Granice funkcji jednej zmiennej
Przypomnienie:
Zmienna y jest funkcją zmiennej x , jeżeli każdej z dopuszczalnych wartości x odpowiada
dokładnie jedna wartość zmiennej y .
Dla skrócenia zapisu stosujemy symboliczne oznaczenia funkcji, np. y = f (x) , s = F(t) itd.
Jeżeli f (x) = 2x + 3 to dla x = 4 wartość tej funkcji jest równa: f (4) = 2 � 4 + 3 = 11
Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:
1) potęgową y = xn
x
2) wykładniczą y = a
3) logarytmiczną y = loga x dla a > 0 i a `" 1
4) trygonometryczne y = sin x , y = cos x , y = tgx , y = ctgx
5) cyklometryczne y = arcsin x , y = arccos x , y = arctgx, y = arcctgx
Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje, które można wyrazić jednym wzorem, w
których występuje skończona ilość działań arytmetycznych i skończona ilość operacji
oznaczanych przez symbole podstawowych funkcji elementarnych.
Wszystkie pozostałe funkcje nazywamy nie elementarnymi.
Przykłady:
ż#
x3dla x d" 0
Funkcja y = nie jest funkcją elementarną.
�#
�#x + 2 dla x > 0
Funkcja y = 5x sin x jest funkcją elementarną.
Funkcję f (x) o własności f (x) = f (-x) nazywamy funkcją parzystą, np. y = x2 , bo
x2 = (-x)2
Funkcja jest nieparzysta, jeżeli f (x) = - f (-x) , np. y = x3 , bo x3 = -(-x)3
x
Funkcje: a czy x nie są parzyste ani nieparzyste.
Pierwiastkami (albo miejscami zerowymi) funkcji nazywamy takie wartości argumentu, dla
których funkcja przyjmuje wartość zero. Pierwiastki funkcji f (x) znajdujemy, przyrównując
funkcję do zera i rozwiązując równanie f (x) = 0 .
Aby znalez
ć miejsca zerowe funkcji f (x) = x2 +10x + 9 rozwiązujemy równanie:
x2 + 10x + 9 = 0 . Liczby: x1 = -9 , x2 = -1 są rozwiązaniami tego równania, czyli miejscami
zerowymi funkcji.
Dziedziną funkcji nazywamy zbiór tych wszystkich jej argumentów, dla których funkcja ma
określoną wartość. Dziedziny podstawowych funkcji elementarnych:
ą
Funkcja potęgowa y = xn o wykładniku wymiernym dodatnim n = dla nieparzystych �
�
jest określona na całej osi liczbowej, natomiast dla parzystych � jest określona dla x e" 0
x
Funkcja wykładnicza y = a (a > 0) jest określona na całej osi liczbowej.
Funkcja logarytmiczna y = loga x (a > 0) jest określona dla x > 0
Funkcje trygonometryczne y = sin x , y = cos x są określone na całej osi liczbowej. Funkcja
y = tgx jest określona na całej osi z wyjątkiem punktów: xk = (2k +1)Ą (k=&  2,  1, 0, 1, 2.
2
& ). Funkcja y = ctgxjest określona na całej osi z wyjątkiem punktów: xk = kĄ .
Funkcje kołowe (odwrotne do trygonometrycznych y = arcsin x , y = arccos x są określone
dla -1 d" x d" 1, a y = arctgx, y = arcctgx są określone na całej osi liczbowej.
Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji elementarnej należy zwrócić uwagę na:
1) Pierwiastki stopnia parzystego; funkcja będzie określona tylko dla takich wartości
argumentu x , dla których wyrażenie pod pierwiastkiem jest nieujemne.
2) Na mianowniki wyrażeń ułamkowych. Funkcja będzie określona dla tych wartości x , dla
których mianowniki są różne od zera.
Definicje:
1) Liczbę a nazywamy granicą zmiennej x , jeżeli dla każdej dodatniej liczby � istnieje
taka wartość x0 zmiennej x poczynając, od której dla wszystkich następnych wartości
zmiennej bezwzględna wartość różnicy | a - x | jest mniejsza od � .
2) Zmienną a nazywamy nieskończenie małą, jeżeli dla każdej, dodatniej liczby �
istnieje taka wartość a0 zmiennej a , poczynając, od której wszystkie następne
wartości zmiennej są, co do wartości bezwzględnej mniejsze od � .
3) Zmienną z nazywamy nieskończenie dużą, jeżeli dla każdej dodatniej liczby N istnieje
taka wartość z0 zmiennej z poczynając, od której wszystkie następne wartości
zmiennej są, co do wartości bezwzględnej większe od N.
Jeżeli a jest granicą zmiennej x , to mówimy, że x dąży do a i piszemy lim x = a lub x a
Wielkość nieskończenie wielka nie ma granicy, dla skrócenia zapisu mówimy umownie,
że z dąży do nieskończoności. i piszemy: z " lub lim z = "
z definicji granicy wielkości zmiennej oraz z definicji wielkości nieskończenie małych
i nieskończenie wielkich wynika, że:
1) granicą nieskończenie małej wielkości jest zero (a więc jeśli a jest wielkością
nieskończenie małą to lima = 0 )
2) różnica zmiennej i jej granicy jest wielkością nieskończenie małą( a więc jeśli lim x = a ,
to x - a = 0 )
3) odwrotność wielkości nieskończenie dużej jest wielkością nieskończenie małą
1
(a więc jeśli z " to 0 )
z
4) odwrotność wielkości nieskończenie małej jest wielkością nieskończenie dużą
1
(a więc jeżeli a 0,to " )
a
Definicja.
Jeżeli f (x) b , gdy x a (nie przybierając wartości a ), to liczbęb nazywamy granicą
funkcji f (x) w punkcie a .
Granicę funkcji można też określić bez odwoływania się do pojęcia granicy zmiennej..
Definicja
Liczba b nazywa się granicą funkcji f (x) dla x a jeżeli dla każdej liczby � >0 można
dobrać taką liczbę � >0, że | f (x) - b | będzie mniejsze od � gdy | x - a | dla x `" a będzie
mniejsze od � .
Jeżeli liczba b jest granicą funkcji f (x) dla x dążących do a , to piszemy:
lim f (x) = b , gdy x dąży do a w dowolny sposób.
xa
lim f (x) = b , gdy x dąży do a z lewej strony, czyli tak, że x jest stale mniejsze od a ;
xa-0
lim f (x) = b , gdy x dąży do a z prawej strony, czyli tak, że x jest stale większe od a ;
xa+0
Jeśli istnieje granica funkcji, gdy x a w dowolny sposób, to również istnieją i mają taką
samą wartość granice jednostronne tej funkcji, gdy x a tylko z lewej strony lub tylko
z prawej strony, a więc:
Jeżeli lim f (x) = b , to lim f (x) = lim f (x) = b
xa xa-0 xa+0
Natomiast, jeżeli granice jednostronne są różne lub jedna z nich nie istnieje, to granica
funkcji dla x a nie istnieje.
Przykłady
RYS 1) Niech funkcja f (x) ma wartość 2 dla x = 1, dla x > 1wartości funkcji są równe 1,
dla x < 1 wartości funkcji są równe  1.
Funkcja f (x) nie ma granicy w punkcie 1, ponieważ granica prawostronna i lewostronna
funkcji są różne.
lim f (x) = -1 lim f (x) = 1
x1-0 x1+0
RYS 2) Funkcja f (x) ma wartość 2 dla argumentu x = 1, dla argumentów różnych od 1
wartości funkcji są równe 1.
Funkcja f (x) ma granicę w punkcie x = 1, ponieważ granice lewostronna i prawostronna
funkcji są sobie równe.
lim f (x) = 1 lim f (x) = 1, a zatem lim f (x) = 1
x1-0 x1+0 x1
Ćwiczenie 1
Biorąc n =0,1,2,3... ułożyć tabelkę wartości zmiennej: y = 1+ 0,1n oraz określić zachowanie
się tej zmiennej przy n rosnącym nieograniczenie, czyli dla n " .
n 0 1 2 3 4 5 & n "
y
y 1 + 0
2 1,1 1,01 1,001 1,0001 1,00001 &
Wraz ze wzrostem n kolejne wartości zmiennej y dążą do jedności, zatem dla dostatecznie
dużych wartość bezwzględna różnicy | y -1|będzie mniejsza od dowolnie małej liczby
dodatniej � , co można udowodnić.
Dowód.
Niech będzie dana liczba � > 0 .Można wykazać, że dla pewnych wartości n: |y 1|<�
Ponieważ| y -1|= 0,1n , więc wystarczy wykazać, że: 0,1n < � w tym celu logarytmujemy obie
strony nierówności i rozwiązujemy nierówność.
-1
lg 0,1n < lg� �! n lg 0,1 < lg� �! -1n < lg� �! n > - lg� �! n > lg� �!
1 1
n > lg , co oznacza, że | y -1| będzie mniejsza od � gdy tylko n będzie większe od lg .
� �
Wobec tego zgodnie z definicją (1), zmienna y ma granicę równą jedności: lim y = 1
n"
Ćwiczenie 2
2x + 3 2
Wykazać, że lim =
x"
3x 3
2x + 3 2 2x + 3 - 2x 3 1
Rozwiązanie: Utwórzmy różnicę - = = =
3x 3 3x 3x x
Gdy x " różnica ta jest wielkością nieskończenie małą(jako odwrotność wielkości
2x + 3 2
nieskończenie wielkiej). Jeżeli zmienna różni się od stałej o wielkość nieskończenie
3x 3
małą, to stała ta jest granicą zmiennej.
Twierdzenia o nieskończenie małych i o granicach.
1. Suma skończonej ilości wielkości nieskończenie małych jest także wielkością
nieskończenie małą.
2. Iloczyn wielkości nieskończenie małej i wielkości ograniczonej jest także wielkością
nieskończenie małą.
3. Granica stałej jest równa wartości tej stałej.
4. Granica sumy skończonej liczby składników jest równa sumie ich granic.
lim(u+v w)=lim u+lim v lim w
5. Granica iloczynu skończonej liczby czynników jest równa iloczynowi ich granic.
lim(uvw) = lim u � lim v � lim w
6. Granica ilorazu jest równa ilorazowi granic dzielnej i dzielnika, jeśli granica dzielnika
u lim u
jest różna od zera. lim = , lim v `" 0
v lim v
Przykład 1
Znalez
ć granice funkcji
lim1
1 1
ś#
x1
a) lim�#2x - 3 - ź#
= lim 2 � lim x- lim3 - = 2 �1- 3 - = -2
ś#
x1 x1 x1 x1
x lim x 1
�# #
x1
1
b) lim x sin
x0
x
1 1
Gdy x 0 argument " a czynnik sin będzie przyjmował wartości od  1 do 1,
x x
nie dążąc do żadnej określonej granicy, czyli czynnik ten nie ma granicy, ale jest wielkością
1
ograniczoną, bo sin d" 1. Dlatego, zgodnie z twierdzeniem 2, dana funkcja, jako iloczyn
x
1
wielkości nieskończenie małej x i ograniczonej wielkości sin , będzie wielkością
x
1
nieskończenie małą i jej granica będzie równa zeru. lim x sin = 0
x0
x
1
x
c) Wyznaczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji y = 2
Jeżeli zmienna x będzie zmierzać do zera z lewej strony poprzez ujemne wartości, czyli gdy
1
x będzie nieskończenie małą wielkością ujemną, to będzie nieskończenie wielką
x
1
wielkością ujemną, a - nieskończenie wielką wielkością dodatnią.
x
1
- +"
-1 1
x
1 1 1
�# ś# �# ś#
x
Po wstawieniu za liczbę 2 = otrzymamy lim 2 = lim�# ś# = = 0 .
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
x-0
2 2 2
�# # �# # �# #
1
1
x
Jeżeli x +0 (z prawej strony) to +" i lim 2 = 2+" = +"
x+0
x
Granice: lewostronna i prawostronna funkcji są różne, czyli funkcja nie ma granicy,
gdy x 0.
Uwaga: W programie omega (http://floyd59.akcja.pl), po narysowaniu wykresu tej funkcji i
naciśnięciu klawisza ustawiamy x=0, a następnie po wybraniu opcji: gp (granica
prawostronna) lub gl (granica lewostronna) i ponownym naciśnięciu klawisza znajdziemy
potwierdzenie powyższego rozumowania.
Obliczanie granic
Granica funkcji w danym punkcie nie zależy od tego, czy funkcja jest określona w tym
punkcie czy też nie.
a) Jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna
argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczanie granicy sprowadza się do
podstawienia wartości granicznej argumentu, czyli lim f (x) = f (a)
xa
b) Jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny
funkcji, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy wymaga specjalnego
badania.
Warto też wykorzystywać twierdzenia dotyczące najczęściej występujących granic przy
obliczaniu innych granic i odgrywają one rolę wzorów, które warto pamiętać.
Te podstawowe twierdzenia, to:
(stała a jest wszędzie dodatnia)
x a a a
lim ax = " lim = " lim = -" lim = +" lim = 0
x" x" x-0 x+0 x"
a x x x
0 gdy | a |< 1
ż#
�#
x
lim a = + " gdy a > 1
�#
x+"
�#" gdy a < -1 1)
�#
1)
Gdy a<0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite.
0 gdy | a |> 1
ż#
�#
x
lim a = + " gdy 0 < a < 1
�#
x-"
�#" gdy -1 < a < 0 1)
�#
1)
Gdy a<0 zmienna x może przyjmować tylko wartości całkowite.
ż# - " gdy a > 1
ż# - " gdy a > 1
lim loga x = lim loga x =
�# �#
x+" x+0
�#+ " gdy 0 < a < 1 �#+ " gdy 0 < a < 1
x
1
sin x 1
ś#
lim = 1 lim�#1+ = lim(1+ ą )ą = e H" 2,71828
ś# ź#
x0 x" ą 0
x x
�# #
Bardziej złożone przypadki znajdowania granic funkcji to takie, gdy funkcja jest typu:
0 "
1) , 2) , 3) 0� " , 4) " - " , 5) 1"
0 "
Przystępując do wyznaczenia granicy funkcji należy najpierw sprawdzić, jakiego typu jest
to funkcja w tym celu podstawiamy w miejsce argumentu wartość, do której ten argument
ma zmierzać.
Ad 1)
W przypadku tym przekształcamy wyrażenie tak, aby ułamek można było skrócić przez
czynnik dążący do zera.
Przykład 1
x - 2 x - 2 1 1
lim = lim = lim =
x2 x2 x2
x2 - 4 (x + 2)(x - 2) x + 2 4
Przykład 2
x5 + 2x4 + x2 - 3x -10 x4 + x - 5 3
lim = lim = - (dzielimy licznik i mianownik przez x+2)
x-2 x-2
x4 + 2x3 + 3x2 + 5x - 2 x3 + 3x -1 5
Ogólnie, jeżeli wyznaczamy granicę ułamka, którego licznik i mianownik są wielomianami,
wielomianami miejscach zerowych w punkcie granicznym x=a, to na podstawie twierdzenia
Bezouta wiemy, że wielomiany te dzielą się bez reszty przez x a.
Przykład 3
sin2 x 1- cos2 x 1- cos x 2
lim = lim = lim =
xĄ xĄ xĄ
1+ cos3 x (1+ cos x)(1- cos x + cos2 x) 1- cos x + cos2 x 3
(rozkładamy licznik i mianownik na czynniki i skracamy ułamek przez 1+ cos x )
Przykład 4
1- x +1 (1- x +1)(1+ x +1) -1 1
lim = lim = lim = -
x0 x0 x0
x 2
x(1+ x +1) 1+ x +1
(usuwamy niewymierność w liczniku mnożąc licznik i mianownik przez 1+ x +1 ,
a następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x)
Przykład 5
tgx(1+ 1+ tgx)= - lim(1+ 1+ tgx)= -2
tgx
lim = lim
x0 x0 x0
1-1- tgx
1- 1+ tgx
(mnożymy licznik i mianownik przez 1+ 1+ tgx , a następnie skracamy ułamek przez czynnik
tgx )
Przykład 6
sin 3x 3sin 3x sin 3x
lim = lim = 3 lim = 3�1 = 3
x0 x0 3x0
x 3x 3x
(przekształcamy funkcję tak, aby móc skorzystać z jednej z podstawowych granic,
siną
mianowicie: ą 0 = 1)
lim
ą
Przykład 7
2
x
�# ś#
x2 x2 ś# 2 ź#
ź#
lim = lim = 2ś#lim = 2�1 = 2
x0 x0 x0
x x
1- cos x ź#
2sin2 ś# sin
ś# ź#
2 �# 2 #
x
2
(korzystamy ze wzoru trygonometrycznego 1- cos x = 2sin )
2
Przykład 8
x2 - 4 (tgv - 2)2 - 4 (tgv - 4)tgv tgv - 4 sin v
lim = lim = lim = lim � lim = -4�1 = -4
x-2 � 0 � 0 � 0 � 0
arctg(x + 2) v v cosv v
(podstawiając arctg(x + 2) = v otrzymamy x + 2 = tgv , przy czym: gdy x -2 , to v 0 )
Ad 2)
Przykład 1
1
3 -
3x2 -1
x2 = 3 - 0 = 3
lim = lim
x" x"
2
5x2 + 2x 5 - 0 5
5 +
x
(Dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x2 czyli przez najwyższą z występujących potęg x)
Zadanie to można także rozwiązać inaczej, za pomocą zamiany zmiennej. Podstawiając
1
mianowicie x = otrzymamy: ą 0 , gdy x " , zatem
ą
3
-1
2 2
2
3x -1 3 -ą 3
ą
lim = lim = lim =
2
x" ą 0 ą 0
5 2
5x + 2x 5 + 2ą 5
+
2
ą ą
Ogólnie, przejście graniczne dla x " można zawsze sprowadzić do przejścia granicznego
1
dlaą 0 jeśli za nową zmienną przyjmie się odwrotność zmiennej wyjściowej, czyli ą = .
x
Przykład 2
n 1 1
lim = lim = = -1 (dzielimy licznik i mianownik przez n)
n-" n-"
1 -1
n2 +1
- 1+
n2
Przykład 3
2 + 2n
� n
2 + 4 + 6 + ...+ 2n n 1
2
lim = lim = lim = lim = 1
n+" n+" n+" n+"
1+ 2n +1 1
1+ 3 + 5 + ...+ (2n +1) n +1
(n +1) 1+
2 n
(Licznik jest tu sumą n wyrazów ciągu arytmetycznego, mianownik sumą n+1 wyrazów
innego ciągu arytmetycznego. Należy zsumować oba wyrażenia według znanego wzoru na
sumę wyrazów ciągu arytmetycznego.)
Ad 3)
Ten przypadek wyznaczania granicy funkcji typu 0� " , można sprowadzić do przypadku
0 "
lub
0 "
Przykład 1
Ąx
(1- x)sin
Ąx Ąx 1- x 1- x
2
lim(1- x)tg = lim = limsin lim = 1� lim =
x1 x1 x1 x1 x1
Ąx Ąx
2 2 Ą Ąx
ś#
cos cos
sin�# - ź#
ś#
2 2
2 2
�# #
Ą 1
�# ś#
ś# ź#
2 2 x 2 2
�# #
= lim = �1 =
x1
Ą
Ą Ą Ą
sin (1- x)
2
(Wyrażenie przekształcamy na ułamek w którym licznik i mianownik dążą do zera)
Przykład 2
Ą 3 t
ś# ś#
lim�# - x cos ec�# Ą + x = lim t cos ec(Ą - t) = lim = 1
ś# ź# ś# ź#
Ą
t0 t 0
4 4 sin t
x �# # �# #
4
Ą
(Podstawiamy: - x = t )
4
Przykład 3
ą cosą ą
lim xarctgx = lim ą ctgą = lim = lim cosą � lim = 1
x+" ą +0 ą +0 ą +0 ą +0
sin a siną
(Podstawiamy arctgx = ą i otrzymujemy x = ctgą , przy czym ą +0 gdy x +" )
Ad 4)
0
Ten przypadek wyznaczania granicy funkcji typu " - " , można sprowadzić do przypadku:
0
"
lub .
"
Przykład 1
1 4 x - 2 1 1
ś#
lim�# - ź#
= lim = lim =
ś#
x2 x2 x2
x - 2 x2 - 4 x2 - 4 x + 2 4
�# #
(Odejmujemy ułamki i otrzymany ułamek skracamy przez x 2.)
Przykład 2
(x - x2 + 5x)(x + x2 + 5x) - 5x
lim(x - x2 + 5x)= lim = lim =
n+" n+" n+"
x + x2 + 5x x + x2 + 5x
- 5 5
= lim = -
n+"
2
5
1+ 1+
x
(Rozpatrujemy funkcję jako ułamek o mianowniku 1, pozbywamy się niewymierności
w liczniku, a następnie dzielimy licznik i mianownik ułamka przez x.)
Ad 5)
W tym przypadku w celu znalezienia granicy korzystamy z następującej granicy podstawowej
n
1
1
ś#
lim�#1+ = lim(1+ ą )ą = e
ś# ź#
n" ą 0
n
�# #
(Logarytm o podstawie e nazywa się logarytmem naturalnym i oznaczamy przez ln.
lg x
Logarytmy naturalne i dziesiętne są związane wzorami: lg x = lg e ln x oraz ln x = )
lg e
Przykład 1
a a
n n
n Ą# ń# Ą# ń#
a
a a
ś# ś#
Ą# ó#lim�#1+ a ś#a Ą#
lim�#1+ = limó#�#1+ = = ea
ś# ź# ś# ź# ś# ź#
n" n"
ó#�# # Ą# ó#n "�# # Ą#
n n n
�# #
Ł# Ś# Ł#a Ś#
lub inaczej, podstawiając n = ax , mamy x " gdy n "
a a
n ax x x
Ą# ń# Ą# ń#
a 1 1 1
ś# ś# ś# �#1+ ś#
lim�#1+ = lim�#1+ = limó#�#1+ = = ea
ś# ź# ś# ź# ś# ź# Ą# ó#lim Ą#
ś# ź#
n" x" x"
n x
�# # �# #
ó#�# x # Ą# ó#x"�# x # Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Przykład 2
2 -2
-
Ą#lim 1 ń#
x
ą
lim 1- 2x = lim(1+ ą) = (1+ ą)ą = e-2
ó#ą 0 Ą#
x0 ą 0
Ł# Ś#
(Podstawiając: - 2x = ą mamyą 0 gdy x 0)
Reguła de l Hospitala i jej zastosowanie przy obliczaniu granic funkcji.
Skutecznym środkiem wyznaczania granicy funkcji w przypadkach, gdy jest ona typu:
0 "
(ilorazem dwóch wielkości nieskończenie małych) lub typu (ilorazem dwóch wielkości
0 "
nieskończenie dużych) jest reguła de l Hospitala, która mówi: Granica stosunku dwu
wielkości nieskończenie małych lub nieskończenie wielkich wielkości jest równa granicy
stosunku pochodnych tych wielkości, pod warunkiem, że ostatnia granica istnieje lub zmierza
do nieskończoności.
a)
0 "
Gdy okaże się, że iloraz pochodnych jest też wyrażeniem typu lub , to regułę
0 "
de l Hospitala można stosować ponownie, a nawet wielokrotnie (jeśli jest to celowe).
Przykład 1
x4 -16 4x3 32 16
lim = lim = =
x2 x2
x3 + 5x2 - 6x -16 3x2 +10x - 6 26 13
Przykład 2
xm - am mxm-1 m
lim = lim = am-n
xa
xn - an xa nxn-1 n
0
(Po stwierdzeniu, że są to przypadki ilorazów typu: stosujemy regułę de l Hospitala)
0
Przykład 3
1- cos ax asin ax a2 cos ax a2
lim = lim = lim =
x0 x0 x0
1- cosbx bsin bx b2 cosbx b2
0
(Po stwierdzeniu, że jest to przypadek ilorazu typu: stosujemy regułę de l Hospitala
0
dwukrotnie)
Czasami stosowanie reguły de l Hospitala nie prowadzi do celu.
Przykład 4
tgx sec2 x sec x tgx
lim = lim = lim = lim
Ą Ą Ą Ą
sec x sec xtgx tgx sec x
x x x x
2 2 2 2
(Granicę wyznaczamy za pomocą elementarnego przekształcenia)
tgx sin x cos x
lim = lim = lim sin x = 1
Ą Ą Ą
sec x cos x
x x x
2 2 2
Przykład 5
x - sin x 1- cos x x
2
lim = lim = lim tg (Stosowanie reguły de l Hospitala nie prowadzi do
x" x" x"
x + sin x 1+ cos x 2
wyniku, ponieważ granica nie istnieje. Szukaną granicę można wyznaczyć w sposób
elementarny)
sin x
1-
x - sin x
x
lim = lim = 1, gdyż | sin x |d" 1
x" x"
sin x
x + sin x
1+
x
b)
Kiedy funkcja jest typu 0� " lub " - " przekształcamy funkcję do postaci ułamka
0 "
i wyznaczanie granicy sprowadzamy do przypadku: lub .
0 "
Przykład 1
x 1 1
lim xctg2x = lim = lim =
x0 x0 x0
tg2x 2sec2 2x 2
Przykład 2
1
ln x
3 x 3
lim( x ln x)= lim = lim = -3 lim x = 0
1 1
x+0 x+0 x+0 x+0
-
3
x
33 x4
0
(Po sprowadzeniu do przypadku stosujemy regułę de l Hospitala)
0
Przykład 3
1 1 x - sin x 1 - cos x sin x
ś#
lim�# = = lim = lim = lim = 0
ś# ź#
x0 x0 x0 x0
sin x x x sin x sin x + x cos x 2 cos x - x sin x
�# #
0
(Po sprowadzeniu do przypadku stosujemy regułę de l Hospitala dwukrotnie.
0
0 "
c) Przypadki funkcji typu:1" , "0 , 00 także sprowadzamy do przypadków: lub
0 "
w następujący sposób: Daną funkcję logarytmujemy i znajdujemy granicę jej logarytmu,
a następnie, gdy znamy granicę logarytmu funkcji, wyznaczamy granicę samej funkcji.
Przykład 1
tg 2 x
a = lim(tgx) Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 1" , logarytmujemy funkcję
Ą
x
4
tg 2 x
i szukamy granicy jej logarytmu. a = lim(tgx)
Ą
x
4
lntgx
ln a = lim ln(tgx)tg 2x = lim tg2x � lntgx = lim (sprowadziliśmy poszukiwanie granicy
Ą Ą Ą
ctg2x
x x x
4 4 4
0
do przypadku , a następnie stosując regułę de l Hospitala, otrzymamy:
0
Ą# ń#
sec2 x
ln a = limó# : (-2cosec2 2x)Ą# = -1 Znając granicę logarytmu funkcji, znajdujemy granicę
Ą
tgx
x
Ł# Ś#
4
funkcji a = e-1
Przykład 2
1
x
lim (ln x) Po ustaleniu, że zachodzi przypadek "0 , obliczamy granicę logarytmu funkcji.
x+"
1
ln(ln x) "
x
a = lim (ln x) ln a = lim Otrzymaliśmy przypadek więc stosujemy regułę
x+" x+"
x "
1
�#
de l Hospitala ln a = lim :1ś# = 0 skąd wynika, że poszukiwana granica a = e0 = 1
ś# ź#
x+"
x ln x
�# #
Przykład 3
6
lim x1+2 ln x Stwierdziwszy, że zachodzi przypadek 00 , wyznaczamy granice:
x+0
6
6ln x "
a = lim x1+2 ln x ln a = lim i otrzymaliśmy przypadek . Stosujemy regułę
x+0 x+0
1+ 2ln x "
1 2 1
ś#
de l Hospitala ln a = 6 lim�# : = 6 � = 3 a więc poszukiwana granica wynosi a = e3 .
ś# ź#
x+0
x x 2
�# #