Chemia - Zestaw nr 4. Granica i ciągłość funkcji.
x x
1
sin x 1 1 1
x
Podstawowe znane granice: lim = 1, lim 1 + = e, lim 1 - = , lim (1 + x) = e.
x0 xÄ…" xÄ…" x0
x x x e
(Ogólnie, jeżeli lim g(x) = 0 i g(x) = x0 w pewnym sąsiedztwie punktu x0, to lim (1 + g(x))1/g(x) = e;

x x0 xx0
podobnie, jeżeli lim g(x) = +" lub -" , to lim (1 + 1/g(x))g(x) = e. Tutaj x0 może być także równe ą".)
xx0 xx0
Gdy funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0, to funkcję tę nazywamy ciągłą w punkcie
x0, jeżeli lim f(x) = f(x0).
xx0
Twierdzenie Weierstrassa. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym a, b , to jest na
tym przedziale ograniczona oraz przyjmuje (osiąga) w tym przedziale swoje kresy (dolny i górny).
Twierdzenie (własność) Darboux. Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym a, b oraz
liczba q jest zawarta pomiędzy f(a) i f(b), to istnieje taki punkt c " a, b , że f(c) = q.
1) Naszkicować funkcje, o których wiadomo, że:
a) lim f(x) = 1, lim f(x) = ", lim f(x) = -", lim f(x) = 5, lim f(x) = -3, lim f(x) = -1.
x - " x 1- x 1+ x 2- x 2+ x "
b) lim f(x) = ", lim f(x) = 0, lim f(x) = ", lim f(x) = ", lim f(x) = -", lim f(x) = 1.
x - " x 1- x 1+ x 2- x 2+ x"
2) Policzyć (jeśli istnieją) granice:
" "
"
x3 - 3x2 - x + 6 x2 + 1 - x + 1 x + x - 6
a0) lim ; a1) lim " ; a2) lim " ;
x2 x0 x4
x3 + 2x2 + x - 18
1 - x + 1 x - 5 x + 6
1 - cos x
a) lim (-3x2 + x - 2); b) lim tg 6x ctg 4x; c ) lim ;
x-" x0 x0
x2

x
x sin 3x x - 1
c) lim " ; d) lim + 1; e) lim ;
x0 x0 x"
x x + 1
1 - cos x
"
tg x - sin x arc sin x
f) lim x( x2 + 1 - x); g) lim ; h) lim ;
x" x0 x0
x3 2x
2x tg x ln(1 + x)
i) lim ; j) lim ; k) lim ;
x0 x0 x0
tg 5x sin (x/2) x
1
l) lim x21/x; m1) lim x sin (1/x), m2) lim x sin ,
x0- x0 x"
x
"
x2 sin (1/x) 3x4 - 4x3 + 1 x + 3 - 3
m3) lim ; n) lim ; o) lim ;
x0 x1 - 1)2 x
x6 - 6
sin x (x
2x x
x + 2 2x + 1 x - sin x
p) lim ; r) lim ; s) lim ;
x" - 3 x
x" - 5
x" - cos
ëÅ‚2x öÅ‚x

x



"

x + x + x
ìÅ‚ 1 1 1 1 1 1 ÷Å‚;

t) lim " ; u) lim + + - - +
íÅ‚ Å‚Å‚
x" x0+
x x x x x x
x + 1
2 " "
2x+3 x +3x
x2 - x + 1 x2 + x - 1 1 + sin x - 1 - sin x
v) lim ; w) lim ; x) lim ;
x" x" x0
x2 + x + 1 x2 + x - 2 x


"
" "
x x + x
2 + x - 2 - x
x1) lim " " ; x2) lim " ; y1) lim x (Ä„/2 - arc tg x);
x0 x" x"
3 + 2x - 3 - 2x 2x + 1

Ä„/2 - arc sin x 1
y2) lim ; z) lim cos x 1 - cos .
x1 - 1 x
x"
x
Å„Å‚
7 - x2
ôÅ‚ Å„Å‚
ôÅ‚
x d" -1
ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚ 21/(x-2) - 1
7 + x2
, x = 2

3
3) Zbadać ciągłość funkcji: a) f(x) = b) f(x) =
21/(x-2) + 1
+ 5 |x + 1|, -1 < x < 3
ôÅ‚ ół
ôÅ‚
1, x = 2
ôÅ‚ 4
ół
x4, x e" 3
Å„Å‚


1 sin2 x
òÅ‚
x3 + 2x, x < -2 " , x = 0
sin , x = 0

c) f(x) = ; d) f(x) = ; e) f(x) = ;
x
x x2
ax, x e" -2
ół
0, x = 0
-1, x = 0
x2 - 2x - 3
f) f(x) = .
x(x - 1)(x - 3)
4) a) Wykazać, że równanie x3-3x-1 = 0 ma pierwiastek w przedziale 1, 2 . Ile jest takich pierwiastków?
1
b) Wykazać, że równanie 3x + 5x = 9 ma pierwiastek w przedziale 2 .
1,
5Ä„
c) Wykazać, że równanie x sin x = 7 ma pierwiastek w przedziale 2Ą, .
2
2