FUNKCJE ZESPOLONE ĆWICZENIA 6  Funkcja zespolona zmiennej zespolonej cz.I
ZAD.1
Wyznaczyć dziedzinę funkcji:
ei Im z z3 + 6
1. f (z) = , 4. f (z) = ,
2
z - i z - i
5. f (z) = ez , obliczyć | f (z) |.
z2
2. f (z) = + i ,
z2 - 2z + 2
z
3. f (z) = ,
z2 +1
ZAD.2
Wyznaczyć Re f (z) i Im f (z) je\
eli:
3. f (z) = iz3 + z ,
ei Im z
1. f (z) = ,
z - i
4. f (z) = sin z .
2. f (z) = ez ,
ZAD.3
Podać liczby (w postaci a + bi ), które nie nale\
ą do dziedziny funkcji f (z) , gdzie:
Re(z)e3i
1. f (z) = , wyznaczyć Re f (-1) ,
z2 -1- i 3
1
2. f (z) = ei Im( z )+1 , wyznaczyć Im f (z) ,
z - 2 + i
Im(z)e3i
3. f (z) = , wyznaczyć Re f (-i) ,
z2 -1- i 3
(Im(z))2 z
4. f (z) = , wyznaczyć Im f (1+ i) ,
z
Re(z - 2z)
5. f (z) = , wyznaczyć Re f ( 2 - 2i) .
z
ZAD.4
2 2
Wyznaczyć obraz D zbioru D przy odwzorowaniu f (z) . Narysować zbiory D, D .
ńł 1 Ą Ą �ł
1. D = " C; d" z < 2, - d" arg z d" , f (z) = z2 ,
�łz żł
3 3
2
ół �ł
Ą 3Ą
ńłz �ł
2. D = " C; 0 d" z < ", d" arg z < , f (z) = z ,
�ł żł
2 4
ół �ł
Ą Ą
ńłz �ł
3. D = " C; z d" 1, d" arg z d" , f (z) = ( 2 + i 2)z ,
�ł żł
4 2
ół �ł
4. D = {z "C : 0 d" Re z d" 1, 1 d" Im z d" 2}, f (z) = 2z + i ,
Ą
ńłz
5. D = "C : 0 d" arg z d" , 1 d"| z |d" 2�ł, f (z) = zi ,
�ł żł
3
ół �ł
Ą
ńłz
6. D = " C : 0 d" arg z d" , 0 <| z |< "�ł, f (z) = zi
�ł żł
3
ół �ł
Ą 1 i
ńłz
7. D = "C : 0 d" arg z d" , d"| z |d" 1�ł, f (z) = .
�ł żł
2 2 z
ół �ł
Ą
ńłz �ł
8. D = " C; 1 d" z < 3, 0 d" arg z < , f (z) = (i 3 +1)z ,
�ł żł
6
ół �ł
Ą
ńłz �ł
9. D = " C; 1 d" z d" 2, 0 < arg z < , f (z) = (i +1)z ,
�ł żł
2
ół �ł
Ą 1+ i
ńłz �ł
10. D = " C; 1 < z d" 3, < arg z d" Ą , f (z) = ,
�ł żł
2 z
ół �ł
Ą 1+ 3i
ńłz �ł
11. D = " C; 1 d" z < 3, 0 d" arg z < , f (z) = ,
�ł żł
6 z
ół �ł
Ą
ńłz �ł
12. D = " C; 1 d" z < 3, 0 d" arg z < , f (z) = 3i �" z
�ł żł
6
ół �ł
ZAD.5
Pokazać/wyznaczyć z definicji pochodnej:
1. (z2)2 = 2z , dla z " C ,
2
2
2. f (z) dla f (z) = iz ,
2
3. f (z) dla f (z) = 3i ,
2
4. f (z) dla f (z) = zn ,
2
5. f (0) dla f (z) = z Re z ,
ZAD.6
Obliczyć podane granice:
z3 + i
1. lim ,
2
zi
z +1
z + 3
2. lim ,
zi
z - i
z
3. lim .
z0
z
ZAD.7
Sprawdzić, czy funkcja f (z) jest jednokrotna:
1. f (z) = z2 i z " C ,
2. f (z) = 2z +1 i z " C ,
2
3. f (z) = z i Im z > 0 .