granica i ciaglosc funkcji


"
"
"
"
f x0 g
lim f(x) = g,
xx0
(xn) Df \ {x0}
x0 (f(xn))

"x ‚"Df \{x0} lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g .
n
n" n"
f x0 g
lim f(x) = g,
xx-
0
(xn) Df \ {x0}
xn < x0 x0 (f(xn))

"x ‚"Df \{x0},xnn
n" n"
f x0 g
lim f(x) = g,
xx+
0
(xn) Df \ {x0}
xn > x0 x0 (f(xn))

"x ‚"Df \{x0},xn>x0 lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = g .
n
n" n"
f x0 "
lim f(x) = ",
xx0

"x ‚"Df \{x0} lim xn = x0 =Ò! lim f(xn) = " .
n
n" n"
f x0
lim f(x) = lim f(x).
xx- xx+
0 0
f " g
lim f(x) = g,
x"

"x ‚"Df lim xn = " =Ò! lim f(xn) = g .
n
n" n"
-"
f " "
lim f(x) = ",
x"

"x ‚"Df lim xn = " =Ò! lim f(xn) = " .
n
n" n"
-"
f g x0
lim (f(x) Ä… g(x)) = lim f(x) Ä… lim g(x)
xx0 xx0 xx0
lim (c · f(x)) = c · lim f(x) c " R
xx0 xx0
lim (f(x) · g(x)) = lim f(x) · lim g(x)
xx0 xx0 xx0
lim f(x)
f(x)
xx0
lim = lim g(x) = 0

xx0 xx0
g(x) lim g(x)
xx0

lim g(x)
xx0
lim (f(x))g(x) = lim f(x)
xx0 xx0
x0 -" "
x3 - 1
lim
x1 - 1
x4
2 · 5x - 2x
lim
x" - 4 · 5x
3
"x
x - 1 - 2
lim
x5 - 5
x
f g
lim f(x) = y0
xx0
f(x) = y0 x " Df \ {x0}

lim g(y) = q
yy0
lim g(f(x)) = q
xx0
1 1 1
x
lim lim e lim arctan
x"
x0- sin x x0+ x
f, g, h
f(x) g(x) h(x) x " Df \ {x0}
lim f(x) = lim h(x) = p
xx0 xx0
lim g(x) = p.
xx0
1
lim x2(2 + cos ) lim ex sin x
x0 x-"
x
f, g
f(x) g(x) x " Df \ {x0}
lim f(x) = "
xx0
lim g(x) = ".
xx0
1
2 + cos
x
lim " lim (sin x - ex)
x"
x0+ x
p + " = " p · " = "
p p
= 0 = "
" 0+
p" = 0 0+ p < 1 p" = " p > 1
"q = 0 q < 0 "q = " q > 0

x2 - 1 1 cos 2x
lim + ln lim
x0
x1+ x - 1 x - 1 sin2 x
0 "
" - " 0 · " 1" "0 00
0 "
0 · "
f g
lim f(x) = 0 lim g(x) = " lim f(x)g(x)
x0 x0 x0
1
f(x) = x g(x) = lim f(x)g(x)
x0
x2
1
f(x) = px2 g(x) = p " R lim f(x)g(x) = p
x0
x2
1
f(x) = x2 g(x) = lim f(x)g(x) = "
x0
x4
1
f(x) = -x2 g(x) = lim f(x)g(x) = -"
x0
x4
sin x tan x
lim = 1 lim = 1
x0 x0
x x
ax - 1 ex - 1
lim = ln a lim = 1
x0 x0
x x
loga (1 + x) ln (1 + x)
lim = loga e lim = 1
x0 x0
x
x x x
1 1 1
lim 1 + = e lim 1 - =
xÄ…" xÄ…"
x x e
arcsin x arctan x
lim = 1 lim = 1
x0 x0
x x
sin 7x
lim
x0
sin 5x
x+1
3x + 5
lim
x"
3x + 7
1
2x-Ä„
lim (1 + cos x)
Ä„
x
2
x = a f
lim f(x) = Ä…".
xa-
x = a f
lim f(x) = Ä…".
xa+
x = a
y = ax + b f +"
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x"
y = ax + b f -"
lim [f(x) - (ax + b)] = 0.
x-"
a = 0
y = ax+b f +"
f(x)
a = lim b = lim [f(x) - ax] .
x" x"
x
y = ax+b f -"
f(x)
a = lim b = lim [f(x) - ax] .
x-" x-"
x
x3 + 8
f(x) =
x2 - 4
sin x
f(x) =
"x2
f(x) = x2 - 1
f x0
lim f(x) = f(x0).
xx0
f x0
lim f(x) lim f(x) = f(x0)

xx0 xx0
f g x0
f Ä… g x0
f · g x0
f
x0 g(x0) = 0

g
f x0 g
y0 = f(x0) g ć% f x0
Å„Å‚
x2 - 1
òÅ‚
x = 1

|x
f(x) = - 1| .
ół
-2 x = 1
a, b " R
Å„Å‚
ôÅ‚ax - sin x x > 0
ôÅ‚
òÅ‚
x
g(x) =
x = 0
ôÅ‚b
ôÅ‚
1
ółe
x
x < 0
[a, b]
f(a) < f(b)

" "c"(a,b) f(c) = w.
w" f(a),f(b)
x4 = 4x, (-", 0]
ln x = 2 - x, [1, 2]


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych
Granica i ciągłość funkcji
granica i ciaglosc funkcji
analiza GRANICE I CIAGLOSC FUNKCJI
Granice i ciaglosc funkcji
03 Rozdział 01 Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych
Granica i ciągłość funkcji zadania
granica i ciaglosc funkcji zespolonych
4 Granica i ciągłość funkcji
Granica i ciągłość funkcji
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji[1]
granice funkcji ciaglosc funkcji (1)
(3683) ciągi, granice ciągów, granice funkcji, ciągłość funkcji
Granice funkcji ciaglosc funkcji
040 Granice Ciągłość Własności funkcji ciągłych

więcej podobnych podstron