ARKUSZ 10. Funkcje logarytmiczne
1. Obliczyć:
"
3 3
a) log2"2 8, b) 3log 27, c) log2 log 100.
2. Rozwiązać równania:
1 5
a) + = 3,
1+log x 3-log x
b) logx 8 + logx 4 = 2 + logx 2,
c) log2 (9 - 2x) = 3 - x,
d) log(x - 3) - log(4 - x) = 1 - log(5 - x),
" "
e) log2 x - 3 - log2 2x + 1 = log4 10,
x-a
f) log = 1,
x+a

x x
g) log x + + + . . . = log(9 - 2x),
3 9
h) log x + log2 x + log3 x + . . . = 1,
i) log 2 + log (4x-2 + 9) = log 10 + log (2x-2 + 1) ,
j) log4 log3 log2 x = 0,
k) xlog x = 100x,
l) log16 x + log4 x + log2 x = 7.
3. Rozwiązać nierówności:
log x2-5x+7
1 ( )
2
a) 3 < 1,
"

x(x-4)
x-3
b) log 3 + 1 1,
c) log2x+3 x2 < 1,
d) logx 2 · log2x 2 > log2 2,
4x
1
e) > 1,
loga x
f) log(ax) > 2 log(x + 1),
g) x2 - 2x (1 + log a) + log2 a + 1 > 0,

1 1
1
h) log - 2,
x log x
1
3
3
i) log2 (log3 x2) - log2 (log3(1 - x)) 1.
4. Sporządzić wykresy funkcji:


1
a) f(x) = - log3 x, x > 0, d) f(x) = log x , x > 0,
2
e) f(x) = log2 (log2 x) , x > 1,
b) f(x) = log3(3 - x), x < 3,
log x
1
2
c) f(x) = log3 |x - 2|, x = 2, f) f(x) = 2 , x > 0.

19
5. Wyznaczyć zbiory określoności funkcji zdefiniowanych poniższymi wzo-
rami:


1
1
a) f(x) = log x - ,
x
3
1
"
b) f(x) = ,
log(x-1)-log(x-3)

log3(x2-1)
c) f(x) = .
log (x2-2)
1
3
6. Dla jakich wartości parametru m równanie
x2 + 2x + log3 m = 0,
ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma odwrotności jest mniej-
sza od 1?
7. Dla jakich wartości parametru k równanie
log kx = 2 log(x + 1),
ma dokładnie jedno rozwiązanie?
8. Dla jakich wartości x liczby: log 2, log (2x - 1) , log (2x + 3) , tworzą
ciąg arytmetyczny? Wyznaczyć liczby oraz różnicę tego ciagu.
1
9. Zbadać, która z liczb: f (log5 6) , f (log5 4) jest większa, jeśli f(x) = + x.
x
na
10. Podać przykład funkcji ciągłej ściśle malejącej i takiej, że f : (1, +") - R
na
oraz przykład funkcji ciągłej ściśle rosnącej i takiej, że f : (-", 1) - R.
11. Wyznaczyć wartości parametrów a, dla których istnieją funkcje ciągłe
fa : Ia - R, (Ia  przedział) takie, że:
a) 2f(x) = ax, x " Ia,
b) log2 fa(x) + 2a log f(x) + x2 - x = 0, x " Ia,
2
a
c) 10f (x) = x2 + a, x " Ia.
12. Udowodnić, że
a) loga x · y = loga x + loga y, a > 0, a = 1, x, y > 0,

b) loga xy = y loga x, a > 0, a = 1, x > 0,

1
c) loga b = , a > 0, a = 1, b > 0, b = 1,

logb a
logb x
d) loga x = , a > 0, a = 1, b > 0, b = 1, x > 0.

logb a
13. Udowodnić, że
a) jeśli a > 1 oraz 0 < x < y, to loga x < loga y,
b) jeśli 0 < a < 1 oraz 0 < x < y, to loga x > loga y.
20