WYKA
AD Nr 24
FUNKCJE ZESPOLONE
1. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
Def.1.1. (funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej)
Niech będzie dany przedział T ą" R . Funkcją zespoloną zmiennej rzeczywistej nazywamy
przyporządkowanie każdej liczbie rzeczywistej t "T dokładnie jednej liczby zespolonej należącej do
otwartej płaszczyzny zespolonej Gaussa.
Przyjmujemy następujące oznaczenia: z = z(t) dla t "T
lub też
z = x(t) + jy(t) , przy czym Re z(t) = x(t), Im z(t) = y(t)
Określenie funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej jest równoważne z określeniem dwóch funkcji
rzeczywistych zmiennej rzeczywistej: x(t), y(t) . Zatem badanie funkcji zespolonych zmiennej
rzeczywistej sprowadza się do badania dwóch funkcji rzeczywistych.
x = x(t)
Å„Å‚
Uwaga: Równość z = x(t) + jy(t) jest równoważna następującemu układowi równań: t "T .
òÅ‚
óły = y(t)
Jeśli jest to przedstawienie parametryczne pewnej linii na płaszczyz
nie, to z = z(t) jest przedstawieniem
tej linii w postaci zespolonej.
jt
Przykład: Jaką linię przedstawia równanie z = z0 + re , t " 0,2Ą .
RozwiÄ…zanie:
jt
KorzystajÄ…c ze wzoru Eulera e = cos t + j sin t otrzymujemy: z = x0 + jy0 + r(cos t + j sin t).
Zatem po grupowaniu mamy: z = x0 + r cos t + j(y0 + r sin t).
x = x0 + r cos t
Å„Å‚
Równość ta odpowiada następującemu układowi: t " 0, 2Ą ,
òÅ‚
óły = y0 + r sin t
x
Å„Å‚ - x0 = r cos t
czyli t " 0, 2Ä„ .
òÅ‚
óły - y0 = r sin t
Stąd podnosząc obustronnie do kwadratu i sumując otrzymane wyrażenia mamy:
2 2 2 2
(x - x0 )2 + (y - y0 )2 = r cos2 t + r sin t , więc (x - x0 )2 + (y - y0 )2 = r .
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie z0 = (x0 , y0 ) i promieniu r.
Niektóre przedstawienia parametryczne krzywych na płaszczyz
nie zespolonej:
a) Niech z1, z2 " Z . Krzywa o opisie parametrycznym z(t) = z1 + (z2 - z1)t dla t " 0,1
przedstawia odcinek o początku w punkcie z1 i końcu w punkcie z2 .
b) Niech z0 " Z, a " Z \{0} Linia o przedstawieniu parametrycznym z(t) = z1 + a t , gdzie t " R
przedstawia prostÄ… o kierunku a i przechodzÄ…cÄ… przez punkt z0 .
305
jt
c) Niech z0 " Z, r " R, r > 0 . Krzywa o opisie parametrycznym z = z0 + re dla t " 0,2Ä„
przedstawia dodatnio skierowany okrąg o środku w punkcie z0 = (x0 , y0 ) i promieniu r.
d) Elipsa o środku z0 i półosiach a, b równoległych do osi Re z ma następujące przedstawienie
parametryczne: z(t) = z0 + a cos t + jb sin t , gdzie t " 0,2Ä„ .
Tw.1.1. (warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy funkcji z = z(t) )
Na to, aby funkcja z = z(t) miała w punkcie t0 "T granicę g + jh potrzeba i wystarcza, by część
rzeczywista i część urojona funkcji z = z(t) miały w tym punkcie odpowiednio granice g i h.
Def.1.2. (pochodna funkcji z(t) )
PochodnÄ… funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej w punkcie t0 nazywamy granicÄ™:
z(t0 + "t) - z(t0 )
lim ,
"t0
"t
"z
2
czyli lim , a oznaczamy jÄ… z (t0 ) .
"t0
"t
Tw.1.2. (o istnieniu pochodnej funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej)
2
Na to, aby funkcja z = z(t) miała w punkcie t0 "T pochodną z (t0 ) potrzeba i wystarcza, by istniały
pochodne części rzeczywistej i części urojonej tej funkcji w punkcie t0 . Wówczas prawdziwy jest
następujący wzór:
2 2 2
z (t0 ) = x (t0 ) + jy (t0 )
"z "x "y
2
Uzasadnienie: Ponieważ = + j , więc istnienie pochodnej z (t0 ) jest równoważne istnieniu
"t "t "t
2 2
pochodnych x (t0 ) i y (t0 ) .
2
Przykład: Obliczyć z (0) , jeżeli z(t) = e2 jt - 2 jt .
RozwiÄ…zanie:
jÕ
KorzystajÄ…c ze wzoru Eulera: e = cos Õ + j sin Õ mamy:
z(t) = cos 2t + j sin 2t - 2 jt = cos 2t + j (sin 2t - 2t)
czyli x(t) = cos 2t, y(t) = sin 2t - 2t
2 2
stąd x (t) = -2 sin 2t, y (t) = 2 cos 2t - 2 dla każdego t.
2
Zatem na podstawie Tw.1.2. otrzymujemy: z (t0 ) = -2 sin 2t0 + j (2 cos 2t0 - 2).
2
Ostatecznie dla t0 = 0 otrzymamy z (0) = 0
2
Równanie stycznej do krzywej z = z(t) w punkcie t0 ma postać z = z(t0 ) + z (t0 ) Å" t , gdzie t " R .
306
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji z(t)
Jeżeli L jest gładkim łukiem, o przedstawieniu parametrycznym z = z(t) , t "T , skierowanym zgodnie ze
r
2 2 2
wzrostem parametru t, to przy założeniu z (t0 )`" 0 , wektor s = [x (t0 ), y (t0 )] jest styczny do linii L w
punkcie z(t0 ) i skierowany zgodnie z tym Å‚ukiem.
r
2 2
Moduł z (t0 ) przedstawia wówczas długość wektora s , a argument Arg z (t0 ) - zbiór wszystkich miar
r
Å‚ukowych kÄ…ta skierowanego, jaki wektor s tworzy z osiÄ… rzeczywistÄ….
Im z
L
z(t0 + "t)
r
s
´
"z
z(t0 )
Re z
Rys.1. Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji z(t)
Def.1.3. (całka oznaczona funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej)
Niech z(t) = x(t) + jy(t) , t " Ä…,² . Jeżeli funkcje x(t) i y(t) sÄ… caÅ‚kowalne w przedziale Ä…, ² to
caÅ‚kÄ™ oznaczonÄ… z funkcji zespolonej z = z(t) na przedziale Ä…, ² definiujemy nastÄ™pujÄ…co:
² ² ²
z(t)dt = x(t)dt + j y(t)dt
+" +" +"
Ä… Ä… Ä…
Uwaga: W przypadku całek oznaczonych z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej wykorzystujemy
znane wzory i twierdzenia z analizy rzeczywistej.
Def.1.4. (funkcja pierwotna)
Niech z(t) = x(t) + jy(t) , t " Ä…,² . Mówimy, że funkcja W : Ä…,² Z jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji
2
z(t) na przedziale Ä…,² , gdy dla każdego t " Ä…,² mamy W (t) = z(t)
Tw.1.3. (wzór Newtona  Leibniza)
Niech W (t) = X (t) + jY (t) będzie funkcją pierwotną funkcji z(t) = x(t) + jy(t) ciągłej na przedziale
Ä…,² . Wówczas zachodzi zwiÄ…zek:
²
z(t)dt = W (²) - W (Ä…)
+"
Ä…
Uwaga: Funkcje X (t), Y (t) są funkcjami pierwotnymi odpowiednio części rzeczywistej i części urojonej
funkcji z(t) , tj. funkcji: x(t), y(t) .
307
Ä„
2
Przykład: Obliczyć t + 2tj)dt .
+"(cos
0
RozwiÄ…zanie:
KorzystajÄ…c z Def.1.3. i Tw.1.3. mamy:
Ä„ Ä„ Ä„
Ä„
Ä„
2 2 2
îÅ‚ëÅ‚ Ä„ öÅ‚2 Å‚Å‚
Ä„ Ä„2
2
2
2
+ jt = sin - sin 0 + j
ïÅ‚ìÅ‚ ÷Å‚ - 0 = 1 + j .
śł
+"(cos t + 2tj)dt = +"cos tdt + j+"2tdt = sin t 0
0
2 4
ïÅ‚íÅ‚ 2 Å‚Å‚ śł
0 0 0 ðÅ‚ ûÅ‚
Ä„
2
Ä„2
Ostatecznie t + 2tj)dt = 1 + j .
+"(cos
4
0
2. FUNKCJE ZESPOLONE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Def.2.1. (funkcja zespolona zmiennej zespolonej)
Niech &! - pewien niepusty zbiór liczb zespolonych.
Jeżeli każdej liczbie zespolonej z "&! przyporządkujemy dokładnie jedną liczbę zespoloną w, to
mówimy, że w zbiorze &! została określona funkcja zespolona zmiennej zespolonej.
Oznaczamy
w = f (z) dla z "&!
lub
w = u(x, y) + j v(x, y) ,
gdzie
x = Re z, y = Im z, u(x, y) = Re f (z), v(x, y) = Im f (z) .
Funkcję u(x, y) nazywamy częścią rzeczywistą, natomiast funkcję v(x, y)  częścią urojoną funkcji
f (z) .
z + 1
Przykład: Znalez
ć część rzeczywistą i część urojoną funkcji f (z) = .
z
RozwiÄ…zanie:
x + jy + 1 x + 1 y
Niech z = x + jy , wówczas f (z) = = + j
2 2 2
x2 + y x2 + y x2 + y
x + 1
Å„Å‚
ôÅ‚u(x, y) =
x2 + y2
ôÅ‚
StÄ…d
òÅ‚
ôÅ‚v(x, y) = y
ôÅ‚ 2
x2 + y
ół
308
u = x + y
Å„Å‚
Przykład: Dana jest para funkcji . Utworzyć funkcję zespoloną f (z) o części rzeczywistej u
òÅ‚
ółv = x - 2y
i części urojonej v.
RozwiÄ…zanie:
KorzystajÄ…c z Def.2.1. mamy: f (z) = x + y + j (x - 2y).
z + z z - z
Uwaga: x = , y =
2 2 j
StÄ…d na podstawie Uwagi:
ëÅ‚ öÅ‚
z + z z - z z + z z - z z + z z - z z + z z - z
f (z) = + + j ìÅ‚ - 2 ÷Å‚ = - j + j - 2
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 j 2 2 j 2 2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1 3
ëÅ‚ öÅ‚
Ostatecznie po przekształceniach: f (z) = - z + + j z .
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Def.2.2. (granica funkcji zespolonej zmiennej zespolonej)
Niech f (z) = u(x, y) + j v(x, y) określona na zbiorze &! ą" Z , z0 "&! .
Mówimy, że liczba zespolona g jest granicą właściwą funkcji f (z) w punkcie z0 = x0 + jy0 , gdy
lim u(x, y) = Re g
Å„Å‚
(x, y)(x0 , y)
ôÅ‚
lim f (z) = g Ô!
òÅ‚
zz0
lim v(x, y) = Im g
ôÅ‚
(x, y)(x, y0 )
ół
Def.2.3. (pochodna funkcji zespolonej zmiennej zespolonej)
Niech f (z) = u(x, y) + j v(x, y)  funkcja określona w pewnym otoczeniu Q punktu z0 .
Symbolem " z oznaczamy przyrost zmiennej z taki, że " z `" 0 i z0 + " z "Q . Przyrostowi " z
odpowiada przyrost " w wartości funkcji: " w = f (z0 + " z) - f (z0 ) = " u + j " v .
f (z0 + " z) - f (z0 )
Granicę właściwą lim nazywamy pochodną funkcji f (z) w punkcie z0
"z0
" z
2
i oznaczamy f (z0 ) .
2
Przykład: Obliczyć na podstawie definicji pochodną funkcji f (z) = 3z w punkcie z0
RozwiÄ…zanie:
KorzystajÄ…c z Def.2.3. mamy:
3(z0 + " z)2 - 3z0 2 [z0 2 + 2z0" z + (" z)2 - z0 2]= 3 lim (2z0 + " z)= 6z0
2
f (z0 ) = lim = 3 lim
"z0 "z0 "z0
" z " z
2
Jeśli istnieje f (z0 ) , to funkcja jest ciągła w punkcie z0 .
309
2
Tw.2.1. (warunek konieczny istnienia f (z0 ) )
2
Jeżeli funkcja f (z) ma w punkcie z0 = x0 + jy0 pochodną f (z0 ) , to pochodne cząstkowe
" u " u " v " v
, , , istnieją w punkcie (x0 , y0 ) i spełniają warunki:
" x " y " x " y
" u " v " u " v
(*) = i = -
" x " y " y " x
Uwaga: Równości określone wzorami (*) nazywamy WARUNKAMI CAUCHY EGO  RIEMANNA.
2
Tw.2.2. (warunek wystarczajÄ…cy istnienia f (z0 ) )
Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) są różniczkowalne w punkcie (x0 , y0 ) oraz spełniają w tym punkcie
warunki Cauchy ego  Riemanna, to funkcja f (z) = u(x, y) + j v(x, y) ma pochodnÄ… w punkcie
z0 = x0 + jy0 .
Tw.2.3.
Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) są ciągłe w obszarze D oraz spełniają na tym obszarze warunki
Cauchy ego  Riemanna, to funkcja f (z) = u(x, y) + j v(x, y) ma pochodnÄ… w obszarze D.
2 2
Jeżeli f (z0 ) istnieje dla każdego z0 "&! , to na zbiorze &! określona jest funkcja pochodna f (z) .
df
2
Zamiast f (z) piszemy często .
dz
2
Twierdzenia o obliczaniu pochodnych f (z)
Tw.2.4.
2
Jeżeli f (z) jest stała, to f (z) = 0
Tw.2.5.
n n-1
2
Jeżeli f (z) = z , n " N , to f (z) = n Å" z
Tw.2.6. (o działaniach arytmetycznych na pochodnych)
2 2
Jeżeli istnieją pochodne f (z) i h (z) , to
2 2
1) [f (z) Ä… h(z)]2 = f (z) Ä… h (z)
2 2
2) [f (z) Å" h(z)]2 = f (z) Å" h(z) + f (z) Å" h (z)
2
2 2
îÅ‚ f (z)Å‚Å‚ f (z) Å" h(z) - f (z) Å" h (z)
3) = , h(z) `" 0
ïÅ‚ śł
h(z)
h2 (z)
ðÅ‚ ûÅ‚
310
Tw.2.7. (o pochodnej funkcji złożonej)
2 2
Jeżeli funkcja Å› = Õ(z) ma pochodnÄ… Õ (z) oraz funkcja w = f (Å›) ma pochodnÄ… f (Å›) , to funkcja
2 2 2
zÅ‚ożona w = F(z), gdzie F(z) = f [Õ(z)] ma pochodnÄ… F (z) = f (Å›) Å" Õ (z) .
Def.2.4. (pochodna rzędu n+1)
(n) (n)
f (z + "z) - f (z)
(n+1)
Pochodną rzędu n+1 funkcji f (z) definiujemy jako f (z) = lim .
"z0
"z
Def.2.5. (funkcja holomorficzna w punkcie)
Funkcję zmiennej zespolonej f (z) nazywamy funkcją holomorficzną w punkcie z0 , jeżeli ma pochodną
2
f (z) w pewnym otoczeniu Q punktu z0 .
Def.2.6. (funkcja holomorficzna w obszarze)
Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D, to mówimy, że jest holomorficzna
w tym obszarze.
Uwaga: Holomorficzność w obszarze oznacza istnienie pochodnej w każdym punkcie tego obszaru.
Tw.2.8
Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze D, funkcje u(x, y) i v(x, y) posiadają ciągłe
pochodne cząstkowe rzędu drugiego w D, to funkcje te spełniają równania
2 2
"2u " u " v "2v
(**) + = 0 i + = 0
" x2 " y2 " x2 " y2
Def.2.7. (funkcja harmoniczna)
Funkcję rzeczywistą dwóch zmiennych g(x, y) nazywamy funkcją harmoniczną, jeżeli spełnia
2
" g "2 g
równanie Laplace a: + = 0 .
2
" x2 " y
Uwaga: Z Tw.2.8. i Def.2.7. wynika, że część rzeczywista i część urojona funkcji holomorficznej na
pewnym obszarze sÄ… funkcjami harmonicznymi na tym obszarze.
Przykład:
x
Znalez
ć funkcję holomorficzną f (z) , jeśli jej część rzeczywista u(x, y) = 2x - e cos y .
RozwiÄ…zanie:
Niech v(x, y) = Im f (z) .
Jeśli funkcja f (z) jest holomorficzna w pewnym obszarze to posiada pochodną w każdym punkcie tego
obszaru, a zatem funkcje u(x, y) i v(x, y) spełniają w tym obszarze warunki Cauchy ego  Riemanna.
" v " u " v " u
StÄ…d = i = - .
" y " x " x " y
311
Obliczamy, więc pochodne cząstkowe danej funkcji u(x, y) :
" u '
x x
=(2x - e cos y) = 2 - e cos y
x
" x
" u '
x x
= (2x - e cos y) = -e sin y
y
" y
Zatem
" v " v
x x
(1) = 2 - e cos y i (2) = -e sin y
" y " x
Całkujemy równanie (2) względem x i otrzymujemy:
(3) v(x, y) = -ex sin y + Õ(y) ,
gdzie Õ(y)  funkcja różniczkowalna zmiennej y.
Różniczkujemy równanie (3) po y i mamy:
" v
x
2
(4) = -e cos y + Õ (y)
" y
Porównując (1) i (4) otrzymamy:
2
Õ (y) = 2, czyli Õ( y) = 2y + C .
x
StÄ…d v(x, y) = -e sin y + 2y + C
x x
Wobec tego funkcja f (z) ma postać f (z) = 2x - e cos y + j (- e sin y + 2y + C)
Należy teraz prawą stronę równości wyrazić przez zmienną z, gdzie z = x + jy .
Korzystając ze wzoru Eulera i grupowania wyrazów mamy:
x z
f (z) = 2x + 2 jy -(e cos y + jex sin y)+ Cj = 2(x + jy)- ex+ jy + Cj = 2z - e + Cj
Ostatecznie
z
f (z) = 2z - e + A ,
gdzie A  dowolna stała urojona, która stanowi wartość funkcji f (z) w początku układu, A = f (0) .
3. FUNKCJE ELEMENTARNE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Do funkcji elementarnych zaliczane są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcja potęgowa, funkcja
wykładnicza, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do wymienionych oraz wszystkie funkcje
otrzymane w wyniku skończenie wielu superpozycji. Wielomiany i funkcje wymierne określa się dla
zmiennej zespolonej analogicznie jak dla zmiennej rzeczywistej. Pozostałe funkcje elementarne zmiennej
zespolonej wymagajÄ… zdefiniowania.
312
Funkcja wykładnicza
Dla dowolnej liczby zespolonej z = x + jy funkcję wykładniczą określamy następująco:
x
ez = e (cos y + j sin y)
z
Funkcja wykładnicza zmiennej zespolonej e jest funkcją okresową o okresie 2Ą j , bowiem zastępując
liczbÄ™ z liczbÄ… z + 2Ä„ j otrzymujemy:
z+2Ä„j x z
e = ex+ j(y+2Ä„ ) = ex [cos(y + 2Ä„)+ j sin(y + 2Ä„)]= e (cos y + j sin y)= e
Funkcja logarytmiczna
Logarytmem (wieloznacznym) liczby zespolonej z `" 0 nazywamy każdą liczbę zespoloną w = u + jv
spełniającą warunek ew = z i oznaczamy symbolem Ln.
Równość Ln z = w oznacza, że ew = z .
PodstawiajÄ…c w tej ostatniej równoÅ›ci w = u + jv oraz z = r (cos Õ + j sin Õ), gdzie r = z , Õ = arg z ,
otrzymujemy równość:
eu (cos v + j sin v)= r (cos Õ + j sin Õ)
z której wynika, że eu = r , czyli u = ln r = ln z (w tym przypadku ln oznacza logarytm naturalny w
dziedzinie rzeczywistej) oraz że v = Õ + 2kÄ„ , (k  dowolna liczba caÅ‚kowita), czyli v = Arg z .
Z powyższych związków otrzymujemy:
Ln z = ln z + j Arg z
Uwaga: Logarytm zera nie istnieje, gdyż ew `" 0 .
Uwaga: Wieloznaczność Ln z wynika z wieloznaczności Arg z.
Jeśli Arg z zastąpimy argumentem głównym arg z, to otrzymamy jednoznaczną funkcję zmiennej
zespolonej z, określoną dla z `" 0 , którą nazywamy logarytmem głównym, a oznaczamy ln. Stąd
ln z = ln z + j arg z
Między logarytmem wieloznacznym a logarytmem głównym zachodzi związek
Ln z = ln z + 2kĄ j
Przykład: Obliczyć Ln z oraz ln z, jeśli z = -3 + 3 3 j .
RozwiÄ…zanie:
2Ä„
Moduł i argument główny liczby z wynoszą odpowiednio: z = 36 = 6 , arg z = .
3
StÄ…d
2Ä„ 2Ä„
ëÅ‚
Ln (- 3 + 3 3 j)= ln 6 + j + 2kÄ„öÅ‚ , ln (- 3 + 3 3 j)= ln 6 + j .
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
313
Związek między funkcją wykładniczą a funkcjami trygonometrycznymi
jz
Ponieważ e = cos z + j sin z , więc zastępując z przez  z otrzymamy e- jz = cos z - j sin z .
Å„Å‚e jz cos z + j sin z
=
ôÅ‚
Rozwiązując układ tych dwóch równań (tj. układ ) względem cos z, sin z ,
òÅ‚
- jz
ôÅ‚
ółe = cos z - j sin z
otrzymujemy równości:
1 1
jz jz
cos z = (e + e- jz), sin z = (e - e- jz)
2 2 j
Pozostałe funkcje definiujemy następująco:
sin z cos z
tg z = , ctg z =
cos z sin z
Przykład: Obliczyć sin j .
RozwiÄ…zanie:
1 1 1
sin j = (e-1 - e1)= - Å" (e1 - e-1)= j Å" sinh1.
2 j j 2
Związek między funkcją wykładniczą a funkcjami hiperbolicznymi
Funkcje hiperboliczne definiujemy na płaszczyz
nie zespolonej za pomocą funkcji wykładniczej
analogicznie jak dla zmiennej rzeczywistej.
1 1
z z
sinh z = (e - e-z ), cosh z = (e + e-z )
2 2
sinh z cosh z
tgh z = , ctgh z =
cosh z sinh z
Funkcja potęgowa
Niech z, s będą dowolnymi liczbami zespolonymi, z `" 0 .
s
Potęgą o podstawie z i wykładniku s nazywamy każdą liczbę zespoloną określoną wzorem: z = es Ln z .
s
Potęga z ma na ogół nieskończenie wiele wartości:
s
z = es (ln z+2kĄj ) = es ln zes2kĄ j , gdzie k = 0, ą 1, ą 2, ...
Liczbę es ln z nazywamy wartością główną potęgi.
Uwaga: Jeśli s  liczba całkowita to potęga ma dokładnie jedną wartość, bo wówczas es2kĄ j =1.
j
Przykład: Obliczyć: (-1)j , j .
RozwiÄ…zanie:
j (ln(-1)+2kĄ j) j (ln1+ jĄ+2kĄ j)
(-1)j = e = e = e-Ą-2kĄ
Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„
j ln1+ j +2kÄ„ j ÷Å‚ - -2kÄ„
ìÅ‚
j j (ln j+2kĄ j) 2
íÅ‚ Å‚Å‚
2
j = e = e = e
314
Ä„
- -2kĄ
j
2
Ostatecznie: (-1)j = e-Ą-2kĄ , j = e .
4.CAA
KA FUNKCJI ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
Def.4.1. (funkcja pierwotna)
Jeśli w obszarze D jest dana holomorficzna funkcja f zmiennej zespolonej z, to każdą funkcję F zmiennej
z, która w obszarze D ma pochodną równą funkcji f
2
F (z) = f (z) z " D
nazywamy funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f w obszarze D.
Def.4.2. (całka nieoznaczona funkcji f w obszarze D)
Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f w obszarze D, to wyrażenie
f (z)dz = F(z) + C z " D
+"
gdzie C  dowolna stała zespolona, nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f w obszarze D.
Uwaga: Całki nieoznaczone funkcji elementarnych zmiennej zespolonej oblicza się według tych samych
reguł co całki tych samych funkcji zmiennej rzeczywistej.
Przykład: Obliczyć A (z - z0 )n dz , gdzie n `" -1 oraz A, z0  stałe zespolone.
+"
RozwiÄ…zanie:
Jeśli n  liczba całkowita, n `" -1 oraz A = const , z0 = const , to
A
A (z - z0 )n dz = (z - z0 )n+1 + C .
+"
n + 1
Obszarem istnienia tej całki jest cała płaszczyzna zespolona, gdy n = 0,1, 2, ..., względnie płaszczyzna
bez punktu z0 , gdy n = -2, - 3, - 4, ...
Def.4.3. (całka funkcji f (z) wzdłuż łuku AB )
Niech f (z) będzie funkcją holomorficzną zmiennej zespolonej określoną na zwykłym łuku skierowanym
AB, o przedstawieniu parametrycznym z = z(t), t " Ä…, ² , zgodnym z kierunkiem tego Å‚uku.
PrzedziaÅ‚ Ä…, ² dzielimy na n podprzedziałów za pomocÄ… punktów tk , k = 0,1, ..., n , takich, że
Ä… = t0 < t1 < ... < tn-1 < tn = ² .
Oznaczamy zk = z(tk ) , k = 0,1, ..., n oraz " zk = zk - zk -1 , k = 1, 2, ..., n .
Na każdym Å‚uku zk -1zk ‚" AB wybieramy punkt Å›k , k = 1, 2, ..., n i tworzymy sumÄ™ caÅ‚kowÄ…
n
Sn = f (Å› ) " zk
" k
k =1
315
JeÅ›li dla każdego normalnego ciÄ…gu podziałów przedziaÅ‚u Ä…, ² ciÄ…g sum caÅ‚kowych Sn jest zbieżny do
tej samej granicy skończonej, niezależnie od wyboru punktów śk , to tę granicę nazywamy całką funkcji
f (z) wzdłuż łuku AB i oznaczamy symbolem
f (z) dz
+"
AB
Tw.4.1.
Jeżeli u(x, y) = Re f (z), v(x, y) = Im f (z) to całka f (z) dz istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją
+"
AB
całki krzywoliniowe skierowane dx - v d y oraz dx + u d y , przy czym
+"u +"v
AB AB
f (z) dz = dx - v dy + j dx + u dy
+" +"u +"v
AB AB AB
PrzykÅ‚ad: Obliczyć z Å" z dz , gdzie AB  Å‚uk okrÄ™gu z = R zawartym miÄ™dzy punktami z = R oraz
+"
AB
z = R j .
RozwiÄ…zanie:
A
uk AB jest łukiem okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu R leżącym w
pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, skierowanym dodatnio.
Ä„
Równanie tego okręgu z(t) = R cos t + jR sin t, t " 0, , czyli x(t) = R cos t, y(t) = R sin t .
2
Niech z = x + jy .
2 2 2
Wówczas f (z) = (x - jy) x2 + y = x x2 + y + j (- y ) x2 + y .
2
StÄ…d u(x, y) = x x2 + y2 , v(x, y) = - y x2 + y .
2
z Å" z dz = x x2 + y2 dx + y x2 + y dy + j y x2 + y2 dx + x x2 + y2 dy
+" +" +"-
AB AB AB
Korzystając z twierdzenia o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na całkę oznaczoną mamy
Ä„ Ä„
2 2
+"[R cos t Å" R Å" (- R sin t)+ R sin t Å" R Å" R cos t]dt + j +"[- R sin t Å" R Å" (- R sin t)+ R cos t Å" R Å" R cos t]dt =
0 0
Ä„
2
Ä„
2
= j R3(sin t + cos2 t)dt = j R3 Å"
+"
2
0
Ä„R3
Ostatecznie powyższa caÅ‚ka po wskazanym Å‚uku wynosi: z Å" z dz = j .
+"
2
AB
316
Uwaga: Jeśli całka f (z) dz istnieje to mówimy, że f (z) jest całkowalna wzdłuż łuku AB.
+"
AB
Własności całki f (z) dz
+"
AB
Jeśli funkcje f (z) i h(z) są całkowalne wzdłuż łuku AB, k  dowolna stała, to
1) f (z) dz = k f (z) dz ,
+"k +"
AB AB
2) (z) + h(z)]dz = f (z) dz +
+"[f +" +"h(z)dz .
AB AB AB
Tw.4.2. (o zamianie całki na całkę oznaczoną)
Jeżeli funkcja f (z) jest ciÄ…gÅ‚a na zwykÅ‚ym Å‚uku gÅ‚adkim AB ={z : z = z(t), t " Ä…, ² }, skierowanym
zgodnie ze wzrostem parametru t, to
²
2
f (z) dz = f [z(t)]Å" z (t) dt
+" +"
AB Ä…
Uwaga: Jeśli łuk AB jest zamknięty (A = B), czyli krzywa jest krzywą Jordana, to oznaczamy go jedną
literÄ… C i zamiast f (z) dz piszemy zwykle f (z) dz .
+" +"
AB C
dz
Przykład: Obliczyć , gdzie C  okrąg z - z0 = R skierowany dodatnio, n  liczba całkowita.
+"
(z - z0 )n
C
RozwiÄ…zanie:
Równanie okręgu o środku w punkcie z0 i promieniu R zapisujemy następująco:
jt
z = z0 + R e , t " 0, 2Ä„
jt
2
zatem z (t) = jR e .
2Ä„ 2Ä„
jt
dz jR e j
j
StÄ…d = dt =
+" n +" jnt n-1 +"e (1-n)t dt
Rne R
(z - z0 )
C 0 0
t=2Ä„
2Ä„
j(1-n)t
îÅ‚ Å‚Å‚
j j e 1
j
Dla n `" 1 mamy: (1 - 1)= 0
śł
+"e (1-n)t dt = ïÅ‚ j (1 - n)ûÅ‚ =
Rn-1 Rn-1 ðÅ‚ (1 - n)Rn-1
0
t=0
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
j j
j 0
Dla n = 1 mamy:
+"e (1-n)t dt = +"e dt = j +"dt = j Å" 2Ä„ .
Rn-1 R0
0 0 0
2Ä„ j dla n = 1
dz Å„Å‚
Ostatecznie = .
òÅ‚
+"
n
0 dla n `" 1
(z - z0 )
ół
C
317
Uwaga: Całka funkcji ciągłej wzdłuż łuku kawałkami gładkiego istnieje i równa się sumie całek wzdłuż
gładkich części tego łuku.
Tw.4.3. (o module całki)
Jeżeli funkcja f (z) jest ciągła na kawałkami gładkim łuku zwykłym AB, to
f (z) dz d" ML
+"
AB
gdzie L  długość łuku AB, natomiast M = sup f (z)
AB
Tw.4.4. (podstawowe tw. Cauchy ego)
Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą
Jordana zawartÄ… w tym obszarze, to
f (z) dz = 0
+"
C
Wnioski z podstawowego twierdzenia Cauchy ego
Wniosek 1: Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, to całka f (z) dz
+"
AB
wzdÅ‚uż kawaÅ‚kami gÅ‚adkiego Å‚uku AB ‚" D nie zależy od ksztaÅ‚tu tego Å‚uku, a jedynie od
punktów A i B.
z2
Zamiast f (z) dz możemy zapisać f (z) dz, gdzie z1 = A, z2 = B .
+" +"
AB z1
Wniosek 2: Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, F(z) jest funkcją
pierwotnÄ… funkcji f (z) na tym obszarze oraz z1, z2 " D , to
z2
f (z) dz = F(z2 ) - F(z1) .
+"
z1
Wniosek 3: Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D z wyjątkiem punktów
z1, ..., zn należących do wnÄ™trza kawaÅ‚kami gÅ‚adkiej krzywej Jordana C ‚" D , to
n
f (z) dz = f (z) dz ,
"
+" +"
k =1
C Kk
gdzie Kk  okrąg o środku zk , k = 1, ..., n zawarty we wnętrzu krzywej C i o promieniu na
tyle małym, żeby Kk )" Ki `" 0 dla k `" i, k, i = 1, 2, ..., n .
/
Tw.4.5. (o wzorze całkowym Cauchy ego)
Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze jednospójnym D, C ‚" D jest kawaÅ‚kami gÅ‚adkÄ…
krzywą Jordana zawartą w tym obszarze oraz z0 należy do wnętrza krzywej C, to
1 f (z)
(*) f (z0 ) = dz
+"
2Ä„ j z - z0
C
318
Równość (*) nazywamy wzorem całkowym Cauchy ego.
Tw.4.6.
Jeżeli funkcja f (z) jest holomorficzna w obszarze D, to ma w tym obszarze pochodną każdego rzędu,
przy czym
n ! f (z)
(n)
f (z0 ) = dz
+" n+1
2Ä„ j
(z - z0 )
K
dla każdego n " N i każdego z0 " D , gdzie K  dowolny okrąg o środku z0 zawarty wraz ze swym
wnętrzem w obszarze D.
z
1 e dz
Przykład: Obliczyć , wiedząc, że:
+" 3
2Ä„ j
z (1 - z)
C
a) punkt z1 = 0 leży wewnątrz, a punkt z2 =1 na zewnątrz krzywej C,
b) punkt z1 = 0 leży na zewnątrz, a punkt z2 =1 wewnątrz krzywej C,
c) punkty z1 = 0 , z2 =1 leżą wewnątrz krzywej C,
d) punkty z1 = 0 , z2 =1 leżą na zewnątrz krzywej C.
RozwiÄ…zanie:
Funkcja podcałkowa jest holomorficzna na płaszczyz
nie zespolonej z wyjątkiem punktów z1 = 0 , z2 =1.
Ad. a)
W tym przypadku z1 = 0 leży wewnątrz, a punkt z2 =1 na zewnątrz krzywej C, więc
z
e
z z
1 e dz 1 e 1 (1 - z)3
= dz = dz ,
+" +" +"
2Ä„ j
z (1 - z)3 2Ä„ j K1 z (1 - z)3 2Ä„ j K1 z - 0
C
gdzie K1  okrąg o środku z1 zawarty wraz ze swym wnętrzem we wnętrzu krzywej C.
z
e
Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy ego dla z0 = 0, f (z) = mamy:
(1 - z)3
1 f (z)
f (0) = dz .
+"
2Ä„ j z - 0
K
z
e
z
1 e dz 1 (1 - z)3 ez
Zatem = dz = =1
+" +"
2Ä„ j
z (1 - z)3 2Ä„ j K1 z - 0 (1 - z)3
C
z=0
Ad. b)
W tym przypadku z2 =1 leży wewnątrz krzywej C, natomiast z1 = 0 na zewnątrz, więc
z
e
z z
1 e dz 1 e 1
z
= dz = dz ,
+" +" +"
3 3 3
2Ä„ j 2Ä„ j 2Ä„ j
z (1 - z) z (1 - z) (1 - z)
C K2 K2
319
gdzie K2  okrąg o środku z2 zawarty wraz ze swym wnętrzem we wnętrzu krzywej C.
z
e
KorzystajÄ…c z Tw. 4.6. dla z0 = 1, f (z) = , n = 2 otrzymamy
z
2 2
1 f (z) f (1)
dz =
+" 2+1
2Ä„ j n !
(1 - z)
K
czyli
z
e
3 2
- dz
z z z z
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 ez dz 1 1 e 1 ze - e 1 e (z - 1)÷Å‚2
z
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚
= = - = - = - =
+" +"
3 3 ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ 2 ÷Å‚ ìÅ‚ 2 ÷Å‚
2Ä„ j 2Ä„ j 2 z 2 2
z (1 - z) (z - 1) z z
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
C K2
z=1 z=1 z=1
z 2 z 2 z
ëÅ‚ öÅ‚
1 e (z - 1) z + e z - e (z - 1)2z 1 e1 e
ìÅ‚ ÷Å‚
= - = - = -
ìÅ‚ 4 ÷Å‚
2 2 1 2
z
íÅ‚ Å‚Å‚
z=1
Ad. c)
W tym przypadku zarówno punkt z1 = 0 , jak i punkt z2 =1 leżą wewnątrz krzywej C, więc korzystając z
Wniosku 3 oraz poprzednich podpunktów zadania mamy
z z z
1 e dz 1 e dz 1 e dz e
= + =1 -
+" +" +"
2Ä„ j
z (1 - z)3 2Ä„ j z (1 - z)3 2Ä„ j z (1 - z)3 2
C K1 K2
Ad. d)
Ponieważ punkty z1 = 0 , z2 =1 leżą na zewnątrz krzywej C, więc funkcja jest holomorficzna w pewnym
obszarze jednospójnym D, a C jest kawałkami gładką krzywą Jordana zawartą w tym obszarze.
KorzystajÄ…c z podstawowego twierdzenia Cauchy ego mamy
z
1 e dz
= 0 .
+"
2Ä„ j
z (1 - z)3
C
320