��J�zef Szymczak
Granica funkcji w punkcie
(notatki z wykBadu)
Definicja granicy funkcji
f (x)
Funkcja ma w punkcie x0 granic r�wn g gdy dla ka|dego cigu argument�w
(xn )
, gdzie xn �� x0 i xn �� Df dla ka|dego n,
je|eli lim xn =� x0, to lim f (xn ) =� g .
n��� n���
Zapisujemy ten fakt symbolicznie:
lim f (x) =� g .
x��x0
Granica w punkcie x0 mo|e by w szczeg�lno[ci granic niewBa[ciw. Mo|na te| rozpatry-
wa granic w punkcie niewBa[ciwym ( -� �� lub +� ��).
W celu stwierdzenia, |e w punkcie x0 funkcja nie ma granicy, wystarczy wskaza dwa
r�|ne cigi argument�w zbie|ne do punktu x0 takie, |e odpowiednie cigi warto[ci funkcji s
zbie|ne do r�|nych granic.
2x
lim =� 2
PrzykBad 1. Wyka|emy na podst. definicji, |e .
3x-�2
x��1
Wybierajc dowolny cig (xn ) argument�w taki, |e lim xn =� 1, otrzymujemy nastpujc
n���
granic cigu warto[ci funkcji:
2xn 2��1 2
lim f (xn ) =� lim =� =� =� 2 .
3xn -�2 3��1-�2 3-�2
n��� n���
Przy obliczaniu granic funkcji w punkcie x0 wa|nymi pojciami s granice jednostronne:
lewostronna i prawostronna.
f (x)
Funkcja ma w punkcie x0 granic lewostronn (wBa[ciw lub niewBa[ciw) r�wn g,
co zapisujemy symbolicznie
lim-� f (x) =� g ,
x��x0
(xn )
gdy dla ka|dego cigu argument�w nale|cych do dziedziny funkcji takich, |e xn <� x0 ,
je|eli lim xn =� x0, to lim f (xn ) =� g .
n��� n���
f (x)
Analogicznie definiujemy granic prawostronn funkcji w punkcie x0 , kt�r
zapisujemy symbolicznie: lim+� f (x) =� g .
x��x0
Uwaga.
lim f (x) =� g �� lim-� f (x) =� g �� lim+� f (x) =� g
x��x0
x��x0 x��x0
f (x)
Je[li granice jednostronne funkcji w punkcie x0 s r�|ne, to m�wimy, |e funkcja nie
ma granicy w tym punkcie.
lim sgn(x) =� -�1, lim sgn(x) =� 1.
x��0-� x��0+�
Funkcja sgn(x) nie ma zatem granicy w punkcie x0 =� 0.
Zauwa|my, |e dla funkcji staBej f (x) =� c mamy lim c =� c w ka|dym punkcie x0 �� R .
x��x0
1 1
lim =� -�� lim =� 0
x x
x��-��
x��0-�
1
lim+� 1 =� �� lim =� 0
x x
x���
x��0
a a -�a
a >� 0
Og�lnie mo|emy zauwa|y, |e je|eli , to lim =� -�� i lim =� �� natomiast lim =� ��
x x x
x��0-� x��0+� x��0-�
-�a
i lim =� -�� .
x
x��0+�
Twierdzenie (o granicy sumy, iloczynu i ilorazu funkcji)
Je|eli lim f (x) =� a oraz lim g(x) =� b , to
x��x0 x��x0
f (x)
a
lim ( f (x) +� g(x)) =� a +� b ; lim ( f (x) �� g(x)) =� a �� b ; lim =� ( g(x) �� 0, g �� 0).
g(x) b
x��x0 x��x0 x��x0
Uwaga. Granice funkcji przy warunku, gdy x �� �� lub gdy x �� -�� obliczamy podobnie jak dla
cig�w. Zapamita przy tym trzeba te| zachowanie si podstawowych funkcji elementarnych,
gdy argument zmierza do nieskoDczono[ci.
PrzykBady.
1 x+�3-�x 3 3
1. lim (1 -� =� lim =� lim =� [��] =� 0 .
x
x+�3) x��� x(x+�3)
x��� x��� x2 +�3x
(x+�3)(x-�3)
x2-�9
2. lim =� lim =� lim(x +� 3) =� 6 .
x-�3 x-�3
x��3 x��3 x��3
(x-�2)(x-�3)
x2-�5x+�6
3. lim =� lim =� lim (-�1)(x -� 3) =� 1.
2-�x
x-�2
x��2-� x��2-� x��2-�
x+�1 1-�x - 5
4. lim =� [03 ] =� -�� . 5. lim =� [02 ] =� -�� . 6. lim =� [05 ] =� �� .
-� +�
2-�x 3-�x
4-�x2 +�
x��2+� x��3-� x��2-�
1 1
5 x x
7. lim =� [05 ] =� -�� . 8. lim e =� [e�� ] =� �� . 9. lim e =� [e-�� ] =� 0 .
4-�x2 -�
x��-�2-� x��0+� x��0-�
10. lim ln x =� �� . 11. lim ln x =� -�� .
x���
x��0+�
W przypadku granic funkcji zachodz nastpujce wzory (to|samo[ci):
sin x tanx arcsinx arctanx
lim =� lim =� lim =� lim =� 1;
x x x x
x��0 x��0 x��0 x��0
1
1)x 1)x x
lim(1+� =� lim (1+� =� lim(1+� x) =� e .
x x
x��� x��-�� x��0
PrzykBad.
cos(y+�p� )
cosx
lim =� lim0 y 2 =� lim0 -�sin y =� -�1.
y
x-�p�
y�� y��
x��p� 2
2
Asymptoty funkcji
Prosta x =� x0 , gdzie x0 �� D , jest asymptot pionow
f
funkcji f, gdy przynajmniej jedna z granic jednostronnych
lim-� f (x) lub lim+� f (x) jest niewBa[ciwa.
x��x0 x��x0
Asymptota pionowa mo|e by zatem jednostronna lub
obustronna.
x2
Na przykBad funkcja f (x) =� ma asymptot pionow
x-�3
obustronn o r�wnaniu x =� 3 , poniewa|
x2 9 x2
lim =� [0-� ] =� -�� oraz lim =� [09+� ] =� �� .
x-�3 x-�3
x��3-� x��3+�
Prosta y =� y0 , jest asymptot poziom funkcji f, gdy
lim f (x) =� y0 lub lim f (x) =� y0 .
x��-�� x���
4x
Na przykBad funkcja f (x) =� ma asymptot
2x-�3
4x 4
poziom o r�wnaniu y =� 2 , poniewa| lim =� =� 2 .
2x-�3 2
x����
Asymptota pozioma jest szczeg�lnym przypadkiem
asymptoty uko[nej
Prosta y =� ax +� b , jest asymptot uko[n funkcji f, gdy
lim ( f (x) -� (ax +� b)) =� 0 (lub gdy lim ( f (x) -� (ax +� b)) =� 0)
x��� x��-��
Z powy|szej zale|no[ci wynikaj wzory na wyznaczanie
wsp�Bczynnik�w asymptoty uko[nej (je[li istniej odpowiednie
granice):
f (x)
b =� lim ( f (x) -� ax)
a =� lim
x x����
x����
2x2
PrzykBad. Wyznaczy asymptot uko[n funkcji f (x) =� . Dziedzin tej funkcji jest zbi�r R -{3}.
x-�3
x2 x2
Zauwa|my, |e lim =� �� , lim =� -�� , czyli funkcja nie ma asymptoty poziomej.
x-�3 x-�3
x��� x��-��
f (x)
2x2 =� 2x
lim =� lim lim =� 2 , skd wynika, |e a =� 2.
x
x(x-�3) x-�3
x���� x���� x����
2x2 2x2 -� 2x2 +� 6x 6x
lim ( f (x) -� ax) =� lim ( -� 2x) =� lim =� lim =� 6 , wic b =� 6 .
x-�3 x-�3 x-�3
x���� x���� x���� x����
2x2
Prosta y =� 2x +� 6 jest zatem asymptot uko[n funkcji f (x) =� .
x-�3
CigBo[ funkcji w punkcie
Definicja funkcji cigBej
f (x)
Funkcja jest cigBa w punkcie a , je|eli
1. funkcja ta jest okre[lona w pewnym otoczeniu punktu a ,
2. istnieje granica lim f (x) ,
x��a
3. granica ta jest r�wna warto[ci funkcji w punkcie a , tzn. lim f (x) =� f (a) .
x��a
Funkcja jest cigBa w ka|dym punkcie pewnego przedziaBu, je|eli jest cigBa w ka|dym punkcie
wewntrznym tego przedziaBu oraz prawostronnie cigBa na jego lewym koDcu i lewostronnie cigBa na
jego prawym koDcu, pod warunkiem, |e koDce te nale| do danego przedziaBu.
Punkt, w kt�rym naruszone s warunki cigBo[ci, nazywamy punktem niecigBo[ci danej funkcji.
Obok przedstawione s
graficznie przykBady r�|nych
punkt�w niecigBo[ci.
Punkty x1, x2, x3 to tzw.
punkty niecigBo[ci I rodzaju.
W punktach niecigBo[ci II
rodzaju nie istnieje przynajmniej
jedna granica jednostronna
Uwaga. Ka|da funkcja elementarna jest cigBa na caBej swojej dziedzinie.
Suma i iloczyn funkcji cigBych jest funkcj cigB.
Iloraz funkcji cigBych jest funkcj cigB we wszystkich punktach, w kt�rych mianownik nie
przyjmuje warto[ci zerowej.
ZBo|enie funkcji cigBych jest funkcj cigB.
1-� e1/ x dla x <� 0
��
f (x) =�
PrzykBad. Zbada cigBo[ funkcji �� .
��x dla x �� 0
W przypadku tej funkcji nale|y sprawdzi jej cigBo[ w punkcie x =� 0, poniewa| dla wszystkich
niezerowych argument�w funkcje skBadowe s cigBe (jako funkcje elementarne). Mamy wic:
f (0) =� 0,
lim f (x) =� lim 1-� e1/ x =� 1 -� 0 =� 1,
x��0-� x��0-�
lim f (x) =� lim x =� 0.
x��0+� x��0+�
Widzimy, |e badana funkcja ma r�|ne granice
jednostronne dla x =� 0, a wic nie jest cigBa w
tym punkcie (graficznie nastpuje przeskok
wykresu przy przej[ciu przez ten punkt).
x dla x <� 0
��
f (x) =�
Zadanie. Zbada cigBo[ funkcji .
��
��1 -� ex dla x �� 0
Twierdzenie (wBasno[ Darboux o warto[ciach po[rednich funkcji cigBej)
Funkcja y =� f (x) f (a) �� f (b) , przyjmuje
cigBa na przedziale <� a; b >� , dla kt�rej
f (a)
na tym przedziale wszystkie warto[ci zawarte pomidzy i f (b) .
Z twierdzenia Darboux wynika nastpujcy
Wniosek. Je|eli funkcja y =� f (x) jest cigBa na przedziale <� a; b >� oraz
f (a) �� f (b) <� 0 (czyli funkcja przyjmuje na koDcach tego przedziaBu warto[ci o
r�|nych znakach), to istnieje przynajmniej jeden punkt c ��(a; b) taki, |e f (c) =� 0
(miejsce zerowe funkcji).
Wniosek ten jest wykorzystywany przy obliczaniu przybli|onych warto[ci rozwizaD r�wnaD
postaci f (x) =� 0 .
PrzykBad. Sprawdzi, czy istnieje rozwizanie r�wnania x2 -� 2x =� 0 w przedziale <� -�1; 0 >� .
Je[li rozwa|ymy lew stron r�wnania jako funkcj f (x) =� x2 -� 2x , to widzimy, |e
1
f (-�1) =�1-� 2-� 1 =� f (0) =� 0 -� 20 =� -�1
, . Dana funkcja jest cigBa, ma na koDcu tego przedziaBu warto[ci
2
o r�|nych znakach, a wic musi istnie w tym przedziale punkt bdcy miejscem zerowym rozwa|anej
funkcji, czyli istnieje rozwizanie wyj[ciowego r�wnania.
Zadanie. Sprawdzi, czy r�wnanie ln x +� x -� 2 =� 0 ma rozwizanie w przedziale <�1; 2 >� .
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji[1]granice funkcji ciaglosc funkcji (1)(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji8 Zadania do wykladu Granica funkcji Ciaglosc funkcji 1Granice funkcji wielu zmiennychGranice funkcjigranica funkcji zadania 1 plus 2FUNKCJE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ 3 2 Granica funkcjiGranice funkcjigranice funkcji, lista zadanGranice funkcji IMiRGranice funkcjiwięcej podobnych podstron