Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 1
Funkcja kwadratowa
Zad.1
Narysuj wykresy podanych funkcji kwadratowych. Podaj miejsce zerowe, punkt przecięcia z
osią OY , przedziały monotoniczności funkcji oraz znak funkcji.
Znajdz
współrzędne wierzchołka paraboli, jej postać iloczynową i kanoniczną:
a) y = 2x2 + 1 ; b) y = -1x2 + 3 ; c) y = (x - 1)2 ;
2
d) y = 2x2 + 6x - 8 ; e) y = -x2 + 2x - 1 ; f) y = x2 - x - 2 ;
1
g) y = -3x2 + 6x ; h) y = -2x2 - 3x - ; i) y = x2 - 2x + 3 ;
8
Zad.2
Naszkicuj wykresy funkcji:
a) y = |x2 - 4x + 3| ; b) y = |x2 + 4x - 12| ; c) y = |-3x2 + 8x| ;
d) y = |x2 + 6x + 8| ; e) y = |-x2 + 2x + 3| ; c) y = |-x2 - x + 1| ;
d) y = x2 - 2 |x| ; e) y = 3x2 + 6 |x| + 3 ; f) y = x2 + 4 |1 - x| ;
x2-4
| |x2 ;
g) y = |x2 + 1| + |x| ; h) y = (x + 1) |x - 2| ; i) y =
x2-4
Zad.3
Rozwiąż równania:
a) x2 + 8x + 12 = 0 ; b) x2 - x - 30 = 0 ; c) x2 + 12x - 108 = 0 ;
3
d) 3x2 - 4x = 39 ; e) x2 + 22x - 1 = 0 ; c) x2 - 5x + 8 = 0 ;
3 4
1 1
d) -7x2 + 42x = 0 ; e) x2 - = 0 ; f) (x - 1)(x - 2) = 20 ;
4 9
"
g) 4(x2 - 1) = 4x - 1 ; h) (x + 3)2 - (x + 4)2 = 3x2 ; i) x2 + 3x + 5 = 0 ;
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 2
Zad.4
Rozwiąż równania kwadratowe z wartością bezwzględną:
a) x2 - 5 |x| + 4 = 0 ; b) 2x2 - |x - 3| = 0 ; c) -4x2 + 12 |x| - 1 = 0 ;
d) |3x2 - 3| - 4x = 0 ; e) (x - 1) |x + 1| - 3 = 0 ; f) 2x2 - 3x = |x2 - 4| + 2 ;
g) |x2 - 1| = |x + 1| ; h) |x2 - 1| = 2 |x2 - 3|
Zad.5
Rozwiąż algebraicznie i graficznie równania:
a) |x2 - 2x| = 1 ; b) |x2 + 6x + 5| = 3 ; c) |-x2 + 2x + 25| = 10 ;
1
d) |x2 - 6x + 7| = 2 ; e) |-x2 + 5x - 6| = ; c) |x2 + 4x + 4| = 4 ;
4
d) |-2x2 + 3x - 4| = 2, 8
Zad.6
Rozwiązać równania:
a) f(x - 1) = 4, jeśli f(x) = x2 + x - 2 ; b) f(x) = 0, jeśli f(x - 1) = x2 + 3x - 2 ;
Zad.7
Rozwiąż nierówności kwadratowe:
a) x2 - 6x < 0 ; b) 2x2 - 3x - 2 0 ; c) 3x2 - 12x + 25 > 0 ;
d) -x2 + 8x + 12 0 ; e) |-x2 + 5x| < 3x + 1 ; f) |x2 + 4x + 4| 4 ;
g) |x2 - 4| |x + 1|
Zad.8
1 1
Obliczyć wartość funkcji f(x) = x2 + w punktach, w których x + = 5.
x2 x
Zad.9
Wyznaczyć najmniejszą wartość trójmianu kwadratowego y = x2 + 4x + 1.
Zad.10
2
"
Znalez
ć maksimum funkcji y = .
2x2-4x+3
Zad.11
Dla jakich  k funkcja f(x) = x2 + kx + 1 jest malejąca w przedziale (-", 1) i tylko w tym
przedziale?
Zad.12
Wykres funkcji y = ax2 + bx + c przechodzi przez punkty A(-2, 6) , B(8, 16), a wierzchołek
paraboli będącej wykresem tej funkcji należy do prostej x = 0. Wyznacz tę funkcję.
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 3
Zad.13
x
"
Dla jakich wartości parametru  t wyrażenie jest określone dla każdego x " R?
x2-8x+|t|
Zad.14
Dla jakich wartości parametru  m najmniejsza wartość funkcji
1
f(x) = (3m - 5)x2 - (2m - 1)x + (3m - 5) jest liczbą dodatnią?
4
Zad.15
Dla jakich wartości parametru  m równanie ma dokładnie jeden pierwiastek?
Znajdz
ten pierwiastek.
a) mx2 + 2(m - 1)x + m - 3 = 0
b) (8m - 11)x2 - 5x + m - 1 = 0
c) (m - 1)x2 - 2(m + 1)x + m - 2 = 0
Zad.16
Dla jakich wartości parametru  m funkcja:
a) f(x) = x2 - mx + 1
b) f(x) = mx2 - x + m
przyjmuje tylko wartości dodatnie?
Zad.17
Dla jakich wartości parametru  m liczba 2 leży między pierwiastkami równania
x2 + 4mx + 3m2 = 0?
Zad.18
Dla jakich wartości parametru  m równanie mx2 - x - 3 = 0 ma dwa pierwiastki spełniające
warunki x2 + x2 = 7?
1 2
Zad.19
Dla jakich wartości parametru  a suma kwadratów pierwiastków równania x2 + ax + 4 = 0
jest dwa razy większa od sumy tych pierwiastków?
Zad.20
Dla jakich wartości parametru  k suma kwadratów pierwiastków równania
x2 + (k - 3)x + k - 5 = 0 jest najmniejsza?
Zad.21
Sporządz
wykes funkcji f(m) , gdzie f(m) jest liczbą pierwiastków równania
"
(m - 1)x2 + m 7x + m2 + m + 1 = 0?
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 4
Zad.22
m-2
Dla jakich wartości parametru  m równanie x2 + 3x - = 0 ma pierwiastki rzeczywiste?
m-3
Wyznacz wartość parametru  m , dla którego suma sześcianów pierwiastków tego równania
równa jest -9.
Zad.23
Dla jakich wartości parametru  m różnica pierwiastków równania (m-2)x2 -(m-4)x-2 = 0
wynosi 3?
Zad.24
Dla jakich wartości parametru  m pierwiastki równania x2 - 2mx + m2 - 1 = 0 są zawarte
miedzy -2 i 4 ?
Zad.25
Znalez
ć trójmian kwadratowy znając sumę jego pierwiastków 8, sumę odwrotności jego pier-
2
wiastków i wiedząc, że dla x = 0 przyjmuje on wartość 24.
3
Zad.26
Dana jest funkcja y = (2m - 3)x2 + 4mx + m - 1
a) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta przyjmuje wartości ujemne dla każdego x " R?
b) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta ma różne miejsca zerowe spełniające warunek
-mx1x2 < x1 + x2?
c) Dla jakich wartości parametru m funkcja ta jest funkcją liniową?
Zad.27
Dane jest równanie (m - 5)x2 - 4mx + m - 2 = 0. Dla jakich wartości parametru m równanie:
a) Posiada dokładnie jeden pierwiastek. Dla wyznaczonych wartości m oblicz ten pierwiastek.
b) Posiada dwa pierwiastki różnych znaków.
Zad.28
Wyznacz liczbę rzeczywistych pierwiastków równania x |x| = x + c w zależności od parametru
c.
Zad.29
Niech f(m) oznacz liczbę pierwiastków równania |4x2 - 4x - 3| = m. Narysować wykres funkcji
m f(m).
Zad.30
Znalez
ć liczby p i q takie, aby trójmian x2 + px + q dla wartości x spełniających warunek
1 < x < 5 i tylko dla tych wartości, był mniejszy od x.
Inżynieria Materiałowa - mgr Małgorzata Suchecka - 5
Zad.31
Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2 +bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (3, 0)
i ymax = 12 dla x = 1.
Zad.32
Wyznaczyć współczynniki trójmianu y = ax2 +bx+c, jeżeli do wykresu należy punkt A = (1, 1)
i ymin = 0 dla x = 3.
Zad.33
f(1)
Pierwiastkami wielomianu f(x) = ax2 + bx + c, a = 0, są liczby -1 i 2. Obliczyć .

f(0)
Zad.34
Wykres funkcji y = -2x2 +4x-5c jest styczny do osi odcietych. Wyznaczyć wartość parametru
c.
Zad.35
Z kawałka płótna w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie 2 m i wysokości opusz-
czonej na tą podstawę równej 1 m, hafciarka chce wyciąć prostokątną serwetę o największym
polu powierzchni. Jakie wymiary powinna mieć ta serweta?
Zad.36
Tabela pokazuje częściowe wyniki obserwacji dotyczącej związku między liczbą osób zwiedza-
jących muzeum a porą dnia. Muzeum otwarte jest w godzinach: 900 - 1900.
pora dnia 1000 1200 1800
.
liczba osób zwiedzających 58 40 10
Przyjmując, że funkcja f(x) = -1, 5x2+bx+c, gdzie x-oznacza porę dnia wyrażoną w godzinach,
dobrze opisuje tez związek:
a) wyznacz współczynniki b oraz c
b) uzupełnij tabelę.
Zad.37

km
Kierowca ustalił, że drogę długości 208km może przejechać z pewną stałą prędkością V ,
h
km
w czasie t [h]. Gdyby zaś jechał z predkością o 13 większą, wówczas trasę tę pokonałby w
h
czasie 0, 8h krótszym. Oblicz, jaką predkość ustalił kierowca.