Liczby zespolone mgr Grzegorz Kusztelak
LICZBY ZESPOLONE - zadania z ODPOWIEDZIAMI
Zadanie 1
Dane są liczby zespolone w poniższej postaci. Wykonaj niezbędne obliczenia a
następnie wskaż Re(w) oraz Im(w)
4i(1 -16i) - (1 + i)2 2 64 2 64
(a) w = = - i Ò! Re(w) = oraz Im(w) = -
(i + 2)(2i + 1) 5 5 5 5
(b) w = i135 = -i Ò! Re(w) = 0 oraz Im(w) = -1
(1 - i)2 i 1 1
(c) w = = = i Ò! Re(w) = 0 oraz Im(w) =
(-2 + 2i)2 i63 4 4 4
Zadanie 2
Znalez
ć postać trygonometryczną:
(a) z = - 2 Ò! | z | = 2, Õ = Ä„ Ò! z = 2(cosÄ„ + i sinÄ„ )
1 1 1
öÅ‚
(b) z = 5i Ò! | z | = 5, Õ = Ä„ Ò! z = 5ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
5 5 5
öÅ‚
(c) z = 2 - i 12 Ò! | z | = 4, Õ = Ä„ Ò! z = 4ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3 3
öÅ‚
(d) z = -2 + 2i Ò! | z | = 2 2, Õ = Ä„ Ò! z = 2 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Zadanie 3
Niech z1 = -2 3 + 2 j , z2 = -8 j , z3 = - 3 - j Oblicz:
(a) z1 Å" z2 = 16 + 16 3 Å" i
(b) z1 Å" z3 = 8
z1 1 3
(c) = - - i
z2 4 4
z1
(d) =1 - 3 Å" i
z3
(e) z112 = 412
z112 1
(f) = i
275
z399
5 5
öÅ‚
(g) 3 z1 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z1 = 4ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ .
ìÅ‚ ÷Å‚
6 6
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z1 sÄ… 3 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1, É2
5 5
öÅ‚
3
É0 = 4ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
18 18
íÅ‚ Å‚Å‚
17 17
öÅ‚
3
É1 = 4ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
18 18
íÅ‚ Å‚Å‚
Liczby zespolone mgr Grzegorz Kusztelak
29 29
öÅ‚
3
É2 = 4ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚
18 18
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
öÅ‚
3
(h) z2 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z2 = 8ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ .
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z2 sÄ… 3 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1, É2
1 1
öÅ‚
É0 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ = 2i
ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
7 7
öÅ‚
É1 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ = - 3 - i
ìÅ‚ ÷Å‚
6 6
íÅ‚ Å‚Å‚
11 11
öÅ‚
É2 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ = 3 - i
ìÅ‚ ÷Å‚
6 6
íÅ‚ Å‚Å‚
7 7
öÅ‚
3
(i) 1 - i :postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej: z = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ .
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Pierwiastki trzeciego stopnia z liczby z =1 - i sÄ… 3 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1, É2
7 7 7 7
ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ öÅ‚ öÅ‚
3 6
É0 = 2 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
12 12 12 12
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
15 15 15 15
ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ öÅ‚ öÅ‚
3 6
É1 = 2 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
12 12 12 12
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
23 23 23 23
ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ öÅ‚ öÅ‚
3 6
É2 = 2 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
12 12 12 12
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
4
(j) - 1 postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = (cosĄ + i sinĄ ). Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby z = -1sÄ… 4 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1, É2 , É3
1 1
ëÅ‚cos öÅ‚
É0 = Ä„ + i sin Ä„ = 2 + 2 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
3 3
ëÅ‚cos öÅ‚
É1 = Ä„ + i sin Ä„ = - 2 + 2 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
5 5
ëÅ‚cos öÅ‚
É2 = Ä„ + i sin Ä„ = - 2 - 2 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
7 7
ëÅ‚cos öÅ‚
É3 = Ä„ + i sin Ä„ = 2 - 2 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
4 4
íÅ‚ Å‚Å‚
3
(k) 8 : postać trygonometryczna liczby podpierwiastkowej z = 8(cos 0 + i sin 0). Pierwiastki
trzeciego stopnia z liczby z = 8 sÄ… 3 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1, É2
É0 = 2(cos 0 + i sin 0)= 2
2 2
öÅ‚
É1 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ = -1 + 3 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
Liczby zespolone mgr Grzegorz Kusztelak
4 4
öÅ‚
É2 = 2ëÅ‚cos Ä„ + i sin Ä„ = -1 - 3 Å" i
ìÅ‚ ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
(l) 7 - 24i : Pierwiastki drugiego stopnia z liczby 7 - 24i sÄ… 2 i wyrażajÄ… siÄ™ wzorami É0 , É1
É0 = 4 - 3i
É1 = - 4 + 3i
Zadanie 4
Rozwiąż w dziedzinie zespolonej równania
(a) x2 + 9 = 0 Ò! x = -3i (" x = 3i
(b) x2 + 5 = 0 Ò! x = - 5 Å" i (" x = 5 Å" i
(c) x2 - 25 = 0 Ò! x = -5 (" x = 5
(d) x2 - 2x + 5 = 0 Ò! x = 1 - 2i (" x =1 + 2i
(e) x2 - 6x + 13 = 0 Ò! x = 3 - 2i (" x = 3 + 2i
(f) x2 + x - 2 = 0 Ò! x = -2 (" x = 1
(g) x2 - (2 - j)x -1 + 5 j = 0 Ò! x = 3 - 2i (" x = -1 + i
Zadanie 5
Znalez
ć na płaszczyz
nie zespolonej zbiór punktów:
A = {z " C :| z - 3 + 2i | = 4} - okrąg o środku w punkcie z0 = 3 - 2i oraz promieniu r = 4
B = {z " C :| z +1- 3i | = 2} - okrąg o środku w punkcie z0 = -1+ 3i oraz promieniu r = 2
D = {z " C :1 < | z + 3i | < 2} - pierścień o środku w punkcie z0 = -3i i odpowiednio zewnętrznym
promieniu R = 2 oraz wewnętrznym promieniu r = 1
E = {z " C :| z + 2 - 3i | = | z - 2 + i |} - linia prosta o równaniu y = x +1
F = {z "C : Im(z - 3 + 2 j) > 4} - półpłaszczyzna y > 2
G = {z "C : Re(z + 3 j) < 2} - półpłaszczyzna x < 2
2
H ={z "C : Re(z + 2 j) e" 6} - podzbiór płaszczyzny opisany wzorem x2 - y2 e" 6
Zadanie 5a
Napisz równanie okręgu o środku w punkcie z0 i promieniu R.
Odp.: | z - z0 | = R
Zadanie 5b
Napisz równanie prostej, której punkty będą równoodległe od punktów z1 i z2 ( z1 i
z2 - dowolne ustalone punkty płaszczyzny zespolonej)
Odp.: | z - z1 | = | z - z2 |