Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATUR

ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATUR

Zestaw XI Ciągłość i pochodna funkcji
Zadanie 1.
Naszkicuj wykres funkcji f określonej następująco:
Å„Å‚ 6
ëÅ‚5 öÅ‚ dla x `" 0
ìÅ‚ ÷Å‚
ôÅ‚max - x, x
f (x) =
òÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚0 dla x = 0
ół
i zbadaj jej ciągłość, jeśli relacja max(a, b) jest określona w następujący sposób:
a, gdy a e" b
Å„Å‚
max(a, b) =
òÅ‚b, gdy a < b
ół
Zadanie 2.
Uzasadnij, \
e równanie x4 + x3 - 3x2 - 5x -10 = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie.
Zadanie 3.
Oblicz na podstawie definicji pochodnÄ… funkcji f (x) = x2 + 2x -1 w punkcie x0 = -1 .
Zadanie 4.
x +1
Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji g(x) = , równoległej do prostej o równaniu
x
1
y = - x +1. Następnie zilustruj rozwiązanie zadania na płaszczyz
nie z prostokątnym układem
4
współrzędnych.
Zadanie 5.
Zbadaj, ile rozwiązań ma równanie x3 + 6x2 + 9x +1 = 0 i wska\
przedziały o długości 1
i o końcach będących liczbami całkowitymi, do których nale\
Ä… te rozwiÄ…zania.
Zadanie 6.
1
1
Wyka\
, \
e dla ka\
dej liczby x e" 2 prawdziwa jest nierówność: x2 + e" 5 .
2
x
Zadanie 7.
3x2 + 4x + 4
Znajdz
najmniejszą i największą wartość funkcji h(x) = w przedziale - 2, 1 .
x2 + x +1
Zadanie 8.
Dany jest trójkÄ…t ABC, w którym AC = b, AB = c i kÄ…t CAB ma 30° . W trójkÄ…t wpisujemy równo-
ległoboki w ten sposób, \
e jednym z wierzchołków ka\
dego równoległoboku jest A, a pozostałe 3
wierzchołki nale\
ą odpowiednio do boków AB, BC i AC trójkąta. Który z tych równoległoboków
ma największe pole i ile procent pola danego trójkąta stanowi pole tego równoległoboku?
Zadania dla poziomu rozszerzonego wyró\
nione sÄ… kursywÄ….
Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Matura 2005
Odpowiedzi:
Å„Å‚
ôÅ‚5 - x, dla x < 0 lub 2 d" x d" 3
ôÅ‚
1.
òÅ‚0 dla x = 0
ôÅ‚6
ôÅ‚ dla 0 < x < 2 lub x > 3
ół x
6
Poniewa\
funkcje g(x) = 5 - x i h(x) = są ciągłe, więc wystarczy zbadać ciągłość funkcji f
x
w punktach: 0, 2 i 3. Odp. Funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 0
2. A
atwo mo\
na sprawdzić, \
e W(2) < 0 i W(3) > 0 (W(x) to wielomian po lewej stronie równania).
Stąd, z ciągłości funkcji wielomianowej, wynika, \
e w przedziale (2,3) istnieje rozwiÄ…zanie da-
nego równania
3. f '(-1) = 0
1 1
4. SÄ… dwie takie styczne: y = - x + 2 i y = - x
4 4
5. Równanie ma trzy rozwiązania nale\
ące do przedziałów: (-4, -3); (-3, -2); (-1, 0)
1
1
6. Wskazówka: Rozwa\
najpierw funkcjÄ™ f (x) = x2 + i wyka\
, \
e w przedziale 2,") jest to
2
x
funkcja rosnąca. Następnie oblicz f (2)
8
7. Największą wartością jest 4, a najmniejszą
3
b c
8. Największe pole ma równoległobok o bokach , i stanowi ono 50% pola danego trójkąta
2 2