Zadanie 1
Samochód przebył w pewnym czasie 210 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością o 10
km/h większą, to czas przejazdu skróciłby się o pół godziny. Oblicz, z jaką średnią
prędkością jechał ten samochód.
Rozwiązanie:
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I 210 v t
II 210 v+10 t-0,5
Po podstawieniu za z pierwszej równości dostajemy:
Oczywiście pierwsze rozwiązanie odrzucamy.
Zadanie 2
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast i oddalonych od siebie o 540km. Pociąg
jadący z miasta do miasta wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta
do miasta i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie
drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.
Rozwiązanie:
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I 270 v t
II 270 v+9 t-1
Ponieważ mamy stąd
Podstawiamy to wyrażenie w równości .
Stąd . Zatem drugi pociąg jechał z prędkością .
Zadanie 3
Z miejscowości i oddalonych od siebie o 182 km wyjeżdżają naprzeciw siebie dwaj
rowerzyści. Rowerzysta jadący z miejscowości do miejscowości jedzie ze średnią
prędkością mniejszą od 25 km/h. Rowerzysta jadący z miejscowości do miejscowości
wyjeżdża o 1 godzinę wcześniej i jedzie ze średnią prędkością o 7 km/h większą od
średniej prędkości drugiego rowerzysty. Rowerzyści spotkali się w takim miejscu, że
rowerzysta jadący z miejscowości przebył do tego miejsca całej drogi z do . Z
jakimi średnimi prędkościami jechali obaj rowerzyści?
Rozwiązanie:
Punkt spotkania rowerzystów jest oddalony od miejscowości o
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I 126 v t
II 182-126 v-7 t-1
Przekształćmy drugie równanie
Podstawiamy otrzymane wyrażenie do równości .
Pierwsze rozwiązanie daje nam , czyli prędkość drugiego rowerzysty byłaby
większa od 25 km/h, co jest sprzeczne z treścią zadania. Zatem i .
Drugi rowerzysta jechał ze średnią prędkością .
Zadanie 4
Droga z miasta do miasta ma długość 474 km. Samochód jadący z miasta do
miasta wyrusza godzinę póz
niej niż samochód z miasta do miasta . Samochody te
spotykają się w odległości 300 km od miasta . Średnia prędkość samochodu, który
wyjechał z miasta , liczona od chwili wyjazdu z do momentu spotkania, była o 17
km/h mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z
do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Rozwiązanie:
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I 474-300=174 v
1
II 300 v
2
Wiemy, że pierwszy samochód wyruszył o godzinę póz
niej niż drugi samochód, co daje
nam równanie
Wiemy ponadto, że , co po podstawieniu do powyższego równania daje
Daje to odpowiednio lub .
Zadanie 5
Dwa samochody odbyły podróż z miejscowości do odległej o 480 km miejscowości .
Drugi z samochodów jechał ze średnią prędkością większą o 20 km/h od średniej
prędkości pierwszego samochodu, a czas przejazdu pierwszego samochodu był o 72
minuty dłuższy od czasu przejazdu drugiego samochodu. Oblicz ile czasu zajęła podróż
każdemu z samochodów.
Rozwiązanie:
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I 480 v t
t-72
II 480 v+20
60
Z drugiego równania wyliczmy .
Wstawiamy tę wartość do pierwszego równania
Zatem czas podróży pierwszego samochodu wynosi 6 godzin, a drugiego 4 godziny i 48
minut.
Zadanie 6
Z dwóch miast i , odległych od siebie o 18 kilometrów, wyruszyli naprzeciw siebie
dwaj turyści. Pierwszy turysta wyszedł z miasta o jedną godzinę wcześniej niż drugi z
miasta . Oblicz prędkość, z jaką szedł każdy turysta, jeżeli wiadomo, że po spotkaniu
pierwszy turysta szedł do miasta jeszcze 1,5 godziny, drugi zaś szedł jeszcze 4 godziny
do miasta .
Rozwiązanie:
droga[km] prędkość[km/h] czas[h]
I v t
1
II v t-1
2
Wiemy ponadto, że pokonanie pozostałych kilometrów zajęło pierwszemu
turyście 1,5 godziny, a pokonanie pozostałych kilometrów zajęło drugiemu
turyście 4 godziny. Otrzymujemy stąd dwa kolejne równania.
Otrzymany układ równań trzech równań można rozwiązań na różne sposoby, my
wyliczymy z dwóch ostatnich równań i w zależności od i podstawimy otrzymane
wyrażenia do pierwszego z otrzymanych równań. Liczymy
Podstawiamy do pierwszego równania
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy . Stąd
Zadanie 7
Dwóch korektorów, pracując razem, jest w stanie dokonać poprawek w tekście w czasie 8
godzin. Jeżeli każdy z nich wykonywałby tę pracę sam, to pierwszy, bardziej
doświadczony korektor zakończyłby ją o 12 godzin wcześniej niż drugi. W ciągu ilu godzin
każdy z korektorów wykonałby tę pracę samodzielnie?
Rozwiązanie:
czas samodzielnej pracy wydajność
I
II
Jeżeli będą pracować razem, to w ciągu godziny wykonają
część pracy. Całą pracę wykonają w czasie
godzin.
Mamy więc równanie
Zatem .
Zadanie 8
Dwie pracownice urzędu pocztowego miały ostemplować pewną partię listów.
Stemplowanie listów pierwsza urzędniczka rozpoczęła o godzinie 8:00, a druga o godzinie
9:00. O godzinie 11:00 panie stwierdziły, że pozostało im jeszcze do ostemplowania 45%
listów. Po ukończeniu pracy okazało się, że każda z urzędniczek ostemplowała tyle samo
listów. Oblicz, w ciągu ilu godzin każda z pań ostemplowałaby sama wszystkie listy.
Rozwiązanie:
czas samodzielnej pracy wydajność
I
II
Jeżeli oznaczymy przez ogólny czas pracy pierwszej z pań to ponieważ panie
ostemplowały tyle samo listów mamy
Ponadto razem ostemplowały wszystkich listów (dwa razy więcej niż pierwsza z
nich).
Zatem .
O godzinie 11:00 panie miały ostemplowane tyle listów
Mamy zatem równanie
Mamy więc i
Zadanie 9
Przy jednoczesnej pracy 40 identycznych pomp nadmuchowych, żądany przepływ
powietrza można zrealizować w ciągu 24 godzin. W ciągu ilu godzin można zrealizować
ten sam przepływ powietrza przy jednoczesnej pracy 60 pomp?
Rozwiązanie:
Jeżeli oznaczymy przez pracę jaką mają wykonać pompy, to wiemy, że wydajność
jednej pompy to
W takim razie w ciągu jednej godziny 60 pomp wykona pracę
Na wykonanie całej pracy potrzeba więc 16 godzin.
Zadanie 10
Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie 980 detali. Zaplanowali, że
każdego dnia pierwszy z nich wykona , a drugi detali. Obliczyli, że razem wykonają
zlecenie w ciągu 7 dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował
się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o 8 dni dłużej niż planował,
(nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz i .
Rozwiązanie:
Z opisanych planów otrzymujemy równanie
Z drugiej informacji mamy
Wstawiamy teraz do pierwszego równania wartość z drugiego i mamy
Stąd .
Zadanie 11
Do zbiornika o pojemności można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu
jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o wody więcej niż druga rura.
Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu
napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik
zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.
Rozwiązanie:
Powiedzmy, że pierwsza rura dostarcza do zbiornika metrów sześciennych wody na
godzinę. Wtedy druga rura dostarcza metrów sześciennych na godzinę. Możemy
teraz napisać równanie wiążące czasy napełniania zbiornika przez obie rury.
W takim razie obie rury w ciągu godziny dostarczają
metrów sześciennych wody i cały zbiornik będzie
napełniony w godzin.
Zadanie 12
W zalanej kopalni zainstalowano 3 pompy wypompowujące wodę z zalanych sztolni.
Pierwsza pompa pracująca sama wypompowałaby wodę w ciągu 12 dni, druga w ciągu 15
dni, a trzecia 20 dni. Pierwsze trzy dni pierwsza i trzecia pompa pracowały wspólnie.
Następnie włączono dodatkowo drugą pompę. Jak długo trwało wypompowywanie wody z
kopalni?
Rozwiązanie:
Sposób I
Wiemy, że pierwsza pompa w ciągu jednego dnia wypompowuje całej wody, druga , a
trzecia . Jeżeli oznaczymy liczbę dni pracy pomp przez to mamy równanie
Sposób II
Jeżeli oznaczmy dzienne wydajności pomp przez i to wiemy, że w kopalni jest
wody (bo pierwsza pompa wypompowuje ją w 12 dni). Ponadto
Jeżeli teraz przez oznaczymy liczbę dni, w trakcie których wszystkie trzy pompy
pracowały razem to mamy równanie
Zatem wodę wypompowano w dni.
Zadanie 13
Woda może wpływać do basenu z dwóch kranów. Za pomocą pierwszego kranu basen
można napełnić w czasie o 2 godziny dłuższym, a za pomocą drugiego kranu w czasie o
4,5 godziny dłuższym, niż przy napełnianiu basenu z wykorzystaniem obu kranów. W
jakim czasie można napełnić ten basen odkręcając tylko pierwszy albo tylko drugi kran?
Rozwiązanie:
czas samodzielnej pracy wydajność
I
II
Jeżeli są odkręcone oba krany na raz, to w ciągu godziny napełniają
część basenu.
Zatem cały basen napełnią w ciągu
(przez tyle trzeba pomnożyć , żeby otrzymać 1, czyli cały basen).
Możemy teraz zapisać podane równania.
Podstawiamy z pierwszego równania do drugiego i mamy
Zatem .
Zadanie 14
Basen można napełnić dwoma kranami w ciągu 6 godzin. Pierwszy kran napełnia basen w
czasie o 5 godzin krótszym niż drugi. W ciągu ilu godzin, każdy kran oddzielnie napełni
basen.
Rozwiązanie:
czas samodzielnej pracy wydajność
I
II
Wiemy, że oraz (oba krany razem napełniają basen w 6
godzin).
Podstawiając w tej równości otrzymujemy równanie
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy .
Zadanie 15
Basen można napełnić dwoma kranami. Pierwszy kran napełnia basen 8 godzin, a drugi w
czasie trzy razy dłuższym niż gdy basen jest napełniany dwoma kranami. W ciągu ilu
godzin napełnia basen drugi kran?
Rozwiązanie:
Powiedzmy, że drugi kran napełnia basen w godzin. W takim razie w ciągu jednej
godziny drugi kran napełnia część basenu, a oba krany razem cześć basenu. Mamy
zatem równanie