Zestaw 3.
Liczby zespolone (cz. II)
Zadanie 1. Poniższe liczby i wyrażenia przedstawić w postaci trygonometrycznej:
"
a) 3 - i,
Ä„ Ä„
b) 1 + i tg Õ, dla Õ " - , ,
2 2
Ä„ Ä„
c) sin Õ - i cos Õ, dla Õ " - , ,
2 2
1+i tg Õ Ä„
d) , dla Õ " 0, ,
1-i tg Õ 2
e) -6 + 6i,
1 1
f) · .
i 1+i
Zadanie 2. Poniższe wyrażenia sprowadzić do postaci algebraicznej (dwumiennej):
a) (1 + i)7 ,
6
1-i
"
b) ,
3+i
14
Ä„ Ä„
c) - cos + i sin ,
7 7
6
Ä„ Ä„
d) 1 + cos + i sin ,
3 3
e) (1 + i)7 - (2 - 2i)4 ,
(1-i)5-1
f) .
(1+i)5+1
Zadanie 3. Znalez
ć funkcie É : spelniajaca poniższe r wnanie:
a) cos 3x = É(cos x),
b) sin 5x = É(sin x),
c) ctg 4x = É(ctg x).
Zadanie 4. Dla n " oraz x " obliczyć:
a) 1 + cos x + . . . + cos nx,
b) sin 2x + cos 3x + sin 4x + cos 5x + . . . + sin 2nx + cos (2n + 1) x.
Zadanie 5. Naszkicować na plaszczyz
nie zespolonej poniższe zbiory:
a) {z " : |z - a| = b}, dla a " , b " ,
b) {z " : 2 < |z| 4},
c) {z " : |z - a| = |z - b|}, dla a, b " ,
d) {z " : |z - a| + |z - b| = c}, dla a, b " , c " ,
e) {z " : Re (iz + 2) 0},
f) {z " : |z + 1| 2 '" Im (z + 1) 1},
3Ä„
g) z " : arg (z + iz) = ,
2
Ä„ i Ä„
h) z " : arg < ,
4 z 2
i) z " : arg z4 = Ä„ ,
Ä„
j) z " : arg z3 < .
2
1
Zadanie 6. Obliczyć i zaznaczyć na plaszczyz
nie zespolonej podane pierwiastki
algebraiczne:
"
3
a) -8i,
"
6
b) -27,
"
4
1 3
c) - + i,
2 2
"
d) -7 + 24i,
" " 6
"
3
3
e) z, gdzie 1 + i 3 3 - i z = (1 + i)12.
Zadanie 7. Odgadujac jeden z pierwiastk w obliczyć pozostale:
"
3
a) -27i,
4
b) (2 - 2i)12.
Zadanie 8. W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać r wnanie:
"
1 3
a) (z - 1)4 = + i ,
2 2
8
3
b) (2z - 2)4 = - i4 ,
5 5
c) z4 - 2z2 + 5 = 0,
d) (z + 2)n - (z - 2)n = 0, n " .
Zadanie 9. Ile wynosi suma wszystkich pierwiastk w algebraicznych stopnia n z 1 ?
n
2+i
Zadanie 10.* Wykazać, że w ciagu an = , n " nie wystepuja dwa iden-
2-i
tyczne wyrazy.
"
Zadanie 11. Jednym z wierzcholk w sześciokata foremnego jest w0 = 3 + i. Wyz-
naczyć pozostale wierzcholki tego wielokata, wiedzac że jego środek leży w:
a) poczatku ukladu wsp lrzednych,
"
b) punkcie s0 = 2 3 + i.
Zadanie 12. Znalez
ć funkcie Ń : spelniajaca poniższe r wnanie:
eix
a) cos x = Ń( ),
eix
b) sin x = Ń( ),
eix
c) tg x = Ń( ).
Zadanie 13. Rozwiazać r wnanie:
a) (z)6 = 4 z2 ,
z6
b) = z.
|z|4
Zadanie 14. Znalez
ć zależność, kt ra laczy pieć najważniejszych stalych matema-
e
tycznych: Ä„,  podstawa logarytmu naturalnego, i  jednostka urojona,
1  element neutralny mnożenia, 0  element neutralny dodawania1.
1
Przez wielu matematyk w rozwiazanie tego zadania jest uznawane za najladniejszy wz r mate-
matyczny.
2
Odpowiedzi
Ä„ Ä„
Zadanie 1: a) 2 cos - + i sin - ;
6 6
1
b) (cos Ä… + i sin Ä…) ;
cos Ä…
Ä„ Ä„
c) cos - + Ä… + i sin - + Ä… ;
2 2
d) cos 2Ä… + i sin 2Ä…;
"
3Ä„ 3Ä„
e) 6 2 cos + i sin ;
4 4
"
2 3Ä„ 3Ä„
f) cos - + i sin - ;
2 4 4
i 5
Zadanie 2: a) 8 - 8i; b) - ; c) 1; d) -27; e) 72 - 8i; f) ;
8 3
t4-6t2+1
Zadanie 3: a) (t) = 4t3 - 3t; b) (t) = 16t5 - 20t3 + 5t; c) (t) = ;
4t(t2-1)
(n+1)x
sin
nx
2
Zadanie 4: a) cos , dla x = 2kĄ; n + 1, dla x = 2kĄ, k " ;

x
sin 2
2
sin nx
b) (sin x (n + 1) + cos x (n + 2)), dla x = kĄ, -1, dla x = kĄ, k " ;

sin x
" " " "
" " "
3 3 3 3 3 1 3
Zadanie 6: a) 3 - i, -" 3 - i, 2i; b) Ä…i 3, Ä… i , - Ä… i ;c) + i , - -
2 2
" "2 2 2 2 2
1 1 3 1 3 1 3
i , - + i , - i ; d) 3 + 4i, -3 - 4i; e) i, Ä… - i1 .
2 2 2 2 2 2 4 4
" "
3 3 3 3 3 3
Zadanie 7: a) 3i, - i, - - i; b) -16 - 16i, 16 - 16i, 16 + 16i, -16 + 16i;
2 2 2 2
" " " " "
3 1 1 3 1 3 1 3 3 1
Zadanie 8: a) 1 + + + i - , 1 - - + i + , 1 - + -
4 2 2 4 2 4 2 4 4 2
" " "
1 3 1 3 1 3 43 24 26 7 57 24 74 7
i - , 1 + - -i + ; b) - i, + i, + i, + i; c)
2 4 2 4 2 4 50 50 50 50 50 50 50 50
" " " " " " " "
1+ 5 5-1 1+ 5 5-1 1+ 5 5-1 1+ 5 5-1
+i , - -i , -i , - +i ;
2 2 2 2 2 2 2 2
2kĄ 2kĄ
1+cos +i sin
n n
d) -2 , k = 1, . . . , n - 1;
2kĄ 2kĄ
1-cos -i sin
n n
Zadanie 9: 0;
" " " " " "
3 3 5 3
Zadanie 11: a) Ä…2i, Ä… 3+i, Ä… 3-i; b) 3+1, 3 3 + 1, 3+1Ä… i, 3+1Ä… i;
2 2 2 2
t+t-1 t-t-1 1-t2
Zadanie 12: a) Ń (t) = ; b) Ń (t) = ; c) Ń (t) = i;
2 2i 1+t2
"
kĄ 2kĄ
3 7
Zadanie 13: a) 0, 2e-i , k = 0, . . . , 5; b) ei , k = 0, . . . , 13;
Zadanie 14: eiĄ + 1 = 0.
3