GRANICE I POCHODNE FUNKCJI
1. Znalez
ć zbiór wartości funkcji f (x)= 4x3 -12x dla x " - 2;0 .
2. Znalez
ć wszystkie przedziały dla których funkcja f (x)= x - cos x , gdzie x " R , jest
rosnÄ…ca.
3. Podać definicję granicy funkcji w punkcie x0 .
sin 2x
4. Obliczyć pochodną funkcji y = .
cos x
5. Wyznaczyć tangens kąta, pod którym przecinają się krzywe y = x2 i y = x
w punkcie P(-1;1).
sin 3x
6. Obliczyć granicę i zbadać ciągłość funkcji.
lim
2x
x0
| x | sin x
7. Wykazać, \
e funkcja f (x)= jest nieparzysta.
x2 +1
1
2
8. Obliczyć z definicji f (x) dla f (x)= .
2x
ëÅ‚ - x2
öÅ‚
4
9. Obliczyć
limìÅ‚4 + x - 2 ÷Å‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
x2
íÅ‚ Å‚Å‚
10. Wyznaczyć kąty, pod którymi przecinają się krzywe y = x2 i y2 = x .
x - 2
11. Znalez
ć asymptoty krzywej y = .
x2 - 4
12. Zbadać monotoniczność funkcji f (x)= x x - 4 . Podać najmniejszą wartość jaka
przyjmuje ta funkcja.
2
2
13. Rozwiązać równanie f (2x)= f (x) , gdy f (x)= sin x .
14. Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji
2
obliczyć f (0), gdy f (x)= 4 + x + x2 .
1- 2x2 - x4
15. Zbadać monotoniczność funkcji f (x)= .
x
16. Podać definicję funkcji ciągłej w punkcie. Zbadać ciągłość funkcji
Å„Å‚
x2 + 2x dla x < 0
f (x)= .
òÅ‚
ół1- x dla x > 0
17. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji y = x(32 + x3) w przedziale
- 3;1 .
1
18. Znalez
ć równanie stycznej do wykresu funkcji y = 3cos2 ëÅ‚ xöÅ‚ w punkcie o odciÄ™tej
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„
x0 = .
2
19. Znalez
ć taką dodatnią liczbę a, aby proste styczne do paraboli o równaniu y = a - x2
poprowadzone w punktach przecięcia paraboli z osią OX, były prostopadłe.
1
20. Wyznaczyć wartość a tak, by funkcja y = (ax - 3) x osiągała ekstremum dla x = 1.
Zbadać czy jest to maksimum czy minimum.
5
21. Wyznaczyć dziedzinę i znalez
ć ekstremum funkcji f (t)= t + .
t
1
22. Dla jakiej wartości parametru a styczna do krzywej o równaniu y =
x + a
1
poprowadzona w punkcie x0 = jest równoległa do prostej 4x + 9y = 0 ?
2
sin 5x
Å„Å‚
dla x `" 0
ôÅ‚
23. Dla jakiej wartości a funkcja f (x)= jest ciągła dla x = 0 ?
x
òÅ‚
ôÅ‚a dla x = 0
ół
24. Wyprowadzić wzór na pochodną funkcji w dowolnym punkcie:
a) f (x)= x3 b)f (x)= x4 .
25. Obliczyć pole trójkąta ograniczonego styczną do krzywej y = cos x w punkcie
Ä„
ëÅ‚
M ;0öÅ‚ oraz osiami ukÅ‚adu OXY .
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
26. Na okręgu o promieniu długości r nale\
y opisać trapez, którego jeden z kątów ma
miarę łukową ą . Jakie powinny być miary pozostałych trzech kątów, aby pole
trapezu było najmniejsze? Obliczyć to najmniejsze pole.
27. Znalez
ć ekstrema funkcji y = x2 x + 2 .
1
28. Zbadać monotoniczność funkcji f (x)= x4 - + 5 w przedziale (0;").
x
2x2 + 3x
29. Wykazać, \
e prosta y = 2 jest asymptotÄ… pionowÄ… wykresu funkcji y = .
x2 -1
2
30. Obliczyć f (0) je\
eli f (x)= (x2 +1)(1- 3x).
Ä„
31. Pod jakim kÄ…tem wykres funkcji y = sin 3x przecina oÅ› OX w punkcie x0 = ?
3
32. Wyznaczyć punkt, w którym funkcja określona wzorem f (x)= 2x3 - 3x2 -12x +13
ma maksimum lokalne.
33. Wykazać, \
e funkcja f (x)= 3x - x2 jest rosnÄ…ca w przedziale (-1;1).
2
34. Podać wzór funkcji f (x) takiej, \
e f (x)= x i f (0)= 1.
35. Obliczyć pochodną funkcji y = x cos3 x w punkcie x0 = Ą .
36. Dla jakich wartości parametru k funkcja f (x)= x3 - x2 + kx nie ma ekstremum
lokalnego?
1
37. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x)= w przedziale
x2 - 2x + 2
- 2;2 .
2 3
38. Znalez
ć ekstrema funkcji f (x)= (x + 3) (x + 8) dla x " R . Ile pierwiastków ma
równanie f (x)= 108?
39. Obliczyć granicę:
2 - x - 3
a) lim
x7
x2 - 49
2
1
x -
2
b) lim
1
x
x - 2x3 + 2x -1
2
1- cos2 3x
c) lim
x0
x2
x2
d) lim
x0
1- cos 2x
2x
e) lim
x1+
x -1
2x
f) lim
x1-
x -1
tgx - sin x
g) lim
x0
x
x2 + 4x -12
h) lim
x2
x3 - 8
x - 4
i) lim
x4
x - 2
tg2 x
j) lim
x0
3x
x2
k) limlog2
x0
1- cos 4x
l) lim(x - x2 - x +1)
x"
Å‚) lim(x - x2 - x +1)
x-"
x2 -1
m) lim
x-" 3
8x3 + 3
n) lim( x2 + 2x +1 - x2 +1)
x"
1
3x
o) lim
x0+ 1
x
4 + +5
p) lim[log(10x2 +1)- 2log x]
x"
1 4
öÅ‚
r) limëÅ‚ - ÷Å‚
ìÅ‚
x1
íÅ‚1- x 1- x3 Å‚Å‚
sin(x - 2)
s) lim
x2
2x - x2
sin 3x + sin x
t) lim
x0
x
x2
u) lim
x0
1- cos 2x
3
x2
w) lim
Ä„
1- cos 2x
x
2
2
sin x
x) lim
xĄ
1+ cos3 x
40. W oparciu o definicję pochodnej obliczyć:
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
a) f dla f (x)= cos2 x
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
2
b) f (3) dla f (x)= 2x + 3
2
c) f (1) dla f (x)= 5 - x
1
2
d) f (2) dla f (x)=
2x
2
e) f (x0 ) dla f (x)= cos3x
2
f) f (4) je\
eli f (x)= 1+ 2x
41. Obliczyć:
x2
2
a) f ( 3) je\
eli f (x)=
x2 +1
x5 + 1
2 2
b) f (0) i f ( 2) je\
eli f (x)=
x + 1
2 ëÅ‚ 3 öÅ‚
c) f Ä„ je\
eli f (x)= cos 2x
ìÅ‚ ÷Å‚
8
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
d) f je\
eli f (x)= 2cos x + 9
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
e) f gdzie f (x)= cos 2x .
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2
f) f (4) je\
eli f (x)=
x
3
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
g) f je\
eli f (x)= cos2 x + x
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
h) f je\
eli f (x)= 1+ cos 2x
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
i) f je\
eli f (x)= xsin 3x
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
2
j) f (1) je\
eli f (x)= x x2 + 3 + sin2 3Ä„x
xsin x
Å„Å‚
dla x `" 0
ôÅ‚
42. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f (x)=
jest ciągła
òÅ‚ x2 + 4 - 2
ôÅ‚a
dla x = 0
ół
w punkcie x = 0 ?
43. Który z punktów paraboli y = x2 jest poło\
ony najbli\
ej prostej y = 2x - 2 ?
4
44. Podać definicję asymptot pionowych. Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji
14
y =
x(2x - 4).
45. DÅ‚u\
sza podstawa trapezu równoramiennego jest równa 13cm, a jego obwód 28cm.
Wyrazić pole trapezu jako funkcję długości jego ramienia. Znalez
ć dziedzinę i zbiór
wartości funkcji.
3
2 ëÅ‚ 1 ÷Å‚
46. Dana jest funkcja f (x)= cos2 3x + x - log5 + 3 . RozwiÄ…zać równanie f xöÅ‚ = 0 .
ìÅ‚
2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
2
47. Funkcje f i g są określone wzorami f (x)= 2x2 + i g(x)= . Obliczyć h (1), gdzie
x x
h(x)= f (g(x)).
2 - x
48. Obliczyć granice jednostronne funkcji f w punkcie x0 = 2 jeśli f (x)= .
x - 2
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
49. Obliczyć f , je\
eli f (x)= sin 3x .
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
x2004 x2003 x2
50. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji y = - + - x - 2003.
2004 2003 2
51. W jakich punktach krzywej y = x3 - 3x styczne do tej krzywej są prostopadłe do
prostej x + 6y +1 = 0 . Napisać równania tych stycznych.
2
52. Znalez
ć x, dla których f (x)+ 4 f (x)= 0 , jeśli f (x)= cos2 2x .
2
53. Znalez
ć funkcję f, je\
eli f (x)= 3x2 - 2x +1 oraz f (0)= 5.
1
54. Napisać równanie stycznej do paraboli y = x2 , tworzÄ…cej z osiÄ… OX kÄ…t 45°.
4
55. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x)= 43 8 + sin 3x w punkcie
x0 = 0 .
56. Wykazać, \
e funkcja f (x)= x3 - 3x2 + 4x + cos x jest rosnąca w całej swojej
dziedzinie.
1
57. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji f (x)= przedziale
sin x + cos x
Ä„
0; .
2
58. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f (x)= ax + cos2 x jest malejąca w zbiorze
liczb rzeczywistych?
59. Pokazać, \
e \
adna styczna do wykresu funkcji f (x)= sin x - 3cos x nie jest
równoległa do prostej o równaniu 4x - y + 5 = 0 .
60. Znalez
ć współrzędne punktów, w których styczna do wykresu funkcji
f (x)= x3 - 3x2 , x " R jest równoległa do osi OX .
Ä„
2
61. Sprawdzić, czy x = jest rozwiązaniem równania (tg 2x)2 = 16 3
6
62. Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x)= x4 - x +1 równoległej do
prostej y = 3x .
5
Å„Å‚ -1
x2
dla x < 1
ôÅ‚
x
63. Zbadać ciągłość funkcji f (x)= -1
w punkcie x = 1.
òÅ‚
ôÅ‚x - 3 dla x e" 1
2
ół
64. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x)= x + ctgx w przedziale
Ä„ 3Ä„
; .
4 4
x2 + x +1
65. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = .
x
66. Wykazać, \
e funkcja y = x3 -1 jest ró\
nowartościowa i wyznaczyć funkcję do niej
odwrotnÄ….
67. Wyznaczyć pole trójkąta ograniczonego styczną do wykresu funkcji f (x)= 9 - x2
w punkcie x = 2 oraz osiami układu współrzędnych.
68. Wykazać, \
e równanie x3 + 3x - 7 = 0 ma tylko jeden pierwiastek i sprawdzić, \
e le\
y
on w przedziale (1;2).
69. Czy dla x = 2 funkcja f (x)= x - 2(x2 + x +1) ma pochodnÄ…? Czy w punkcie tym
osiÄ…ga ekstremum?
2
70. Znalez
ć w przedziale 0;Ą wszystkie x spełniające nierówność 2 f (2x)< 3 f (x),
gdzie f (x)= cos2 x .
71. W jakim przedziale funkcja f (x)= x 2 - x, x "(- ";2 jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ….
1
72. Czy funkcja f (x)= x3 + 3x2 + 9x, x " R ma ekstremum w punkcie o odciętej
3
x0 = -3?
73. Znalez
ć ekstrema funkcji y = x2 x - 2 .
2
74. Korzystając z definicji pochodnej sprawdzić czy istnieje f (-1) jeśli f (x)= x +1 .
2
75. Dana jest funkcja f (x)= cos2 x . Narysować wykres funkcji y = f (x) w przedziale
0;Ä„ .
76. Wyznaczyć zbiór wartości funkcji y = x 4 - x2 .
77. Znalez
ć te styczne do wykresu funkcji y = x3 - 3x2 + 2x , które są równoległe do
prostej 2x - y +1 = 0 .
78. Napisać równanie stycznej do krzywej y = x i prostopadłej do prostej 4x + y = 0 .
2
79. Obliczyć f (0) je\
eli f (x)= x(x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5).
80. Wyznaczyć przedziały, w których funkcja f (x)= 2cos2 x - x jest rosnąca.
81. Wyznaczyć asymptoty krzywej f (x)= 1+ x2 - 2x .
82. Dany jest wielomian W(x)= x2 + px + 4 . Dla jakich wartości parametru p nierówność
2
W(x)> W (x) jest spełniona dla ka\
dego x " R .
ax2 - 4
83. Dla jakich wartości parametru a " R funkcja f (x)= nie ma ekstremum?
x + 2a
84. Dla jakiej wartości x styczna do krzywej y = x3 - 3x jest prostopadła do prostej
2x - 6y +1 = 0 ?
6
85. Liczbę dodatnią a rozło\
yć na iloczyn dwóch dodatnich czynników tak, aby suma ich
odwrotności była najmniejsza.
87. W półkole o promieniu R wpisano prostokąt o największym polu. Obliczyć cosinus
kÄ…ta rozwartego miedzy przekÄ…tnymi tego prostokÄ…ta.
1
88. Dla jakiej wartości parametru m funkcja f(x)= x3+mx2+4x+1 jest rosnąca w całej
3
swojej dziedzinie?
89. Dana jest parabola y=x2 i prosta y=x-1. Dwa wierzchołki A i B trójkąta ABC le\
Ä… na
danej prostej. W którym punkcie paraboli nale\
y umieścić wierzchołek C, aby pole
trójkąta było najmniejsze?
1 1
90. Zbadać jaką najmniejszą wartość mo\
e osiągnąć suma + ,
x y
je\
eli x+y=1 '" x>0 '" y>0.
91. Wyznaczyć ekstrema funkcji y=x2 4 - x2 i naszkicować jej wykres.
92. Obliczyć tangens kąta pod którym przecinają się wykresy funkcji f(x)=2x i g(x)=tgx
w początku układu współrzędnych.
x2 + ax + b
93. Funkcja f(x)= ma dla x=3 maksimum równe 1. Wyznaczyć pozostałe
x - 5
ekstrema tej funkcji.
94. Dla jakiej wartości parametru ą funkcja f(x)=2x3+3x2+cos2ą+siną gdzie x"R osiąga
minimum o wartości  1?
2x4 + bx3 + a
1
95. Funkcje f i g są określone wzorami f(x)=(logab+logaa)x+3+ i g(x)= .
x
x3 + 2
Dla jakich wartości parametrów a i b funkcje f i g maja te same asymptoty ukośne?
96. W jakim punkcie przedziału <-2;1> styczna do wykresu funkcji f(x)=x4+6x3+2x ma
największy współczynnik kierunkowy?
x2 -1 - x
97. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f(x)= .
x
98. Uzasadnić, \
e równanie x3+x+7=0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie jedno
1
rozwiązanie. Wyznaczyć przedział o długości nie przekraczającej , do którego nale\
y
2
to rozwiÄ…zanie.
Å„Å‚
x2 ax dla x 1
ôÅ‚sin(+-1) e"
99. Wyznaczyć wartość parametru a tak, aby funkcja f(x)= x
òÅ‚
dla x < 1
ôÅ‚
| x -1|
ół
była ciągła w x0=1.

100. Wyznaczyć takie ą"(0; ) aby prosta o równaniu y=-2x+4 była styczna do wykresu
2
funkcji f(x)=-x2+2x+ 3 -tg2Ä….
1
101. Dla jakiej wartości parametru a funkcja f(x)= x3-ax2+5x-3 ma ekstremum lokalne
3
w punkcie x=1. Określić rodzaj ekstremum.
102. Jaki kat z dodatnią półosią OX tworzy styczna do krzywej y=R R2 - x2 w punkcie
R
odciętej x0= ?
2
103. Ile ró\
nych stycznych o współczynniku kierunkowym 12 mo\
na poprowadzić do
wykresu funkcji f(x)=2x3-3x2+5, gdy x"R.
104. Dla jakich wartości parametru a funkcja f(x)=(|x|-a)3-3|x| jest ró\
niczkowalna
w punkcie x0=0?
105. Udowodnij, \
e wykres funkcji f(x)= x2 - 2x + 2 nie ma punktów przegięcia.
7
106. Wyznaczyć dziedzinę funkcji y=arcsin(log x).
1
2
3
107. Znalez
ć ekstremum funkcji f(x)=1- (3- x)2 .
108. Dla jakich m suma kwadratów pierwiastków rzeczywistych równania x2+mx-m+3=0
osiąga najmniejszą wartość.
109. Uprościć wyra\
enie y= x2 +10x + 25 + x2 , x"<-6;1> i sporządzić wykres
pochodnej y'(x).
2t
110. Dla jakich wartości parametru x granica
limsin(t 1+ | x |) ma największą wartość?
t0
n!
1
111. Udowodnić, \
e f(n)(x)=(-1)n× jeÅ›li f(x)= i x `" 0.
x
xn+1
2  
112. Napisać równanie normalnej do krzywej y= cos(3x- ) w punkcie o odciętej x= .
3 4 3
113. Znalez
ć kąt pod jakim przecinają się krzywe x2+y2=5 oraz xy=2.
114. Rozwiązać równanie 6f(x)-f'(x) gdy f(x)=sin23x.
115. Suma dwóch liczb dodatnich jest równa 12. Dobrać te liczby tak, aby suma ich
odwrotności była najmniejsza.
116. Zbadać iloczyn ró\
nych pierwiastków rzeczywistych równania (m+1)x2+2mx+m2=0
jako funkcję parametru m i narysować wykres tej funkcji.
m2
Wskazówka: f(m)= '" m"(- " ;0>
m+1

117. Dane sÄ… krzywe f(x)=cos2Ä… i g(x)=sinx dla x"(0; ). Znalez
ć sinus kąta, pod jakim
2
przecinajÄ… siÄ™ te krzywe.
118. W okrąg o promieniu 2 2 wpisano prostokąt o największym polu. Znalez
ć wymiary
tego prostokÄ…ta i jego pole.
x2 -1
119. Narysować wykres funkcji y= . Podać przedziały monotoniczności i ekstrema.
x
1 
120. Wykazać, \
e ( x )'= dla x>0, a następnie obliczyć f'( ), je\
eli f(x)= sin5x .
6
2 x
4
121. Zbadać funkcję f(x)= . Znalez
ć i wykreślić zale\
ność liczby pierwiastków
x2 - 3x - 4
równania f(x)=m od parametru m"R.
Wskazówka: Po zbadaniu funkcji otrzymamy:
k  liczba pierwiastków równania
16
2 gdy m " (-";- ) *" (0;")
Å„Å‚
25
ôÅ‚
16
f(x)=m k(m) = 1 gdy m =
òÅ‚
25
ôÅ‚0 gdy 16
m " (- ;0 >
ół 25
122. Dane sÄ… punkty A9-1;0) B(3;-2). Punkt C nale\
y do wykresu funkcji y=cosx dla

x"< ;  >. Wyznaczyć punkt C tak, aby pole trójkąta ABC było najmniejsze.
2
123. Wśród prostokątów, których dwa wierzchołki le\
ą na prostej y=0, a dwa pozostałe na
półokręgu y= 2x - x2 , szukamy takiego, który ma największe pole powierzchni.
Wyznaczyć współrzędne środka symetrii wyznaczonego prostokąta oraz tangens kąta
rozwartego między przekątnymi.
124. Zbadać ciągłość i ró\
niczkowalność funkcji f określonej
| x
Å„Å‚ -1| dla x "< 0;2 >
wzorem f (x)òÅ‚ 2
ółx - x +1 dla x " (-";0) *" (2;")
8
125. Dane jest równanie kx2+x+k=0. Niech f będzie funkcją przyporządkowującą liczbie k
mniejszy pierwiastek tego równania. Obliczyć f (k) .
lim
-
k1
2
2sin2 (x -1)
126. Funkcja f określona wzorem f(x)= jest ciągła w punkcie x0=1.
3 - 3cos(x -1)
Obliczyć f(1).
127. Wykazać, \
e w dziedzinie funkcji f(x)=arcsin(|x-2|-2) zawiera się zbiór (3;4>.
128. Pod jakim kątem przecinają się krzywe o równaniach y=sinx i y=cosx?
129. Styczna do krzywej y=ex w punkcie x0 jest równoległa do prostej o równaniu
2x-2y-1=0. Wyznaczyć równanie tej stycznej.
130. Z kawałka drutu o długości 12cm zbudowano prostokąt o największym polu. Obliczyć
długość przekątnej tego prostokąta.
3 - x2
131. Sprawdzić, \
e funkcja f(x)= posiada ekstremum, oraz \
e jest wypukła
2 - x
w pewnym zbiorze A i wklęsła w pewnym zbiorze B.
4 - x2
132. Wykazać, \
e funkcja f(x)= jest wypukła w swojej dziedzinie.
x2
133. Funkcja określona wzorem f(x)=-x4+kx2+k ma w trzech ró\
nych punktach ekstremum.
Wyznaczyć k.
134. Dla jakiej wartości parametru k funkcja f(x)=-2x3+kx2-1 w punkcie x0=1 ma punkt
przegięcia.
135. W półokrąg o promieniu r wpisano taki prostokąt ABCD, \
e bok AB o długości 2x
le\
y na średnicy półokręgu. Niech P(x) oznacza pole powierzchni prostokąta ABCD.
Wyznaczyć x tak, aby pole prostokąta ABCD było maksymalne.
  1
136. Dana jest funkcja f:<- ; > R, f(x)=cos2x- cosx. Sprawdzić, \
e funkcja f ma
2 2 2
ekstremum lokalne w punkcie x=0.
a+x
137. Udowodnić, \
e funkcja f(x)= , gdzie a `" -1 spełnia warunek f'(4)<0 dla ka\
dego
x-1
a>-1.

138. Niech p(x) oznacza pole powierzchni trójkąta ABC takiego, \
e A(0;-2); B( ;-2);
2
p(x)
C(x;sinx), gdzie x"R. Obliczyć .
lim
x
x"
139. Udowodnij, \
e istnieje styczna do wykresu funkcji f(x)= x(1- x) równoległa do
osi OX.
1
140. Dana jest funkcja f(x)=x- dla x>0. Udowodnij, \
e f'(n)>1 dla ka\
dego n"N.
x
9
ODPOWIEDZI
1. f (x)" - 8;8 .
ëÅ‚- Ä„ 7Ä„
öÅ‚
2. x " + kĄ; + kĄ '" k " C .
ìÅ‚ ÷Å‚
12 12
íÅ‚ Å‚Å‚
3. -
Ä„
2
4. y = 2cos x dla x `" + kĄ .
2
3
5. tgÄ… =
4
3
6. ; funkcja nie jest ciągła w punkcie x = 0 .
2
7. 
1
2
8. f (x)= - .
2x2
9. 0.
3
10. Ä…1 = 90°, tgÄ…2 = .
4
11. y = 0, x = -2 .
12. Funkcja jest rosnąca w przedziale 4;"), wartość najmniejsza jest równa 0.
kĄ Ą
13. x = , x = + kĄ '" k " C .
2 4
1
2
14. f (0)= .
4
15. Funkcja jest malejąca w przedziałach (- ";0);(0;").
16. Funkcja jest ciągła w zbiorze (- ";0)*" (0;").
17. ymax = y(1)= 33, ymin = y(- 2)= -48 .
3 3
18. y = x + (Ä„ + 2).
2 4
1
19. a = .
4
20. a = 1, ymin = y(1)= -2 .
21. t " R \ {0}; fmax = f (- 5)= -2 5 .
22. a = 1(" a = -2 .
23. a = 5 .
24. -
2
Ä„
25. P = .
8
1
ëÅ‚
2
26. P = 2r +1öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
sinÄ…
íÅ‚ Å‚Å‚
27. fmin = f (- 2)= f (0)= 0 .
28. Funkcja jest rosnÄ…ca w tym przedziale.
10
2
30. f (0)= -3.
2
31. Ä… = Ä„ .
3
32. ymax = y(-1)= 20 .
x2
34. f (x)= +1.
2
2
35. f (Ä„ )= 1.
1
36. k e" .
3
1
37. yMAX = 1, yMIN = .
10
38. fmax = f (- 5)= 108, fmin = f (- 3)= 0 , równanie ma dwa pierwiastki.
39.
1
a) - .
56
2
b) - .
5
c) 9
1
d) -
2
e) "..
f) - ".
g) 0.
2
h)
3.
i) 4.
j) Granica nie istnieje.
k) -3.
1
l) .
2
Å‚) - " .
1
m) - .
2
n) 1.
o) 0.
p) 1.
r) Granica nie istnieje.
1
s) - .
2
t) 4.
1
u) .
2
2
Ä„
w) .
8
11
2
x) .
3
40.
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
a) f = -1.
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2
b) f (3)= .
3
1
2
c) f (1)= - .
4
1
2
d) f (2)= - .
8
1
2
f) f (4)= .
3
41.
3
2
a) f ( 3)= .
8
2 2
b) f (0)= -1, f ( 2)= 10 2 - 7 .
2 ëÅ‚ 3 öÅ‚
c) f Ä„ = - 2 .
ìÅ‚ ÷Å‚
8
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚ 1
d) f = - .
ìÅ‚ ÷Å‚
2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚ 6
e) f = -
ìÅ‚ ÷Å‚
6 2
íÅ‚ Å‚Å‚
1
2
f) f (4)= - .
16
6
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚ 108
g) f = .
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
h) f = -1.
ìÅ‚ ÷Å‚
4
íÅ‚ Å‚Å‚
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
i) f = 1.
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
5
2
j) f (1)= .
2
42. a = 4 .
43. P(1;1).
44. x = 0; x = 2.
15
ëÅ‚1; öÅ‚; P(x)"(0;27).
45. P(x)= (14 - x) 2x -1; x "
ìÅ‚ ÷Å‚
2
íÅ‚ Å‚Å‚
Ä„ 5Ä„
46. x = + kĄ ; x = + kĄ '" k " C .
12 12
2
47. h (1)= -3 .
48. lim f (x)= -1; lim f (x)= 1.
x2- x2+
12
2 ëÅ‚ Ä„ öÅ‚
49. f = 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚
6
íÅ‚ Å‚Å‚
50. Funkcja rosnÄ…ca w przedziale (1;"), a malejÄ…ca w przedziale (- ";1).
51. (- 3;0), ( 3;0); y = 6x + 6 3, y = 6x - 6 3 .
Ą kĄ Ą kĄ
52. x = + , x = + '" k " C .
4 2 8 2
53. f (x)= x3 - x2 + x + 5 .
54. y = x -1.
55. y = x + 8.
2
57. Wartość najmniejsza to , wartość największa to 1.
2
58. a "(- ";-1).
59. -
60. (0;0); (2;- 4).
61. Tak.
62. y = 3x - 2 .
63. Funkcja jest ciągła w punkcie x = 1.
3Ä„ - 4 Ä„ + 4
64. - wartość najmniejsza, - wartość największa.
4 4
65. y = -1 - asymptota pozioma lewostronna, y = 1 - asymptota pozioma
prawostronna, x = 0 - asymptota pionowa.
3
66. y = x2 +1 .
169
67. P = .
8
68. 
2
69. f (2) nie istnieje; fmin = f (2)= 0 .
7Ä„ 11Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
70. x " ; .
ìÅ‚ ÷Å‚
12 12
íÅ‚ Å‚Å‚
4
ëÅ‚
71. ;2öÅ‚ .
ìÅ‚ ÷Å‚
3
íÅ‚ Å‚Å‚
72. Nie.
4 32
ëÅ‚ öÅ‚
73. fmax = f = , fmin = f (0)= f (2)= 0 .
ìÅ‚ ÷Å‚
3 27
íÅ‚ Å‚Å‚
74. Nie istnieje.
75. -
76. y " - 2;2 .
77. y = 2x, y = 2x - 4
1
78. y = x +1. .
4
2
79. f (0)= -120
5Ä„ Ä„
80. kĄ - ;kĄ -
12 12
13
81. y = -x - asymptota ukośna prawostronna; y = -3x - asymptota ukośna
lewostronna..
82. p "(- 2 3;2 3)
83. a "(0;1)
84. x = 0.
85. a = a Å" a .
86. -
3
87. cosÄ…=-
5
88. m"<-2;2>
1 1
89. C( ; )
2 4
90. 4
16 3
2 2
91. ymax=y(-2 )=y(2 )=
3 3 9
1
92. tgÄ…=
3
93. fmin=f(7)=9
 7 
94. Ä…=- +2k  (" Ä…= +2k  '" k"C
6 6
95. a=b=3
96. x=-2
97. y=-2 asymptota pozioma lewostronna, y=0 asymptota pozioma prawostronna.
3
98. x"(-2;- )
2
99. a=-2

100. Ä…=
6
2
101. fmax=f(1)= - dla a=3
3
102. 135º
103. Dwie
104. a=1 (" a=-1
105. 
1
106. x"< ;2>
2
107. ymax(3)=1
108. m=2
109. 
110. x=0
111. 
 + 2
112. x- 2 y- =0
3
1
113. tgÄ… =
3
  
114. x = k (" x= +k '" k"C
3 12 3
115. 6 i 6
116. 
3 21
117. tgą=3 3 więc siną =
14
118. x=4 '" y=4 '" P=16
119. f malejąca w przedziałach (- " ;-1); (0,1), f rosnąca w przedziałach (-1;0); (1; " );
ymin=f(-1)=f(1)=0
5 6

120. f'( )=
6 4
14
121. 
 5 
122. P=|1+x+2cosx|, więc dla x"< ;  > mamy P=1+x+2cosx, Pmin jest dla x= ,
2 6
3
5 
zatem C( ; - )
6 2
2
123. Pole prostokąta P(x)=(2-2x) 2x - x2 , x"(0;1), dla x=1- pole ma wartość
2
2
4
największą, środek symetrii S(1; ), tgą=-
4 3
124. Funkcja jest ciągła w zbiorze R\{2}. Funkcja jest ró\
niczkowalna w przedziałach
(- " ;0); (1,2); (2; " ).
125.  1
4
126. f(1)=
3
127. 
128. arctg(2 2 )
129. x-y+1=0
130. 3 2
131. 
132. 
133. k"(0; " )
134. k=6
2
135. x= r
2
136. 
137. 
138. 0
139. 
140. -
15