Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 8: Granica i ciągłość funkcji

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1

Spis treści [schowaj]

1 Granica i ciągłość funkcji
2 Granica funkcji
3 Ciągłość funkcji
4 Granice niewłaściwe
5 Granice jednostronne funkcji
6 Granice specjalne
7 Zwartość
8 Twierdzenie Weierstrassa
9 Twierdzenie Darboux

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Granica i ciągłość funkcji
W tym wykładzie omawiamy pojęcie granicy i ciągłości funkcji
prowadzącej z w .
Definiujemy granice właściwe, niewłaściwe i jednostronne oraz
pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.
Podajemy twierdzenia dotyczące granic funkcji.
Następnie charakteryzujemy zbiory zwarte w i dowodzimy, że
funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy.
Na zakończenie wykładu omawiamy
tak zwaną własność Darboux.

[Edytuj]Granica funkcji
W tym wykładzie będziemy rozważać funkcje
prowadzące z w .
Zdefiniujemy pojęcie granicy funkcji w punkcie.
Ponieważ o granicy funkcji w punkcie można mówić tylko w punktach
skupienia dziedziny (punkt ten nie musi należeć do dziedziny),
wykażemy teraz twierdzenie, które podaje warunek równoważny definicji 3.11.
Przypomnijmy, że w z metryką euklidesową, kula jest przedziałem



Twierdzenie 8.1.


Niech

Punkt jest
punktem skupienia zbioru
wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje ciąg

taki, że




Dowód 8.1. [nadobowiązkowy]


""
Niech będzie punktem skupienia zbioru .
Dla dowolnego rozważmy kulę

Z definicji punktu skupienia
wiemy, że istnieje punkt

dla
W ten sposób zdefiniowaliśmy ciąg

Zauważmy, że


""
Przypuśćmy, że

jest ciągiem takim, że

Należy pokazać, że
jest punktem skupienia zbioru
W tym celu weźmy dowolną kulę
Z definicji granicy ciągu wiemy,
że w tej kuli leżą wszystkie wyrazy ciągu począwszy od pewnego
miejsca, czyli


To oznacza, że w dowolnej kuli o środku w
są wyrazy ciągu (czyli elementy zbioru
), czyli jest punktem skupienia zbioru



Wprowadzimy teraz pojęcie granicy
funkcji w punkcie

Można to zrobić na dwa równoważne sposoby.

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Zobacz biografię
Definicja 8.2. [Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]


Niech będzie podzbiorem
Niech będzie funkcją oraz niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma
granicę (właściwą)
w punkcie jeśli


Piszemy wówczas




Definicja 8.3. [Heinego granicy funkcji w punkcie]


Niech będzie podzbiorem
Niech będzie funkcją oraz niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma
granicę (właściwą)
w punkcie jeśli



Piszemy wówczas










Granica funkcji w punkcie



Granica funkcji w punkcie



Wykażemy teraz, że dwie powyższe definicje są równoważne.


Twierdzenie 8.4. [Równoważność definicji Cauchy'ego i Heinego]


Definicje Cauchy'ego i Heinego granicy funkcji w punkcie
są równoważne.



Dowód 8.4. [nadobowiązkowy]


Niech będzie podzbiorem
Niech będzie funkcją oraz niech
będzie punktem skupienia zbioru

(1)
Załóżmy, że funkcja ma granicę
w punkcie
w sensie definicji Cauchy'ego. Pokażemy, że jest także granicą funkcji
w punkcie w sensie definicji Heinego.
W tym celu niech będzie
ciągiem takim, że

Należy pokazać, że

Ustalmy dowolne
Z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie
wiemy, że



Ponieważ
więc z definicji granicy,
od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ciągu
są w kuli czyli


Zatem z definicji Cauchy'ego wynika, że


To oznacza, że
czyli
funkcja ma granicę w punkcie w
sensie definicji Heinego.

(2)
Załóżmy, że funkcja ma granicę
w punkcie
w sensie definicji Heinego. Pokażemy, że jest także granicą funkcji
w punkcie w sensie definicji Cauchy'ego.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że granica w sensie Cauchy'ego
nie istnieje, to znaczy

   oraz   
w szczególności
biorąc dla powyższego mamy

   oraz   
Łatwo zauważyć, że dla skonstruowanego ciągu mamy
oraz nie jest prawdą, że
co jest sprzeczne z faktem, że
jest granicą funkcji w punkcie
w sensie definicji Heinego.


[Edytuj]Ciągłość funkcji
Kolejne definicje które będziemy wprowadzać, będą miały swoje
wersje: Cauchy'ego i Heinego.
W każdym przypadku będą one równoważne.
Nie będziemy już jednak dowodzić tych równoważności
(dowody są podobne do dowodu przedstawionego powyżej).
Zdefiniujemy teraz pojęcie ciągłości funkcji w punkcie.
Definicja 8.5. [Ciągłość funkcji w punkcie]


Niech

niech będzie funkcją oraz
niech ( nie musi być punktem skupienia zbioru ).
Mówimy, że funkcja jest
ciągła w punkcie jeśli



Mówimy, że funkcja jest
ciągła, jeśli jest ciągła w każdym
punkcie swojej dziedziny.








Funkcja ciągła w punkcie



Funkcja ciągła w punkcie



Zauważmy, że można mówić o ciągłości funkcji tylko w punktach jej dziedziny.
Z powyższej definicji wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie, jeśli ma
w tym punkcie granicę równą wartości.



Funkcja ciągła

Uwaga 8.6.

Funkcja jest zawsze ciągła w punkcie izolowanym dziedziny.
Kolejne twierdzenie mówi, że ciągłość zachowuje się przy
składaniu funkcji.
Twierdzenie to jest natychmiastową konsekwencją
definicji Heinego ciągłości funkcji w punkcie.


Twierdzenie 8.7. [Ciągłość złożenia]


Jeśli oraz
i
są funkcjami,
to
(1)
jeśli jest ciągła w oraz jest ciągła w
to jest ciągła w ;
(2)
jeśli i są funkcjami ciągłymi,
to jest także funkcją ciągła.



Dla funkcji o wartościach rzeczywistych możemy wykonywać
działania na funkcjach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie,
dzielenie, potęgowanie).
Naturalnym jest zatem pytanie o zachowanie się granic funkcji w
punkcie po wykonaniu tych działań na funkcjach.
Dowód poniższego twierdzenia jest prostą konsekwencją definicji Heinego granicy
funkcji w punkcie oraz twierdzenia o arytmetyce granic
(patrz twierdzenie 4.9.).
Dowód pomijamy.


Twierdzenie 8.8. [O "arytmetyce" granic funkcji]


Jeśli
jest punktem skupienia zbioru
są funkcjami,

oraz

to
(1)
;
(2)
;
(3)
;
(4)

o ile oraz dla mamy ;
(5)

o ile wyrażenia po obu stronach mają sens.



Natychmiastową konsekwencją powyższego twierdzenia jest
kolejne twierdzenie mówiące, że ciągłość funkcji zachowuje się
przy operacjach:
wartości bezwzględnej, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu. Dowód pomijamy.


Twierdzenie 8.9.


Jeśli
oraz
są funkcjami ciągłymi w punkcie

to
(1) jest funkcją ciągłą w ;
(2) jest funkcją ciągłą w ;
(3) jest funkcją ciągłą w ;
(4) jest funkcją ciągłą w
(o ile );



[Edytuj]Granice niewłaściwe
Podobnie jak dla ciągów tak i dla funkcji
możemy mówić o granicy niewłaściwej.
Będziemy rozważać funkcje, których wartości zmierzają do
(lub ), gdy
argumenty zmierzają do pewnego punktu skupienia dziedziny.
Wprowadzimy następujące definicje.
Definicja 8.10. [Granica niewłaściwa funkcji]


Niech
oraz
punktem skupienia zbioru
Mówimy, że ma
granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w punkcie jeśli


Mówimy, że ma
granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w punkcie jeśli






Granica niewłaściw w punkcie



Granica niewłaściw w punkcie


Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)

w punkcie jeśli


Mówimy, że ma
granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)
punkcie jeśli






Granica niewłaściw w punkcie



Granica niewłaściw w punkcie



W przypadku funkcji prowadzącej z podzbioru w
oprócz wcześniej zdefiniowanych granic funkcji w punkcie
oraz granic niewłaściwych można także rozważać
tak zwane granice
w "punktach niewłaściwych", to znaczy granice w
lub (o ile lub są
punktami skupienia dziedziny).
Podobnie jak na początku wykładu
tak i tutaj wszystkie rodzaje definicji granic mają swoje odpowiedniki
Cauchy'ego i Heinego. Podobnie jak miało to miejsce
poprzednio obie wersje definicji są sobie
równoważne.
Definicja 8.11. [Granica funkcji w punkcie niewłaściwym]


Niech
oraz niech będzie funkcją.






Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"



Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"






Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"



Granica funkcji w "punkcie niewłaściwym"


W końcu możemy także mówić o granicach niewłaściwych w punktach
niewłaściwych. Odpowiednie definicje Cauchy'ego i Heinego
(równoważne sobie) podane są poniżej.
Definicja 8.12. [Granica niewłaściwa funkcji w punkcie niewłaściwym]


Niech będzie funkcją.






Granica niewłaściw w "punkcie niewłaściwym"



Granica niewłaściw w "punkcie niewłaściwym"


[Edytuj]Granice jednostronne funkcji
Dzięki liniowemu porządkowi jaki mamy w dla funkcji
prowadzących z podzbiorów możemy mówić o
tak zwanych
granicach jednostronnych w punkcie
Mamy z nimi do czynienia w przypadku,
gdy w definicji granicy ograniczymy się do ciągów leżących po
jednej stronie punktu
(w przypadku definicji Heinego) lub do części przedziału leżącej
po jednej stronie punktu
(w przypadku definicji Cauchy'ego).
Definicja 8.13. [Granice jednostronne funkcji]


Niech
niech będzie punktem skupienia zbioru
oraz niech będzie funkcją.
Granicę prawostronną funkcji w punkcie
oznaczamy
lub i
definiujemy jako


Niech
niech będzie punktem skupienia zbioru
oraz niech będzie funkcją.
Granicę lewostronną funkcji w punkcie
oznaczamy
lub i
definiujemy jako


Jako ćwiczenie pozostawiamy
samodzielnie zdefiniowanie granic jednostronnych niewłaściwych
funkcji w punkcie.

Uwaga 8.14.

Łatwo zaobserwować, że
granica funkcji w punkcie istnieje wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieją granice jednostronne w tym punkcie i są
sobie równe.


Dla funkcji określonej na podzbiorze liczb rzeczywistych możemy
też mówić o ciągłości jednostronnej.
Definicja 8.15.


Niech
oraz
niech będzie funkcją oraz
niech
Mówimy, że funkcja jest
prawostronnie ciągła w punkcie



Mówimy, że funkcja jest
lewostronnie ciągła w punkcie









Granice jednostronne funkcji w punkcie



Wykres funkcji z przykładu 8.16.



Przykład 8.16.


Rozważmy funkcję daną wzorem




Funkcja ta jest lewostronnie ciągła w punkcie
oraz prawostronnie ciągła w punkcie
ale nie jest
prawostronnie ciągła w punkcie
oraz nie jest lewostronnie ciągła w punkcie

W pozostałych punktach funkcja jest ciągła,
a więc w szczególności lewostronnie
ciągła i prawostronnie ciągła.
Kolejne twierdzenie podaje związek między ciągłością, a
ciągłością lewostronną i prawostronną.
Jest ono natychmiastową konsekwencją definicji.


Twierdzenie 8.17.


Funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie
lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.



[Edytuj]Granice specjalne
Uwaga 8.18.

Podobnie jak w przypadku granic ciągów, tak i
teraz w przypadku granic funkcji w punkcie można mówić o
symbolach nieoznaczonych.
Z symbolem nieoznaczonym mamy do czynienia, gdy z istnienia
granic dwóch funkcji w danym punkcie nie można określić
jednoznacznie granicy funkcji, która powstanie z tych funkcji w
wyniku wykonania danego działania (dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia,
potęgowania).


Kolejne twierdzenie podaje granice pewnych funkcji.
Zazwyczaj mamy tu do czynienia z symbolami nieoznaczonymi,
dlatego nad znakiem "=" podajemy jaki symbol nieoznaczony
tu występuje.
Elementarne dowody tego twierdzenia można znaleźć
w podręcznikach z analizy matematycznej.
Pominiemy je w tym miejscu,
gdyż będą one znacznie łatwiejsze, gdy zapoznamy się
z rachunkiem różniczkowym i regułą de l'Hospitala.


Twierdzenie 8.19. [Granice specjalne]


(1)

(2)

dla
(3)
oraz

(4)

(5)
dla (w szczególności )
(6)

dla (w szczególności
).
(7)

dla
(8)

dla




Twierdzenie 8.20.


(1)
Każdy wielomian

jest funkcją ciągłą.
(2)
Funkcja potęgowa

()
jest ciągła.
(3)
Funkcja wykładnicza

()
jest ciągła.
(4)
Funkcje trygonometryczne
są ciągłe.



Dowód 8.20.


[Szkic]
(Ad (1))
Łatwo pokazać (na przykład z definicji Heinego), iż funkcja stała
(gdzie ) oraz funkcja identycznościowa
są ciągłe w
Ponieważ każdy wielomian powstaje jako sumy i iloczyny tych
dwóch funkcji, zatem korzystając z twierdzenia
o "arytmetyce" granic funkcji
(twierdzenie 8.8.) wnioskujemy, że
dowolny wielomian jest ciągły.
(Ad (2)-(4)) Dowody tych punktów wykraczają poza
materiał tego wykładu.


[Edytuj]Zwartość
Jako wstęp do tej części wykładu proponujemy proste ćwiczenia z
zakresu szkoły średniej.
(1) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale
, która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(2) Narysować wykres funkcji ciągłej na
, która przyjmuje dowolnie duże wartości.
(3) Narysować wykres funkcji ciągłej na przedziale
, która przyjmuje dowolnie duże wartości.
Odpowiedzi:
(Ad (1)) Przykładem takiej funkcji jest
(Ad (2)) Przykładem takiej funkcji jest
(Ad (3)) Nie jest to możliwe!

Co zatem różni zbiory od
?
Otóż przedział jest zbiorem
domkniętym i ograniczonym w a zatem tak zwanym zbiorem
zwartym,
a to że nie mogliśmy narysować funkcji ciągłej na tym
przedziale, która "ucieka do nieskończoności",
to skutek faktu, że funkcja ciągła na zbiorze zwartym osiąga
swoje kresy
(patrz poniższe twierdzenie Weierstrassa).
Zdefiniujemy teraz formalnie zbiory zwarte w
Definicja 8.21.


Mówimy, że jest zbiorem
zwartym, jeśli z każdego ciągu
można wybrać podciąg
zbieżny do granicy


Zazwyczaj w matematyce wprowadza się bardziej ogólną definicję
zwartości. Wówczas powyżej zdefiniowaną własność nazywa się
ciągową zwartością. Jednak w obie definicje są równoważne,
zatem zbiory ciągowo zwarte będziemy krótko nazywać zwartymi.
Przykład 8.22.


Zbiór nie jest zwarty.
Faktycznie dla ciągu
nie istnieje podciąg zbieżny do
granicy w zbiorze


Poniższe twierdzenie mówi jakie zbiory w
są zwarte
(pozostawiamy je tutaj bez dowodu;
będzie ono udowodnione na wykładzie z Analizy Matematycznej 2).


Twierdzenie 8.23.


Zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy,
gdy jest domknięty i ograniczony.



Uwaga 8.24.

W tym miejscu dokończymy dowód twierdzenia o
zbieżności ciągów Cauchy'ego w (patrz twierdzenie 3.30.).
Przypuśćmy, że ciąg
spełnia warunek Cauchy'ego. Wtedy
jest ciągiem ograniczonym
(patrz stwierdzenie 3.28.), a zatem
zawiera się w pewnej kuli domkniętej . Ta kula jest
zbiorem domkniętym i ograniczonym, zatem zwartym. W takim razie z
ciągu możemy wybrać podciąg zbieżny. Wobec stwierdzenie 3.29., ciąg jest zbieżny.


[Edytuj]Twierdzenie Weierstrassa
Karl Weierstrass (1815-1897)Zobacz biografię
Okazuje się, że jeśli weźmiemy obraz przez funkcję ciągłą zbioru
zwartego, to otrzymamy także zbiór zwarty.


Twierdzenie 8.25.


Jeśli
jest zbiorem zwartym w oraz
jest funkcją ciągłą,
to
jest zbiorem zwartym w



Dowód 8.25.


Aby pokazać zwartość zbioru
weźmy dowolny ciąg
Ponieważ każde jest w obrazie zbioru więc
dla każdego istnieje takie, że

Ponieważ zbiór jest zwarty (z założenia), zatem dla
ciągu istnieje podciąg
zbieżny w to znaczy



Z ciągłości funkcji wynika, że



zatem pokazaliśmy, że ciąg posiada podciąg zbieżny w
co kończy dowód zwartości




Wykres funkcji ciągłej na zbiorze zwartym


Twierdzenie 8.26. [Weierstrassa]


Jeśli
jest zbiorem zwartym oraz
jest funkcją ciągłą,
to funkcja osiąga swoje kresy, to znaczy





Dowód 8.26.


Ponieważ funkcja jest ciągła,
a zbiór jest zwarty, więc z twierdzenie 8.25. wynika, że
zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony
(patrz twierdzenie 8.23.), to znaczy



Należy pokazać, że



Pokażemy istnienie o powyższej własności
(dowód istnienia jest analogiczny).
Niech oraz
dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że
nie jest realizowane, to znaczy



Zdefiniujmy nową funkcję
w następujący sposób:


Definicja jest poprawna (gdyż mianownik jest niezerowy)
oraz
funkcja jest ciągła (porównaj twierdzenie 8.8.).
Korzystając ponownie z twierdzenie 8.25. wiemy, że
zbiór jest zwarty, a zatem także ograniczony,
zatem jego supremum jest skończone, czyli


Oczywiście


Dla dowolnego mamy


w szczególności sprzeczność.
Wykazaliśmy zatem, że funkcja osiąga swój kres dolny, czyli



Uwaga 8.27.

Założenie zwartości w twierdzeniu Weierstrassa jest niezbędne.
Rozważmy funkcję
daną wzorem
Jest ona ciągła,


ale dla żadnego punktu funkcja nie przyjmuje
wartości
i
Założenia twierdzenia Weierstrassa nie są tutaj spełnione gdyż
zbiór nie jest zwarty.


[Edytuj]Twierdzenie Darboux
Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiący, że jeśli funkcja ciągła jest dodatnia
w pewnym punkcie, to jest także dodatnia w pewnym otoczeniu tego
punktu.
Lemat 8.28.


Jeśli
oraz
funkcja jest ciągła w punkcie to:
(1) jeśli to


(2) jeśli to



Dowód 8.28.


(1)
Załóżmy, że funkcja jest ciągła w punkcie oraz

Niech
Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie
mamy, że



Zatem dla

(2) Dowód jest analogiczny.


Kolejne twierdzenie to tak zwana własność Darboux dla funkcji ciągłych.
Mówi ono, że funkcja ciągła na przedziale
i taka, że i posiada pierwiastek
w przedziale
Na tej własności opiera się,
stosowana w metodach numerycznych, metoda bisekcji
poszukiwania miejsc zerowych funkcji.


Twierdzenie 8.29. [Darboux]


Jeśli
jest funkcją ciągłą,

to






Dowód 8.29.


[Szkic]
Z warunku wynika, że funkcja przyjmuje na
końcach wartości różnych znaków, tzn
lub
Niech na przykład
Niech Zauważmy, że gdyby
to istniałoby pewne takie, że dla
wszystkich mielibyśmy (co
wynika z lematu 8.28.). A zatem nie byłoby
supremum bo do tego zbioru
należałby punkt Analogicznie, gdyby
to także dla w pewnym przedziale mielibyśmy a zatem nie
byłoby supremum bo na

przykład punkt byłby mniejszym od ograniczeniem górnym tego zbioru. A zatem jedyna możliwość to




Rysunek do twierdzenia Darboux



Rysunek do wniosku 8.30.


Wniosek 8.30


Jeśli
jest funkcją ciągłą,
(odpowiednio ),
to


odpowiednio

Powyższe wyrażenia
nazywamy własnością Darboux funkcji



Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_8:_Granica_i_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 14:22, 18 wrz 2006; Tę stronę obejrzano 25459 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();