarnych, wyznaczamy ewentualne ekstrema:
2 0
W(P1) = W (0,0) = = -4 .
0 - 2
Ponieważ W(P1) < 0 , więc brak ekstremum w punkcie P1 .
4 16 8 4 16 4 4
öÅ‚
30 24
e-2 ëÅ‚ - + + 2öÅ‚ 2e-2 ëÅ‚ - + +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
e-2 e-2
9 9 3 9 9 3 3
2 4
ëÅ‚ öÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
9 9
W(P2 ) = W ,- ÷Å‚
= = =
ìÅ‚
3 3 24 30
4 16 4 4 8 32 16
íÅ‚ Å‚Å‚ öÅ‚
e-2 e-2
2e-2 ëÅ‚ - + + 2e-2 ëÅ‚ - + -1öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
9 9
9 9 3 3 9 9 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
30 30 24 24 1 324
= e-2 Å" e-2 - e-2 Å" e-2 = e-4(900 - 576) = e-4
9 9 9 9 81 81
Wyznacznik W(P2 ) > 0 , więc funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie P2 .
"2 f 30
Ponieważ (P2 ) = e-2 > 0 , zatem w tym punkcie mamy minimum lokalne.
9
" x2
2 4 4 16 4
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
Wartość funkcji w punkcie ekstremalnym wynosi f ,- ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚ - e-2 .
= e-2 =
ìÅ‚
3 3 9 9 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
206