Zadania z funkcji zespolonych
III semestr
1
Spis treści
1. Liczby zespolone - dzia7 i w7 Zad. 1 10
lania lasności
2. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność Zad. 11-19
3. Funkcje elementarne Zad. 20-32
4. Odwzorowania konforemne Zad. 33-49
5. Ca7 zespolone, twierdzenia ca7 Cauchy ego Zad. 50-58
lki lkowe
6. Szeregi Taylora Zad. 59-72
7. Szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych Zad. 73-78
8. Ca7 rzeczywiste Zad. 79-99
lki
9. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum Zad. 100-110
2
1. Liczby zespolone - dzia7 i w7
lania lasności
1. Wykonać nastepujace dzia7 na liczbach zespolonych:
lania
(a) (1 + )(2 + ) + (1 - )(2 - ),
(b) (1 + 2 )(3 - )(5 - 5 ),
1+2
(c) ,
3+
(1+ )7-1
(d) .
(1- )4-1
1 1 7 8
Odpowiedzi: a) 2, b) 50, c) + , d) - .
2 2 5 5
2. Udowodnić równość #" + #"2 + #" + #"2 = 2(#" #"2 + #" #"2) dla , " !. Wywnioskować
stad, że #" + #"2 d" 2(#" #"2 + #" #"2) dla , " !.
3. Zapisać w postaci trygonometrycznej nastepujace liczby zespolone:
"
(a) 2 + 2 3 ,
"
(b) 3 + ,
1-
"
(c) ,
1+ 3
"
(d) -2 + 2 3 ,
"
(e) - 3 - .
Odpowiedzi:
a) 4(cos( 3 ) + sin( 3 )),
b) 2(cos( 6 ) + sin( 6 )),
"
2
c) (cos(17 ) + sin(17 )),
2 12 12
d) 4(cos(2 ) + sin(2 )),
3 3
e) 2(cos(5 ) + sin(5 6 )).
6
4. Korzystajac ze wzorów Moivre a obliczyć:
"
(a) (-1 + 3 )30,
(b) (1 + )2005,
3
"
2004
3 1
(c) - + ,
2 2
"
(-2+2 3 )16
"
(d) ,
(1+ 3 )7
(1+ )80 " )80
(1-
"
(e) + ,
( 3+ )18 ( 3- )18
"
4
(f) -16,
"
3
(g) - ,
"
6
(h) 1.
Odpowiedzi:
a) 23,
b) 21002(-1 + ),
c) 1,
"
d) 225(-1 + 3),
e) -2,
" " " " " " " "
f) = 2 + 2, = - 2 + 2, = - 2 - 2, = 2 - 2,
0 1 2 3
" "
3 1 3 1
g) = , = - - , = - ,
0 1 2
2 2 2 2
" " " "
1 3 3 3 1 3
h) = 1, = + , = -1 + , = -1, = -1 - , = - .
0 1 2 3 4 5
2 2 2 2 2 2 2 2
5. Obliczyć:
"
(a) -8 - 6 ,
"
(b) 3 - 4 ,
"
(c) -11 + 60 .
Odpowiedzi:
a) + = -1 + 3, + = 1 - 3,
1 1 2 2
b) + = -2 + , + = 2 - ,
1 1 2 2
c) + = 5 + 6, + = -5 - 6.
1 1 2 2
6. Rozwiazać w dziedzinie zespolonej równania:
3
(a) = 8 ,
4
(b) = 16,
4
6
(c) + 64 = 0,
4
(d) (1 - )4 = -1,
(e) #" #" - = 1 + 2 ,
2
(f) (Ż )2 - + Ż2 - 1 = 0,
(g) Å» + ( - Å») = 3 + 2 ,
7 4 3
(h) - + - = 0,
6 4 2
(i) - + 4 - 4 = 0.
Odpowiedzi:
" "
a) = 3 + , = - 3 + , = -2,
0 1 2
b) = 2, = 2 , = -2, = -2 ,
0 1 2 4
" " " "
c) = 3 + , = 2 , =" 3 + , " = - 3 - , = -2 , = 3 - ,
-
0 1 2 3 4 5
" "
2 2 2 2
d) = , = , = - , = - ,
0 1 2 3
2 2 2 2
3
e) = - 2 ,
2
f) = , = -1, = 1, = -1,
0 1 2 3
" "
g) = 2 + , = - 2 + ,
1 2
" " " " " "
1 1 2 2 2 2
h) = -"3 + , = -"23 +" , = , = - + , = - + ,
0 1 2 3 4
2 2 2 2 2 2 2
"
2 2 2 2
= - - , = -
5 6
2 2 2 2
i) = 1, = -1, = 1 + , = -1 + , = -1 - , = 1 - .
1 2 3 4 5 6
7. Niech bedzie pierwiastkiem wielomianu o wspó7
lczynnikach rzeczywistych. Udowodnić,
0
że Ż0 jest także pierwiastkiem wielomianu ( ).
4 3 2
8. Znalez
ć pozosta7 pierwiastki wielomianu ( ) = - 4 + 4 + 4 - 5 wiedzac, że
le
= 2 - jest pierwiastkiem tego wielomianu.
0
Odpowiedz
: = 2 + , = , = -1.
1 2 3
4 3 2
9. Znalez
ć pozosta7 pierwiastki wielomianu ( ) = - 4 + 6 - 4 + 5 wiedzac, że
le
= 2 + jest pierwiastkiem tego wielomianu.
0
Odpowiedz
: = 2 - , = , = -1.
1 2 3
5
10. Zaznaczyć na p7
laszczyz
nie zespolonej zbiory:
(a) {( , ) " ! : 1 < #" #" < 4},
(b) {( , ) " ! : Re + 1 e" Im },
"
(c) {( , ) " ! : #" - 1 - 2 #" = 5},
(d) {( , ) " ! : #" - 2 #" e" 1},
(e) {( , ) " ! : #" - 2#" < 9 '" #" + 2#" < 9},
(f) {( , ) " ! : #" - 1#" < #" + 2#"}.
Odpowiedzi:
2 2
a) pierścień {( , ) " !2 : 1 < + < 4},
b) pó7 laszczyzna z brzegiem {( , ) " !2 : + 1 e" },
lp7
c) okrag {( , ) " !2 : ( - 1)2 + ( - 2)2 = 5},
2
d) zewnetrze ko7 wraz z okregiem {( , ) " !2 : + ( - 2)2 e" 1},
la
2 2
e) cześć wspólna dwóch kó7 {( , ) " !2 : ( - 2)2 + < 9 '" ( + 2)2 + < 9},
l
f) pólp7
laszczyzna z brzegiem {( , ) " !2 : e" 0}.
6
2. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność
11. Znalez
ć cześć rzeczywista i urojona funkcji:
3
(a) ( ) = + Ż2,
+1
(b) ( ) = .
-1
Odpowiedzi:
3 2 2 2 2
a) ( , ) = - 3 + 2 , ( , ) = 3 - 2 + ,
2 2
+ +1 +
b) ( , ) = , ( , ) = -( -1)2+ .
2
( -1)2+ 2
12. Dana jest cześć rzeczywista ( , ) i cześć urojona ( , ) funkcji zespolonej . Przed-
stawić te funkcje jako funkcje zmiennej zespolonej :
4 2 2 4 3 3
(a) ( , ) = - 6 + - , ( , ) = 4 - 4 - ,
2 2
(b) ( , ) = - + , ( , ) = 2 + ,
-
(c) ( , ) = + , ( , ) = - .
2 2 2 2
+ +
Odpowiedzi:
4
a) ( ) = - ,
2
b) ( ) = + ,
1
c) ( ) = + Å».
13. Sprawdzić w jakich punktach " ! nastepujace funkcje spe7 warunki Cauchy ego-
lniaja
Riemanna:
2
(a) ( ) = ,
(b) Im ,
(c) ( ) = #" #"2 + 2 ,
(d) ( ) = #" #".
Odpowiedzi:
a) spe7 warunki Cauchy ego-Riemanna dla dowolnego " !,
lnia
b) spe7 warunki Cauchy ego-Riemanna tylko dla = 0,
lnia
7
c) spe7 warunki Cauchy ego-Riemanna tylko dla = 0,
lnia
d) nie spe7 warunków Cauchy ego-Riemanna w żadnym " !.
lnia
14. Zbadać istnienie pochodnej funkcji oraz znalez
ć jej pochodna w punktach w których
istnieje:
(a) ( ) = Re ,
(b) ( ) = Å».
2
Odpowiedzi: wspólna dla (a) i (b) ma pochodna tylko dla = 0 i (0) = 0.
15. Zbadać holomorficzność funkcji:
(a) ( ) = #" #"2 + 2 ,
(b) ( ) = Ż2,
2
(c) ( ) = ( + 1)#" #",
(d) ( ) = #" #" + 2 ,
(e) ( ) = #" #"2( + 1).
Odpowiedzi: Wspólna dla (a)-(e) nie jest holomorficzna w dowolnym punkcie
" !.
16. Dla funkcji wymienionych w zadaniu 16
" "
(a) policzyć pochodne oraz ,
" "
(b) korzystajac z definicji policzyć pochodna formalna " Ż,
"
2
(c) w jakich punktach p7
laszczyzny istnieje ( ),
(d) korzystajac z definicji policzyć pochodna formalna " ,
"
(e) zbadać holomorficzość .
Odpowiedzi:
" " "
a) Dla ( ) = #" #"2 +2 , ( , ) = 2 +2, ( , ) = 2 + 2, ( , ) = + ,
" " " Å»
2 2
( ) istnieje tylko dla = 0 i (0) = 2.
0
8
" "
b) Dla ( ) = Ż2, ( , ) = 2 - 2 , ( , ) = -2 - 2 ,
" "
"
2 2
( , ) = 2 - 2 , ( ) istnieje tylko dla = 0 i (0) = 0.
0
" Å»
" "
2
c) Dla ( ) = ( + 1)#" #" pochodne (0, 0) i (0, 0) należy policzyć z definicji
" "
" "
(nie istnieje (0, 0) i (0, 0)), dla pozosta7 punktów:
lych
" "
2 2 3 2 2 2
" 2 ( + )+ )+ (-2 ( + )-2 )
"
( , ) = ,
"
2 2
+
2 2 3 2 2 2
" 2 ( + )+ + (-2 ( + )-2 )
"
( , ) = ,
"
2 2
+
3 2 3 2
" 5 +6 -2 )
1
"+ (
( , ) = ,
" Å» 2
2 2
+
2
( ) nie istnieje dla dowolnego punktu " !.
" "
d) Dla ( ) = #" #" + 2 pochodne (0, 0) i (0, 0) należy policzyć z definicji (nie
" "
" "
istnieje (0, 0) i (0, 0)), dla pozosta7 punktów:
lych
" "
"
"
( , ) = + 2,
"
2 2
+
"
"
( , ) = + 2 ,
"
2 2
+
"
1
" + ,
( , ) =
" Å» 2
2 2
+
2
( ) nie istnieje dla dowolnego punktu " !.
"
2 2
e) Dla ( ) = #" #"2( + 1), ( , ) = 3 + + 2 + 2 ,
"
"
2 2
( , ) = 2 + 2 + ( + 3 ),
"
"
2 2
( , ) = - + + (2 + ),
" Å»
2
( ) istnieje dla = 0 i wynosi 0.
17. Niech " ( (0, )). Udowodnić, że:
2
(a) jeśli ( ) = 0 dla " (0, ), to = ,
(b) jeśli #" ( )#" = dla " (0, ), to = .
18. Pokazać, że twierdzenie o wartości średniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych.
3
Odpowiedz
Należy rozpatrzeć funkcje ( ) = oraz odcinek laczacy punkty 1 oraz
7
.
9
19. Znalez
ć funkcje holomorficzna ( ) = ( , )+ ( , ) (a nastepnie zapisać ja w postaci
zespolonej) wiedzac, że:
2 2
(a) ( , ) = - + ,
3 2 2 3
(b) ( , ) = + 6 - 3 - 2 ,
(c) ( , ) = ,
2 2
+
2 2
-
(d) ( , ) = .
2 2
( + )2
Odpowiedzi:
2
2
2 1
a) ( , ) = 2 - + + , ( ) = (1 - ) + ,
2 2 2
3 2 2 3 3
b) ( , ) = -2 + 3 + 6 - + , ( ) = (1 - 2 ) + ,
1
c) ( , ) = - + + , ( ) = + ,
2 2
-2
d) ( , ) = -( 2 )2 + , ( ) = + .
2 2
+
10
3. Funkcje elementarne
20. Wykazać, że:
(a) sin = sin cosh + cos sinh ,
(b) cos = cos cosh - sin sinh ,
sinh 2
sin 2
(c) tan = + ,
cos 2 +cosh 2 cos 2 +cosh 2
(d) sinh = sinh cos + cosh sin ,
(e) cosh = cosh cos + sinh sin ,
sin 2
sinh 2
(f) tanh = + .
cosh 2 +cos 2 cosh 2 +cos 2
Odpowiedzi:
a)
- - + - -
- - (cos + sin ) - (cos - sin )
sin = = =
2 2 2
- -
- +
= cos + sin = sin cosh + cos sinh .
2 2
b)
- -
+ (cos + sin ) + (cos - sin )
cos = =
2 2
- -
+ -
= cos + sin = cos cosh - sin sinh .
2 2
c)
sin coth + cos sinh cos coth + sin sinh
tan =
cos coth - sin sinh cos coth + sin sinh
cos sin (cosh2 - sinh2 ) + sinh cosh
=
cos2 cosh2 + sin2(cosh2 - 1)
sin 2 sinh 2
= + .
cos 2 + cosh 2 cos 2 + cosh 2
d)
- + -( + -
- - (cos + sin ) - (cos - sin )
sinh = = =
2 2 2
- - + -
= cos + sin = sinh cos + cosh sin .
2 2
11
e)
- + -( + -
+ + (cos + sin ) + (cos - sin )
cos ! = = =
2 2 2
+ - + -
= cos + sin = cosh cos + sin ! sin .
2 2
f)
sinh cos + cosh sin sinh cosh + sin cos
tanh = = .
cosh cos + sin ! sin
cosh2 cos2 + sinh2 sin2
1 cosh 2 =1
Korzystajac z cos2 = (1 + cos 2 ) i z cosh2 =
2 2
sinh 2 + sin 2 sinh 2 sin 2
= = +
cos 2 + cosh 2 cosh 2 + cos 2 cosh 2 + cos 2
21. Wykazać, że:
(a) #" sin #" = sin2 + sinh2 ,
(b) #" cos #" = cos2 + sinh2 ,
(c) #" sinh #" = sinh2 + sin2 ,
(d) #" cosh #" = sinh2 + cos2 .
Odpowiedzi:
a)
#" sin #" = sin2 cosh2 + cos2 sinh2 = sin2 cosh2 + (1 - sin2 ) sinh2
= sin2 cosh2 - sin2 sinh2 = sin2 + sinh2 .
b)
#" cos #" = cos2 cosh2 + sin2 sinh2 = cos2 cosh2 + (1 - cos2 ) sinh2
= cos2 (cosh2 - sinh2 ) + sinh2 = cos2 + sinh2 .
c)
#" sinh #" = sinh2 cos2 + cosh2 sinh2 = sinh2 (1 - sin2 ) + cosh2 sin2
= sin2 (cosh2 - sinh2 + sinh2 = sin2 + sinh2 .
12
d)
#" cosh #" = cosh2 cos2 + sinh2 sin2 = cosh2 cos2 + sinh2 (1 - cos2
= (cosh2 - sinh2 ) cos2 + sinh2 = cos2 + sinh2 .
22. Wykazać, że nastepujace funkcje sa okresowe:
(a) , o okresie = 2 ,
(b) , o okresie = ,
(c) ! , ! o okresie = 2 .
Odpowiedz
:
" np. dla
sin( + 2 ) = sin( + + 2 ) = sin( + 2 ) cosh + cos( + 2 ) sinh
= sin( ) cosh + cos( ) sinh = sin .
" np. dla
cosh( + 2 ) = cosh cos( + 2 ) + sin ! sin( + 2 )
= cosh cos + sin ! sin = cosh .
23. Wykazać, że dla " !:
(a) = ! ,
(b) ! = - !( ),
2 2
(c) + = 1,
(d) !2 - !2 = 1,
(e) Å» = ( ),
(f) Å» = ( ),
(g) (- ) = cos ,
(h) (- ) = - ,
(i) ( + ) = - ,
1 2 1 2 1 2
(j) ( + ) = + .
1 2 1 2 1 2
13
"
24. Korzystajac z definicji pochodnej formalnej udowodnić, że funkcje ,
" Å»
, , ! , ! , ! , ! sa holomorficzne w swojej dziedzinie.
Odpowiedz
: Pokażemy jak udowodnić, że funkcja sinh jest holomorficzna dla każdego
"
" !. Wiemy, że jest holomorficzna w !, jeśli = 0 dla każdego " !.
" Å»
"sinh 1 "sinh "sinh
= +
"Å» 2 " "
1
= (cosh cos + sinh sin + (- ! sin + cosh cos ))
2
1
= (cosh cos - cosh cos + (sinh sin - sinh sin )) = 0 + 0.
2
25. Wyprowadzić wzór na pochodne funkcji , , , , ! , ! , ! , ! .
26. Wykazać, że funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych i hiperbolicznych wyrażaja sie
nastepujacymi wzorami:
"
2
(a) = - ( + 1 - ),
"
2
(b) = - ( + - 1),
1 1+
(c) = ,
2 1-
1 +1
(d) = -2 ,
-1
"
2
(e) ! = ( + + 1),
"
2
(f) ! = ( + - 1),
1 1+
(g) ! = ,
2 1-
1 +1
(h) ! = .
2 -1
Odpowiedz:
- -
a) Niech = sin = . Podstawiamy = , wtedy
2
1
" "
-
2 2
= Ò! 2 - 2 - 1 = 0 Ò! = + - + 1 Ò! = - ln( + 1 - ).
2
14
 + -
b) = cos = . Podstawiamy = , wtedy
2
1
" "
+
2 2
= Ò! 2 - 2 + 1 = 0 Ò! = + - 1 Ò! = - ln( + - 1).
2
sin - -
c) = = . Podstawiamy = , wtedy
-
cos ( + )
2
- 1 1 + 1 1 +
= Ò! 2 = Ò! = ln .
2
+ 1 1 - 2 1 -
d) Analogicznie w pozosta7 przypadkach.
lych
27. Jakimi wzorami wyrażaja sie:
(a) pochodne funkcji zdefiniowanych w poprzednim zadaniu?
(b) pochodna funkcji potegowej ( ) = ?
Odpowiedz
:
"
2
a) Wiemy, że = - ln( + 1 - ). Zatem
1
( )2 = " ,
1 - 2
"-1
b) ( )2 = ,
1- 2
1
c) ( )2 = ,
1+ 2
1
d) ( )2 = -1+ ,
2
1
"
e) ( ! )2 = ,
1+ 2
1
"
f) ( ! )2 = ,
2
-1
1
g) ( ! )2 = .
1- 2
-1
h) ( )2 = .
28. Obliczyć wartość wyrażeń:
4
(a) , , (1 + ), (2 - ),
"
(b) 1, (-1), (1 + ), znalez
ć wartośc g7ówna (1 + 3),
l
(c) , 1 + .
15
Odpowiedzi:
" "
2 2
4
a) = + , cos = cosh 1, (1 + ) = sin 1 cosh 1 + sin 1 cosh 1.
2 2
1
b) ln 1 = 2 , " $!, ln(-1)" (2 +1) , " $!, ln(1+ ) = +(2 + , "
=
2 4
$!, wartość g7ówna ln(1 + 3) = ln 2 + .
l
3
- 2
2
c) = - +2 , " $!, 1 + = , " $!.
29. Rozwiazać równania:
(a) = 4,
(b) = -2 ,
4
(c) ( - 1) sin = 0,
6
(d) ( + 1) ! = 0,
(e) Wykazać, że ( ) = ą dla każdego " !.
"
Odpowiedzi:
" "
a) = 2 + ln(2 - 3) (" = 2 + ln(2 + 3), " $!.
2
"2 "
b) = (2 + 1) + ln(2 + 5) (" = 2 + ln(-2 + 5), " $!.
2 2
c) = 1, = , = -1, = - oraz = , " $!.
0 1 2 3
" " "
3 1 3 1 3 1
d) = + , " = , = - + , = = - -
0 1 2 3 0
2 2 2 2 2 2
3 1 1
= - , = - , = ( + ) , " $!.
4 5
2 2 2
30. Znalez
ć funkcje holomorficzna ( ) = ( , )+ ( , ) (a nastepnie zapisać ja w postaci
zespolonej) wiedzac, że
(a) ( , ) = ( ), > 0,
2 2
(b) ( , ) = ln( + ),
(c) ( , ) = ( cos - sin ),
(d) ( , ) = ( cos + sin ) + + ,
-
(e) ( , ) = ( cos + sin ),
-
(f) ( , ) = ( cos - sin ),
(g) ( , ) = sin ! - cos ! ,
16
(h) ( , ) = sin ! + cos ! ,
(i) ( , ) = cos ! + sin ! ,
(j) ( , ) = cos ! - sin ! ,
(k) ( , ) = ! cos - ! sin ,
(l) ( , ) = ! cos + ! sin ,
(m) ( , ) = ! cos - o& sin ,
(n) ( , ) = ! cos + ! sin .
Odpowiedzi:
a) ( , ) = Re(ln ),
b) ( , ) = Im(ln ),
c) ( , ) = Re( )
d) ( , ) = Im( ),
-
e) ( , ) = Re( ),
-
f) ( , ) = Im( ),
g) ( , ) = Re( sin ),
h) ( , ) = Im( sin ),
i) ( , ) = Re( cos ),
j) ( , ) = Im( cos ),
k) ( , ) = Re( sinh ),
l) ( , ) = Im( sinh ),
m) ( , ) = Im( cosh ),
n) ( , ) = Im( cosh ).
"
31. Wykazać, że gdy w pewnym obszarze istnieje jedna ga7a z
jednoznaczna pierwiastka ,
l
to istnieje dok7 takich ga7ezi, czym one sie różnia?
ladnie l
32. Znalez
ć obrazy prostych = oraz = :
(a) przy odwzorowaniu ( ) = ,
(b) przy odwzorowaniu ( ) = .
17
Odpowiedzi:
a) Obrazami prostych = const = 0 sa ga7ezie hiperboli o równaniu
" l
2 2
- = 1,
sin2 cos2
zaś obrazami prostych = const = 0 sa pó7 o równaniu
" lelipsy
2 2
+ = 1.
1 - -
1
( + ) ( + )
4 4
Hiperbole sa ortogalne do elips.
b) Obrazami prostych = const = 0 jest pek hiperboliczny okregów
"
cos 2 1
2
+ + =
sin 2 sin 2
przechodzacych przez = Ä… , zaÅ› obrazami prostych = const = 0 jest pek
"
eliptyczny okregów
cosh 2 1
2
+ - = ,
sinh 2 sinh 2
wzgledem których punkty = ą sa symetryczne.
18
4. Odworowania konforemne
-
33. Znalez
ć obraz obszaru = { " ! : #" #" < 1} przy homografii ( ) = .
+
Odpowiedz

-
Szukamy odwzorowania odwrotnego do ( ) = . Homografia odwrotna ma postać
+
+
( ) = - .
- 1
Aby znalez
ć obraz obszaru należy w równaniu opisujacym w miejsce wstawić
równanie homografii odwrotnej.
+
2
( ) = ={ " ! : < 1}
- 1
={ " ! : #" - (-1)#" < #" - 1#"}
={ " ! : Re < 0}.
Jest to lewa pó7 laszczyzna.
lp7
" "
34. Znalez
ć obraz obszaru = { " ! : #" - #" < 2 '" #" + #" < 2} przy homografii
-1
( ) = .
+1
Odpowiedz

Obszar jest cześcia wpólna dwóch kó7 Szukamy odwzorowania odwrotnego do ( ) =
l.
-1
. Homografia odwrotna ma postać
+1
- - 1
( ) = .
- 1
"
Aby znalez
ć obraz obszaru = { " ! : #" - #" < 2 należy w równaniu opisujacym
1
w miejsce wstawić równanie homografii odwrotnej.
1
"
2 - - 1
( ) = ={ " ! : - < 2}
1
1
- 1
={ " ! : #" - #" < #" - 1#"}
={ " ! : Im > Re }.
"
Postepujemy analogicznie dla = { " ! : #" + #" < 2}
2
"
2 - - 1
( ) = ={ " ! : + < 2}
2
2
- 1
={ " ! : #" - (- )#" < #" - 1#"}
={ " ! : Im < -Re }.
19
Zatem
( ) = ( ) )" ( ) = { " ! : Im > Re '" Im < -Re }.
1 2
35. Udowodnić, że homografia zachowuje dwustosunek punktów
- - - -
1 3 1 1 3 1
: = : .
- - - -
2 3 2 2 3 2
36. Udowodnić, że dla dowolnych trzech różnych punktów , , " ! i trzech różnych
1 2 3
wartości , , " ! istnieje dok7 jedna homografia taka, że ( ) = , =
ladnie
1 2 3
1, 2, 3.
37. Znalez
ć homografie, która przekszta7 zbiór = { " ! : #" - 2#" = 1} na = { "
lca
1
! : Im = 0} i taka, że punktom 1, 2 + , 2 - odpowiadaja punkty -1, 0, 1.
Odpowiedz

Korzystamy z faktu, że homografia zachowuje dwustosunek punktów, czyli
- - - -
1 3 1 1 3 1
: = : .
- - - -
2 3 2 2 3 2
+ 1 1 + 1 - 1 2 - - 1
: = : .
- 0 1 - 0 - (2 + ) 2 - - (2 + )
Skad po przekszta7
lceniach otrzymamy postać szukanej homografii
-(1 + ) + (1 + 3 )
= .
(-3 + ) + (3 - 3 )
38. Znalez
ć ogólna postać homografii przekszta7 lp7 lo
lcajacej górna pó7 laszczyzne na ko7 jed-
nostkowe.
Odpowiedz

Wybierzmy punkt taki, że Im > 0. Punktem symetrycznym do niego wzgledem
brzegu, czyli osi OX jest punkt Å». Szukana homografia musi przekszta7 punkt
lcić
na punkt należacy do (0, 1). Możemy przyja ć, że ( ) = 0. Wtedy homografia
punkt Å» musi przekszta7 na punkt symetryczny wzgledem 0 czyli na ". Zatem
lcić
-
( ) = 0, (Ż) = ". Stad możemy napisać ( ) = Pokażemy, że = .
-Å»
Ponieważ przekszta7 oś na okrag jednostkowy, to #" (1)#" = 1. Korzystajac
lca
20
1-
z tego dostaniemy 1 = #" (1)#" = #" #" . Należy zauważyć, że - = Ż - Ż, wiec
1-Å»
1-
1 - = 1 - Å». Stad = 1 i w konsekwencji #" #" = 1, czyli = . Szukane
1-Å»
homografie maja nastepujaca postać
-
( ) = , Im > 0, " [0, 2 ).
- Å»
39. Znalez
ć ogólna postać homografii przekszta7 lo
lcajacej ko7 jednostkowe na siebie.
Odpowiedz

Szukane homografie maja nastepujaca postać
-
( ) = , " (0, 1), " [0, 2 ).
- Å»
40. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 ko7 jednostkowe na siebie
lca lo
i takie, że:
2
(a) (1) = 0 i (1) = ,
4 4 2
2
(b) (1) = 0 i (1) = .
2 2 2
Odpowiedzi:
4
a) ( ) = /2 -1,
4-
2
b) ( ) = /2 -1.
2-
41. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 obszar
lca
= { " ! : #" #" > 1} na obszar = { " ! : Im < Re }.
1
Odpowiedz

1
Najpierw zastosujemy ( ) = . Ta homografia przekszta7 = { " ! : #" #" > 1}
lci
1
2
na = { " ! : #" #" < 1}. Nastepnie zastosujemy homografie ( ), odwrotna do tej,
2
która przekszta7 górna pó7 laszczyzne na ko7 jednostkowe. Ma ona postać
lca lp7 lo
Å» -
( ) = , " [0, 2 ).
2
-
Możemy podstawić np. = . Wtedy ( ) = -2 -+ . Szukane odwzorowanie
2
2 -
ma postać " .
2 1
21
42. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 obszar
lca
= ! " { " ! : Re d" 0 '" Im = 0} na obszar = { " ! : #" #" > 1}.
1
Odpowiedz

Obszar można zapisać jako
= { " ! : - < < }.
"
Wtedy pierwsza ga7az pierwiastka ( ) = przekszta7 obszar na
l lca
1
2
= { " ! : - /2 < < /2}.
2
Funkcja ( ) = odwozoruje na
2
2 2
= { " ! : 0 < < }.
2 2
Zauważmy, że jest górna pó7 laszczyzna. Niech
lp7
-
( ) = /2 .
3
+
Jest to homografia znana z poprzednich zadań, gdzie przyjeto = i = /2. Homo-
grafia
1
( ) = : (0, 1) { " ! : #" #" > 1}.
4
Szukane odzworowanie jest nastepujaca superpozycja
( ) = " " " .
4 3 2 1
43. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 p7 luż
lca laszczyzne rozcieta wzd7
prostych (-", -1] *" [1, ") na obszar = { " ! : Im > 0}.
1
Odpowiedz

1-
Niech ( ) = . Wtedy
1+
2
( ) = = { " ! : - < < }.
Dalej korzystajac z porzedniego zadania wiemy, że " " przekszta7 obszar na
lci
2 1
górna póp7
laszczyzne. Szukane odwzorowanie ma postać
1/2
1 -
( ) = ,
1 +
gdzie bierzemy pierwsza ga7 pierwiastka.
laz

22
44. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 obszar
lca
= ! " { " ! : -3 d" Re d" -1 '" Im = 0} na obszar = { " ! : Im > 0}.
1
Odpowiedz

Niech ( ) = + 2. Wtedy
1
( ) = ! " { " ! : -1 d" Re d" 1 '" Im = 0}.
1
1
Z kolei ( ) = przekszta7
lci
2
! " { " ! : -1 d" Re d" 1 '" Im = 0}
na p7 luż
laszczyzne rozcieta wzd7 prostych (-", -1]*"[1, "). Dalej korzystamy z poprzed-
1- 1/2
niego zadania i rozpatrujemy ( ) = , ( ) = , ( ) = . Szykane odw-
3 4 5
1+
zorowanie ma postać
= " " " " .
5 4 3 2 1
45. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 obszar
lca
= { " ! : Im > 0} " { " ! : Re = 0 '" 0 < Im d" 1} na obszar
= { " : #" #" < 1}.
1
Odpowiedzi
2
Niech ( ) = . Wtedy ( ) jest p7 lprostej [-1, +").
laszczyzna rozcieta wzdluż pó7
1 1
Funkcja ( ) = + 1 przesunie rozciecie na pó7
lprosta [0, +"). Funkcja ( ) przek-
2 3
-
szta7 otrzymany zbiór na górna pó7 laszczyzne. Wtedy ( ) = , Im > 0,
lci lp7
4
-Å»
odwzoruje ja na (0, 1). Zatem
= " " " .
4 3 2 1
46. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 ko7 = { " ! : #" #" < 1}
lca lo
na obszar = { " ! : 0 < Im < }.
1
Odpowiedz

Jeśli ( ) = -2 - + , to
1
( ) = { " ! : 0 < Im < }.
1
Stad " jest szukanym przekszta7
lceniem.
2 1
23
47. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 ko7 = { " ! : #" #" < 1}
lca lo
rozciete wzd7 promienia na obszar = { " ! : 0 < Im < }.
luż
1
2
Odpowiedz

1/2
Niech ( ) = , Wtedy
1
2
= ( ) = { " ! : #" #" < 1 '" Re > 0}.
1
+
Natomiast ( ) = przeksztalci ( ) na
2 1
-
2 2
= { " ! : Im > 0 '" Re < 0}.
2 2
Kolejno - odwzoruje na pasek .
1
2
48. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 pas
lca
= { " ! : 0 < Im < } na pólkole = { " ! : Im > 0 '" #" #" < 1}.
2
Odpowiedz

2
Fukcja ( ) = przekszta7 pasek na = { " ! : Re > 0 '" Im > 0}. ZaÅ› ho-
lca
1
-1 2
mografia ( ) = przekszta7 na . Stad " jest szukanyn przekszta7
lci lceniem.
2 1 2 1
+1
49. Znalez
ć odwzorowanie konforemne ( ), które przekszta7 wycinek ko7
lca lowy
= { " ! : 0 < < } na obszar = { " ! : #" #" < 1}.
1
3
Wskazówka.
Znalez
ć przekszta7 konforemne pó7 = { " ! : Im > 0 '" #" #" < 1} na
lcenie lkola
pólp7
laszczyzne = { " ! : Im > 0}.
1
Odpowiedz

2
+1
Szukane odwzorowanie ma postać ( ) = .
-1
24
5. Ca7 zespolone, wzory ca7 Cauchy ego
lki lkowe
2
50. Obliczyć ca7 Å» , gdzie “ jest lukiem paraboli = od punktu (0, 0) do punktu
lke 7
“
(1, 0).
Odpowiedz

Krzywa “ zapiszemy w postaci zespolonej tzn.
2
“ = { = + : " [0, 1]}.
Wtedy = (1 + 2 ) oraz
1 1 1
2
Å» = ( - )(1 + 2 ) = ( + 2 3) + 2 = 1 + .
3
“ 0 0 0
2
2
51. Obliczyć ca7 Å» , gdzie “ jest górnym lukiem elipsy + = 1 .
lke 7
“ 4
Odpowiedz

Krzywa “ zapiszemy w postaci zespolonej tzn.
“ = { = cos + 2 sin : " [0, /2]}.
Wtedy = (- sin + 2 cos ) oraz
/2
Å» = (cos - 2 sin )(- sin + 2 cos )
“ 0
/2 /2
= 3 cos sin + (sin2 + cos2 )
0 0
3
= + .
2
52. Obliczyć ca7 Å»-1 , gdzie “ jest górnym lukiem okregu { : #" #" = 2}.
lke 7
“
Odpowiedz

Krzywa “ zapiszemy w postaci zespolonej tzn.
“ = { = 2 : " [0, ]}.
Wtedy = 2 oraz
2 4
3
Å»-1 = 2 = 2 = - .
2 - 3
“ 0 0
25
53. Obliczyć ca7 #" #"Å» , gdzie “ jest górnym lukiem okregu { : #" #" = 1}.
lke 7
“
Odpowiedz

Krzywa “ zapiszemy w postaci zespolonej tzn.
“ = { = cos + sin : " [0, ]}.
Wtedy = (- sin + cos ) oraz
#" #"Å» = (cos - sin )(- sin + cos ) = = .
“ 0 0
1
54. Obliczyć ca7 , gdzie “+ = { : #" - 2#" = } jest krzywa zorientowana
lke
2
1
“ ( -4)2 2
dodatnio.
Odpowiedz

Funkcja podca7 ma dwa bieguny = 2 i = -2, oba dwukrotne. Do zbioru
lkowa
1 2
1
= { : #" - 2#" < } należy tylko biegun . Zatem korzystajac ze wzoru ca7
lkowego
1 1
2
Cauchy ego mamy
=
2
( - 4)2 “+ ( - 2)2( + 2)2
“+
1 1
2
( +2)2
2
= = 2 (2) = ,
1
( - 2)2 32
“+
1
gdzie ( ) = " ( ).
1 1
( +2)2
1
55. Obliczyć ca7 , gdzie “+ = { : #" + 2#" = } jest krzywa zorientowana
lke
2
2
“ ( -4)2 2
dodatnio.
Odpowiedz

Funkcja podca7 ma dwa bieguny = 2 i = -2, oba dwukrotne. Do zbioru
lkowa
1 2
1
= { : #" + 2#" < } należy tylko biegun . Zatem korzystajac ze wzoru ca7
lkowego
2 2
2
Cauchy ego mamy
=
2
( - 4)2 “+ ( - 2)2( + 2)2
“+
2 2
2
( -2)2
2
= = 2 (2) = - ,
2
( + 2)2 32
“+
2
26
gdzie ( ) = " ( ).
2 2
( -2)2
56. Obliczyć ca7 , gdzie “+ = { : #" #" = 4} jest krzywa zorientowana dodatnio.
lke
2
3
“ ( -4)2
Odpowiedz

Funkcja podca7 ma dwa bieguny = 2 i = -2, oba dwukrotne. Do zbioru
lkowa
1 2
= { : #" #" < 4} należa oba bieguny i . Zatem korzystajac z twierdzenia
3 1 2
Cauchy ego dla obszarów wielospójnych mamy
( +2)2 ( +2)2
= +
2
( - 4)2 “+ ( - 2)2 “+ ( - 2)2
“+
3 1 2
2 2
= - = 0,
32 32
57. Obliczyć ca7 , gdzie “+ = { : #" #" = 1} jest krzywa zorientowana dodatnio.
lke
2
4
“ ( -4)2
Odpowiedz

Do zbioru = { : #" #" < 1} nie należy żaden z biegunów i . Zatem korzystajac
4 1 2
z podstawowego twierdzenia Cauchy ego dla obszarów jednospójnych mamy
= 0,
2
( - 4)2
“+
4
ponieważ " ( ).
4
sin
58. Obliczyć ca7 + + cos , gdzie “ jest krzywa zorientowana dodat-
lke
1
2
“ (
+ - )3
4
nio o równaniu { " ! : #" - #" = 2}.
Odpowiedz
Zauważmy, że funkcja podca7 ma bieguny w puktach
lkowa
= , = - , = ,
1 2 3
2 2
przy czym bieguny i sa jednokrotne a biegun jest trzykrotny. Korzystamy z
1 2 3
twierdzenia ca7
lkowego Cauchy ego dla obszarów wielospójnych. Zatem
sin
+ + cos
1
2
+ ( - )3
“
4
sin
=2 + + .
1 - 1
2 2
2 2
+ + ( - )3
4 4
27
Policzymy residua wymienionych funkcji
2
( - )
2
= lim =
1
2
2
+ (
- )( + )
4 2 2 2
-
2
( + )
2
= lim =
- 1
2
2
+
- ( - )( + ) -
4 2 2 2
2 2
sin 1 ( - )3 sin 1
= = (- cos ).
( - )3 2! ( - )3 2
Zatem
-
2 2
sin 1
+ + cos = 2 ( + + (- cos ) .
1
2
+ ( - )3 - 2
“
4
28
6. Szeregi Taylora
59. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) o środku w punkcie :
0
(a) ( ) = , ( ) = cos , ( ) = sin , = 0,
0
(b) ( ) = ! , ( ) = ! , = 0,
0
(c) Ile wynosi promień zbieżności otrzymanego szeregu?
Odpowiedzi:
2 3
"
- = 1 + + + + 3! + . . . = .
=0
1! 2! !
3 5 7 2 +1
"
- = - + - + . . . = (-1) (2 +1)!.
=0
3! 5! 7!
2 4 6 2
"
- = 1 - + - + . . . = (-1) (2 )!.
=0
2! 4! 6!
2
"
- ! = .
=0
(2 )!
2 +1
"
- ! = . W każdym z powyższych przypadków promień = ".
=0
(2 +1)!
60. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) = (1 + ) o środku w punkcie = 0. Ile wynosi
0
promień zbieżności szeregu?
Odpowiedz

Wiadomo, że w obszarze jednospójnym, nie zawierajacym 0 i ", istnieje ga7a z
loga-
l
rytmu. Zatem promień ko7 o środku w punkcie w którym szereg bedzie zbieżny
la
0
musi spe7 < #" #". Policzymy pochodne ( ) = .
lniać
0
2 -1 2 2 -2 ( ) -
( ) = , ( ) = - , . . . ( ) = (-1) -1( - 1)! .
Stad
- 1 - 0 2 (-1) -1 - 0
0
= ( ) + - + . . . + + . . . ....
0
2 0
0 0
Przyjmujac = 1 i zastepujac przez 1+ otrzymamy dla wartości g7ównej logarytmu
l
0
rozwiniecie
2 3
(1 + ) = - + + . . . + (-1) -1 + . . . ....
2 3
w kole #" #" < 1.
29
61. Znalez
ć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie = 0 ga7ezi g7ównej funkcji
l l
0
( ) = (1 + ) dla #" #" < 1, " !.
Odpowiedz

Funkcja ( ) = ma jednoznacza ga7a z
w obszarze nie zawierajacym 0 i ". Policzymy
l
jej pochodne
2 -1
( ) = ,
2 2 -2
( ) = ( - 1) ,
.
.
.
( ) -
( ) = ( - 1) . . . ( - + 1) .
Jeśli " !, to
( )( ) = !
Dla " ! i > mamy = 0. Gdy " !, to symbol Newtona wyraża sie
wzorem
( - 1) . . . ( - + 1)
= ,
!
gdzie
:= 1.
0
Rozwiniemy funkcje w szereg Taylora w kole ( , ) dla < #" #",
0 0
- 0 - 0
= 1 + + . . . + . . . .
0
1 0
0
Wstawiajac za = 1 i zastepujac przez 1 + dostaniemy szereg dwumienny
0
"
(1 + ) = 1 + + . . . + . . . =
1
=0
dla #" #" < 1.
62. Znalez
ć" w szereg Taylora o Å›rodku w punkcie = 0 ga7ezi g7ównej funkcji
rozwiniecie l l
0
( ) = 1 + dla #" #" < 1.
Odpowiedz

1
Korzystamy z poprzedniego zadania podstawiajac za = . Stad
2
"
1 1 1 (2 - 3)!!
2 3
1 + = 1 + - + + . . . + (-1) -1 + . . .
2 8 16 (2 )!!
30
dla #" #" < 1.
63. Znalez
ć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie = 0 ga7ezi g7ównej funkcji
l l
0
1
"
( ) = dla #" #" < 1.
1+
Odpowiedz

Korzystamy z zadania przedostaniego podstawiajac za = -1. Stad
2
+1
(-1) (-1)(-3) (-1)(-3) . . . (-2 2 )
1
2 2 2 2 2 2
" = 1 + + + . . . + + . . .
1! 2! !
1 +
"
(-1) (2 - 1)!!
= 1 +
2 !
=1
ale !2 = (2 )!! Zatem otrzymamy
"
1 (-1) (2 - 1)!!
" = 1 + .
(2 )!!
1 +
=1
64. Znalez
ć rozwiniecie w szereg Taylora o środku w punkcie = 0 ga7ezi g7ównej funkcji
l l
0
1
"
( ) = dla #" #" < 1.
1- 2
Odpowiedz

2
Podstawiajac - w miejsce w poprzednim zadaniu otrzymamy
" "
1 (-1) (2 - 1)!! (2 - 1)!!
2 2
" = 1 + (- ) = 1 + .
(2 )!! (2 )!!
1 - 2
=1 =1
65. Policzyć szereg Taylora ga7ezi g7ównej funkcji ( ) w punkcie = 0. Znalez
ć promień
l l
0
ko7 zbieżności.
la
(a) ( ) = ,
(b) ( ) = ,
(c) ( ) = ,
(d) ( ) = ,
(e) ( ) = ! ,
31
(f) ( ) = ! ,
(g) ( ) = ! dla #" #" > 1.
Odpowiedzi:
2 +1
" (2 -1)!!
a) Wykażemy, że ( ) = = + dla " (0, 1) (tzn.
=1
(2 )!! 2 +1
= 1). Ponieważ
"
2
arcsin = - ln( + 1 - )
dla = Ä…1, to jej pochodna wynosi
"
1
(arcsin )2 = "
1 - 2
"
2
dla = ą1. Rozwiniemy ga7az g7ówna 1 - w szereg Taylora. W tym celu
" l l
skorzystamy ze wzoru
"
(1 + ) = , dla #" #" < 1.
=0
Dla = -1 otrzymamy
2
+1
(-1) (-1)(-3) (-1)(-3) . . . (-2 2 )
1
2 2 2 2 2 2
" = 1 + + + . . . + + . . .
1! 2! !
1 +
"
(-1) (2 - 1)!!
= 1 +
2 !
=1
2
ale !2 = (2 )!! i podstawiajac - w miejsce otrzymamy
" "
1 (-1) (2 - 1)!! (2 - 1)!!
2 2
" = 1 + (- ) = 1 + .
(2 )!! (2 )!!
1 - 2
=1 =1
Stad
" "
(2 - 1)!! (2 - 1)!! 2 +1
2
arcsin = 1 + = + .
(2 )!! (2 )!! (2 + 1)
0
=1 =1
Policzymy promień zbieżności szeregu
(2 )!!(2 + 1)(2 )!!
= lim sup = 1.
(2 + 2)!!(2 + 2)(2 - 1)!!
"
32
2 +1
" (2 -1)!!
b) ( ) = = - + , = 1.
=1
2 (2 )!! 2 +1
2 +1
"
c) ( ) = = (-1) 2 +1 , = 1.
=0
2 +1
"
d) ( ) = = - (-1) 2 +1 , = 1.
=0
2
2 +1
"
e) ( ) = ! = (-1) (2 -1)!! 2 +1 , = 1.
=1
(2 )!!
2 +1
"
f) ( ) = ! = , = 1.
=0
2 +1
"
1
g) ( ) = ! = dla #" #" > 1.
=0
(2 +1) 2 +1
66. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) = sin2 w dysku (0, ). Ile wynosi ? Odpowiedz

"
uzasadnić. Czy ( ) = sin2( ) jest funkcja ca7
lkowita? Odpowiedz
uzasadnić.
Odpowiedz

2 ( )
Niech ( ) = sin2 , wtedy ( ) = ( ) = sin 2 . Stad ( ) = 2 sin(2 + ) oraz
2
(2 ) (2 +1) (2 +2)
( ) = 0 i (0) = (-1) 22 +1. Zatem (0) = (-1) 22 +1 i
"
(2 +2)
(0)
2 +2
( ) = sin2 = .
(2 + 2)!
=0
"
Podstawiajac w miejsce otrzymamy
"
"
22 +1(-1) +1
( ) = sin2( ) =
(2 + 2)!
=0
oraz
#" #" (2 + 4)!22 +1
= lim sup = lim sup = ",
#" #" (2 + 2)!22 +3
" +1 "
czyli ( ) jest funkcja ca7
lkowita.
67. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) = cos2" o Å›rodku w punkcie = 0. Korzystajac z
0
3
niego wykazać, że funkcja ( ) = cos2( ) jest ca7
lkowita. Wykazać, że = 0 jest
0
trzykrotnym zerem funkcji ( ).
Odpowiedz

2
Niech ( ) = cos2 , wtedy ( ) = ( ) = - sin 2 . Wykorzystujac poprzednie zadanie
otrzymamy
" "
(2 +2)
(0) 22 +1(-1) +1
2 +2 2 +2
( ) = cos2 = (0) + = 1 + .
(2 + 2)! (2 + 2)!
=0 =0
33
"
Podstawiajac w miejsce otrzymamy
"
"
22 +1(-1) +1
+1
( ) = cos2( ) = 1 +
(2 + 2)!
=0
oraz
#" #" (2 + 4)!22 +1
= lim sup = lim sup = ",
#" #" (2 + 2)!22 +3
" +1 "
"
3
czyli cos2( ) jest funkcja ca7
lkowita. Ponieważ
"
"
22 +1(-1) +1
3 3 +1
cos2( ) = 1 +
(2 + 2)!
=0
2(-1) 23)(-1)2
3 2 3
= 1 + + + . . . = Åš( ),
2! 4!
gdzie Åš( ) jest funkcj" holomorficzna w ! i Åš(0) = 0. Zatem = 0 jest trzykrotnym
a "
0
3
zerem ( ) = cos2( ).
68. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) = " o Å›rodku w punkcie = 0. Korzystajac z
!
0
1
"
niego wykazać, że funkcja ( ) = !( ) jest ca7
lkowita.
Odpowiedz

2 +1
"
Wiemy już, że ! = dla " !. Zatem
=0
(2 +1)!
1
" "
+
" 2
1 1
"
( ) = !( ) = " =
(2 + 1)! (2 + 1)!
=0 =0
Stad
#" #" (2 + 2)!
= lim sup = lim sup = ",
#" #" (2 + 1)!
" +1 "
co dowodzi, że jest funkcja ca7
lkowita.
69. Znalez
ć szereg Taylora funkcji ( ) ="!2 o Å›rodku w punkcie = 0. Korzystajac z
0
niego wykazać, że funkcja ( ) = !2( ) jest ca7
lkowita. Czy punkt = 0 jest zerem
0
funkcji? Odpowiedz
uzasadnić.
34
Odpowiedz

(2 +1) (2 )
Dla ( ) = !2 pochodne ( ) = 22 sinh 2 i ( ) = 22 -1 cosh 2 . Stad
(2 +1) (2 )
(0) = 0 i (0) = 22 -1. Podstawiajac do wzoru Taylora otrzymamy
"
22 2
sinh2 =
(2 )!
=1
#" #" (2 + 2)!22 -1
= lim sup = lim sup = ".
#" #" (2 )!22 +1
" +1 "
Zatem
"
"
22 -1
sinh2( ) = 1 + = Åš( ),
(2 )!
=0
gdzie Ś( ) jest holomorficzna w (0, 1) i Ś(0) = 0, co dowodzi, że = 0 jest zerem
"
0
jednokrotnym funkcji.
1+ 2
70. Ga7a z
g7ówna funkcji ( ) = rozwina ć w szereg Taylora funkcji o środku w
l l
1- 2
1 1+ 2
punkcie = 0. Korzystajac z niego wykazać, że gala z
g7ówna funkcji ( ) =
l
0
1- 2
jest holomorficzna w dysku (0, 1).
Odpowiedz
.
Skorzystamy z faktu, że
"
ln(1 + ) = (-1) -1
=1
dla " (0, 1). Stad
"
2
2
ln(1 + ) = (-1) -1 ,
=1
" "
2 2
2
ln(1 - ) = (-1) -1(-1) = (-1)2 -1 ,
=1 =1
oraz
"
4
1 1 + 2
ln = 2 .
1 - 2 2 + 1
=0
Policzmy = lim sup " #" #" #" = lim sup " 2 +3 = 1. Ponadto
#" 2 +1
+1
4 8 12
1 1 + 2
ln = 2 1 + + + + . . . = 2 Åš( ),
1 - 2 3 5 7
35
gdzie Åš( ) jest holomorficzna w (0, 1) oraz Åš(0) = 0.
"
71. Ga7a z
g7ówna funkcji ( ) = !( ) rozwina ć w szereg Taylora funkcji o środku
l l
w punkcie = 0. Korzystajac z niego wykazać, że ga7a z
g7ówna funkcji ( ) =
l l
0
"
1
"
!( ) jest holomorficzna w dysku (0, 1).
Odpowiedz
.
"
2 +1
Wiemy już, że !( ) = (-1) (2 (2 -1)!! dla " (0, 1). Zatem
=1
)!!(2 +1)
"
"
1 (2 - 1)!!
2 +1
"
( ) = !( ) = (-1)
(2 )!!(2 + 1)
=1
+2)(2
oraz = lim sup " #" #" #" = lim sup " (2 (2 )!!(2 +1)!!(2 -1)!! = 1.
#" )!!(2 +1)
+1
72. Ga7a z
g7ówna funkcji ( ) = !( ) rozwina ć w szereg Taylora funkcji o środku
l l
w punkcie = 0. Korzystajac z niego wykazać, że ga7a z
g7ówna funkcji ( ) =
l l
" " 0
!( ) jest holomorficzna w dysku (0, 1). Czy = 0 jest zerem funkcji ( )?
0
Jeśli tak, to podać jego krotność.
Odpowiedz

2 +1
"
Wiemy już, że !( ) = dla " (0, 1). Zatem
=0
(2 +1)
1
" "
+ +1
" " " 2
( ) = !( ) = = ,
(2 + 1) (2 + 1)
=0 =0
#" #" (2 + 2)
= lim sup = lim sup = 1.
#" #" (2 + 1)
" +1 "
Stad ( ) jes holomorficzna w (0, 1) i
2
" "
( ) = !( ) = 1 + + + . . . = Åš( ),
3 5
gdzie Ś( ) jest holomorficzna w (0, 1) i Ś(0) = 0. To dowodzi, że = 0 jest zerem
"
0
jednokrotnym funkcji ( ).
36
7. Szeregi Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych
73. Znalez
ć cześć g7ówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 0, ") ( = 0)
l
0
funkcji
-4
( ) = cos( ).
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższych rowinieć
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
-4
cos( ) , 0 < < 1.
{ :#" #"= }
Odpowiedz

Wiemy, że funkcja cos ma nastepujace rozwiniecie
"
2 2 4 6
cos = (-1) = 1 - + - + . . .
(2 )! 2! 4! 6!
=0
dla " !. Stad
"
2 -4
1 1
-4
cos = (-1) + -
4 2
(2 )! 2!
=2
2 4
1 1 1
= - + - + + . . .
4 2
2! 4! 6! 8!
dla " (0, 0, ").
Punkt = 0 jest biegunem czterokrotny i ( ) = 0.
0
0
Cześć g7ówna wynosi
l
1 1
- .
4 2
2!
Cześć regularna wynosi
"
2 -4
(-1) .
(2 )!
=2
-4
cos( ) = 2 × 0 = 0, 0 < < 1.
{ :#" #"= }
37
74. Znalez
ć cześć g7ówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 0, 1) ( = 0) ga7ezi
l l
0
g7ównej funkcji
l
-10
( ) = arcsin( ).
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższych rowinieć
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
-12
arcsin( ) , 0 < < 1.
{ :#" #"= }
Odpowiedz

Wiemy, że ga7a z
g7ówna funkcji arcsin ma nastepujace rozwiniecie w szereg Taylora
l l
"
(2 - 1)!! 2 +1
arcsin = +
(2 )!!2 + 1
=1
dla " (0, 1). Stad
3 5 7 9
1!! 3!! 5!! 7!! 9!! 11
-10 -10
arcsin = + + + + + + . . .
2!! 3 4!! 5 6!! 7 8!! 9 10!! 11
1 1!! 1 3!! 1 5!! 1 7!! 1 9!!
= + + + + + + + . . .
9 7 5 3
2!! 3 4!! 5 6!! 7 8!! 9 10!! 11
w pierscieniu (0, 0, 1).
Cześć regularna ma postać
"
(2 - 1)!! 2 -9 " (2 + 9)!! +1
= .
(2 )!!2 + 1 (2 + 10)!!2 + 111
=5 =0
Cześc g7ówna ma postać
l
1 1!! 1 3!! 1 5!! 1 7!! 1
+ + + + + .
9 7 5 3
2!! 3 4!! 5 6!! 7 8!! 9
jest biegunem dziewieciokrotnym oraz
0
7!!
( ) = .
0
8!!9
Stad
7!!
-12
arcsin( ) = × 2 0 < < 1.
8!!9
{ :#" #"= }
38
75. Znalez
ć cześć g7ówna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 0, 1/2) ( = 0) ga7ezi g7ównej
l l l
0
funkcji
1 +
-12
( ) = ln .
1 -
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższego rowiniecia
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
1 +
-12
ln , 0 < < 1/2.
1 -
{ :#" #"= }
Odpowiedz

1+
Wiemy, że ga7a z
g7ówna funkcji ln ma nastepujace rozwiniecie w szereg Taylora
l l
1-
"
2 +1
1 +
ln = 2
1 - 2 + 1
=0
dla " (0, 1). Stad
1 + 1 1 1 1 1 1
-12
ln = 2( + + + + + + . . .)
12 9 7 5 3
1 - 3 5 7 9 11
w pierścieniu (0, 0, 1/2).
Cześc g7ówna ma postać
l
1 1 1 1 1 1
2 + + + + + .
12 9 7 5 3
3 5 7 9 11
= 0 jest biegunem dwunastokrotnym oraz
0
2
( ) = .
0
11
Stad
1 + 2
-12
ln = × 2 0 < < 1/2.
1 - 11
{ :#" #"= }
76. Znalez
ć cześć g7ówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 1, ") ( = ")
l
0
funkcji
4
( ) = sin(1/ ).
39
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższych rowinieć
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
4
sin(1/ ) , 1 < < ".
{ :#" #"= }
Odpwiedz

Wiemy, że funkcja sin ma nastepujace rozwiniecie
"
2 +1 3 5 7
sin = (-1) = - + - + . . .
(2 + 1)! 3! 5! 7!
=0
dla " !. Stad
"
(-1)
4 3
sin(1/ ) = + - .
2 -3
(2 + 1)! 3!
=2
dla " (0, 1, ").
1
Punkt = " jest biegunem trzykrotnym i ( ) = .
0
0
6
Cześć g7ówna wynosi
l
3
- .
3!
Cześć regularna wynosi
"
2 -4
(-1) .
(2 )!
=2
1
4
cos(1/ ) = 2 × , 1 < < ".
6
{ :#" #"= }
77. Znalez
ć cześć g7ówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 1, ") ( = ")
l
0
ga7ezi g7ównej funkcji
l l
10
( ) = arcsin 1/ .
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższych rowinieć
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
10
arcsin(1/ ) , 1 < < ".
{ :#" #"= }
40
Odpowiedz

Wiemy, że ga7a z
g7ówna funkcji ( ) = arcsin ma nastepujace rozwiniecie w szereg
l l
Taylora
"
(2 - 1)!! 2 +1
arcsin = +
(2 )!!2 + 1
=1
dla " (0, 1). Stad
"
1 1 (2 - 1)!!
arcsin = +
(2 )!!2 + 1 2 +1
=1
dla " (0, 1, ") oraz
7 5 3
1 1!! 3!! 5!! 7!! 9!! 1
10 9
arcsin = + + + + + + + . . .
2!! 3 4!! 5 6!! 7 8!! 9 10!! 11
w pierscieniu (0, 1, ").
Cześć regularna ma postać
" "
(2 - 1)!! (2 + 9)!!
= .
(2 )!!(2 + 1) 2 -9 (2 + 10)!!(2 + 11) +1
=5 =0
Cześc g7ówna wynosi
l
7 5 3
1!! 3!! 5!! 7!!
9
+ + + + + .
2!! 3 4!! 5 6!! 7 8!! 9
= " jest biegunem dziewieciokrotnym oraz
0
7!!
( ) = - .
0
8!!9
Stad
7!!
10
arcsin(1/ ) = - × 2 1 < < ".
8!!9
{ :#" #"= }
78. Znalez
ć cześć g7ówna i regularna szeregu Laurenta w pierscieniu (0, 1, ") ( = ")
l
0
funkcji
8
( ) = ! 1/ .
41
Określić rodzaj osobliwości funkcji w punkcie . Korzystajac z powyższych rowinieć
0
oraz z twierdzenia Cauchy ego o residuach obliczyć nastepujaca ca7
lke
8
!(1/ ) , 1 < < ".
{ :#" #"= }
Odpowiedz

Wiemy, że ga7a z
g7ówna funkcji ( ) = ! ma nastepujace rozwiniecie w szereg
l l
Taylora
"
2 +1
! =
2 + 1
=0
dla " (0, 1). Stad
"
1 1
! =
(2 + 1) 2 +1
=0
dla " (0, 1, ") oraz
5 3
1 1
8 7
!( ) = + + + + + + . . .
3 5 7 9
w pierscieniu (0, 1, ").
Cześć regularna ma postać
"
2 +1
.
2 + 1
=4
Cześc g7ówna wynosi
l
5 3
7
+ + + + .
3 5 7
= " jest biegunem siedmiokrotnym oraz
0
1
( ) = - .
0
7
Stad
1
10
!(1/ ) = - × 2 1 < < ".
7
{ :#" #"= }
42
8. Ca7 rzeczywiste
lki
I rodzaj ca7 rzeczywistych:
lek
Ca7 postaci
lki
2
( , ) .
0
liczymy korzystajac z twierdzenia Cauchy ego o residuach. W tym celu wprowadzamy
zmienna = , " [0, 2 ]. Wtedy
- -
+ + -1 - - -1
= = , = = ,
2 2 2 2
2
-1 -1
+ -
( , ) = ( , ) .
2 2
0 #" #"=1
Zastosujemy to do obliczenia ca7
lki
2
=
-1
5 + 4 ( )
5 + 4 -
0 #" #"=1
2
= =
-1 2
5 + 2 ( - ) 2 + 5 - 2
#" #"=1 #" #"=1
1
1
= 2 - 2
1
2
2( + 2 )( + ) 2 + 5 - 2
#" #"=1
2
2
= 2 lim = .
1
1
2( + 2 )( + ) 3
-
2 2
79. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
.
(2 + cos )2
0
"
2
4 3
Odpowiedz
= .
0 (2+cos )2 9
80. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
.
1 + 8 cos2
0
2
2
Odpowiedz
= .
0 1+8 cos2 3
43
81. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
#" #" = 1.
"
1 - 2 cos + 2
0
2
2
Odpowiedz
= " !, #" #" = 1.
"
2 2
0 1-2 cos + #" -1#"
82. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
cos2 3
#" #" < 1.
1 - 2 cos 2 + 2
0
2
cos2 3 1- + 2
Odpowiedz
= #" #" < 1.
0 1-2 cos 2 + 2 1-
83. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
#" #" < 1.
(1 + cos )2
0
2
2
Odpowiedz
= #" #" < 1.
2
0 (1+ cos )2 (1- )3/2
84. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
2
sin2
0 < < .
+ cos
0
"
2
sin2 2
2 2
Odpowiedz
= ( - - ) 0 < < .
0 + cos 2
II rodzaj ca7 rzeczywistych:
lek
Aby obliczyć
"
, > 0, > 0,
2 2
+
-"
jako funkcje zespolona bierzemy ( ) = , która ma bieguny w punktach ą .
2 2
+
Ponieważ do obszaru ograniczonego przez “ należy tylko jeden biegun , to z twierdzenia
Cauchy ego o liczeniu ca7 za pomoca residuów otrzymamy,
lek
= 2 2 2 .
2 2
+ +
“
44
Policzymy residuum w biegunie .
-
( ) = lim ( - ) = lim = ,

( - )( + ) ( + ) 2
-
czyli ( ) = 2 = .
“ 2
( ) = + .
2 2 2 2
+ +
“ “ -
Dla " zachodzi, że 0 (korzystamy z lematu Jordana) oraz
2 2
+
" " "
= + .
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + +
- -" -" -"
Tak wiec dostaniemy, że
" "
= ( ) = + .
2 2 2 2
+ +
“ -" -"
Zatem
"
= .
2 2
+
-"
85. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
, ( , > 0, = ).
"
2 2 2 2
( + )2( + )
0
"
Odpowiedz
= , ( , > 0, = ).
"
2 2 2 2
0 ( + )2( + ) 2 ( + )
86. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
.
2
( + + 1)2
-"
"
4
"
Odpowiedz
= .
2
-" ( + +1)2 3 3
45
87. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
.
4 2
+ + 1
-"
"
"
Odpowiedz
= .
4 2
-" + +1
3
88. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
3
sin
.
2
( + 1)2
0
3
"
sin
Odpowiedz
= .
2
0 ( +1)2 4
89. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
.
4 2
+ 6 + 13
0
"
Odpowiedz
= .
4 2
0 +6 +13 8
90. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
2
- + 2
.
4 2
+ 10 + 9
-"
2
"
- +2 5
Odpowiedz
= .
4 2
-" +10 +9 12
91. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
2
, > 0.
2 2
( + )3
0
2
"
Odpowiedz
= , > 0.
2 2
0 ( + )3 16 3
92. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
6
, > 0.
4 4
( + )2
0
"
6
"
3 2
Odpowiedz
= , > 0.
4 4
0 ( + )2 16
46
93. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
sin
, > 0.
2 2
( + )2
0
"
sin -
Odpowiedz
= , > 0.
2 2
0 ( + )2 4
94. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
cos
.
2
(1 + )3
0
"
cos 7
Odpowiedz
= .
2
0 (1+ )3 16
95. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
.
2 2
( + 1)2( + 4)
0
"
Odpowiedz
= .
2 2
0 ( +1)2( +4) 18
96. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
cos
.
2
+ + 1
-"
"
1
"
cos 2 1 - 3
" 2
Odpowiedz
= (cos ) .
2
-" + +1 2
3
97. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
, -1 < < 1.
!
-"
"
Odpowiedz
=
1
-" !
( ).
2
47
III rodzaj ca7 rzeczywistych:
lek
Pokażemy, że
"
= .
2
0
Niech < , = { : = , " [0, ]}, [- , - ], [ , ] odcinki zawarte w osi
OX. Tworzymy zamknieta krzywa “ := “ *" [- , - ] *" *" [ , ], która orientujemy
dodatnio wzgledem obszaru , który ona ogranicza. Niech ( ) = , wtedy " ( ).
Zatem z podstawowego tw. Cauchy ego
-
0 = ( ) = + + + . (0.1)
“ “ -
Dla " “ mamy
( + ) - -
#" #" #" #"
= = = 0
dla ", bo > 0. Stad
0.
“
Dla " mamy
( )2 ( )3
2
1 + + + = . . .
1 - - - 1
2! 3!
= = + + + + . . . = + ( )
2! 3!
Stad
1
= + ( ) .
“
Policzymy kolejno ca7 Dla " , = , " [0, ]
lki.
1 1
= - = - .
0
Na #" ( )#" d" , zatem ( ) d" 0 dla 0. Stad
lim = - + 0 = - . (0.2)
0
Dla " i 0
- 0 "
+ Ò! + .
- -" 0
48
0 " -
Jeśli w ca7 dokonamy podstawienia = - , to otrzymamy ca7 - .
lce lke
-" 0
Tak wiec z (0.1) i (0.2) wynika, że dla " i 0
0 "
0 = 0 + + - .
-" 0
Zatem
" " "
-
- - ( - )2
= = = 2
2
0 0 0
"
Ò! = .
2
0
98. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
- sin
.
3
0
"
-sin
Odpowiedz
= .
0 3 4
99. Korzystajac z metod funkcji zespolonych obliczyć
"
.
1 + 2
0
"
Odpowiedz
= 0.
0 1+ 2
49
9. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum
2
100. Korzystajac z twierdzenia Rouché wykazać, że funkcja 2 + - ma dok7 jedno
ladnie
+
zero w górnej pó7 laszczyznie = { " ! : Im > 0}.
lp7
Odpowiedz

Niech
2
( ) = 2 + , ( ) = - .
Pokażemy, że na “ = [- , ] *" “ , gdzie “ = { " ! : = , " [0, ]} zachodzi
#" ( )#" < #" ( )#".
Dla " [- , ] mamy, że #" ( )#" e" 2 > 1 = #" ( )#". ZaÅ› dla " “
2 - sin
#" ( )#" e" - 2 > 1 > = #" ( )#"
"
dla > 3. Spe7 sa za7 twierdzenia Rouché tzn.
lnione lożenia
#" ( )#" > #" ( )#"
dla " “, stad
=
+
2
we wnetrzu obszaru ograniczonego przez “, czyli ( ) + ( ) = 2 + - ma tyle
2
samo zer w co ( ) = + 2. Ponieważ,
"
2
( ) = + 2 = 0 Ô! = Ä… 2.
2
Zatem ma w górnej pó7 laszczyznie tylko jedno zero, czyli 2 + - ma też tylko
lp7
jedno zero w górnej pó7 laszczyznie.
lp7
-
101. Udowodnić, że dla każdego > 1, równanie + = ma dok7 jedno zero w
ladnie
+
prawej pó7 laszczyz
nie := { " ! : Re > 0}. Pokazać, że to zero jest liczba
lp7
rzeczywista.
Odpowiedz

Niech
-
( ) = - , ( ) = .
50
Pokażemy, że na “ = “ *" [- , ], gdzie “ = { " ! : = , " [- /2, /2]},
[- , ] = { = : - d" d" } zachodzi
#" ( )#" < #" ( )#".
2 2
Dla " [- , ] mamy, że #" ( )#" = #" - #" = #" + #" e" > 1, natomiast #" ( )#" =
-Re
= 1 dla Re = 0. ZaÅ› dla " “ i Re > + 1 mamy
-Re
2 2 2
#" ( )#" = #" - #" = #" ( - ) + #" > 1 + e" 1 > = #" ( )#".
Spe7 sa za7 twierdzenia Rouché tzn.
lnione lożenia
#" ( )#" > #" ( )#"
dla " “, stad
=
+
-
we wnetrzu obszaru ograniczonego przez “, czyli ( ) + ( ) = + + ma tyle
samo zer w co ( ) = - . Ponieważ,
( ) = - Ô! = .
-
Zatem ma w prawej pó7 laszczyznie tylko jedno zero, czyli + + ma też tylko
lp7
jedno zero w górnej pó7 laszczyznie.
lp7
5 4 3
102. Określić liczbe pierwiastków wielomianu ( ) = - 4 - + 1 leżacych wewnatrz
ko7 jednostkowego (0, 1) = { " ! : #" #" < 1}.
la
Odpowiedz

5 4 3
Niech ( ) = - 4 , zaÅ› ( ) = - + 1. Wtedy na brzegu dysku (0, 1) mamy
5 4 4
#" ( )#" e" #" - 4 #" = #" ( - 4)#" e" 4 - 1 = 3,
3
#" ( )#" = #" - + 1#" d" 2.
Zatem
#" ( )#" d" #" ( )#"
1
na . Z Twierdzenia Rouché wynika, że
= ,
+
51
zaÅ›
5 4
( ) = - 4 = 0 Ô! = 0 (" = 4,
1 2
przy czym jest pierwiastkiem czerokrotnym. Zatem m cztery zera w (0, 1).
1
Ostatecznie ( ) = ( ) + ( ) ma cztery zera w (0, 1).
5 3 2
103. Określić liczbe pierwiastków wielomianu ( ) = 2 - +3 - +8 leżacych wewnatrz
ko7 jednostkowego (0, 1) = { " ! : #" #" < 1}.
la
Odpowiedz
nie pierwiastków w (0, 1).
8 5 2
104. Określić liczbe pierwiastków wielomianu ( ) = - 4 + - 1 leżacych wewnatrz
ko7 jednostkowego (0, 1) = { " ! : #" #" < 1}.
la
Odpowiedz
ma pieć pierwiastków w (0, 1).
5
105. Określić liczbe pierwiastków wielomianu ( ) = - 16 + 14 leżacych wewnatrz ko7
la
jednostkowego (0, 1) = { " ! : #" #" < 1}.
Odpowiedz
ma tylko jeden pierwiastek w (0, 1).
9 6 2
106. Określić liczbe pierwiastków wielomianu ( ) = -2 + -8 -2 leżacych wewnatrz
ko7 jednostkowego (0, 1) = { " ! : #" #" < 1}.
la
Odpowiedz
ma tylko jeden pierwiastek w (0, 1).
107. Niech bedzie funkcja ca7
lkowita. Udowodnić:
(a) Jeśli Re d" (gdzie < ", to jest funkcja sta7a.
l
Odpowiedz

52
Z za7 wiemy, że jest funkcja ca7 lkowita.
lożenia lkowita. Stad też jest funkcja ca7
Wtedy
Re
#" #" d" .
Poniewa ż dla każedego > 0 mamy, że
#" #" d" d" ,
to oznacza, że funkcja ca7
lkowita jest ograniczona. Z twierdzenia Liouville a
wynika, że musi być funkcja sta7a tzn. a" const. Ponieważ
l
( )2 = ( )2 a" 0
oraz = 0, wynika stad, że
"
2
a" 0,
czyli ( ) a" const.. .
108. Niech bedzie funkcja holomorficzna w obszarze jednospójnym ‚" !, ciag7a na
l
domknieciu Ż i różna od sta7 Udowodnić, że cześć rzeczywista funkcji (tzn. Re )
lej.
nie może przyjmować wartości najwiekszej w obszarze .
Odpowiedz

( )
Wprowadzimy funkcje pomocnicza ( ) = . Jeśli jest holomorficzna w obszarze
jednospójnym ‚" !, to też kest holomorficzna w tym obszarze. Ponadto #" ( )#" =
Re
. Jeśli Re przyjmuje wartość najwieksza w punkcie " , to max #" #" by7
loby
0
osiagane we wnetrzu , co przeczy zasadzie maksimum dla " ( ) i " ( Å» ).
109. Niech bedzie funkcja ca7
lkowita taka, że ( + 2 ) = ( ) oraz ( + 2 ) = ( ) dla
każdego " !. Udowodnić, że jest funkcja sta7a.
l
Odpowiedz

Niech
= { " ! : -1 d" Re d" 1, -1 d" Im d" 1}.
Ponieważ jest funkcja calkowita, to min #" ( )#" i max #" ( )#" jest osiagane na brzegu .
Z za7 dla każdego " ! istnieja " $! i " takie, że
lożenia
0
( ) = ( + 2 ).
0
53
Stad
min #" ( )#" = min #" ( )#"
! "
i
max #" ( )#" = max #" ( )#".
! "
Powyższe nierówności implikuja, że jest ograniczona na !. Zatem z twierdzenia
Liouville a jest funkcja sta7a.
l
110. (*) Korzystajac ze wzoru ca7
lkowego Cauchy ego wykazać, że jeśli " ( ( , )) oraz
#" ( )#" d" #" ( )#" dla " ( , ), to jest funkcja sta7a.
l
Odpowiedz

Ustalmy 1 < < . Ze wzoru Cauchy ego
1 ( )
( ) =
2 -
" ( , )
2
1 ( + )
=
2
0
2
1
= ( + ) .
2
0
Stad i z za7
lożenia
2
1
#" ( )#" d" #" ( + )#" d" #" ( )#".
2
0
A to oznacza, że
2
[#" ( )#" - #" ( + )#"] = 0.
0
Ponieważ wyrażenia pod ca7 sa nieujemne, a ca7 wynosi zero, to #" ( )#" = #" ( + )#"
lka lla
dla dowolnego < . Czyli #" ( )#" musi być sta7
ly.
54