Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Granice i ciągłość funkcji
Zad.1 Oblicz granicÄ™:
x2-2x-1 x3-1 x6-1
1.1 lim 1.2 lim 1.3 lim
x2-5 x2-1 1-x2
x3 x1 x1
x5+4x4+5x3+3x2-4 2x2-x+7 3x3+1
1.4 lim 1.5 lim 1.6 lim
x3+4x2+7x+6 4x3+x2+4 7x2-x
x-2 x" x-"
"
x 2x+3x
"
1.7 lim 1.8 lim x2 + 1 + x 1.9 lim
3x+1
x2+1
x-" x-" x"

" " "
1 27 2+x- 2-x 3- 1+2x
"
1.10 lim - 1.11 lim 1.12 lim
x-3 x3-27 3x 2- x
x3 x0 x4
sin 5x sin 2x x sin 5x
1.13 lim 1.14 lim 1.15 lim
2
3x tg 4x tg 2x
x0 x0 x0
tg x-sin x
sin2 x sin 5x
" "
1.16 lim 1.17 lim 1.18 lim
x3 1-cos x
x+3- 3
x0 x0 x0
" "

sin(1-x) 2- 1+cos x
1
"
1.19 lim 1.20 lim tg x - 1.21 lim
x-1 Ä„ cos x sin2 x
x1 x x0
2
sin 2(x-1)
1-cos2 3x 1+x sin x-cos 2x
1.22 lim 1.23 lim 1.24 lim
x2 3(x2-1) sin2 x
x0 x1 x0
3-2x2 arctg 2x arctg 2x
1.25 lim arcsin 1.26 lim 1.27 lim
4x2+1 x x
x" x" x0
2
3x x+2 x
x x+1 x2+3
1.28 lim 1.29 lim 1.30 lim
x+2 x-3 x2+8
x" x" x-"
Zad.2 Korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach uzasadnij podane równości:
2
1 2+sin x
2.1 lim x2 cos = 0 2.2 lim = 0 2.3 lim ex+sin x = 0
x2 x2
x0 x" x-"
Zad.3 Wyznacz granicę lewostronną i prawostronną funkcji y = f(x) w punkcie x0, jeżeli:
1
x2+x+1 1
x2-1
3.1 y = , x0 = -1 3.2 y = e , x0 = 1 3.3 y = , x0 = 0
1
x2-1
x
4-2
1

|2-x|
x 1 x-3
3.4 y = tg , x0 = Ä„ 3.5 y = , x0 = 3 3.6 y = , x0 = 2
2 2 x-2

"
1-cos 2x sin x
3.7 y = , x0 = 0 3.8 y = arctg , x0 = 0
x |x|
Zad.4 Zbadaj ciągłość funkcji:
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ sin x òÅ‚ 1
x = 0 1 - cos x = 0

|x| x
4.1 f(x) = 4.2 f(x) =
ół ół
1 x = 0 0 x = 0
Å„Å‚
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
(x + 2)2 - 1 x < -1
ôÅ‚
òÅ‚ 1 òÅ‚
x arctg x = 0

x
4.3 f(x) = 4.4 f(x) =
sgn x -1 x < 2
ół Ä„ ôÅ‚
ôÅ‚
x = 0
ôÅ‚
2
ół
x x 2
Å„Å‚
x+1
ôÅ‚ 1 Å„Å‚
ôÅ‚
x -1
ôÅ‚
2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚ - log 1 (x + 3) -3 < x -2

ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ Ä„ Ä„ Ä„ òÅ‚ 2
x2 + 1 - x - -1 < x
2 2 2
Ä„
4.5 f(x) = 4.6 f(x) =
-2 < x 0
2
ôÅ‚ Ä„ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ctg x < x < Ä„
ôÅ‚ ôÅ‚
2
ôÅ‚ ół 1
ôÅ‚
arctg x > 0
ôÅ‚
x
ół
0 x Ä„
Zad.5 Dla jakiej wartości parametru a funkcja f(x) jest ciągła:
Å„Å‚ Å„Å‚

òÅ‚ sin2 x Ä„ òÅ‚ 1
x " -Ä„ , \ {0} x2arctg x = 0

1-cos x 2 2 x
5.1 f(x) = 5.2 f(x) =
ół ół
a x = 0 a x = 0
Å„Å‚ Å„Å‚
1
sin x x
3 -1
òÅ‚ òÅ‚
x = Ä„

x = 0

1
x2
1-
x
3 +1
Ä„2
5.3 f(x) = 5.4 f(x) =
ół ół
Ä„
a x = 0
a2 + x = Ä„
2
Zad.6 Zbadaj ciągłość funkcji:
x2 · 3nx + x · 3nx + 3nx + 1
f(x) = lim .
n"
3nx + 3
Zad.7 Sprawdz
, czy podane równanie posiada pierwiastek na przedziale [a,b]:
7.1 x = arccos x a = 0, b = 1
7.2 x5 - x3 + 7x - 8 = 0 a = -1, b = 2