Lista 7, Kierunek: AiR, sem. I, 2008/2009
Granica, ciaglość i pochodna funkcji jednej zmiennej
1. Wyznacz asymptoty funkcji:
cos(Ä„x)
x3+x2 sin x
"x-3
a) u(x) = , b) v(x) = , c) w(x) = , d) z(x) = ,
x2-4 x-Ä„ 2x-8
x2-9
"
1+x2 x3 1
e) f(x) = , f) g(x) = , g) h(x) = x - arctgx, h) p(x) = ,
x (x+1)2 ex-1
1-x2 sin2 x sin t t3-1
i) q(x) = , j) r(x) = , k) f(t) = , l) g(t) =
x+1 x3 t |t-1|
1
m) h(t) = , n) p(t) = e-t sin t + t.
1-t2
2. Określ zbiory punktów ciaglości nastepujacych funkcji:
Å„Å‚
1
x cos dla x < 0
òÅ‚
x
1 dla x = 0 lub Ä„
0 dla x = 0
a) f(x) = , b) g(x) = ,
Ä„ sin x
"
dla x = 0 i Ä„

ół
1
x(x-Ä„)
"
x sin dla x > 0
x
"
1-cos 2x
1 dla x = kĄ, k " Z
dla x = 0

x
c) h(x) = , d) z(x) = ,
x
dla x = kĄ, k " Z

2 dla x = 0
sin x
t3-t2
0 dla x d" 0 dla t = 1

|t-1|
"
e) u(x) = , f) v(x) = ,
1
x cos dla x > 0
1 dla t = 1
x2
1
t sin dla t = 0

t
g) g(t) = .
0 dla t = 0
3. Dobierz parametry a, b " R tak, aby podane funkcje byly ciagle we
wskazanych
Å„Å‚punktach:
2 dla x d" 0
òÅ‚
a) u(x) = ax + b dla 0 < x < 1 , w x1 = -1, x2 = 0,
ół
3 dla x e" 1
Ä„
sin x dla |x| e"
Ä„ Ä„
2
b) u(x) = , w x1 = - , x2 =
Ä„
2 2
ax + b dla |x| <
2
x2" ax + b dla |x| < 2
+
c) w(x) = , w x1 = -2, x2 = 2,
x x2 - 4 dla |x| e" 2
a sin x + b cos x dla |x| > 4
Ä„ Ä„
d) k(x) = , w x1 = - , x2 = ,
4 4
1 + tgx dla |x| d" 4
bx dla x < Ä„
e) u(x) = , w x0 = Ä„,
sin x
dla x e" Ä„
ax
bx + 3 dla x < 1
f) u(x) = , w x0 = 1,
2x2 + x + a dla x e" 1
Å„Å‚
(x
òÅ‚ - 1)3 dla x d" 0
g) h(x) = ax b dla 0 < x < 1 , w x1 = 0, x2 = 1,
"+
ół
x dla x e" 1
t dla |t| d" 1
h) p(t) = , w x1 = -1, x2 = 1
t2 + at + b dla |t| > 1
4. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
7 13 -1
1 3 13 4 4
3 4 2
a) x3 - x4 + x5 - 2x6, b) , c) 3x - 4x + x
3 2 15 x3 7
" " " " "
"
5 3 3 3
5 3
d) x - x3 - 2 x3, e) (2 x2 - x)(4 x4 + 2 x5 + x2), f) ,
6 x-2
5 x+1 x2-2x+3
g) , h) 2 , i)
2x2-5x+1 x-1 x2+2x-3
3 4
j) , k) (3t + 1)7, l) (7t2 - + 6)6,
(1-x2)(1-2x3) t
"
1 1
" "
m) x2 - 4, n) , o) ,
6t-t2 3 (2-x3)4
5 x2 x2-3x+6
" "
p) f(x) = , q) , r) ,
3
n
12-x-7x2
(a+bx)p x3+1
t 5
s) sin2 3t, t) f(t) = cos , a = 0, u) ,

a sin32t
"
sin t+cos t x sin x
v) , w) , x) tg4 x,
2 sin 2t 1+tgx
y) 3ctgx + ctg3x, z) x2e2x sin x
5. Oblicz pochodne nastepujacych funkcji:
"
1
a) cos2 1 , b) 1 + tg(x + ), c) sin x + x + 2 x,
x x
"
1
"
d) arccos 3x, e) arcsin 1 - t, f) arccos ,
1-t2
"
xarctgx-{1
ln x ln x
g) arcsin , h) arctg x2 - 1 - "
, i) ,
x 2 ln(x2+2)
2x2-1
1-arcsin y
1-x
j) arctg , k) , l) esin t,
1+x 1+arccos y
"
(2x-1)e-x
"
m) cos2 ex, n) , o) 3ln x( 3x)3,
2 x
1+t 1+2 sin x
p) ln , q) ln | ln |x| + 1|, r) ln ,
1-t2 1-sin 2x
"
1
s) ln(ln(ln x)), t) ln , u) x5x, x > 0,
"sin 3t
Ä„
x
v) xsin x, x > 0, w) x, x) (sin x)cos x, 0 < x < ,
2
Ä„
y) (arctgx)x, x > 0, z) (tgt)cos t, 0 < t < .
2
6. Oblicz druga pochodna nastepujacych funkcji:
a) arccos x, b) (arcsin x)2, c) ln(1 + x2), d) xesin x.
7. Oblicz trzecia pochodna nastepujacych funkcji:
"
5
1+t
a) x3, b) , c) sin(1 - 3x), d) x3 ln x,
1-t
2 ex
e) sin3 x + cos3 x, f) arctgt, g) x3 - , f) .
x x
8. Oblicz wartość drugiej pochodnej danej funkcji we wskazanym punkcie:
x+2
a) arcsin x w x0 = 0, b) w x0 = 2.
x2-3x