Zestaw 2.
Liczby zespolone (cz. I)
Zadanie 1. Udowodnić nastepujace wlasności dzialań w zbiorze liczb zespolonych:
a) "z1, z2 " : z1 + z2 = z2 + z1,
b) "z1, z2, z3 " : (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ,
df
c) "z " : z + 0 = z, gdzie 0 = (0, 0) ,
d) "z " : z - z = 0,
e) "z1, z2 " : z1z2 = z2z1,
f) "z1, z2, z3 " : (z1z2) z3 = z1 (z2z3) ,
df
g) "z " : z · 1 = z, gdzie 1 = (1, 0) ,
1
h) "z " \ {0} "!z " : zz = 1,
i) "z1, z2, z3 " : z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
Zadanie 2. Niech z, z1, z2 " . Podać interpretacje geometryczna nastepujacych
liczb:
a) z, b) z, c) z1 + z2, d) z1 - z2, e) |z| , f)* z1z2 .
Zadanie 3. Dla liczb zespolonych uzasadnić poniższe zależności:
z1 z1
a) z1z2 = z1 · z2 oraz = , dla z2 = 0;

z2 z2
b) zz = |z|2;
z1 |z1|
c) |z1z2| = |z1| |z2| oraz = , dla z2 = 0,

z2 |z2|
d) Re z |z| oraz Im z |z|;
e) |z1 + z2| |z1| + |z2|;
f) ||z1| - |z2|| |z1 - z2|.
Zadanie 4. Sprowadzić do postaci algebraicznej (dwumiennej) nastepujace
wyrażenia:
1
a) ;
Ä„ Ä„
1+cos +i sin
3 3
1-2i
b) ;
3i+2
1 2+i
c) + ;
i 2-i
1
Symbol "! oznacza istnieje dok adnie jeden .
1
(1+i)n
d) , dla n " ;
(1-i)n-2
e)* (cos Ä… + i sin Ä…)n , dla n " ;
f)* (sin Ä… + i cos Ä…)n , dla n " .
Zadanie 5. Rozwiazać r wnania z niewiadomymi z " ; x, y " :
a) z2 + (3 - 2i) z + 1 - 3i = 0,
b) |z| + z = 1 + i,
(1 + 2i) x + (2 - 2i) y = 5 + 4i
c) ,
(3 - i) x + (4 + 2i) y = 2 + 6i
(1 - 2i) x - (1 - 4i) y = 2 - 2i
d) ,
(-2 - i) x + (2 + 2i) y = -4 - i
e) (z - 2)2 + 2 Im z + z = 1,
1+i 2-3i
f) = ,
z z
g) z4 + 4z2 - 5 = 0,
h) z4 + 4z2 + 8 = 0,
i) (3 - i) x2 - (3 + 2i) x - (1 - i) y = 13 - 10i,
j) (2 + 3i) x2 - (2 + i) x + (4 - 4i) y = 8 - 17i.
Zadanie 6. Na plaszczyz
nie zespolonej zaznaczyć liczby zespolone z, dla kt rych
z+4
a) liczba jest rzeczywista,
z-2i
z
b) liczba jest czysto urojona,
iz+4
(z-a)2z-a
c) liczba - 2 jest niedodatnia,
z-a
z+i
d) liczba nie jest ujemna.
z-i
Zadanie 7. Na plaszczyz
nie zespolonej zaznaczyć wszystkie liczby zespolone z,
kt rych modul jest liczba calkowita oraz dla kt rych liczba z2 + (1 + i) z jest
czysto urojona.
2
Odpowiedzi
Zadanie 3: c) Wskaz wka: wykorzystać wlasności a) i b); e) Wskaz wka: dla
z1 + z2 = 0 mamy:

z1 z2 z1 z2 d)+c)
1 = Re + = Re + Re
z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2 z1 + z2
|z1| |z1|
+ ;
|z1 + z2| |z1 + z2|
e)
f) |z1| = |z1 - z2 + z2| |z1 - z2| + |z2|, nastepnie zamienić rola z1 i z2.
"
1 3 4 7 3 i
Zadanie 4: a) - i ; b) -13 - i; c) - ; d) 2in-1; e) cos nÄ… + i sin nÄ…;
2 6 13 5 5
f) in (cos nÄ… - i sin nÄ…) =
(-1)n/2 cos nÄ… + i (-1)1+n/2 sin nÄ…, n = 2k
= , dla k " .
(-1)(n-1)/2 sin nÄ… + i (-1)(n-1)/2 cos nÄ…, n = 2k + 1
Zadanie 5: a) -2 + i, -1 + i;
b) i;
c) ;
d) x = 3, y = 1;
" "
3 7 3 7
e) + i 1 + , + i 1 - ;
2 2 2 2
f) ;
" "
g) -1, 1, -i 5, i 5;
" " " " " "
h) -1 - 2, -1 + 2 , -1 + 2, -1 - 2 , -1 + 2, 1 + 2 ,
" "
-1 - 2, 1 - 2 ;
i) (x, y) " {(3, 5), -1, -103 };
2 4
j) ;
1
Zadanie 6: a) (x, y) : y = x + 2, x = 0 ;

2
b) {(x, y) : x = 0, y = 4} ;

"
c) z : 0 < |z - a| 2 ;
d) \ {z " : Re z = 0, Im z " (-1, 1]} .
3