Granice funkcji
mgr Zofia Matusiewicz
18 sierpnia 2004
1 Granice funkcji
1.1 Granica funkcji w punkcie według Heinego
Definicja 1 (wg Heinego)
lim f(x) = g Ô! "(xn),{xn}‚"(c-r,c)*"(c,c+r)[n" xn = c Ò! lim f(xn) = g]
lim
xc n"
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy lewostronnej:
Definicja 2 (wg Heinego)
lim f(x) = g Ô! "(xn),{xn}‚"(c-r,c)[n" xn = c Ò! lim f(xn) = g]
lim
n"
xc-
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy prawostronnej:
Definicja 3 (wg Heinego)
lim f(x) = g Ô! "(xn),{xn}‚"(c,c+r)[n" xn = c Ò! lim f(xn) = g]
lim
n"
xc+
dla dowolnego r " R+.
Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:
Definicja 4 (wg Heinego)
lim f(x) = " Ô! "(xn),{xn}‚"(c-r,c)*"(c,c+r)[n" xn = c Ò! lim f(xn) = "]
lim
xc n"
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy właściwej w nieskończoności:
Definicja 5 (wg Heinego)
lim f(x) = g Ô! "(xn),{xn}‚"(r,")[n" xn = c Ò! lim f(xn) = g]
lim
x" n"
dla dowolnego r " R+.
1
Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:
Definicja 6 (wg Heinego)
lim f(x) = " Ô! "(xn),{xn}‚"(r,")[n" xn = c Ò! lim f(xn) = "]
lim
x" n"
dla dowolnego r " R+.
1.2 Granica funkcji w punkcie według Cauchy ego
Definicja 7 (wg Cauchy ego)
lim f(x) = g Ô! " >0"´>0"x"(c-r,c)*"(c,c+r)[(|x - c| < ´) Ò! (|f(x) - g| < )]
xc
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy lewostronnej:
Definicja 8 (wg Cauchy ego)
lim f(x) = g Ô! " >0"´>0"x"(c-r,c)[(0 < c - x < ´) Ò! (|f(x) - g| < )]
xc-
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy prawostronnej:
Definicja 9 (wg Cauchy ego)
lim f(x) = g Ô! " >0"´>0"x"(c,c+r)[(0 < x - c < ´) Ò! (|f(x) - g| < )]
xc+
dla dowolnego r " R+.
Granica funkcji niewłaściwej funkcji w punkcie:
Definicja 10 (wg Cauchy ego)
lim f(x) = " Ô! " >0"´>0"x"(c-r,c)*"(c,c+r)[(|c - x| < ´) Ò! (|f(x) - g| > )]
xc
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy właściwej w nieskończoności:
Definicja 11 (wg Cauchyego)
lim f(x) = g Ô! " >0"´"R"x"(r,")[(x > ´) Ò! (|f(x) - g| < )]
x"
dla dowolnego r " R+.
Definicja granicy niewłaściwej w nieskończoności:
Definicja 12 (wg Cauchy ego)
lim f(x) = " Ô! " >0"´"R"x"(r,")[(x > ´) Ò! (f(x) > )]
x"
dla dowolnego r " R+.
2
1.3 Twierdzenia dotyczÄ…ce granic
Twierdzenie 1 Niech W (x) będzie wielomianem stopnia n, P (x) będzie
wielomianem stopnia m i jeśli m > n, to:
W (x)
lim = 0,
c"
P (x)
oraz jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest dodatni:
P (x)
lim = +",
c"
W (x)
zaś jeśli współczynnik przy x w największej potędze w P (x) jest ujemny:
P (x)
lim = -",
c"
W (x)
Twierdzenie 2 Niech W (x) i P (x) będą wielomianami stopnia nto:
P (x) a
lim = ,
c"
W (x) b
gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w P (x), zaś b
gdzie a jest współczynnikiem przy x w największej potędze w W (x).
Twierdzenie 3
lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
xc xc xc
Twierdzenie 4
lim(f(x) - g(x)) = lim f(x) - lim g(x)
xc xc xc
Twierdzenie 5
lim(s · g(x)) = s · lim f(x)
xc xc
Twierdzenie 6
lim(f(x) · g(x)) = (xc f(x)) · (xc g(x))
lim lim
xc
Twierdzenie 7
f(x) limxc f(x)
lim( =
xc
g(x) limxc g(x)
jeśli limxc = 0.

3
Twierdzenie 8
lim(f(x))g(x) = lim f(x)limxc g(x)
xc xc
Twierdzenie 9
lim(g(f(x)) = (xc f(x)).
lim
xc
Twierdzenie 10 Niech będą dane funkcje f, g, h spełniające warunki:
f(x) g(x) h(x)
dla każdego x " (c - r, c) *" (c, c + r) dla dowolnego r " R+ oraz
lim f(x) = lim h(x) = q
xc xc
to
lim g(x) = q
xc
Analogiczne twierdzenia zachodzÄ… dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.
Twierdzenie 11
1
lim f(x) = lim f( )
x"
y0+ u
Twierdzenie 12
1
lim f(x) = lim f( )
x-"
y0- u
2 Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych
2.1 Symbole nieoznaczone
Wyrażenia, które  przyjmują wartości :
" " - "
" 0 · "
"
"
"
" 1"
" "0
" 00
0
"
0
nazywa siÄ™ SYMBOLAMI NIEOZNACZONYMI.
4
2.2 Podstawowe granice wyrażeń nieoznaczonych
1.
sin x
lim = 1
x0
x
2.
tg x
lim = 1
x0
x
3.
x
lim = 1
x0
sin x
4.
x
lim = 1
x0
tg x
5.
1
lim(1 + x)x = e
x0
6.
a
lim(1 + x)x = ea
x0
7.
1
lim (1 + )x = e
x+/-" x
8.
a
lim (1 + )x = ea
x+/-" x
9.
ex - 1
lim = ln e = 1
x0
x
10.
ax - 1
lim = ln a
x0
x
11.
ln(1 + x)
lim = 1
x0
x
12.
loga(1 + x) 1
lim =
x0
x ln a
5
2.3 Granice funkcji niewłaściwych
Niech p będzie dowolną liczbą (stałą) lub p = limxc f(x), " = limxc g(x),
zaś jeśli limxc h(x) = 0 i dla x c i prawie zawsze h(x) 0 wówczas
zapisuje siÄ™ ten fakt symbpolicznie 0+:
Twierdzenie 13
p + " = "
p " R *" {"}.
Twierdzenie 14
p - " = -"
p " R *" {-"}.
Twierdzenie 15
p · " = "
p " R+ *" {"}.
Twierdzenie 16
p · " = -"
p " R- *" {-"}.
Twierdzenie 17
p
= 0
"
p " R.
Twierdzenie 18
p
= "
0+
p " R+ *" {"}.
Twierdzenie 19
p
= -"
0+
p " R- *" {-"}.
6
Twierdzenie 20
p+" = "
p " (1, "),
p+" = 0
p " (0, 1),
Twierdzenie 21
"p = "
dla p " R+ *" {+"},
"p = 0
dla p " R- *" {-"},
Twierdzenie 22 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:
f(x) g(x)
dla każdego x " (c - r, c) *" (c, c + r) dla dowolnego r " R+ oraz
lim f(x) = "
xc
to
lim g(x) = ".
xc
Stąd łatwo także wykazać:
Twierdzenie 23 Jeśli dwie funkcje f i g spełniają warunki:
f(x) g(x)
dla każdego x " (c - r, c) *" (c, c + r) dla dowolnego r " R+ oraz
lim g(x) = -"
xc
to
lim f(x) = -".
xc
Analogiczne twierdzenia zachodzÄ… dla granic jednostronnych oraz granic w
nieskończoności.
7
3 Zadania
Oblicz granice funkcji (jeśli istnieją)
1.
x2
lim
x1
x + 1
2.
x - 1
lim
x1
x + 1
3.
x + 2
lim
x-1 - 1
x
4.
x2 - 9
lim
x3 - 3
x
5.
x2 + x - 2
lim
x1 - 6x + 5
x2
6.
x2 + 2x - 3
lim
x1 - 6x + 5
x2
7.
x2 + 4x + 3
lim
x-3
x2 + 5x + 6
8.
x2 - x - 2
lim
x-1
x2 + 3x + 2
9.
x2 - 6x + 5
lim
x5 - 3x - 10
x2
10.
x2 - 6x + 5
lim
x2 - 3x - 10
x2
8
11.
2
lim "
"
x1
x + 1 - 2 x
12.
x2 - 1
lim " "
x2
2x - 1 - x + 2
13.
x2 - x - 2
lim "
x2
x + 1 - 2
14.
x2 - 2x
lim "
x2
x - 1 - 1
15.
sin x
lim
x0
3x
16.
sin (-2x)
lim
x0
6x
17.
tg (2x)
lim
x0 -x
18.
sin x
lim
x0
tg x
19.
x
lim
x0
x2 + 1
20.
x3
lim
x0
x2 + 1
9
21.
x3 - 1
lim
x-1 - 1
x2
22.
lim ln(x - 2)
x2+
23.
lim ln(x2 + x + 1)
x0
24.
lim ln x - 5
x"
25.
1
cos x -
2
lim


x
x -
3 3
26.

lim x2 + 1 - x2 - 1
x"
27.
-2
lim " "
x"
x2 + 1 - x2 - 1
28.
3x - 2
lim "
x"
x2 + 3x - 2
29.
2x2 + 1
lim "
x"
x2 + x
30.
x3 - 2
lim "
3
x"
x2 + 3x - 2
31.
x3 - 2
lim "
3
x"
x3 + 3x2 + 3
10
32.
x3 + 1
lim "
x"
x3 + 3x2 + 3
33.
lim (x2 - x + 1)
x"
34.
lim (x2 - 2x + 15)
x-"
35.
lim (x3 - 2x + 15)
x-"
36.
x2
lim - 2x + 1
x-" - 3x + 5
x2
37.
x2
lim + 11
x-" - 3x + 5
x2
38.
x + 2
lim - 12x + 2
x-"
x + 4
39.
x + 2 1 3
lim - +
x-"
x + 4 x 3 - x
40.
1 - cos x
lim
x0
x2
41.
" "
2 - 1 + cos x
lim
x0
sin2 x
Sprawdz
, ile wynoszÄ… granice jednostronne. Czy istniejÄ… granice podanych
funkcji w punkcie a:
11
1.
f(x) = x2 - 9, a = 3.
2.
f(x) = sin x - 12, a = .
3.
f(x) = ln x, a = 1.
4.
f(x) = ln (x - 3), a = 3.
5.
Å„Å‚
ôÅ‚ -x, x < 0
òÅ‚
f(x) = 0, x = 0 , a = 0.
ôÅ‚
ół
x, x > 0
6.
Å„Å‚
ôÅ‚ -1, x < 0
òÅ‚
f(x) = 0, x = 0 , a = 0.
ôÅ‚
ół
1, x > 0
7.

x2 + x + 3, x = 3

f(x) = , a = 3.
14, x = 3
8.

x2 + x + 1, x 2
f(x) = , a = 2.
x4-2
, x > 2
2
9.

x2 - 2x + 1, x 0
"
f(x) = , a = 2.
x2 + 1, x > 0
12