380 Granica i ciągłość funkcji zespolonych
Definicja Cauchy ego granicy funkcji
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Mówimy, \
e element b "C jest granicÄ… funkcji
f w punkcie a "&!d (a więc w punkcie skupienia zbioru &! ), gdy
"µ > 0 "´ > 0 " z "&! \{a} | z - a |< ´ Ò!| f (z) - b |< µ .
Inaczej: z " K (a,´ ) )" &! \{a} Ò! f (z)" K(b,µ )
Inaczej: f (K(a,´ ) )" &! \{a}) ‚" K(b,µ ) .
Piszemy lim f (x) = b .
za
C C
f µ
´
b
a
&!
Uwaga
Funkcja f nie musi być określona w punkcie a .
Definicja Heinego granicy funkcji
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Mówimy, \
e element b "C jest granicÄ… funkcji
f w punkcie a "&!d (a więc w punkcie skupienia zbioru &! ), gdy dla
dowolnego ciągu (zn) elementów zbioru &! \ {a}
zn a Ò! f (zn) b .
C C
f
f (xn )
"
" x
" "
" n
a
b
"
&!
Granica i ciągłość funkcji zespolonych 1/5
Twierdzenie o równowa\
ności
Definicje Cauchy ego i Heinego granicy funkcji są równowa\
ne.
Twierdzenie o jednoznaczności granicy
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Je\
eli funkcja f ma granicÄ™ w punkcie
a "&!d , to jest ona tylko jedna.
Dowody analogiczne, jak w przypadku funkcji rzeczywistych.
Twierdzenie o działaniach arytmetycznych na granicach
Niech &! ‚" C i niech f , g : &! C posiadajÄ… skoÅ„czone granice w punkcie
a "&!d .
Funkcja f + g posiada granicÄ™ w punkcie a oraz
lim( f (z) + g(z)) = lim f (z) + lim g(z) .
za za za
Funkcja f - g posiada granicÄ™ w punkcie a oraz
lim( f (z) - g(z)) = lim f (z) - lim g(z) .
za za za
Funkcja f Å" g posiada granicÄ™ w punkcie a oraz
lim( f (z) Å" g(z)) = lim f (z) Å"lim g(z) .
za za za
f
Jeśli lim g(z) `" 0 to funkcja posiada granicę w punkcie a oraz
g
za
lim f (z)
f (z)
za
lim = .
za
g(z) lim g(z)
za
Definicja Cauchy ego ciągłości funkcji w punkcie
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Mówimy, \
e funkcja f jest ciągła w punkcie
a "&! , gdy
"µ > 0 "´ > 0 " z "&! | z - a |< ´ Ò!| f (z) - f (a) |< µ .
Inaczej: x " K(a,´ ) )" &! Ò! f (x)" K( f (a),µ )
Inaczej: f (K(a,´ ) )" &!) ‚" K( f (a),µ ) .
C C
f µ
´
a
f (a)
&!
Granica i ciągłość funkcji zespolonych 2/5
Uwaga
Funkcja f jest zawsze ciągła w punktach izolowanych swojej dziedziny.
RzeczywiÅ›cie, jeÅ›li a "&! \ &!d , to K(a,´ ) )" &! \{a} = " dla pewnego ´ > 0 , a
stÄ…d f (K(a,´ ) )" &!) = f ({a}) = f (a)" K( f (a),µ ) dla wszystkich µ > 0 .
Funkcja f jest ciągła w punkcie a "&! )" &!d skupienia swojej dziedziny wtedy
i tylko wtedy, gdy posiada granicÄ™ w punkcie a oraz lim f (z) = f (a).
za
Definicja ciągłości funkcji na zbiorze
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Mówimy, \
e funkcja f jest ciągła na zbiorze
&! , gdy jest ona ciągła w ka\
dym punkcie a zbioru &! .
Definicja Heinego ciągłości funkcji w punkcie
Niech &! ‚" C i niech f : &! C . Mówimy, \
e funkcja f jest ciągła w punkcie
a "&! , gdy dla dowolnego ciągu (zn) elementów zbioru &!
zn a Ò! f (zn) f (a) .
C C
f
f (zn)
"
" x
" "
" n
a
f (a)
"
&!
Uwaga
Je\
eli f jest ciągła na zbiorze &! , to dla dowolnego ciągu (zn) elementów
zbioru &! zbie\
nego do elementu zbioru &! mamy
lim f (zn) = f (lim zn) .
Twierdzenie
W przestrzeniach metrycznych definicje Cauchy ego i Heinego ciągłości
funkcji są równowa\
ne.
Twierdzenie o sumie, ró\
nicy, iloczynie i ilorazie funkcji ciągłych
Niech &! ‚" C i niech funkcje f , g : &! C bÄ™dÄ… ciÄ…gÅ‚e w punkcie a "&!.
Funkcja f + g jest ciągła w punkcie a .
Funkcja f - g jest ciągła w punkcie a .
Funkcja f Å" g jest ciÄ…gÅ‚a w punkcie a .
f
Jeśli g(a) `" 0 to funkcja jest ciągła w punkcie a .
g
Granica i ciągłość funkcji zespolonych 3/5
Twierdzenie o ciągłości zło\
enia
Niech &! ‚" C , f : &! C i g : f (&!) C . Je\
eli funkcja f jest ciągła w punkcie
a "&! i funkcja g jest ciągła w punkcie f (a) , to funkcja h : &! C , h = g o f
jest ciągła w punkcie a "&! .
h
C
&!
Dowód
Je\
eli zn a , to f (zn) f (a) , a stÄ…d
g
f
h(zn) = g( f (zn)) g( f (a)) = h(a) .
f (&!)
Wniosek
Je\
eli funkcja f jest ciągła na &! i funkcja g jest ciągła na f (&!) , to funkcja
h : &! C , h = g o f jest ciągła na &! .
Twierdzenie o obrazie zbioru spójnego
Niech &! ‚" C i niech f : &! C bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na &! . Je\
eli A ‚" &! jest
zbiorem spójnym w &! , to zbiór f (&!) jest zbiorem spójnym w C .
Uwaga
Mówiąc mniej formalnym językiem:  Funkcja ciągła nie rozrywa zbioru
spójnego na kilka kawałków .
Twierdzenie o obrazie zbioru zwartego
Niech &! ‚" C i niech f : &! C bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na &! . Je\
eli A ‚" &! jest
zbiorem zwartym w &! , to zbiór f (&!) jest zbiorem zwartym w C .
Definicja funkcji jednostajnie ciągłej
Niech &! ‚" C i niech f : &! C bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na &! . Mówimy, \
e
funkcja f jest jednostajnie ciągła na zbiorze &! , gdy
"µ > 0 "´ > 0 " x1, x2 "&! | x1 - x2 |< ´ Ò!| f (x1) - f (x2) |< µ .
Uwaga
Liczba ´ zale\
y tylko od liczby µ , a wiÄ™c nie zale\
y od \
adnego punktu
zbioru &! .
Wniosek
Ka\
da funkcja jednostajnie ciągła na zbiorze &! jest równie\
ciągła na &! .
Granica i ciągłość funkcji zespolonych 4/5
Funkcje
ciągłe
jednostajnie ciągłe
Twierdzenie Cantora
Niech &! ‚" C i niech f : &! C bÄ™dzie funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… na &! . Je\
eli A ‚" &! jest
zbiorem zwartym w &! , to NWSR:
f jest funkcją ciągłą na &! ,
f jest funkcją jednostajnie ciągłą na &! .
Funkcje zdefiniowane na zb. zwartym
ciągłe = jednostajnie ciągłe
Granica i ciągłość funkcji zespolonych 5/5