NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
FUNKCJE WYKA
ADNICZE I
LOGARYTMICZNE
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne są ze sobą bardzo blisko związane i dlatego omówimy
je w jednym poradniku.
Funkcja wykładnicza
Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci y = ax, gdzie a > 0 i a = 1. Dziedziną
funkcji wykładniczej jest cały zbiór liczb rzeczywistych.
y y
y=ax y=ax
a>1 a<1
+1 +1
x x
Jeżeli a > 1 to funkcja wykładnicza jest rosnąca i rośnie od 0 do +". Jeżeli natomiast
a < 1, to funkcja jest malejÄ…ca i maleje od +" do 0.
W obu przypadkach wykres funkcji wykładniczej przecina oś Oy w punkcie (0, 1).
Funkcja logarytmiczna
FunkcjÄ… logarytmicznÄ… nazywamy funkcjÄ™ postaci y = loga x, gdzie a jest ustalonÄ… liczbÄ…
dodatnią i a = 1. Dziedziną funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb dodatnich.
y y
y=log x y=log x
a a
a>1 a<1
x x
+1 +1
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Dla a > 1 funkcja y = loga x jest funkcją rosnącą i rośnie od -" do +". Dla a < 1
funkcja y = loga x jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ… i maleje od +" do -".
W obu przypadkach wykres funkcji logarytmicznej przecina oÅ› Ox w punkcie (1, 0).
Związek funkcji wykładniczej z funkcją logarytmiczną
Funkcja logarytmiczna f (x) = loga x jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej g(x) =
ax, tzn.
f (g(x)) = loga ax = x,
g( f (x)) =aloga x = x.
O funkcji odwrotnej należy myśleć tak: jeżeli traktujemy funkcję g(x) = 2x jako maszyn-
kę, która zamienia liczbę x na liczbę g(x), czyli 2 na 4, 4 na 16, 10 na 1024 itd., to funkcja
odwrotna f (x) = log2 x zamienia te liczby w drugÄ… stronÄ™: 4 na 2, 16 na 4, 1024 na 10.
Na wykresie ten zwiÄ…zek przejawia siÄ™ symetriÄ…: wykresy funkcji ax i loga x sÄ… syme-
tryczne względem prostej y = x.
y y
y=ax
a<1
y=ax
+1
a>1
x
+1
+1
x
+1
y=log x
y=log x
a
a
a>1
a<1
y=x y=x
Jeżeli popatrzymy na wykres logarytmu to widać, że logarytm rośnie/maleje (w zależ-
ności od a) na początku szybko (powiedzmy do x = 1), a potem bardzo wolno. Odpowiada
to temu, że funkcja wykładnicza rośnie/maleje wolno dla y < 1 i bardzo szybko dla y > 1.
Podoba Ci siÄ™ ten poradnik?
Zadania.info
Pokaż go koleżankom i kolegom ze szkoły!
TIPS & TRICKS
1
Na początku często uczniom mylą się funkcja potęgowa y = xa z funkcją wykładnicza y =
ax. Różnica jest zasadnicza: w pierwszym przypadku wykładnik jest stały, a zmienia się
podstawa; w drugim jest odwrotnie.
Oczywiście jest jeszcze jedna możliwość, mogą się zmieniać obie rzeczy naraz: np. y =
xx. Warto pamiętać, że tego typu funkcja nie jest ani funkcją potęgową, ani wykładniczą.
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
2
Symetria pomiędzy wykresami funkcji y = ax i y = loga x to nie jedyna symetria pomiędzy
wykresami funkcji wykładniczych/logarytmicznych. Z łatwej do sprawdzenia równości
log x = - loga x
1
a
wynika, że wykresy funkcji y = log x i y = loga x są symetryczne względem osi Ox.
1
a
y y
1
y=ax
y= x=0
( )x
a
y=log x
a
y=0
x
+1
y=log x
1
a
+1
x
Podobnie, z równości
x
1
a-x =
a
x
1
wynika, że wykresy funkcji ax i są symetryczne względem osi Oy.
a
3
Ponieważ
logb x 1
loga x = = · logb x,
logb a logb a
1
wykresy funkcji y = loga x i y = logb x różnią się tylko przemnożeniem przez liczbę .
logb a
To mnożenie odpowiada przeskalowaniu wykresu wzdłuż osi Oy. W tym sensie wszystkie
wykresy funkcji logarytmicznych sÄ… prawie takie same.
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
y y
y=ax
y=log x
b
y=bx
y=log x
a
+1
x
+1
x
Podobnie jest dla funkcji wykładniczych:
x
ax = blogb a = bx logb a.
Z tego wzoru wynika, że wykresy funkcji ax i bx różnią się o skalowanie względem osi Ox
1
(ze współczynnikiem ). To, że wyszedł ten sam współczynnik co dla funkcji logaryt-
logb a
micznych to nic dziwnego, ustaliliśmy już przecież, że wykresy funkcji logarytmicznych
powstają z wykresów funkcji wykładniczych przez odbicie względem prostej y = x.
4
Warto zapamiętać wykresy funkcji logarytmicznych i wykładniczych  bardzo się one przy-
dają przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych/wykładniczych. Nie jest to bardzo
trudne  jak już pisałem, wszystkie wykresy mają praktycznie ten sam kształt i przechodzą
przez punkt (1, 0) (funkcje logarytmiczne) lub (0, 1) (funkcje wykładnicze).
5
To, że w definicji funkcji wykładniczej zakładamy, że a = 1 jest dość naturalne: dla a = 1
otrzymujemy funkcję stałą.
Może warto też napomknąć dlaczego zakładamy, że a > 0. Powód jest taki, że nie da się
sensownie zdefiniować ax dla a ujemnego.
Ile jest równe (-1)x?
Jeżeli x jest liczbą całkowitą, to nie ma problemu: (-1)x będzie równe -1 lub 1 w
zależności od parzystości x. Jeżeli jednak dopuścimy, żeby x był liczbą wymierną,
"
1
1
to zaczynają się już poważne kłopoty. Na przykład dla x = mamy (-1)2 = -1,
2
"
1
3
2
który nie istnieje. Za to (-1)3 = -1 = -1. A co np. z x = ? Jeżeli napiszemy to
6
"
6
6
jako (-1)2 to jest OK, ale jak napiszemy ( -1)2 to jest bez sensu. Widać, że coś
nie gra. Jeżeli natomiast x nie jest liczbą wymierną to już kompletnie nie wiadomo
co ma oznaczać (-1)x.
6
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Analogicznie jest z dziedziną logarytmu: log1 x byłby odpowiedzią na pytanie: do jakiej po-
tęgi należy podnieść 1, żeby wyszło x? Widać, że to pytanie nie ma sensu dla x = 1. Podobnie
jest z loga x dla a < 0  jak już pisaliśmy wyżej, potęgowanie liczb ujemnych na ogół nie ma
żadnego sensu.
7
Funkcje wykładnicze/logarytmiczne są różnowartościowe, tzn. każdą wartość przyjmują co
najwyżej raz. Na wykresie przejawia się to tym, że z każdą poziomą prostą mają co najwy-
żej jeden punkt wspólny. Dzięki tej własności można łatwo rozwiązywać proste równania
wykładnicze/logarytmiczne.
Rozwiążmy równanie 4 · 2x = 128.
Liczymy
22 · 2x = 27
22+x = 27.
No i teraz korzystamy z różnowartościowości funkcji 2x.
2 + x = 7 Ð!Ò! x = 5.
Rozwiążmy równanie log 5 + log x = log 7.
Liczymy
log 5x = log 7
7
5x = 7 Ð!Ò! x = .
5
Ponownie, opuszczenie logarytmów było możliwe dzięki różnowartościowości
funkcji log x.
8
W nierównościach logarytmicznych/wykładniczych potrzeba nam odrobinę więcej niż róż-
nowartościowość, potrzebujemy monotoniczności. Tu kluczowe jest pamiętanie o tym, że
funkcje ax i loga x są malejące dla a < 1 co oznacza, że opuszczając je zmieniamy znak nie-
równości na przeciwny.
log x
1
1
3
Rozwiążmy nierówność < 4.
2
Liczymy
log x -2
1
1 1
3
<
2 2
log x > -2
1
3
log x > log 9
1 1
3 3
x < 9.
Trzeba jeszcze uwzględnić dziedzinę i mamy x " (0, 9).
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
9
Funkcja wykładnicza y = ax dla a > 1 bardzo szybko rośnie. W zasadzie to łatwo to sobie
wyobrazić: wystarczy na kalkulatorze obliczać kolejne potęgi 2. Bardzo szybko wyjdziemy
poza zakres kalkulatora. Jeżeli ktoś nie wierzy, że na przykład 10100 to jest dużo (w końcu
to tylko 1 i 100 zer), to jest to prawdopodobnie więcej niż liczba atomów we wszechświecie.
Gdy pomyśli się o tym w ten sposób to liczba ta powinna wzbudzać respekt.
Z drugiej strony, gdy jedziemy z x do -" to funkcja ta bardzo szybko zbiega do 0. Åšredni-
ca jÄ…dra atomu to okoÅ‚o 10-14 metra. DÅ‚ugość Plancka, czyli ok. 1, 6 · 10-35 metra, to dÅ‚ugość,
na której kończy się znany przez nas wszechświat: poniżej tej długości kompletnie tracą sens
współczesne prawa fizyki (łącznie z mechaniką kwantową). To też powinno budzić respekt.
Nawet najmniejsza funkcja wykładnicza y = ax z a > 1 rośnie szybciej od każdej
funkcji potęgowej (wielomianu) w następującym sensie: dla każdej liczby n > 0
istnieje K, że dla wszystkich x > K mamy
ax > xn.
Żeby docenić sens tego stwierdzenia możemy myśleć tak: dla dostatecznie dużych
x, wartości funkcji (1, 0000001)x są większe niż wartości funkcji x999999999. Jak jesz-
cze nie jest jasne, że to jest dziwne, to spróbujcie sobie wstawić do tych wzorów
x = 2, 100, 1000.
"
n
Podobnie jest z logarytmem i pierwiastkami. I loga x dla a > 1 i x rosnÄ… wolno,
ale logarytm jest mniejszy od każdego pierwiastka (dla dużych x).
10
Badanie jak szybko coś rośnie ma wiele zastosowań praktycznych. Wez
my jeden prosty
przykład z informatyki. Mamy do wykonania pewne zadanie, np. chcemy posortować n
liczb. Zależy nam oczywiście na tym, żeby to sortowanie było szybkie (nawet jak jest bar-
dzo dużo liczb). Jak to zmierzyć?  liczymy ile pojedynczych operacji procesora zabiera
nasz program. W ten sposób dostajemy pewną funkcję zmiennej n, którą zwykle nazywa
się złożonością obliczeniowa danego algorytmu. No i teraz mamy różne możliwości. Jeżeli
ta funkcja jest wykładnicza, to zadanie uważa się praktycznie za nieobliczalne. Jeżeli jest
to wielomian, to jest lepiej, na ogół da się takie rzeczy liczyć. Jeżeli natomiast złożoność
jest logarytmiczna, to jest bardzo dobrze  zwiększanie ilości danych nie będzie drastycznie
wydłużać czasu wykonywania programu.
11
Która funkcja logarytmiczna jest najważniejsza? Oczywiście to zależy od kontekstu, ale na
szczególną uwagę zasługuje logarytm naturalny, czyli logarytm o podstawie e H" 2, 7183. W
pierwszej chwili sprawa jest dość tajemnicza, bo sama definicja liczby e jako granicy ciągu
n
1
e = lim 1 +
n+"
n
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
jest dość dziwna i trudno zrozumieć co takiego magicznego jest w tej liczbie.
1
Jedna z motywacji jest następująca. Startujemy od funkcji y = i liczymy pole pod jej
x
wykresem na przedziale 1, x dla x 1.
y
+2.5
+1.25
f(x)
+0.25
x
+0.5 +1.25 x
1
-0.25
Otrzymamy w ten sposób pewna funkcję y = f (x) i okazuje się, że jest to dokładnie
1
y = ln x. Co ciekawe, zaczęliśmy od funkcji y = , czyli nie było żadnego e, a jednak jakoś
x
samo się pojawiło (w podstawie logarytmu). Właśnie w tym sensie logarytm naturalny jest
naturalny - pojawia siÄ™ w bardzo naturalnej sytuacji.
12
Jaka jest najważniejsza funkcja wykładnicza? Znowu, trochę zależy to od kontekstu, ale jak
już mamy jakąś wyróżnić, to musi to być y = ex. Niezwykłość tej funkcji polega na tym, że
nie zmienia się ona przy różniczkowaniu, tzn. (ex) = ex. Tak naprawdę to jest trochę więcej
takich przykładów, bo każda funkcja postaci y = aex też ma tę własność, ale są to jedyne
przykłady, żadna inna funkcja nie ma tej własności. I znowu jest to dość niesamowite, że ze
wszystkich możliwych funkcji wykładniczych tylko ex nie zmienia się przy różniczkowa-
niu. Dlaczego tak jest? Dlaczego ex, a nie 2x, 10x, Ąx albo 666x? Zwykle mówi się, że Matka
Natura tak chciała. Na tym właśnie polega naturalność e.
13
Zapis funkcji wykładniczej w postaci f (x) = ex bywa dość niewygodny jeżeli w wykładniku
jest dość skomplikowane wyrażanie, dlatego często używa się synonimu y = exp(x) = ex
(od expotential function). Na początku może być trudno się do tego przyzwyczaić, ale jest to
dokładnie to samo co ex.
14
Posługiwanie się funkcjami wykładniczymi obarczone jest prozaicznym problemem: ponie-
waż funkcja wykładnicza bardzo szybko rośnie, trudno jest narysować jej wykres. Jeżeli
chcemy, żeby na wykresie zmieścił spory kawałek funkcji to musimy ustalić bardzo duże
jednostki na osi Oy. Wtedy jednak przestaje być widać co się dzieje dla małych argumen-
tów (wykres praktycznie pokrywa się z osią Ox). Rozwiązaniem tego problemu jest użycie
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
tzw. skali logarytmicznej, czyli zamiast rysować funkcję y = f (x), rysujemy y = log f (x).
Można o tej operacji myśleć jak o przeskalowaniu jednostek na osi Oy w ten sposób, że jed-
na jednostka odpowiada przemnożeniu wartości funkcji przez 10. Dzięki temu zabiegowi
wykresy funkcji wykładniczych robią się kawałkami prostych i można bardzo sprawnie się
nimi posługiwać.
Na poniższym rysunku narysowane są wykresy funkcji y = 2x oraz y = x3 zarów-
no w normalnym układzie współrzędnych jak i w układzie ze skalą logarytmiczną
na osi Oy.
y log(y)
y=x4
y=2x
y=x4
+10
x
-5 +5
y=2x
+5
x
-5 -1 +1
+5
Widać jak funkcja wykładnicza uległa wyprostowaniu, a funkcja potęgowa zaczęła
wyglądać jak logarytm. Dzięki przeskalowaniu osi Oy o wiele lepiej widać praw-
dziwe relacje między tymi funkcjami. Lewy wykres jest mylący, bo wygląda jakby
y = x4 było większą funkcją od y = 2x. Patrząc na prawy wykres widać, że tak
będzie tylko dla małych wartości x (można sprawdzić, że dla x < 16). Jest to prze-
jaw wspomnianej już przeze mnie własności: funkcja wykładnicza jest większa od
każdej funkcji potęgowej (dla dużych x).
15
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne pojawiają się w wielu naturalnych sytuacjach.
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Na poniższym wykresie przedstawiono typowy przebieg zmiany liczebności ho-
dowli bakterii.
log(n)
C
B
D
A
t
Na poziomej osi mamy czas, a na pionowej mamy logarytm z liczebności hodowli
(skala logarytmiczna). Kolejne fazy rozwoju hodowli to
A  faza pierwotnego zahamowania, w której bakterie aklimatyzują się do nowego śro-
dowiska, liczebność hodowli praktycznie nie ulega zmianie.
B  stadium wykładnicze, w którym wzrost liczby bakterii przebiega niezwykle gwał-
townie (wykładniczo).
C  faza stabilizacji, w której zaczyna brakować pożywienia i zmiana liczebności ho-
dowli ulega zahamowaniu
D  faza obumierania, w której z powodu wyczerpania się pożywienia następuje
gwałtowne (wykładnicze) obumieranie hodowli.
Prawo Webera-Fechnera mówi, że wartość reakcji układu biologicznego jest pro-
porcjonalna do logarytmu bodz
ca.
Poglądowo można o tym myśleć tak: jeżeli będziemy oświetlać pokój kolejno przy
pomocy 1, 2, 4, 8, 16 żarówek, to będzie nam się wydawało, że kolejne zmiany w
poziomie oświetlenia są takie same, tzn., że w każdym kroku robi się jaśniej dokład-
nie o tyle samo. Inaczej mówiąc, żeby zwiększyć odczuwalność bodz
ca (jasność,
głośność), musimy zwiększać jego natężenie wykładniczo.
Dokładnie z tego powodu wiele skal odczuwalności bodz
ców jest skalami logaryt-
micznymi: skala Richtera, decybele, interwały w muzyce, EV (exposure value).
Materiał pobrany z serwisu
9