1 Granica i ci¸ lość funkcji.
ag
Przygotowa Izabela Wardach
la
Zadania do samodzielnego rozwiazania:
¸
1) Oblicz:
tgx
a) lim odp.: 1
x
x0
tg(x-1)2
b) lim odp: 0
x-1
x1
"
cosx-sinx 2
c) lim odp:
cos2x 2
Ä„
x
4
sinĄx
d) lim odp: -Ä„
x2-1 2
x1
2) Oblicz:
"
1+x- 1-2x-x2
a) lim odp.: 1
2x
x0

1 3
b) lim - odp: -1
1-x 1-x3
x1
"
1- x
c) lim odp: -1
x-1 2
x1
3) Oblicz:
x
a) lim odp:1
x+1
x"
x
b) lim odp:1
x+1
x-"
x2
c) lim odp:+"
x+1
x"
x3+7
d) lim odp:0
(x-1)2
x"
"
e) lim x2 + x - x odp:1
2
x"
4) Oblicz:
" "
1-cosx 2
a) lim odp:-
2
x0- sinx
sinx
b) lim odp:+"
x0+ x2
1
"
c) lim odp:-"
x1- x-1
x+3
d) lim odp:-1
7
x-3+ x2-x-12
5) Wyznacz a i b wiedz¸ że:
ac,
"
lim 4x2 - 4x + 2 - ax + b = 0 odp:a = 2, b = 1 lub a = -2, b = -1
x"
6) Wykazać, że nie istnieja granice:
¸
a) lim cosx
x"
1
1
b) lim sin
x
x0
"
1-cosx
7) Wykazać, że funkcja f(x) = nie ma granicy w punkcie x0 = 0.
x
8) Dla jakiej wartości m funkcja

x
dla x = 0

|x|
f(x) =
m dla x = 0
jest ciag w punkcie x0 = 0: a) lewostronnie, b) prawostronnie? odp:a) m = -1, b) m = 1.
¸ la
9) Wykaż, że funkcja

1
(x - 1)sin dla x = 1

x-1
f(x) =
0 dla x = 1
jest ciag w każdym punkcie x0 " R.
¸ la
10) Zbadaj ciag funkcji
¸ lość
Å„Å‚
x2 + 1 dla x d" 0
òÅ‚
1
f(x) = dla 0 < x < 1
x
ół
x - 1 dla x e" 1
odp.: funkcja nieciag w punktach x0 = 0 i x1 = 1
¸ la

x+3
dla x = -3 i x = 2

x2+x-6
11) Wyznacz punkty nieciag funkcji: f(x) =
¸ loÅ›ci
-1 dla x = -3 lub x = 2
5
odp.: x1 = 2
12) Dla jakiej wartości a funkcja

x2-1
dla x = -1

x+1
f(x) =
a dla x = -1
jest ciag odp: a = -2.
¸ la?
2