Przypomnienie:
y
x x
Zmienna jest funkcją zmiennej , jeżeli każdej z dopuszczalnych wartości odpowiada
y
dokładnie jedna wartość zmiennej .
y =� f (x) s =� F(t)
Dla skrócenia zapisu stosujemy symboliczne oznaczenia funkcji, np. , itd.
f (x) =� 2x +� 3 f (4) =� 2�� 4 +� 3 =� 11
Jeżeli to dla x =� 4 wartość tej funkcji jest równa:
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:
1) potęgową y =� xn
x
2) wykładniczą y =� a
y =� loga x a ą�
3) logarytmiczną dla a >� 0 i 1
y =� cos x y =� tgx y =� ctgx
y =� sin x
4) trygonometryczne , , ,
y =� arccos x y =� arctgx y =� arcctgx
y =� arcsin x
5) cyklometryczne , , ,
Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można wyrazić jednym wzorem, w
których występuje skończona ilość działań arytmetycznych i skończona ilość operacji
oznaczanych przez symbole podstawowych funkcji elementarnych.
Wszystkie pozostałe funkcje nazywamy nieelementarnymi.
Przykłady:
3
��
x dla x Ł� 0
y =�
Funkcja nie jest funkcją elementarną.
��
��x +� 2 dla x >� 0
y =� 5x sin x
Funkcja jest funkcją elementarną.
f (x) f (x) =� f (-�x)
Funkcję o własności nazywamy funkcją parzystą, np. y =� x2 , bo
x2 =� (-�x)2
f (x) =� -� f (-�x)
Funkcja jest nieparzysta, jeżeli , np. y =� x3 , bo x3 =� -�(-�x)3
x
Funkcje: czy nie są parzyste ani nieparzyste.
a x
Pierwiastkami (albo miejscami zerowymi) funkcji nazywamy takie wartości argumentu, dla
f (x)
których funkcja przyjmuje wartość zero. Pierwiastki funkcji znajdujemy, przyrównując
f (x) =� 0
funkcję do zera i rozwiązując równanie .
Aby znalez
ć miejsca zerowe funkcji f (x) =� x2 +�10x +� 9 rozwiązujemy równanie:
. Liczby: x1 =� -�9 x2 =� -�1
, są rozwiązaniami tego równania, czyli miejscami
x2 +�10x +� 9 =� 0
zerowymi funkcji.
Dziedziną funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich jej argumentów, dla których funkcja ma
określoną wartość. Dziedziny podstawowych funkcji elementarnych:
a�
b�
Funkcja potęgowa y =� xn o wykładniku wymiernym dodatnim n =� dla nieparzystych
b�
b�
jest określona na całej osi liczbowej, natomiast dla parzystych jest określona dla x ł� 0
x
Funkcja wykładnicza y =� a (a >� 0) jest określona na całej osi liczbowej.
y =� loga x (a >� 0)
Funkcja logarytmiczna jest określona dla x >� 0
y =� cos x
y =� sin x
Funkcje trygonometryczne , są określone na całej osi liczbowej. Funkcja
y =� tgx
xk =� (�2k +�1)�p�
jest określona na całej osi z wyjątkiem punktów: (k=& -2, -1, 0, 1, 2.
2
y =� ctgx
xk =� kp�
& ). Funkcja jest określona na całej osi z wyjątkiem punktów: .
y =� arccos x
y =� arcsin x
Funkcje kołowe (odwrotne do trygonometrycznych , są określone dla
y =� arctgx y =� arcctgx
-�1 Ł� x Ł� 1, a , są określone na całej osi liczbowej.
Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji elementarnej należy zwrócić uwagę na:
1) Pierwiastki stopnia parzystego; funkcja będzie określona tylko dla takich wartości
x
argumentu , dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.
x
2) Na mianowniki wyrażeń ułamkowych. Funkcja będzie określona dla tych wartości , dla
których mianowniki są różne od zera.
Definicje:
a x
1) Liczbę nazywamy granicą zmiennej , jeżeli dla każdej dodatniej liczby e� istnieje
x0 x
taka wartość zmiennej poczynając, od której dla wszystkich następnych wartości
| a -� x |
zmiennej bezwzględna wartość różnicy jest mniejsza od e� .
a
2) Zmienną nazywamy nieskończenie małą, jeżeli dla każdej, dodatniej liczby e�
a0 a
istnieje taka wartość zmiennej , poczynając, od której wszystkie następne
wartości zmiennej są, co do wartości bezwzględnej mniejsze od e� .
3) Zmienną z nazywamy nieskończenie dużą, jeżeli dla każdej dodatniej liczby N istnieje
z0
taka wartość zmiennej z poczynając, od której wszystkie następne wartości
zmiennej są, co do wartości bezwzględnej większe od N.
a x x a x �� a
Jeżeli jest granicą zmiennej , to mówimy, że dąży do i piszemylim x =� a lub
Wielkość nieskończenie wielka nie ma granicy, dla skrócenia zapisu mówimy umownie, że z
z �� Ą�
dąży do nieskończoności. i piszemy: lub
lim z =� Ą�
z definicji granicy wielkości zmiennej oraz z definicji wielkości nieskończenie małych i
nieskończenie wielkich wynika, że:
a
1) granicą nieskończenie małej wielkości jest zero (a więc jeśli jest wielkością
nieskończenie małą to lim a =� 0 )
2) różnica zmiennej i jej granicy jest wielkością nieskończenie małą( a więc jeśli lim x =� a , to
x -� a =� 0 )
3) odwrotność wielkości nieskończenie dużej jest wielkością nieskończenie małą (a więc jeśli
1
z �� Ą� to �� 0
)
z
4) odwrotność wielkości nieskończenie małej jest wielkością nieskończenie dużą. (a więc
1
jeżeli a �� 0,to �� Ą� )
a
Definicja.
f (x) �� b x �� a a
Jeżeli , gdy (nie przybierając wartości ), to liczbęb nazywamy granicą
a
f (x)
funkcji w punkcie .
Granicę funkcji można też określić bez odwoływania się do pojęcia granicy zmiennej..
Definicja
f (x) x �� a
Liczba b nazywa się granicą funkcji dla , jeżeli dla każdej liczby e� >0 można
| f (x) -� b | | x -� a | x ą� a
dobrać taką liczbę d� >0, że będzie mniejsze od e� , gdy dla będzie
mniejsze od d� .
f (x) x a
Jeżeli liczba b jest granicą funkcji dla dążących do , to piszemy:
lim f (x) =� b
x a
, gdy dąży do w dowolny sposób.
x��a
lim f (x) =� b
a a
, gdy x dąży do z lewej strony., czyli tak, że x jest stale mniejsze od ;
x��a-�0
lim f (x) =� b
a a
, gdy x dąży do z prawej strony., czyli tak, że x jest stale większe od ;
x��a+�0
x �� a
Jeśli istnieje granica funkcji, gdy w dowolny sposób, to również istnieją i mają taką
x �� a
samą wartość granice jednostronne tej funkcji, gdy tylko z lewej strony lub tylko z
prawej strony, a więc:
lim f (x) =� b lim f (x) lim f (x) =� b
Jeżeli , to =
x��a x��a-�0 x��a+�0
Natomiast, jeżeli granice jednostronne są różne lub chociaż jedna z nich nie istnieje, to
x �� a
granica funkcji dla nie istnieje.
Przykłady
f (x)
RYS 1) Niech funkcja ma wartość 2 dla x =� 1, dla x >� 1wartości funkcji są równe 1, dla
x <� 1 wartości funkcji są równe -1.
f (x)
Funkcja nie ma granicy w punkcie 1, ponieważ granica prawostronna i lewostronna
funkcji są różne.
lim f (x) =� -�1 x��1+�0 f (x) =� 1
lim
x��1-�0
f (x)
RYS 2) Funkcja ma wartość 2 dla argumentu x =� 1, dla argumentów różnych od 1
wartości funkcji są równe 1.
f (x)
Funkcja ma granicę w punkcie x =� 1, ponieważ granice lewostronna i prawostronna
funkcji są sobie równe.
lim f (x) =� 1 x��1+�0 f (x) =� 1, a zatem lim f (x) =� 1
lim
x��1-�0 x��1
Ćwiczenie 1
n
Biorąc =0,1,2,3,.. , ułożyć tabelkę wartości zmiennej: y =� 1+� 0,1n oraz określić zachowanie
n �� Ą�
się tej zmiennej przy n rosnącym nieograniczenie, czyli dla .
n n �� Ą�
0 1 2 3 4 5 &
y
2 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 & y �� 1+� 0
y
n
Wraz ze wzrostem kolejne wartości zmiennej dążą do jedności, zatem dla dostatecznie
| y -�1|
dużych wartość bezwzględna różnicy będzie mniejsza od dowolnie małej liczby
dodatniej e� , co można udowodnić.
Dowód.
Niech będzie dana liczba e� >� 0 .Można wykazać, że dla pewnych wartości n: |y-1|Ponieważ| y -�1|=� 0,1n , więc wystarczy wykazać, że: 0,1n <� e� w tym celu logarytmujemy obie
strony nierówności i rozwiązujemy nierówność.
-�1
nlg0,1 <� lge� -�1n <� lge� n >� -� lge�
lg 0,1n <� lge� n >� lge�
1 1
| y -�1| n
n >� lg , co oznacza, że będzie mniejsza od e� , gdy tylko będzie większe od lg
e� e�
y lim y =� 1
Wobec tego zgodnie z definicją (1), zmienna ma granicę równą jedności:
n��Ą�
Ćwiczenie 2
2x +� 3 2
lim =�
Wykazać, że
x ��Ą�
3x 3
2x +� 3 2 2x +� 3 -� 2x 3 1
Rozwiązanie: Utwórzmy różnicę -� =� =� =�
3x 3 3x 3x x
x �� Ą�
Gdy różnica ta jest wielkością nieskończenie małą(jako odwrotność wielkości
2x +� 3 2
nieskończenie wielkiej). Jeżeli zmienna różni się od stałej o wielkość
3x 3
nieskończenie małą, to stała ta jest granicą zmiennej.
Twierdzenia o nieskończenie małych i o granicach.
1. Suma skończonej ilości wielkości nieskończenie małych jest także wielkością
nieskończenie małą.
2. Iloczyn wielkości nieskończenie małej i wielkości ograniczonej jest także wielkością
nieskończenie małą.
3. Granica stałej jest równa wartości tej stałej.
4. Granica sumy skończonej liczby składników jest równa sumie ich granic.
lim(u+v-w)=lim u+lim v-lim w
5. Granica iloczynu skończonej liczby czynników jest równa iloczynowi ich granic.
lim(uvw) =� limu �� lim v �� lim w
6. Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic dzielnej i dzielnika,jeśli granica dzielnika
u lim u
lim =� , lim v ą� 0
jest różna od zera.
v lim v
Przykład 1
Znalez
ć granice funkcji
a)
lim1
1
1
��
m
lx��1ć�2x -� 3 -�
im
�� ��=lim 2 �� lim x-� lxi��1 3-� x ��1 =� 2 ��1 -� 3 -� =� -�2
x��1
x��1
lim x 1
x
Ł� ł�
x��1
b)
1
lim x sin
x�� 0
x
1 1
�� Ą� sin
Gdy x �� 0 argument a czynnik będzie przyjmował wartości od -1 do 1, nie
x x
dążąc do żadnej określonej granicy, czyli czynnik ten nie ma granicy, ale jest wielkością
1
sin Ł� 1
ograniczoną bo . Dlatego, zgodnie z twierdzeniem 2, dana funkcja, jako iloczyn
x
1
sin
wielkości nieskończenie małej x i ograniczonej wielkości , będzie wielkością
x
1
lim xsin =� 0
nieskończenie małą i jej granica będzie równa zeru.
x��0
x
c)
1
Wyznaczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji
x
y =� 2
x x
Jeżeli zmienna będzie zmierzać do zera z lewej strony poprzez ujemne wartości, tzn gdy
1
będzie nieskończenie małą wielkością ujemną, to będzie nieskończenie wielką wielkością
x
1
-�
ujemną, a nieskończenie wielką wielkością dodatnią.
x
1
-�1
-� +� Ą�
1
1 x
ć� ��
1 1
ć� ��
x
Po wstawieniu za liczbę otrzymamy zatem .
2 =�
�� ��
lim0 2 =� limć� �� =� =� 0
�� �� �� ��
x ��-�
2
Ł� ł� 2 2
Ł� ł� Ł� ł�
1
1
x
�� +�Ą�
Jeżeli x �� +�0 (z prawej strony) to i
lim 2 =� 2+� Ą� =� +�Ą�
x x��+�0
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji są różne, czyli funkcja nie ma granicy, gdy
x �� 0 .
Uwaga: W programie omega, po narysowaniu wykresu tej funkcji i naciśnięciu klawisza
ustawiamy x=0, a następnie po wybraniu opcji: gp(granica prawostronna) lub gl(granica
lewostronna) i ponownym naciśnięciu klawisza znajdziemy potwierdzenie powyższego
rozumowania.
Obliczane granic
Granica funkcji w danym punkcie nie zależy od tego, czy funkcja jest określona w tym
punkcie czy też nie.
a) Jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna
argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczanie granicy sprowadza się do
lim f (x) =� f (a)
podstawienia wartości granicznej argumentu, czyli
x��a
b) Jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny
funkcji, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy wymaga specjalnego
badania.
Warto też wykorzystywać twierdzenia dotyczące najczęściej występujących granic przy
obliczaniu innych granic, odgrywają więc one rolę wzorów, które warto pamiętać.
Te podstawowe twierdzenia, to:
a
(stała jest wszędzie dodatnia)
x a a a
lim ax =� Ą�
lim =� Ą� lim =� -�Ą� lim =� +�Ą� lim =� 0
x��Ą�
x ��Ą� x ��-�0 x��+�0 x��Ą�
a x x x
0 gdy | a |<� 1
��
��
x
lim a =� +� Ą� gdy a >� 1
��
x��+�Ą�
��Ą� gdy a <� -�1 1)
��
1)
Gdy a<0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite.
0 gdy | a |>� 1
��
��
x
lim a =� +� Ą� gdy 0 <� a <� 1
��
x ��-�Ą�
��Ą� gdy -1 <� a <� 0 1)
��
1)
Gdy a<0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite.
-� Ą� gdy a >� 1 -� Ą� gdy a >� 1
�� ��
lim loga x =� lim0 loga x =�
��+� Ą� gdy 0 <� a <� 1 ��+� Ą� gdy 0 <� a <� 1
x ��+�Ą� x ��+�
�� ��
x
1
sin x
1
��
lim =� 1
limć�1 +� =� lim(1+� a�)a� =� e � 2,71828
�� ��
x�� 0
x ��Ą� a� ��0
x
x
Ł� ł�
Bardziej złożone przypadki znajdowania granic funkcji to takie, gdy funkcja jest typu:
0 Ą�
Ą� -� Ą�
1) , 2) , 3) 0 �� Ą� , 4) , 5) 1Ą�
0 Ą�
Przystępując do wyznaczenia granicy funkcji należy najpierw sprawdzić, jakiego typu
jest to funkcja w tym celu podstawiamy w miejsce argumentu wartość, do której ten
argument ma zmierzać.
Ad 1)
W przypadku tym przekształcamy wyrażenie tak, aby ułamek można było skrócić przez
czynnik dążący do zera.
Przykład 1
x -� 2 x -� 2 1 1
=� =�
lim lim(x +� 2)(x -� 2) =� lim
x2 -� 4 x +� 2 4
x�� 2 x��2 x�� 2
Przykład 2
5 2
x +� 2x4 +� x -� 3x -� 10 x4 +� x -� 5 3
=� =� -� (dzielimy licznik i mianownik przez
lim lim
5
x4 +� 2x3 +� 3x2 +� 5x -� 2 x3 +� 3x -�1
x��-�2 x�� -�2
x+2)
Ogólnie, jeżeli wyznaczamy granicę ułamka, którego licznik i mianownik są wielomianami,
wielomianami miejscach zerowych w punkcie granicznym x=a, to na podstawie twierdzenia
Bezouta wiemy, że wielomiany te dzielą się bez reszty przez x-a.
Przykład 3
2
sin x 1 -� cos2 x 1-� cos x 2
lim1 +� cos3 x =� lim(1 +� cos x)(1-� cos x +� cos2 x) =� lim1 -� cos x +� cos2 x =� 3
x ��p� x��p� x��p�
(rozkładamy licznik i mianownik na czynniki i skracamy ułamek przez 1+� cos x )
Przykład 4
1 -� x +� 1 (1 -� x +� 1)(1 +� x +� 1) -�1 1
=� =�
lim lim lim1 +� x +� 1 =� -� 2
x
x(1 +� x +�1)
x�� 0 x�� 0 x ��0
(usuwamy niewymierność w liczniku mnożąc licznik i mianownik przez , a
1+� x +�1
następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x)
Przykład 5
tgx(1 +� 1 +� tgx )
tgx
=� -�
lim1 -� 1 +� tgx =� lim lim(1 +� 1 +� tgx) =� -�2
1-�1 -� tgx
x�� 0 x�� 0 x�� 0
(mnożymy licznik i mianownik przez 1+� 1+� tgx , a następnie skracamy ułamek przez
czynnik tgx )
Przykład 6
sin 3x 3sin 3x sin 3x
=� =� 3 =� 3 ��1=� 3
lim lim lim
x 3x 3x
x�� 0 x��0 3x ��0
(przekształcamy funkcję tak, aby móc skorzystać z jednej z podstawowych granic,
sina�
=� 1
mianowicie: )
lim
a�
a� �� 0
Przykład 7
2
x
ć� ��
2 2 �� ��
x x
=� 2�� 2 �� =� 2 ��1 =� 2
lim1 -� cos x =� lim lim
x x
�� ��
2
x�� 0 x��0 x��0
2sin sin
�� ��
2 Ł� 2 ł�
x
2
1-� cos x =� 2sin
(korzystamy ze wzoru trygonometrycznego )
2
Przykład 8
x2 -� 4 (tgv -� 2)2 -� 4 (tgv -� 4)tgv tgv -� 4 sin v
=� =� �� =� -�4��1=� -�4
limarctg (x +� 2) =� lim lim lim lim
v v cos v v
x��-� 2 v��0 v��0 v��0 v��0
arctg(x +� 2) =� v x +� 2 =� tgv
(podstawiając otrzymamy , przy czym gdy x �� -�2 , to v �� 0 )
Ad 2)
Przykład 1
1
3 -�
2
3x -�1
x2 =� 3 -� 0 =� 3
=�
lim5x 2 lim
2
+� 2x 5 -� 0 5
x�� Ą� x ��Ą�
5 +�
x
(Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez czyli przez najwyższą z występujących potęg
x2
x)
Zadanie to można także rozwiązać inaczej, za pomocą zamiany zmiennej. Podstawiając
1
x �� Ą�
x =�
mianowicie otrzymamy: a� �� 0 , gdy , zatem
a�
3
-�1
2 2
2
3x -�1 3 -� a� 3
a�
=� =�
lim5x 2 lim lim5 +� 2a� =� 5
5 2
+� 2x
x�� Ą� a� ��0 a� ��0
+�
2
a� a�
x �� Ą�
Ogólnie, przejście graniczne dla można zawsze sprowadzić do przejścia granicznego
1
a� =�
dla a� �� 0 ,jeśli za nową zmienną przyjmie się odwrotność zmiennej wyjściowej, czyli
x
.
Przykład 2
n 1 1
=� =� =� -�1
lim lim
-�1
1 (dzielimy licznik i mianownik przez n)
n��-�Ą� n�� -�Ą�
n2 +� 1
-� 1 +�
2
n
Przykład 3
2 +� 2n
�� n
2 +� 4 +� 6 +� ... +� 2n n 1
=� 1
lim1 +� 3 +� 5 +� ... +� (2n +� 1) =� lim1+� 2n2+� 1 =� limn +� 1 =� lim
1
n��+�Ą� n��+�Ą� n��+�Ą� n�� +�Ą�
(n +� 1) 1+�
2 n
(Licznik jest tu sumą n wyrazów ciągu arytmetycznego, mianownik sumą n+1 wyrazów
innego ciągu arytmetycznego. Należy zsumować oba wyrażenia według znanego wzoru na
sumę wyrazów ciągu arytmetycznego.)
Ad 3)
0
Ten przypadek wyznaczania granicy funkcji typu 0 �� Ą� , można sprowadzić do przypadku
0
Ą�
lub
Ą�
Przykład 1
p�x
(1-� x)sin
p�x p�x 1 -� x 1 -� x
2
=� =� 1�� =�
lim(1 -� x)tg 2 =� lim limsin 2 lim lim
p�x p�x
p� p�x
ć� ��
x��1 x��1 x��1 x��1 x��1
cos cos
sin -�
�� ��
2 2
2 2
Ł� ł�
p� 1
ć� ��
�� ��
2 2 2
2 x
Ł� ł�
=� =� ��1 =�
lim
p�
p� p� p�
x��1
sin (1-� x)
2
(Wyrażenie przekształcamy na ułamek w którym licznik i mianownik dążą do zera)
Przykład 2
p� 3 t
�� �� �� ��
limć� 4 -� x �� cosecć� 4 p� +� x �� =� limt cosec(p� -� t) =� limsin t =� 1
p�
Ł� ł� Ł� ł� t�� 0 t�� 0
x ��
4
p�
-� x =� t
(Podstawiamy: )
4
Przykład 3
a� cosa� a�
=�
limxarctgx =� lima� ctga� =� lim limcosa� ��limsina� =� 1
sin a
x��+�Ą� a� ��+�0 a� �� +�0 a� �� +�0 a� ��+�0
arctgx =� a� x =� ctga�
x �� +�Ą�
(Podstawiamy i otrzymujemy , przy czym a� �� +�0 gdy )
Ad 4)
0
Ą� -� Ą�
Ten przypadek wyznaczania granicy funkcji typu , można sprowadzić do przypadku
0
Ą�
lub .
Ą�
Przykład 1
1 4 x -� 2 1 1
=� =�
�� ��
limć� x -� 2 -� x2 -� 4 �� =� lim lim
x2 -� 4 x +� 2 4
x�� 2 Ł� ł� x��2 x �� 2
(Odejmujemy ułamki i otrzymany ułamek skracamy przez x-2.)
Przykład 2
2 2
(x -� x +� 5x)(x +� x +� 5x ) -� 5x
=�
lim(x -� x2 +� 5x) =� lim limx +� x2 +� 5x =�
x ��+�Ą� x ��+�Ą� x�� +�Ą�
x +� x2 +� 5x
-� 5 5
=� =� -�
lim
2
5
x��+�Ą�
1 +� 1 +�
x
(Rozpatrujemy funkcję jako ułamek o mianowniku 1,pozbywamy się niewymierności w
liczniku, a następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x.)
Ad 5)
W tym przypadku w celu znalezienia granicy korzystamy z następującej granicy podstawowej
n
1
1
�� ��
limć�1+� n �� =� lim(1+� a�)a� =� e
n�� Ą� Ł� ł� a� ��0
(Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln.
lg x
lg x =� lg eln x
Logarytmy naturalne i dziesiętne są związane wzorami: oraz ln x =� )
lg e
Przykład 1
a
a
n n
�� ł�
n �� ł�
a a
a a a
�� �� �� �� �� ��
limć�1+� n �� =� limę�ć�1 +� n �� ś� =� ę�limć�1 +� n �� ś� =� en
ę� ś�
ę�Ł� ł� ś�
n
n�� Ą� Ł� ł� n�� Ą� Ł� ł�
��Ą�
ę� ś�
�� ��
�� a ��
n =� ax x �� Ą� n �� Ą�
lub inaczej, podstawiając , mamy gdy
a a
n ax x x
�� ł� �� ł�
a 1 1 1
�� �� �� �� �� �� �� ��
limć�1+� n �� =� limć�1+� x �� =� limę�ć�1 +� x �� ś� =� ę�limć�1+� x �� ś� =� ea
n�� Ą� Ł� ł� x�� Ą� Ł� ł� x�� Ą� x��Ą� Ł� ł�
ę�Ł� ł� ś� ę� ś�
�� �� �� ��
Przykład 2
-�2
2
1
-�
�� ł�
x 2
a�
a�
1 -� 2x =�
lim lim(1+� a�) =� ��lim(�1+� a� )� �� =� e-�
ę� ś�
x�� 0 a� ��0 a� �� 0
(Podstawiając: -� 2x =� a� , mamya� �� 0 gdy x �� 0 )
Reguła de l Hospitala i jej zastosowanie przy obliczaniu granic funkcji.
Skutecznym środkiem wyznaczania granicy funkcji w przypadkach, gdy jest ona typu:
0 Ą�
(ilorazem dwóch wielkości nieskończenie małych) lub typu (ilorazem dwóch wielkości
0 Ą�
nieskończenie dużych) jest reguła de l Hospitala, która mówi: Granica stosunku dwu
wielkości nieskończenie małych lub nieskończenie wielkich wielkości jest równa granicy
stosunku pochodnych tych wielkości, pod warunkiem, że ostatnia granica istnieje lub zmierza
do nieskończoności.
a)
0 Ą�
Gdy okaże się, że iloraz pochodnych jest też wyrażeniem typu lub , to regułę de
0 Ą�
l Hospitala można stosować ponownie, a nawet wielokrotnie (jeśli jest to celowe).
Przykład 1
x4 -� 16 4x3 32 16
=�
lim lim3x +� 10x -� 6 =� 26 =� 13
2 2
x3 +� 5x -� 6x -�16
x�� 2 a� �� 2
Przykład 2
m-�1
xm -� am mx m
=� =� am-�n
lim lim
n
xn -� an a� �� a nxn-�1
x�� a
0
(Po stwierdzeniu, że są to przypadki ilorazów typu: stosujemy regułę de l Hospitala)
0
Przykład 3
2 2
1 -� cosax a sin ax a cos ax a
lim1-� cosbx =� limb sin bx =� limb cosbx =� b2
2
x�� 0 a� ��0 a� �� 0
0
(Po stwierdzeniu, że jest to przypadek ilorazu typu: stosujemy regułę de l Hospitala
0
dwukrotnie)
Czasami stosowanie reguły de l Hospitala nie prowadzi do celu.
Przykład 4
tgx sec2 x sec x tgx
=�
limsec x =� limsec xtgx =� lim limsec x
tgx
p� p� p� p�
x �� x�� x �� x��
2 2 2 2
(Granicę wyznaczamy za pomocą elementarnego przekształcenia)
tgx sin xcos x
=�
limsec x =� lim limsin x =� 1
cos x
p� p� p�
x �� x�� x ��
2 2 2
Przykład 5
x -� sin x 1-� cos x x
2
=�
lim lim1+� cos x =� limtg 2 (Stosowanie reguły de l Hospitala nie prowadzi
x +� sin x
x�� Ą� x�� Ą� x��Ą�
do wyniku, ponieważ granica nie istnieje. Szukaną granicę można wyznaczyć w sposób
elementarny)
sin x
1 -�
x -� sin x
x
=� =� 1 | sin x |Ł� 1
, gdyż
lim lim
sin x
x +� sin x
x�� Ą� x�� Ą�
1 +�
x
b)
Ą� -� Ą�
Kiedy funkcja jest typu 0 �� Ą� lub . Przekształcamy funkcję do postaci ułamka i
0 Ą�
wyznaczanie granicy sprowadzamy do przypadku: lub .
0 Ą�
Przykład 1
x 1 1
lim xctg2x =�
limtg 2x =� lim2 sec2 2x =� 2
x�� 0
x ��0 x ��0
Przykład 2
1
ln x
x 3
lim0 3 x ln x =� =� x =� 0
lim lim-� =� -�3lim
1 1
x ��+�
x �� +�0 x ��+�0 x�� +�0
3
4
x
33 x
0
(Po sprowadzeniu do przypadku stosujemy regułę de l Hospitala)
0
Przykład 3
1 1 x -� sin x 1-� cos x sin x
=�
�� ��
limć� sin x =� x �� =� lim limsin x +� xcos x =� lim2 cos x -� x sin x =� 0
x sin x
x�� 0 Ł� ł� x ��0 x �� 0 x�� 0
0
(Po sprowadzeniu do przypadku stosujemy regułę de l Hospitala dwukrotnie.
0
0 Ą�
c) Przypadki funkcji typu:1Ą� , , także sprowadzamy do przypadków lub w
Ą�0 00
0 Ą�
następujący sposób: Daną funkcię logarytmujemy i znajdujemy granicę jej logarytmu, a
następnie, gdy znamy granicę logarytmu funkcji, wyznaczamy granicę samej funkcji.
Przykład 1
tg 2 x
lim(�tgx)� Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 1Ą� , logarytmujemy funkcję i szukamy
p�
x��
4
tg 2 x
p�
granicy jej logarytmu. a =� lim(�tgx)�
x ��
4
ln tgx
ln a =� lim ln(tgx)tg2 x =� lim tg 2x�� ln tgx =�
limctg 2x
p� p� (sprowadziliśmy poszukiwanie granicy
p�
x�� x��
x ��
4 4
4
0
do przypadku , a następnie stosując regułę de l Hospitala, otrzymamy:
0
�� ł�
sec2 x
2
ln a =�
ę�
lim�� tgx : (-�2 cosec 2x)ś� =� -�1 Znając granicę logarytmu funkcji, znajdujemy
p�
��
x��
4
granicę funkcji
a =� e-�1
Przykład 2
1
x
lim (�ln x)� Po ustaleniu, że zachodzi przypadek , obliczamy granicę logarytmu funkcji.
Ą�0
x��+�Ą�
1
ln(ln x)
Ą�
ln a =�
x
a =� lim (�ln x)� Otrzymaliśmy przypadek więc, stosujemy regułę de
lim
x�� +�Ą�
x
Ą�
x �� +�Ą�
1
ln a =�
l Hospitala �� ��
limć� x ln x :1�� =� 0 skąd wynika, że poszukiwana granica a =� e0 =� 1
x �� +�Ą� Ł� ł�
Przykład 3
6
Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek , wyznaczamy granice:
00
lim x1+�2ln x
x��+�0
6
6 ln x Ą�
ln a =� lim
otrzymaliśmy przypadek . Stosujemy regułę de
a =� lim x1+� 2 ln x
x ��+� 0
x�� +�0 1 +� 2 ln x Ą�
1 2 1
��
ln a =� 6 lim0ć� : =� 6�� =� 3
l Hospitala �� �� a więc poszukiwana granica wynosi .
a =� e3
x ��+�
x x 2
Ł� ł�