Granica i ciągłość funkcji
Pojęcie funkcji. Dane są zbiory X oraz Y.
Jeżeli każdemu elementowi zbioru X zostanie
przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru Y, to
mówimy, że została określona funkcja ze zbioru X w zbiór
Y.
Oznaczmy tÄ™ funkcjÄ™ literÄ… f. Piszemy:
f : X ®ðY
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji.
Każdy element zbioru X nazywamy argumentem funkcji f.
Element y ÎðY przyporzÄ…dkowany argumentowi xÎð X
nazywamy wartością funkcji f dla argumentu x. Piszemy:
y =ð f (x).
W dalszym ciągu będziemy zajmować się funkcjami, dla
których zbiory X oraz Y są podzbiorami zbioru liczb
rzeczywistych R.
SÄ… to funkcje liczbowe jednej zmiennej rzeczywistej.
Mówiąc:  funkcja będziemy mieli na myśli takie funkcje.
x +ð 3
PrzykÅ‚ad 1. Dana jest funkcja f (x) =ð . Wyznaczmy
x2 -ð 2x
dziedzinÄ™ tej funkcji.
Funkcja ta nie jest określona, gdy mianownik ma wartość
zero. Zatem: x2 -ð 2x Ä…ð 0
StÄ…d: x(x -ð 2) Ä…ð 0
Czyli: x Ä…ð 0 i x Ä…ð 2 dziedzina funkcji f.
Uwaga: Powyższy warunek możemy zapisać na kilka
sposobów, np. xÎð R -ð{0,2} albo
xÎð(-ðÄ„ð;0) Èð (0;2) Èð (2;Ä„ð) . CzÄ™sto oznaczamy dziedzinÄ™
literÄ… D, wtedy możemy też napisać np. D =ð R -ð{0,2}
albo D =ð (-ðÄ„ð;0) Èð (0;2) Èð (2;Ä„ð).
PrzykÅ‚ad 2. Dana jest funkcja f (x) =ð 2x -ð 6. Wyznaczmy
dziedzinÄ™ tej funkcji.
Funkcja ta nie jest określona, gdy wyrażenie
podpierwiastkowe jest ujemne. Zatem: 2x -ð 6 Å‚ð 0. StÄ…d:
2x Å‚ð 6, czyli: x Å‚ð 3.
Uwaga: Powyższy warunek możemy zapisać inaczej, np.
xÎð<ð 3;Ä„ð) albo D =ð<ð 3;Ä„ð).
Funkcje różnowartościowe
Mówimy, że funkcja f jest różnowartościowa, gdy
różnym argumentom są przyporządkowane różne wartości
funkcji.
Wykres funkcji różnowartościowej ma własność: każda
prosta równoległa do osi OX przecina wykres w co
najwyżej jednym punkcie.
Funkcje parzyste
Mówimy, że funkcja f jest parzysta, gdy dla dowolnego
argumentu x liczba -ð x też jest argumentem i zachodzi
równość:
f (x) =ð f (-ðx)
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi
OY.
Funkcje nieparzyste
Mówimy, że funkcja f jest nieparzysta, gdy dla
dowolnego argumentu x liczba -ð x też jest argumentem i
zachodzi równość:
f (x) =ð -ð f (-ðx)
Wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem
początku układu współrzędnych.
Otoczenie i sÄ…siedztwo liczby (punktu na osi)
Przypomnienie: Otoczeniem liczby g (punktu g  na osi) o
promieniu eð nazywamy przedziaÅ‚ (g -ð eð; g +ð eð ).
SÄ…siedztwem liczby g (punktu g  na osi) o promieniu eð
nazywamy zbiór (g -ð eð; g +ð eð ) -ð{g}.
Granica funkcji w punkcie
Niech x0 Îð R i niech f bÄ™dzie funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… w
sÄ…siedztwie x0.
Mówimy, że granica funkcji f w punkcie x0 jest równa g
jeżeli dla każdego ciągu (xn) argumentów funkcji,
zbieżnego do x0, o wyrazach różnych od x0, ciąg ( f (xn))
ma granicÄ™ g.
Piszemy: lim f (x) =ð g
x®ðx0
Uwaga: g może być liczbÄ… lub +ð Ä„ð lub -ð Ä„ð.
Granica funkcji w plus nieskończoności
Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… w przedziale (a;Ä„ð).
Mówimy, że granica funkcji f w plus nieskończoności
jest równa g jeżeli dla każdego ciągu (xn) argumentów
funkcji, rozbieżnego do +ð Ä„ð, ciÄ…g ( f (xn)) ma granicÄ™ g.
Piszemy: lim f (x) =ð g
x®ðÄ„ð
Uwaga: g może być liczbÄ… lub +ð Ä„ð lub -ð Ä„ð.
Granica funkcji w minus nieskończoności
Niech f bÄ™dzie funkcjÄ… okreÅ›lonÄ… w przedziale (-ðÄ„ð;a).
Mówimy, że granica funkcji f w minus nieskończoności
jest równa g jeżeli dla każdego ciągu (xn) argumentów
funkcji, rozbieżnego do -ð Ä„ð, ciÄ…g ( f (xn)) ma granicÄ™ g.
Piszemy: lim f (x) =ð g
x®ð-ðÄ„ð
Uwaga: g może być liczbÄ… lub +ð Ä„ð lub -ð Ä„ð.
Rachunek granic
Dla granic funkcji prawdziwe sÄ… twierdzenia analogiczne
do twierdzeń  rachunku granic dla ciągów.
Przykład 1.
x2 -ð1 (x -ð1)(x +ð1)
éð0Å‚ð
a) lim =ð =ð lim =ð lim(x +ð1) =ð 2
Ä™ð0Å›ð
x -ð1 x -ð1
x®ð1 x®ð1 x®ð1
ëð ûð
1+ð x -ð 1-ð x
éð0Å‚ð
b) lim =ð =ð
Ä™ð0Å›ð
x
x®ð0
ëð ûð
( 1+ð x -ð 1-ð x)( 1+ð x +ð 1-ð x)
=ð lim =ð
x( 1+ð x +ð 1-ð x)
x®ð0
1+ð x -ð (1-ð x) 2x
=ð lim =ð lim =ð
x( 1+ð x +ð 1-ð x) x( 1+ð x +ð 1-ð x)
x®ð0 x®ð0
2 2
=ð lim =ð =ð1
1+ð x +ð 1-ð x 2
x®ð0
3x2 +ð 5x
3x2 +ð 5x
x2 =ð
c) lim =ð lim
x®ðÄ„ð x®ðÄ„ð
7x2 +ð 4 7x2 +ð 4
x2
5
3 +ð
3 +ð 0 3
x
=ð lim =ð =ð
4
7 +ð 0 7
x®ðÄ„ð
7 +ð
x2
sin x
Ważna granica: lim =ð1
x
x®ð0
Przykład 1. c.d.
sin3x 3 sin3x
éð0Å‚ð
d) lim =ð =ð lim ×ð =ð
Ä™ð0Å›ð
5x 5 3x
x®ð0 x®ð0
ëð ûð
3 sin y 3 3
=ð ( podst.3x =ð y) =ð lim ×ð =ð ×ð1=ð
5 y 5 5
y®ð0
sin 2x
2x ×ð
sin 2x 2
éð0Å‚ð
2x
e) lim =ð =ð lim =ð
Ä™ð0Å›ð
sin3x
sin3x 3
x®ð0 x®ð0
ëð ûð
3x ×ð
3x
Granice jednostronne
Mówimy, że lewostronna granica funkcji f w punkcie x0
jest równa g jeżeli dla każdego ciągu (xn) argumentów
funkcji o wartościach mniejszych od x0, zbieżnego do x0,
o wyrazach różnych od x0, ciąg ( f (xn)) ma granicę g.
Piszemy: lim f (x) =ð g
x®ðx0 -ð0
Mówimy, że prawostronna granica funkcji f w punkcie
x0 jest równa g jeżeli dla każdego ciągu (xn) argumentów
funkcji o wartościach większych od x0, zbieżnego do x0, o
wyrazach różnych od x0, ciąg ( f (xn)) ma granicę g.
Piszemy: lim f (x) =ð g
x®ðx0 +ð0
Twierdzenie. Funkcja f ma w punkcie x0 granicÄ™ g
wtedy i tylko wtedy gdy istniejÄ… granice lewo- i
prawostronna funkcji f w tym punkcie i obie te granice sÄ…
równe g.
Przykład 2. Obliczmy granice jednostronne funkcji
3x +ð 5
f (x) =ð w punkcie x =ð 2:
x -ð 2
3x +ð 5 11
éð Å‚ð
lim =ð
Ä™ð0 -ðÅ›ð =ð -ðÄ„ð
x -ð 2
x®ð2-ð0
ëð ûð
3x +ð 5 11
éð Å‚ð
lim =ð
Ä™ð0 +ðÅ›ð =ð Ä„ð
x -ð 2
x®ð2+ð0
ëð ûð
3x +ð 5
Ponieważ te granice nie są sobie równe, więc lim
x -ð 2
x®ð2
nie istnieje.
Przykład 3. Obliczmy granice jednostronne funkcji
x3 +ð1
f (x) =ð w punkcie x =ð1:
(x -ð1)2
x3 +ð1 2
éð Å‚ð
lim =ð =ð Ä„ð
x®ð1-ð0
ëð ûð
(x -ð1)2 Ä™ð0 +ðÅ›ð
x3 +ð1 2
éð Å‚ð
lim =ð =ð Ä„ð
x®ð1+ð0
ëð ûð
(x -ð1)2 Ä™ð0 +ðÅ›ð
Ponieważ obie te granice są sobie równe, więc:
x3 +ð1
lim =ð Ä„ð
x®ð1
(x -ð1)2
Ciągłość funkcji w punkcie
Funkcję f określoną w otoczeniu punktu x0 nazywamy
funkcją ciągłą w punkcie x0 gdy istnieje granica
lim f (x) i jest równa wartości funkcji w tym punkcie:
x®ðx0
lim f (x) =ð f (x0)
x®ðx0
Przykład 3. Zbadamy ciągłość funkcji
ìðx2 -ð x
ïð
dla x Ä…ð 1
f (x) =ð
íð
x -ð1
ïð
1 dla x =ð1
îð
w punkcie x =ð1.
RozwiÄ…zanie. Obliczmy najpierw granicÄ™:
x2 -ð x x(x -ð1)
éð0Å‚ð
lim =ð =ð lim =ð lim x =ð1
Ä™ð0Å›ð
x -ð1 x -ð1
x®ð1 x®ð1 x®ð1
ëð ûð
Ze wzoru funkcji: f (1) =ð1.
x2 -ð x
Ponieważ lim =ð f (1), wiÄ™c dana funkcja jest
x -ð1
x®ð1
ciÄ…gÅ‚a w punkcie x =ð1.
Uwaga. Ta funkcja jest ciągła także w każdym innym
punkcie  wielomiany, funkcje trygonometryczne, funkcja
wykładnicza i logarytmiczna oraz funkcje utworzone z
nich przez działania arytmetyczne są funkcjami ciągłymi.
Ciągłość funkcji w przedziale
Niech f będzie funkcją określoną w przedziale E.
Funkcję f nazywamy funkcją ciągłą w przedziale E gdy
ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie przedziału E.