POCHODNE FUNKCJI
STYCZNA DO WYKRESU FUNKCJI
Równanie stycznej
Dla funkcji f określonej w otoczeniu U(x0, ) i różniczkowalnej w punkcie x0
do wykresu funkcji
Równanie stycznej do wykresu funkcji
tg = f '(x0)
y  f(x0) = f '(x0)(x  x0)
KÄ…t
Dla funkcji f i g określonych w otoczeniu U(x0, ) i różniczkowalnych w x0
między krzywymi
Kąt przecięcia wykresów dwóch funkcji
f (x0) g (x0)
-
tg = ----------------------------------------- ,
1 f (x0) Å" g (x0)
gdy f '(x0) · g'(x0)  1
= 90°,
gdy f '(x0) · g'(x0) =  1
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI
Reguły
Dla funkcji f i g różniczkowalnych w punkcie x " X i dla c " R
różniczkowania
Pochodna sumy funkcji Pochodna różnicy funkcji
[f(x) + g(x)]' = f '(x) + g'(x)[f(x)  g(x)]' = f '(x)  g'(x)
Pochodna iloczynu funkcji Pochodna ilorazu funkcji
f(x)- '
f (x) Å" g(x) f(x) Å" g (x
-
[f(x) · g(x)]' = f '(x) · g(x) + f(x) · g'(x) ---------- = ----------------------------------------------------------) , g(x) 0
g(x)
[g(x)]2
Pochodna iloczynu stałej i funkcji Pochodna funkcji stałej
[c · f(x)]' = c · f '(x) c' = 0
Pochodna logarytmiczna Pochodna pierwiastka z funkcji
'
f (x f (x)
- -
[ln f(x) ]' = ----------) , f(x) 0 f(x) = ---------------- , f(x) > 0
f(x)
2 f(x)
62
Wzór Założenie Wzór Założenie Pochodne funkcji
elementarnych
--
-
(ln x )' = 1
(ax + b)' = a a, b " R x 0
 wzory
x
 1
n " N, n > 1 (sin x)' = cos x
(xn)' = nxn
(cos x)' =  sin x
(x )' = x  1 x " R+, " R

x --- + k ,
1
(tg x)' = ----------------
2
a, b, c " R
(ax2 + bx + c)' = 2ax + b
cos2 x
k " C
' 1
ëÅ‚ öÅ‚ 1
(ctg x)' =  --------------
x = ---------- x " R+
x k , k " C
íÅ‚ Å‚Å‚
sin2 x
2 x
1
' a
-
ëÅ‚aöÅ‚ (arcsin x)' = -----------------
- =  ---- x 0, a " R x " ( 1; 1)
-
íÅ‚--Å‚Å‚
x
1 x2
x2
1
-
(arccos x)' =  -----------------
a " R+ \ {1}
x " ( 1; 1)
(ax)' = ax · ln a
1 x2
1
(arctg x)' = --------------
(ex)' = ex
1 x2
x 0, 1
1
(arcctg x)' =  --------------
(loga x )' = -------------
x ln a
a " R+ \ {1}
1 x2
Pochodne rzędu n
Wzór Założenie Wzór Założenie
wybranych funkcji
ëÅ‚ ëÅ‚
--- ---
(sin x)(n) = sin x + n öÅ‚ (cos x)(n) = cos x + n öÅ‚
 wzory
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
(ax)(n) = ax · (ln a)n a " R+ \ {1} (ex)(n) = ex
(ln (1 + x))(n) =
(n)
n
ëÅ‚1öÅ‚
- = ( 1)n · ----------1
-
x 0 x " ( 1; + )
(n 1)
íÅ‚--Å‚Å‚
x
= ( 1)n + 1 · -------------------
xn
(1 x)n
Pochodna funkcji
Dla złożenia f g i funkcji g różniczkowalnej w punkcie x " X oraz funkcji f
złożonej
różniczkowalnej w punkcie g(x)
Pochodna funkcji złożonej
[f(g(x))]' = f '(g(x)) · g'(x)
63
ZASTOSOWANIA POCHODNEJ
Monotoniczność
Dla funkcji f majÄ…cej pochodnÄ… f ' w dowolnym przedziale otwartym X = (a; b)
lub w zbiorze X = R
funkcji
Monotoniczność funkcja f rosnąca funkcja f malejąca funkcja f stała
Warunek f '(x) > 0 f '(x) < 0 f '(x) = 0
Interpretacja
geometryczna
Ekstrema lokalne
Dla funkcji f majÄ…cej pochodnÄ… f ' w otoczeniu U(x0, ) i f '(x0) = 0
funkcji
Ekstrema lokalne maksimum minimum
f '(x) > 0 dla x " S (x0, ) f '(x) < 0 dla x " S (x0, )
 
Warunki
f '(x) < 0 dla x " S+(x0, ) f '(x) > 0 dla x " S+(x0, )
Interpretacja
geometryczna
Funkcja wypukła
Dla funkcji f majÄ…cej pochodnÄ… f '' w dowolnym przedziale otwartym X = (a; b)
lub w zbiorze X = R
i wklęsła
Funkcja wypukła Funkcja wklęsła
Warunki f ''(x) > 0 f ''(x) < 0
Interpretacja
geometryczna
Punkt przegięcia
Dla funkcji f mającej pochodną f '' ciągłą w otoczeniu U(x0, ) i f ''(x0) = 0
wykresu funkcji
Punkt przegięcia wykresu funkcji
f ''(x) > 0 dla x " S+(x0, ) f ''(x) < 0 dla x " S+(x0, )
Warunki
f ''(x) < 0 dla x " S (x0, ) f ''(x) > 0 dla x " S (x0, )
 
Interpretacja
geometryczna
64
CAA
KI
Reguły całkowania
Dla funkcji f i g całkowalnych w przedziale X i dla c " R
Całka sumy Całka różnicy
f(x)dx + f(x)dx 
+"[f(x) + g(x)]dx = +" +"g(x)dx +"[f(x)  g(x)]dx = +" +"g(x)dx
Całka iloczynu stałej i funkcji Pochodna całki
ëÅ‚
f(x)dx f(x)dxöÅ‚' = f(x)
+"[c · f(x)]dx = c · +" íÅ‚+" Å‚Å‚
CAA
KOWANIE FUNKCJI
Całkowanie
Dla funkcji f i g mających pochodne f ' i g' ciągłe w przedziale X
przez części
Całkowanie przez części
f(x) · g'(x)dx = f(x) · g(x)  f '(x) · g(x)dx
+"+"
na
Całkowanie
Dla funkcji f ciągłej w przedziale X i dla funkcji g: T X mającej pochodną g'
ciągłą w przedziale T przez podstawienie
Całkowanie przez podstawienie
f(x)dx = f(g(t))g'(t)dt, gdzie x = g(t)
+"+"
Całki
Dla funkcji f mającej pochodną f ' ciągłą w przedziale X i C " R
pochodnych funkcji
Całka pochodnej pierwiastka
Całka pochodnej funkcji Całka pochodnej logarytmicznej
z funkcji
f (x)
f (x
-
----------) dx = ln f(x) + C, ---------------- dx = f(x) + C,
-
+"
+"
f(x)
f '(x)dx = f(x) + C 2 f(x)
+"
f(x) 0
f(x) > 0
Całki
Dla dowolnych a, p, q, C " R, k " N+ \ {1} i = p2  4q < 0
wybranych funkcji
1 1 1 2 wymiernych
------------------ dx = ----------- (x  a)1  k + C -------------------------- dx = ----------- arctg 2x p + C
- ---------------
+" +"

(x a)k 1 k x2 px q
i niewymiernych
1 x
1
------------------ dx = ln x + x2 a + C -------------------- dx = arcsin ----- + C, a 0
+"
+" a
a2 x2
x2 a
65
Całki nieoznaczone Wzór Wzór
 wzory
1
-------------- dx = tg x + C
-
+"
+"0dx = C
cos2 x
1
------------- dx =  ctg x + C
-
+"
+"adx = ax + C, a = const
sin2 x
1
+"x dx = ------------ x + 1 + C,  1 +"tg xdx =  ln cos x + C
1
1
-- dx = ln x + C
-
+" +"ctg xdx = ln sin x + C
x
1
1
--------- dx = x + C
-
----------- dx = ln a + x + C
-
+"
+"
a x
2 x
1 1 x
x ax
------------- dx = 1 ln ----------- + C
- -- -
-
- + C,
+"
+"a dx = --------- a > 0, a 1
ln a
1 x2 2 1 x
1
x
------------- dx = arctg x + C
-
+"
+"e dx = ex + C
1 x2
1
----------------- dx = arcsin x + C
-
+"
+"sin xdx =  cos x + C
1 x2
1
------------------ dx = ln x + 1 x2 + C
+"
+"cos xdx = sin x + C
1 x2
Wzory Wzory rekurencyjne na całki wybranych funkcji
rekurencyjne
n 1 n 1 n  2
- -
xdx =  -- sinn  1 xcos x + ----------- xdx, n " N+
na całki
+"sin +"sin
n n
wybranych funkcji
n 1 n  2
-
+"tg xdx = ----------- tgn  1 x  +"tg xdx, n " N+ \ {1}
n 1
1 1 x 1
--------------------- dx = --------------- · --------------------------- + 2n 3 --------------------------- dx, n " N+ \ {1}
---------------
n n 1 n 1
+" +"
2n 2 2n 2
(1 x2) (1 x2) (1 x2)
n n  1
+"x · cos xdx = xn · sin x  n+"x sin xdx, n " N+
n n  1
+"x · sin xdx =  xn · cos x + n+"x cos xdx, n " N+
66
ZASTOSOWANIA CAA
KI OZNACZONEJ
Pole figury
Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b
ograniczonej
Pole figury ograniczonej wykresem funkcji
wykresem funkcji
b
P = f(x) dx
+"
a
P  pole figury ograniczonej wykresem funkcji
y = f(x), osiÄ… Ox i prostymi x = a i x = b
Pole figury
Dla funkcji f i g ciągłych w przedziale a; b o wartościach f(x) > g(x)
ograniczonej
Pole figury ograniczonej dwoma wykresami funkcji
dwoma wykresami
b
funkcji
P =
+"[f(x)  g(x)]dx
a
P  pole figury ograniczonej wykresami funkcji
y = f(x) i y = g(x) oraz prostymi x = a i x = b
Długość łuku
Dla funkcji f mającej ciągłą pochodną f ' w przedziale a; b
wykresu funkcji
Długość łuku wykresu funkcji
b
l = 1 [f (x)]2 dx
+"
a
l  długość łuku AB wykresu funkcji y = f(x)
Współrzędne
Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b o wartościach f(x) > 0
środka ciężkości
Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej
figury płaskiej
b b
2
+"x Å" f(x)dx +"[f(x)] dx
a a
- -
xS = ------------------------- yS = -------------------------
b b
2
+"f(x)dx +"f(x)dx
a a
S  środek ciężkości figury ograniczonej
wykresem funkcji y = f(x), osiÄ… Ox i prostymi
x = a i x = b
67
Pole powierzchni
Dla funkcji f mającej ciągłą pochodną f ' w przedziale a; b
bocznej bryły o wartościach f(x) 0
obrotowej Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
b
Pb = 2 f(x) 1 [ f (x)]2 dx
+"
a
Pb  pole powierzchni bocznej bryły powstałej
z obrotu wykresu funkcji y = f(x), x " a; b ,
dookoła osi Ox
Objętość
Dla funkcji f ciągłej w przedziale a; b o wartościach f(x) 0
bryły obrotowej
Objętość bryły obrotowej
b
2
V = f (x)dx
+"
a
V  objętość bryły powstałej z obrotu wykresu
funkcji y = f(x), x " a; b , dookoła osi Ox
CAA
KI EULERA
Funkcje
Dla x, y " R+
gamma i beta
Całka Eulera II rodzaju Całka Eulera I rodzaju
" 1
x  1 x  1
(x) = e tdt (x, y) = (1  t)y  tdt
+"t +"t
0 0
Własności
Własności całek Eulera
całek Eulera
1
ëÅ‚ öÅ‚
(x + 1) = x · (x), x " R+ -- =
-
íÅ‚ Å‚Å‚
2

ëÅ‚
-- -
-
(x) · x + 1 öÅ‚ = ------------1 (2x), x " R+
(n) = (n  1)!, n " N+
íÅ‚ Å‚Å‚
2
22x

--------------------------)
(x) · (1  x) = --------------- , x " (0; 1) (x, y) = (x) Å" (y-
(x y)
sin x
68