Liczby zespolone, funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej i zespolonej.
Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, równania Cauchy - Riemanna.
1. Znalez
ć postać algebraiczną liczb:
1995 " 400
"
1 + i (1 - 3i)i
"
a) ( 3 + i)9(1 + i)6 b) c)
(1 + i)(-1 - i)
i - 3
2. Przechodząc do postaci trygonometrycznej lub wykładniczej liczby z = 1 - i znalez
ć postać
algebraiczną liczby: 1 + z2 + z4 + z6
3. Na płaszczyz
nie zespolonej naszkicować zbiór:
a) {z C : Im(z4) 0} b) {z C : Re(iz6) = 0}

z + 1
3
c) {z C : z4 = -2(z)2} d) z C : arg = Ą
Ż
2
i

- 3 z

4i

e) z C : > 1 f) z C : Re(z2 - 3) > 0, 1

3i - z z + 1


- 1

z
Ą

g) z C : > 1, arg z < Ą h) z C : |1 + iz| 3, arg(z + 1)

2
z - i

z
i) {z C : |z - 1| = Re(z + 1)} j) z C : Im > 0, |z + 1 - i| < 2
z + 2
k) {z C : Re[2zz - (2 + 4i)z + (4i - 2)z] < 0} l) {z C : z6 + 2i|z|6 = (z)6}
Ż Ż Ż
4. Rozwiązać równanie:
i - 1 1 z + 1 i|z|2
a) = b) |z|2(z)2 = 27iz c) = i + 1 d) (z)4z2 = e) i(z)4z2 = -4|z|2
Ż Ż Ż
z - i z z 2
Ż Ż
5. Rozwiązać równania kwadratowe:
a) z2 + (2 - 4i)z - 11 + 2i = 0 b) (1 + i)z2 - (6 + 2i)z + 14 - 2i = 0 c) z4 + z2 + 1 = 0
6. Zbadać zbieżność ciągów zespolonych:

2n - 1 + 2ni in + 1 1 + i n 2n + i
a) zn = b) zn = c) zn = d) zn =
n + 2i n + i 2 2n - i
n
n2 + 2in 1
"
e) zn = f) zn = + i
in2 - 1
3
7. Zbadać zbieżność szeregów:
"
n
2

" " " " "

cos n + i sin n 2 - i n n(3i - 1)n 3 + i in
a) b) c) d) e)
n2 3 5n 2 + 3i n
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1


" " " " "

1 i 3 - 2i nn n + 2i 1 + i n
f) + (-1)n g) " h) i) j)
n2 3n 1 + n n! (e - i)n n2 2
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
8. Obliczyć pochodną funkcji:
a) z(t) = 2 sin t + ie2t b) z(t) = (i + t2)e2t c) z(t) = (i - cos t)e-t
9. Obliczyć całki:
1
Ą
2
2 1

a) 1 + (1 + i)t2 dt b) (1 - iet) dt c) (cos t + i sin t) dt
0 -1 0
10. Znalez
ć część rzeczywistą i urojoną funkcji:
z + 1 1
a) w(z) = z2 + 1 b) w(z) = c) w(z) =
z - 1 1 + z2
11. Przedstawić w postaci wykładniczej liczbę:
"
"
1 3 1 1
a) - + i b) - " - "
i c) - 2 + 2i d) 3 + i e) - 1 f) - i
2 2
2 2
12. Znalez
ć część rzeczywistą i urojoną liczb:
1 1
Ąi
2 4
a) 3e b) e2- Ąi c) cos(1 - i) d) sin(1 + 2i) e) sin i
13. Zbadać, czy funkcja f(z) jest funkcją holomorficzną. Jeśli tak, to obliczyć jej pochodną.
a) f(z) = z2 b) f(z) = z c) f(z) = zRez d) f(z) = |z| e) f(z) = zImz f) f(z) = (z)2
Ż Ż
1 1
g) f(z) = ez h) f(z) = zz i) f(z) = j) f(z) = k) f(z) = sin z l) f(z) = cos z
Ż
z z2
14. Znalez
ć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista u(x, y) lub urojona v(x, y):
a) u(x, y) = x2 - y2 + xy b) u(x, y) = 2ex sin y c) u(x, y) = ex cos y + y
d) v(x, y) = 4x3y - 4xy3 + 1 e) v(x, y) = 2x2 - 2y2 + x f) v(x, y) = e2x sin 2y + x2 - y2