Rozdział 6
Funkcje logarytmiczne
Monika Potyrała, Krzysztof Kisiel
6.1. Oblicz:
a) log 4 + log1 2 + log 100; i) 5log25 6;
2
2
1
b) log3 27 + log3 81 + log3 1; j) log3 5 - log9 25;
"
1
c) log2 32 · log7 49;
k) 25log5 10;
d) log9 97 · log1 9-7;
"
log1 25
9
5
l) 5 · log5 10 5;
e) 2 log4 4-1 + 3 log4 42 - log4 1;
"
log1 3 m) log3 6 · 310 + 311 ;
1
3
f) 3log3 5 + log3 310 + ;
3
log2 4 log4 2
n) 310 log"3 2 · 3- log"3 2;
1 1
g) + ;
2 4
3
h) 25log5 6; o) 5log3 2 · 5log9 4.
6.2. Wstaw znak =, < lub > tak, aby uzyskać zdanie prawdziwe:
log1 2
log5 2
1
a) log1 5 ... log1 6;
5
i) 5 ... ;
5
2 2
b) log4 12 ... log1 12; log3 1
1
4
4 j) 2log3 4 ...
2
c) log1 3 ... log3 1;
3
k) log2 3 ... log3 2;
3
1
d) log5 25 ... log"5 5;
l) log4 5 ... 2- 3
;
"
e) 2 log 25 ... log 25;
log1 3
3
1 1
2
m) ... log1 ;
2 2
2
f) log2 3 + log2 8 ... log2 11;
"
n) log4 5 · log5 4 ... log 30 + log 1 3;
5
g) log 105 ... log 100 ;
10
1 1
h) 3log3 10 ... 9log9 10; o) +log5 9 ... +log3 10+log3 0, 09.
log3 25 log 3
6.3. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
a) f (x) = log2 x; d) f (x) = log1 |x| ;
4
b) f (x) = logx 2;
e) f (x) = log |x - 5| ;
c) f (x) = log x2 - 3 ; f) f (x) = |log2 x| + log2 x.
2 Monika Potyrała, Krzysztof Kisiel
6.4. Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a) f (x) = log x; f) f (x) = log1 x4 + 3 ;
3
b) f (x) = log2 |x| ;
g) f (x) = |log3 (x + 1)| ;
2
c) f (x) = log1 x ; h) f (x) = log2 2x;
3
log1 x
3
d) f (x) = log x2 + 10 ; i) f (x) = 3 ;
e) f (x) = log1 (|x| + 1) ;
j) f (x) = sin (log x) .
2
6.5. Wyznacz zbiór wartości funkcji:
"
1
a) f (x) = log5 x2 + 25;
d) f (x) = ;
log2 x + 1
2
b) f (x) = log2 (x2 + 4);
e) f (x) = log1 4x + 4;
4
c) f (x) = cos log1 x ;
f) f (x) = sin log x3 2 .
2
6.6. Naszkicuj wykres funkcji:
a) f (x) = log3 x + 1; e) f (x) = 1 - log (x - 2) ;
5
f) f (x) = log1 (1 - x) ;
b) f (x) = log3 x - 1;
4
c) f (x) = log2 (2x) ; g) f (x) = - log2 (2 - x) + 3;
d) f (x) = log1 (x + 2) ; h) f (x) = -2 - log1 (3 - x) .
2 3
6.7. Naszkicuj wykres funkcji:
a) f (x) = log1 x ; f) f (x) = log1 |x - 1| + 2 ;
5 2
b) f (x) = log5 |x| ;
g) f (x) = 10|log x|;
c) f (x) = |log2 |x|| ;
d) f (x) = 2 (|log x| - 1) ;
|log3 x|
h) f (x) = .
e) f (x) = - |log |x|| ;
log3 x2
6.8. Naszkicuj wykres funkcji:
Å„Å‚
3 dla x 0 ôÅ‚ log1 (1 - x) dla x 0
òÅ‚
a) f (x) = ; 2
log3 x dla x > 0
c) f (x) = log2 x dla 0 < x < 1 ;
ôÅ‚
ół
log1 x dla x 1
2
Å„Å‚
log4 (-x + 4) dla x 0
ôÅ‚
òÅ‚
1 + log3 3 x dla 0 < x d" 3
d) f (x) = .
log4 |x| dla x = 0

ôÅ‚
b) f (x) = ;
ół
-
log1 x dla x > 3
4 dla x = 0
3
6. Funkcje logarytmiczne 3
6.9. RozwiaÛż równanie:
a) log2 x = 1; e) log7 x + log7 x2 = 1;
f) log1 x - log1 x3 = 2;
b) log x2 - 5 = 0;
5 5
2
c) log1 x = 0;
g) 2log3(x -3) = 1;
3
log1 x2+x+1
( )
1
d) log1 (x - 3) = -1; 2
h) 5 = .
5
2
6.10. RozwiaÛż równanie:
g) log1 (x - 1) + log1 (x + 2) = 2 log1 x;
a) log1 x = 2;
2 2 2
2
h) 2 log3 x + log1 x = 0;
b) log (|x| - 3) = 1;
3
i) 3 log3 x = log3 2 · log2 x;
c) log ((1 + 2 + 3 + ... + 20) x) = 1;
j) log4 (x + 5) + 1 = log2 (x + 2) ;
d) log (x + 3) + log (x + 5) = log 15;
k) log1 (x - 2) + log" x = log1 x - 1;
1
e) log1 (x + 5) - log1 x = log1 2;
3 3
3
4 4 4
f) log2 (x + 5) - log2 (x - 1) = 1; l) log3 (4x + 5x) - log9 52x = 2.
6.11. RozwiaÛż równanie:
log (5x + 2)
a) log2 x + log1 x = 0;
1
i) = 2;
5
5
log 5x
b) log2 x - 2 log3 x = 0;
3
2 log1 2x
2
j) = 1;
c) (log2 x)2 + 3 log2 x + 2 = 0;
log1 (2x-1)
2
d) log2 x - log1 x + 2 = 0;
1
log5 x2
2
2
k) = log5 x;
1 + log5 x
e) log2 (x + 1) + 4 log3 (x + 1) + 3 = 0;
3
log1 x - 6
f) log2 (x - 2) - 3 log1 (x - 2) + 2 = 0;
1
2
4
4
l) = log1 x - 1;
2
log1 x + 2
-2
2
g) = log3 x;
1 - log3 x
m) log3 (log4 x) = 0;
1
h) = 2 - log1 x;
log1 x
n) log (log (log x)) = 0.
2
2
6.12. RozwiaÛż równanie:
a) logx 2 = 1; d) logx (x + 2) = 2;
b) logx 2x2 + x - 2 = 2; e) logx x2 + 4x = 3;
c) logx-1 x2 - 5x + 7 = 0; f) log1-x x2 - 1 = 2.
6.13. RozwiaÛż nierówność:
a) log2 x 0; e) 5log3 x > 1;
b) log1 x < 0;
log2 x
1 1
2
f) ;
4 2
c) log3 (x + 3) 1;
log1 x
4
d) log2 x2 - 8 < 0; g) 2 1;
4 Monika Potyrała, Krzysztof Kisiel
6.14. RozwiaÛż nierówność:
g) log5 (-x) + log5 (x + 7) log5 6;
a) log1 (x - 1) < 2;
3
h) log2 x2 + log2 x 2;
b) log5 |x + 3| 1;
1
i) log x2 + log 5 0;
c) log4 (x - 1) - log4 x < 2;
2
3
j) log x < log100 x;
d) log1 x + log1 (x + 2) e" -3;
2
2 2
k) log1 (x + 1) > log2 (x + 1) ;
e) 3 log2 x - log2 x2 0;
2
f) log1 x2 - log1 x < 0;
l) log9 5x + log3 5x < 0.
3 3
6.15. RozwiaÛż nierówność:
1
a) log2 x - log3 x > 0; e) d" 1;
3
log1 x
2
b) log2 x + log1 x + 1 d" 0;
1
log4 (x - 1) - 1
4
4
f) 1;
log2 (x - 1)
c) log2 x + 3 log2 x + 2 d" 0;
2
g) log5 (log4 (log3 x)) 0;
2
d) - log4 x 1;
h) log1 log1 x < 2.
log4 x
2 3
6.16. RozwiaÛż nierówność:
a) log2 x · logx 2 < x; d) logx+1 3 + logx+1 2 < 2;
1
b) logx 3 < 1;
e) logx x2 - 1 > ;
log2 x
c) logx (x + 2) 2;
f) log2 3 - 5 logx 3 + 6 d" 0.
x
6.17. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
1
a) f (x) = log2 x;
g) f (x) = log ;
x+2
1
b) f (x) = ;
1
log3 x
h) f (x) = ;
log3 (4 - x2)
1
c) f (x) = ;
log1 x
i) f (x) = logx 5 - x2 ;
3
j) f (x) = logx-1 2;
3
d) f (x) = log1 (-x);
5
k) f (x) = ln (logx (x - 3)) ;
e) f (x) = log3 log2 x ;
1 1
f) f (x) = - log1 x l) f (x) = + ln x2 .
2
log |x| logx (x + 2)
6. Funkcje logarytmiczne 5
Odpowiedzi
"
6.1. a) 3 i) 6
b) -1
j) 0
c) -10
k) 10
d) 49
l) 0, 004
e) 4
m) 12
f) 13
3
n) 262144
g)
4
h) 36 o) 5
6.2. a) > i) =
b) >
j) =
c) =
k) >
d) =
l) >
e) >
m) =
f) >
n) =
g) >
h) = o) >
6.3. a) x " (0, +") d) x " (-", 0) *" (0, +")
b) x " (0, 1) *" (1, +") e) x " (-", 5) *" (5, +")
" "
c) x " -", - 3 *" 3, +" f) x " (0, +")
6.4. a) R f) (-", -1]
b) R g) [0, +")
c) [0, +") h) R
d) [1, +") i) (0, +")
e) (-", 0] j) [-1, 1]
6.5. a) [1, ") d) (0, 1]
"
b) 2, " e) (-", 4]
c) [-1, 1] f) [0, 1]
6 Monika Potyrała, Krzysztof Kisiel
6.6. a) e)
y
y
1
1
1 4 12
x
x
b) f)
y
y
1
1
1 3
x
-1
-3 1
x
-1
c) g)
y
3
y
2
2
1
1
1 2 4
x
-6 1 2
x
d) h)
y
y
1
1
-6 1 2 3
x
-2 -1 1 2 6
x
-1
-1
-2
-2
-3
6.7. a) c)
y
y
1
2
1
1 5
x
-4 -2 -1 1 2 4
x
b) d)
y
y
1
1
1 3
x
-1
-5 -1 1 5
x
-2
6. Funkcje logarytmiczne 7
e) g)
y
y
4
3
1
2
-1 1
x
1
1 2 3 4
x
f)
h)
y
y
1
2
0.5
1
x
1
-7 -3 -1 1 2 3 5 9
-0.5 x
6.8. a) c)
y y
3 1
-3 -1 1 4
x
1
-2
1 3
x
b) d)
y
y
4
4
3
2
1
1
1 2 3
x
-4 -1 1 4
x
"
3
6.9. a) x = 2 e) x = 7
" "
f) x = 5
b) x = - 6, x = 6
g) x = -2, x = 2
c) x = 1
" "
-1- 5 -1+ 5
d) x = 5 h) x = , x =
2 2
1
6.10. a) x = , x = 4 g) x = 2
4
b) x = -13, x = 13 h) x = 1
1
c) x = i) x = 1
21
j) x = 4
d) x = 0, x = 8
k) x = 3
e) x = 5
l) x = log4 8
f) x = 7
5
8 Monika Potyrała, Krzysztof Kisiel
1
6.11. a) x = 1, x = 5 h) x =
2
b) x = 1, x = 9 i) x = log5 2
1 1
c) x = , x = j) brak pierwiastków
4 2
d) brak pierwiastków k) x = 1, x = 5
e) x = -2, x = -26 l) brak pierwiastków
3 27
9 33
f) x = , x = m) x = 4
4 16
1
g) x = 9, x = n) x = 1010
3
6.12. a) x = 2 d) x = 2
"
1+ 17
b) brak pierwiastków
e) x =
2
c) x = 3 f) brak pierwiastków
6.13. a) x " (0, 1] e) x " (1, +")
"
b) x " (1, +")
f) x " 2, +"
c) x " [0, +")
" "
d) x " -3, -2 2 *" 2 2, 3 g) x " (0, 1]
10
6.14. a) x " , 10 g) x " [-6, -1]
9
"
3
b) x " (-", -8] *" [2, +") h) x " -", 4
1
c) x " (1, +") i) x " -", -1 *" , +"
5 5
d) x " (0, 2] j) x " (0, 1)
e) x " [1, +") k) x " (-1, 0)
f) x " (1, +") l) x " (-", 0)
1
6.15. a) x " (-", 1) *" (3, +") e) x " 0, *" (1, +")
2
5
f) x " 1, *" (2, +")
b) brak rozwiazań
Û
4
1 1
g) x " [81, +")
c) x " ,
4 2
1
1
"
h) x " 0,
d) x " 0, *" (1, 4] 4
16 3
"
6.16. a) x " (1, +") d) x " (-1, 0) *" -1 + 6, +"
"
b) x " (0, 1) *" (3, +") e) x " 3, +"
" "
3
c) x " (0, 1) *" [2, +") f) x " 3, 3
6.17. a) x " [1, +") g) x " (-2, -1]
" "
b) x " (0, 1) *" (1, +") h) x " - 3, 3
"
c) x " (0, 1)
i) x " (0, 1) *" 1, 5
d) x " (-", 0) j) x " (2, +")
e) x " (1, +") k) x " (4, +")
f) x " (0, 1) l) x " (1, +")