A. Wzór na zespolony pierwiastek kwadratowy (można stosować przy obliczaniu "):
Szukamy takich x i y, by dla danej liczby z = a + ib zachodził związek (x + iy)2 = a + ib.
Å„Å‚ Å„Å‚
òÅ‚ òÅ‚
x2 - y2 = a ("), x4 - 2x2y2 + y4 = a2,
Wtedy więc skąd po dodaniu obu równań
ół ół
2xy = b, 4x2 y2 = b2,
otrzymujemy (x2 + y2)2 = a2 + b2. Jeśli więc oznaczymy r2 := a2 + b2, to x2 + y2 = r ("").

r + a
Po dodaniu (") i ("") mamy równanie 2x2 = r + a, i jeśli przyjmiemy, że x 0, to x = .
2

r - a r - a
Natomiast po odjęciu (") od ("") mamy równanie 2y2 = r-a, skąd y = lub y = -
2 2
w zależności od znaku b (2xy = b, więc jeśli x > 0, to sgn y = sgn b).

r + a r - a
Ostatecznie: jeśli przyjmiemy, że x 0, to dla b 0 x + iy = + i ,
2 2

r + a r - a
zaś dla b < 0 x + iy = - i . Drugim pierwiastkiem jest oczywiście -x - iy.
2 2
B. W ciele liczb zespolonych rozwiązać równania:
1. z2 - 3z + 3 + i = 0, 2. z2 + (1 + 4i)z - (5 + i) = 0,
"
3. z2 + 2(1 + i)z + 2i = 0, 4. z4 + 3z2 + 1 = 0,
5. z4 + 2z2 + 4 = 0, 6. z4 - (18 + 4i)z2 + 77 - 36i = 0,
7. z4 + (15 + 7i)z2 + 8 - 15i = 0, 8. z3 + 3z2 + 3z + 3 = 0,
9. z4 - 4z3 + 6z2 - 4z - 15 = 0, 10. z3 + 3iz2 - 3z - i + 1 = 0.
11. z4 + z2 + 1 = 0, 12. z4 - 30z2 + 289 = 0.
C. Obliczyć:
" 40
1 + i 3
1. , 2. (2 - 2i)7 = 0,
1 - i

"
1 - i 8
3. ( 3 - 3i)6, 4. ,
1 + i
"
"
4
5. -1, 6. i,
" "
3
4
7. i, 8. -i,

" "
4
8
9. -1 + i, 10. 2 - 2 3i.