GRANICA FUNKCJI
" 0
SYMBOLE NIEOZNACZONE : ; ; " - " ; 0 � " ; 1" ; 00 ; 0" ; "0
" 0
Zad 1 Znalez
ć granice funkcji w punkcie:
( )
x + 1 1 3 x3 - 4x2 + 5x
a) lim e) lim - i) lim
x-2 - 1 x x(|x| + 1)
x1 - 1 1 - x3
x0
x
" "
3
x2 - 9 x + 1 - 1 2 - x + 8
b) lim f) lim j) lim
x3 - 30 x x
x0 x0
x3 + x
x2 - x - 30 x - 1
c) lim g) lim "
x-5 x1
x3 + 5x2 - 4x - 20
1 - 2 - x
" "
x - 4 2 x + 1 - x + 13
d) lim " h) lim
x4 - x x2 - 9
x3
2
sin x
Zad 2 Korzystając z tego, że lim = 1 znalez
ć granice funkcji w punkcie:
x0
x
sin 4x sin(x - 1)
a) lim f) lim 4x�ctg 6x k) lim
x0 x0 x1 - x2
x 1
sin 7x sin2 2x x2 - 3x - 4
b) lim g) lim l) lim
x0 x0 x4 - 4)
sin 4x 6x2 sin(x
"
2x sin 3x - x x + 4 - 2
c) lim h) lim m) lim
x0 - sin 2x 5x + sin 2x sin 3x
x0 x0
sin 5x
"
tg 6x 1 - cos x x2 + 4 - 2
d) lim i) lim n) lim
2
x0 x0 x0
3x x2 tg 3x
x2 cos 3x - cos x
e) lim j) lim o) lim (x2-4)ctg (x+2)
x0 x0 x-2
tg 4x x2
Zad 3 Znalez
ć granice:
"
"
( )
9x2 - 6
a) lim (5x3-x+2) f) lim k) lim (x + 2)(x + 8)+x
x" x" - 3x
x-"
2
"
"
( )
9x2 - 6
b) lim (5x3-x+2) g) lim l) lim (x + 2)(x + 8)+x
x-" x-" - 3x
x"
2
"
"
(" )
x2 + 1
c) lim (2x4+x2-3x) h) lim m) lim x2 + 2x + 3- x2 - 1
x" x" -x
x-"
"
"
(" )
x2 + 1
d) lim (2x4+x2-3x) i) lim n) lim e2x + 1- e2x - 1
x-" x-" -x
x"
"
( )
2x2+x-1
x3 + x2 1 10
"
e) lim -x j) lim " " o) lim "
2x2-1
x" x" x-"
x2 + 4
x( x - x - 1)
10
Zad 4 Znalez
ć granice funkcji:
( )
sin x cos x2 Ą
a) lim b) lim c) lim sin x�ctg x d) lim (-1)x arctg x-
x" - 1 x2 2
x-" - x
x0 x"
x
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
Zad 5 Znalez
ć granice funkcji:
[( )x ( )x]
3x+2 + 4x ex + e-x Ą2x + Ą-2x 1 3
a) lim (7x+5x-3x) c) lim e) lim g) lim i) lim -
x" x" - 33 ex Ą2x 2 4
x" - e-x
x" - Ą-2x
x"
6x
[( )x ( )x]
3x+2 + 4x ex + e-x Ą2x + Ą-2x 1 3
b) lim (7x+5x-3x) d) lim f) lim h) lim j) lim -
x-" x-" - 33 ex Ą2x 2 4
x-" - e-x
x-" - Ą-2x
x-"
6x
Zad 6 Znalez
ć granice funkcji:
2 x
( )2x-1 ( )3x ( )x ( ) ( )2-x
x + 1 x - 1 7x + 3 x2 - 2 3 2x + 1
a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim
x" - 2 3x + 2 7x x2 + 1 x
x" x" - 5
x" x-" - 1
x
2 x
( )2x-1 ( )3x ( )x ( ) ( )2x
x + 1 x - 1 7x + 3 x2 - 2 3 x2 + x - 1
b) lim d) lim f) lim h) lim j) lim
x-" - 2 3x + 2 7x x2 + 1 x2
x-" x-" - 5
x-" x-" - 3
x
Zad 7 Znalez
ć granice funkcji:

( )
x + 1 x2 x
a) lim sin(arctg x) d) lim log2 g) lim arctg +

x" x" x"
x2 + 2 x - 1 1 - x2
1 - x (2x2 - 1)arctg (x2 - 2)
b) lim cos(arcctg (x2+3)) e) lim arcsin h) lim
x-" x" x"
2 + 2x x2 + 1
c) lim log 1 cos x f) lim arctg (- ln x) i) lim x(ln x-ln(x+1))
2
x0 x" x"
GRANICE JEDNOSTRONNE
DEF. Niech funkcja f będzie określona w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 tzn. w przedziale (x0 - r, x0) dla pewnego r " R+.
Liczbę g nazywamy granicą lewostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu
(xn) o wyrazach z przedziału (x0 - r, x0) zbieżnego do x0, ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.
Piszemy: lim f(x) = g
xx-
0
DEF. Niech funkcja f będzie określona w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu x0 tzn. w przedziale (x0, x0 + r) dla pewnego
r " R+. Liczbę g nazywamy granicą prawostronną właściwą (lub niewłaściwą) funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego ciągu (xn) o wyrazach z przedziału (x0, x0 + r) zbieżnego do x0, ciąg (f(xn)) jest zbieżny do g.
Piszemy: lim f(x) = g
xx+
0
TWIERDZENIE (o warunku koniecznym i wystarczającym isnienia granicy)
Funkcja f ma w punkcie x0granicę właściwą (lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją granice jednostronne
lim f(x) i lim f(x) i są one sobie równe, tj. lim f(x) = lim f(x) = g. Wtedy lim f(x) = g.
xx0
xx- xx+ xx- xx+
0 0 0 0
Zad 8 Obliczyć granice jednostronne lim f(x), lim f(x), gdy:
xx- xx+
0 0
x2 - 5 1 - x Ą
1-x
a)f(x) = , x0 = 0 e)f(x) = , x0 = 0 i)f(x) = e , x0 = 1
x x
x2 + 4 x2 - 1 1
b)f(x) = , x0 = 1 f)f(x) = , x0 = 1, x1 = -2 j)f(x) = , x0 = 0
1
x - 1 -x2 - x + 2 x
4 - 2
1
x
x
x2 - 4x 5
(x+1)2
c)f(x) = , x0 = 3 g)f(x) = 2 , x0 = -1 k)f(x) = , x0 = 0
1
3 - x x
1 + 5
2
1
( )
x
x2 - 2 1 x 2 + 6
d)f(x) = , x0 = 3, x1 = -1 h)f(x) = , x0 = 0 l)f(x) = , x0 = 0
2
x2 - 2x - 3 2 x
6 + 2
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG
Zad 9 Znalez
ć granice jednostronne funkcji:
2 x x
a) lim log3 d) lim g) lim
x0+ x2 x0- sin2 x
x0+ ln x
x
sin
2x + 1 x
2
b) lim e) lim h) lim
Ą +
x1- ln x tg x x0- ln x
x
2
x - 1 -2x 1
c) lim f) lim " i) lim arctg
x4+ log 1 (x - 4) x3- x + 6 - 3
x0- x
2
Zad 10 Sprawdzić, czy istnieją podane granice funkcji. Jeśli tak, to obliczyć je.
x2 - 2x |1 - x2| x - 1
a) lim d) lim " g) lim
x0 x1 x2 - 1)
|x| log(x
2 - x - 1
{
x+1
|x2 - 9| dla x < -1
x-2
b) lim e) lim ln |x| h) lim f(x), f(x) =
x3 - 3
x0 x-1 x2 - 1 dla x -1
x
{
4x2-7x+3
dla x < 1
(x + 2)3 x - 1
"4(x-1)
c) lim f) lim " i) lim f(x), f(x) =
x+3-2
x-2 x1 x1
|x + 2|
x + 3 - 2
dla x > 1
x-1
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DEF. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x0 " D wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
lim f(x) oraz lim f(x) = f(x0)
xx0 xx0
Zatem f jest ciągła w punkcie x0 " D, gdy lim f(x) = lim f(x) = f(x0)
xx- xx+
0 0
UWAGA!
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach. Ciągłe są również sumy, różnice, iloczyny, ilorazy, złożenia takich funkcji.
RODZAJE PUNKTÓW NIECI
GA
OŚCI Mówimy, że x0 " D jest punktem nieciągłości:
I RODZAJU, gdy lim f(x) i lim f(x) istnieją i są właście oraz lim f(x) = f(x0) lub lim f(x) = f(x0).
8 8
xx0 xx0
xx- xx+
0 0
II RODZAJU, gdy któraś z granic jednostronnych jest niewłaściwa albo nie istnieje.
Zad 11 Zbadać ciągłość funkcji. Podać rodzaje punktów nieciągłości.
{ {
x-1 1
dla x " R - {1, -2} arctg dla x = 2
8
x2+x-2 2-x
a)f(x) = c)f(x) =
1 Ą
dla x = 1 lub x = -2 - dla x = 2
3 2
ńł
1
{
dla x < 0
�ł 2- x 2
"x -1
dla x < 1
2-x-1
b)f(x) = 1 dla x " Ł'0, 1) d)f(x) =
ół
4x dla x 1
x + 1 dla x 1
Zad 12 Zbadać dla jakich wartości parametrów a, b funkcja jest ciągła.
ńł
{
2x + cos a dla x < 1
�ł
2x + 8 dla x 0
a)f(x) = c)f(x) = b2 dla x = 1
(x - a)2 dla x < 0
ół
3 ln x + 3 dla x > 1
{
sin 8x
dla x = 0
8
2x
b)f(x) =
a2 dla x = 0
mgr Dorota Grott CNMiKnO PG