(P)Funkcja kwadratowa.
1. Dany jest trójmian kwadratowy: y = -3x2
1 = 2 i x2 = -1.
a) zapisz ten trójmian w postaci iloczynowej,
b) zapisz ten trójmian w postaci ogólnej,
c) zapisz ten trójmian w postaci kanonicznej.
a) Zapisz wzór funkcji f w postaci ogólnej,
b)
c) Wykres
wzór funkcji g.
1
2
3. a)Dla funkcji danej wzorem: f (x)= - (x - 2) + 2
2
1)
2)
3) podaj zbiór ar
1
2
b) Dla funkcji danej wzorem: f (x)= (x + 2) -1
4
3) podaj zbiór argumentów, dla których funkcj
-
odp: np.5x2 + 2x -10 = 0
-8, a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba 5
odp : f (x) = 2x2 -12x +10 = 2(x -1)(x - 5).
6. Do wykresu funkcji y = ax2 jsce
zerowe. Oblicz a, b, c.
2
-
2
+ 2 (3a + 1)x + 3a+11 = 0 w zale a.
9. Wyznacz A*"B, A)"B, A\B, B\ "R: x2 d" 5x} B={x"R: 9 > x2}
x2 d" 8x
11. Da
A = {x : x + 2 < 3} odp: A=(-5;1)
3
B = {x : (2x -1) d" 8x3 -13x2 + 6x + 3} odp: B=<-2;2>
A, B, A )" B, B \ A odp: A )" B =< -2;1), B \ A =< 1;2 >
f (x) = ax2 + bx + c
1+ x2= 2, x1 2 = -3 oraz f(1) = -2
13. Wyznacz najw y = 2x2 - 4x - 6 dla x " 0;4
b) y = -x2 + 9x +1 dla x " 5;7 odp: M=21, M=15
odp: 0,3m x 0,6 m x 0,7 m
wzór p(n)=100n, gdzie n 
k(n) = n2 - 60n + 4800 .
a) Napisz wzór funkcji z(n) 
odp: n=40 lub n=120
4
? odp: m
Ä„ + 4
16  . Hurtownik sprzedaje oprysk
h sztuk.
80n;n "{1,....,5}
Å„Å‚
odp : f (n) =
òÅ‚
(80 - 0,2n)n;n "{6,....,210}
ół
6
f (x)= -x2 + x + 2 oraz g(x)= + 2, x " R \{0}. Ustal graficznie kiedy te funkcje
x
1
f (x)= .
x2 + 6x +16
as jubilat? (48l)
wyprodukowano 243 telewiz
-ca; 19%.
K(x)= 5x2 + 6x +160
Z(x) = -5x + 90x -160, gdzie x "{1,2,....,12}; Z(x) > 0 Ô! x "{3,4,5,....,12};
(PP)Funkcja kwadratowa.
1. Naszkicuj wykres funkcji:
a) y= (x + 1)|x  2| ; b) y= x2 +4|1  x| ; c) y= x |x + 1| -x ; d) y= x2 +3|x  1| -1 ; e) y= x2 +2  3|x| ; f) y=2sgn(-x2+x)
m m
f .
a równanie x2 + 2x - 3 - 4 = a ma dwa pierwiastki ?
Å„Å‚ - d"
3. Naszkicuj wykres funkcji: f(x) =
òÅ‚
- >
ół
m równanie f(x) = m
x2 - 4 - x = 0 ; b) x2 - 4 - 9 - x2 = 5 odp: b) x " (-";-3 > *" < 3;+")
5.
2
a) (x  3) - 2 x - 3 - 3 = 0; b) x2 + 3 x -1 - 1 = 0 ; c) (x2 -16x) - 2(x2 -16x)- 63 = 0
1
x -1 < 6 + x - x2 ,odp : x "< -2;2 ) ;
2
b) 3 - 2x - x2 > x +1 ,odp : x "< -3;-1+ 2 >
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
- 2
ìÅ‚ ìÅ‚0; 2 ÷Å‚
a) 16x2 - 4 < 4 odp : x " ;0÷Å‚ *" ; b) (x  2)3- 4(x  1) < x2(x  3) ;
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
c) x2 - 5x e" 6 odp : x " (-";-1 > *" < 2;3 > *" < 6;+")
a) - d" 0 b) + + - e" x2 odp: a) x "{- 2; 2}; b) x "< -2;2 >
Å„Å‚ e"
òÅ‚
ół + d"
a) y +4 e" x2 b) 4x2 + 9y2 = 36 c) x2 + y2 -2x - 4y + 1 < 0
e) x2 - 4y2 = 0 ; f) x2 + y2 d" 2x + 4y  5 ; e) A = {(x,y): 5xy  3 = 0 '" | x | < 7}
f) B = {(x,y): x2 = 3 (" y2 = 1}; g) C = {(x,y): x2 + 2xy + y2 = 16} ; h) D = {(x,y): y-1 e" (x - 1)2}
A = {(x, y): x2 - 2x d" y d" 1- x -1}.
Å„Å‚ y = x - 2
cznie lub algebraicznie.
òÅ‚
2
-
ółx + y2 4x - 4y + 4 = 0
Å„Å‚ - 2x + y2 + 6y - 6 = 0
x2
òÅ‚
2
-
ółx + 4x + y2 2y + 4 = 0
Å„Å‚- 4x2 + y2 + 2y +1 = 0
òÅ‚
- x2 + y + 4 = 0
ół
a) odp: (-3;5), (-1;-3), (1;-3), (3;5)
b)
2
3 85
ëÅ‚ öÅ‚
c) odp: x2 + y - ÷Å‚
=
ìÅ‚
2 4
íÅ‚ Å‚Å‚
Å„Å‚ - 2x + y2 + 6y - 6 = 0
x2
14.Uzasa
òÅ‚
2
-
ółx + 4x + y2 2y + 4 = 0
2 + 1- 3x
f (x)= - 2x +1 - 3 -1
x2 + 2x - 8
14.Narysuj wykres funkcji f (x) = x2 - 5x + 6, x " R g(x) = f ( x ) . Wyznacz
-5;1>. odp: M=6, m = -1/4
x2 + y2 -10x + 4y + 25 = 0 - 4y  2 = 0.
x2 - 2x + y2 + 4y = 20 , która jest
 3x = 0.
x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0
x2 + y2 - 6x - 4y + 4 = 0
21. Wyznacz równanie stycznej do krzywej o równaniu y= x2 
2x  2y + 5= 0.
m prosta y = x - m jest styczna do paraboli y = mx2 ?
23. Dla jak = jest zbiór R?
- +
1
a) y = ax2 + x + a odp: a "< ;+")
2
b) y = (a2 -1)x2 + 2(a -1)x + 2 odp: a " (-";-3 > *" < 1;+")
1 2
c) y = odp: a " (-";-4 )*" < 2;+")
3
(a2 + a - 6)x2 + (a - 2)x +1
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ?
m funkcja f(x)= (m2 +4m  5)x2  2(m-1)
x rzeczywistego ?
m równanie x2  2(m-2)x + m2 - 2m - 1 = 0
tnie ?
m równanie (m +2)x2  4x  m +2
1, x2
a)x1 + x2 d" 2 ? b) x1< 2 < x2 ?
2
odp: a) m " (-";-2) *" (0;+") ; b) m " (-2;- ) ; c) m " (-1;0) *" (0;2)
3
m równanie x2 + m x +4 =0 , x2
1
x12 + x22 = 2(x1+x2) ? odp: m = -4
(m - 5)x2  4m x +m  2=0 m.
30. Dane jest równanie x2 - 3mx + 2m2 +1 = 0
pierwiastki mniejsze od 3. odp: m " (-";-2)
m równanie (m - 2)x4  2(m +3)x2 +m -1
odp: a) m " (2;+") ; b) m " "
f (x) = ax2 + bx + c
"x " R f (x -1) - f (x) = 4 - 6x odp: a=3,b=-1
33. Dana jest funkcja f (x) = -4x2 +16x, x " R (2;+")
f (8)
34. Pierwiastkami trójmianu kwadratowego f (x) = ax2 + bx + c by 2 oraz 4. Wyznacz iloraz . odp: -24
f (3)
2 2
x2 + y2 +10x + 2my + m2 + 9 = 0 oraz (x - 2m) + (y + m) = 9
odp: m " (-6;-3) *" (-2;1)
x2 + y2 = 9
-1
stycznych do prostej o równaniu y=3. odp: suma punktów paraboli: y = x2 + 3 bez punktu (0;3)
12
odp: p=30
38. Dana jest funkcja f (x) = 2x2 - 8x, x " R.
(2;+") .
f (x) = x2 - 5x + 6, x " R. g(x) = f (x ). Wyznacz
-5;1>. odp: m = -1/4; M = 6
y = -x2 + 2(m +1)x - m + 5
jest parametrem (m " R). odp : y = x2 - x + 6
f (x) = (2m +1)x2 + (m -1)x + 3m x " R
ëÅ‚- 4
öÅ‚
g(x) = (1- m)x + 3 ? odp : m " ";- ÷Å‚
ìÅ‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
2
41. Wyznacz zbiory A, B oraz A\ A = {x : x " R '" "t " R : t + xt +1 > 0},
1
B = {x : x " R '" "u " R : -u2 + u + x d" 0} odp : A = (-2;2), B = (-";- >, B \ A = (-";-2 >
4
Dodatkowo:
1. Liczby x1 i x2 x2 + px + q = 0 '" q `" 0 równanie kwadratowe, którego
x1 x2
i .
x2 x1
a Å"b
2 2
a `" b , to równanie x + y + ax + by + = 0
2
3. Narysuj wykres funkcji f o równaniu: . Na podstawie tego wykresu zbadaj
f(x) = m .
f(x) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe.
odp: 1960r.