Przypomnijmy, że argument iloczynu dwu liczb zespolonych równy jest sumie
argumentów skladników. Jest to wlasność przypominaja ce nieco logarytm (logarytm
iloczynu to suma logarytmów czynników). Logarytm to wykladnik pote gi. Zdefiniu-
jemy teraz pote ge o podstawie e .
Definicja 12.1 (pote gi o wykladniku zespolonym)
ez = ex+iy = ex cos y+i sin y) dla dowolnej liczby zespolonej z = x+iy , x, y " .
Czytelnik może uznać te definicje za dziwna . Zauważmy jednak, że rozszerza ona
definicje pote gi o wykladniku rzeczywistym. eĄi = e0 cos Ą+i sin Ą = -1 , eln 2+Ąi =
eln 2 cos Ą + i sin Ą = -2 , eln 3+2Ąi = eln 3 cos 2Ą + i sin 2Ą = 3 . Przyklady można
mnożyć.
Zauważmy jeszcze, że jeśli z = x + iy , w = u + iv ( x, y, u, v " ), to
ez+w = e(x+u)+i(y+v) = ex+u cos(y + v) + i sin(y + v) =
= exeu cos y +i sin y cos v +i sin v = ex cos y +i sin y eu cos v +i sin v = ezew .
Widzimy wie c, że wlaśnie zdefiniowanej pote dze liczby e przysluguje podstawowa
wlasność pote g. Definicja pote gi byla stopniowo rozszerzana: najpierw uczniowie po-
znaja pote gi o wykladnikach naturalnych, potem o calkowitych ujemnych, potem o
dowolnych wymiernych. Pote ga o wykladniku rzeczywistym jest określana tak, by
zachować monotoniczność i równość ea+b = eaeb . Ponieważ zajmujemy sie liczbami
zespolonymi, wie c nie można mówić o monotoniczności  w zbiorze liczb zespolonych
nie ma nierówności. Zamiast monotoniczności można zaża dać istnienia pochodnej w
punkcie 0 .
Twierdzenie 12.2 (charakteryzuja ce funkcje ez )
Funkcja ez jest jedyna funkcja f: - taka , że spelnione sa warunki
1ć% f(z + w) = f(z)f(w) dla dowolnych liczb zespolonych z, w oraz
f(z)-f (0)
2ć% lim = 1 .
z
z0
Drugi warunek wymaga wyjaśnienia. Mówimy, że lim g(z) = G " wtedy
zz0
i tylko wtedy, gdy lim g(z) - G = 0 , w ostatnim wyrażeniu liczby zespolone
|z-z0|0
wyste puja tylko pozornie, wie c to ostatnie poje cie nie jest nam obce. Ta definicja jest
prostym uogólnieniem poje cia granicy znanego z przypadku rzeczywistego  chodzi
o to, że jeśli odleglość mie dzy z i z0 jest dostatecznie mala, to odleglość mie dzy
wartościa g(z) funkcji g w punkcie z i granica G też jest mala. Rozpatrywana
1
Funkcja wykladnicza o wykladniku zespolonym
f(z)-f(0)
granica lim ma być pochodna funkcji f w punkcie 0 . Nasza funkcja ma być
z
z0
rozszerzeniem funkcji wykladniczej o podstawie e i wykladniku rzeczywistym, wie c
jej pochodna w punkcie 0 , powinna być równa pochodnej funkcji ex w punkcie 0 ,
czyli powinna być równa 1 .
Tego, że warunki 1ć% i 2ć% definiuja funkcje wykladnicza nie be dziemy dowodzić.
Wcześniej wykazaliśmy, że warunek 1ć% jest spelniony.
Naszkicujemy dowód tego, że funkcji ez przysluguje wlasność 2ć% . Można do-
cos y-1
ex-1-x
wieść, np. za pomoca reguly de l Hospitala,* że lim = 0 , lim = 0 i
x y
x0 y0
sin y-y cos y-1
ex-1-x
lim = 0 . Niech r(x) = dla x = 0 i r(0) = 0 , r(y) = dla y = 0
Ć
y x y
y0
sin y-y
i r(0) = 0 oraz r(y) = dla y = 0 i r(0) = 0 . Mamy wie c ex -1 = x[1+r(x)] ,
Ć Ü Ü
y
cos y - 1 = yr(y) oraz sin y = y[1 + r(y)] . Wobec tego
Ć Ü
(ex-1)(eiy-1)+(ex-1)+(eiy-1)
ez-1 ex+iy-1 exeiy-1
= = = =
z x+iy x+iy x+iy
x[1+r(x)]·y[r(y)+i+ir(y)]+x[1+r(x)]+y[r(y)+i+ir(y)]
Ć Ü Ć Ü
= =
x+iy
xy y
x
= 1 + [1 + r(x)][i + r(y) + ir(y)] + r(x) + r(y) + ir(y) .
Ć Ü Ć Ü
x+iy x+iy x+iy
Zachodza równości lim r(x) = 0 , limr(y) = 0 oraz lim r(y) = 0 . Prawdziwe sa też
Ć Ü
x0 y0 y0
" "
x2+y2· x2+y2
|x| y |y| xy
x
" " "
wzory = d" 1 , = d" 1 i d" =
x+iy x+iy x+iy
x2+y2 x2+y2 x2+y2
ez-e0
= x2 + y2 = |z| - 0 . Sta d wynika, że lim = 1 . W ten sposób zakończy-
--
z
z0 z0
liśmy dowód.
ez-1 ew+z -ew
Z tego, że lim = 1 wynika, że lim = ew dla każdej liczby ze-
z z
z0 z0
spolonej w . Zwykle te ostatnia równość z oczywistych przyczyn zapisujemy jako
(ew) = ew .
Przypomnijmy trzy wzory, które pojawily sie w I semestrze:
x2 x3 x4 x5 x6 xn x2 x3 x4 x5 x6
ex = lim 1+x+ + + + + +· · ·+ = 1+x+ + + + + +· · · ,
2! 3! 4! 5! 6! n! 2! 3! 4! 5! 6!
n"
y2 y4 y6 y3 y5 y7
cos y = lim 1 - + - + · · · + (-1)n y2n = y - + - + · · · ,
2! 4! 6! (2n)! 3! 5! 7!
n"
y3 y5 y7 y3 y5 y7
sin y = lim y - + - + · · · + (-1)n y2n+1 = y - + - + · · ·
3! 5! 7! (2n+1)! 3! 5! 7!
n"
Gdybyśmy zdefiniowali wartości funkcji wykladniczej, kosinusa i sinusa argu-
mentu zespolonego za pomoca tych trzech wzorów, to okazaloby sie , że zachodzi
równość ex+yi = ex(cos y + i sin y) , która wcześniej przyje liśmy za definicje funkcji
wykladniczej o podstawie e i wykladniku zespolonym.
Rozszerzaja c wie c dziedzine funkcji wykladniczej otrzymaliśmy funkcje , która
*Wlaściwie z definicji pochodnej i wzorów (ex) =ex , (cos y) =- sin y , (sin y) =cos y .
2
Funkcja wykladnicza o wykladniku zespolonym
z formalnego punktu widzenia ma wlasności podobne do funkcji wykladniczej w dzie-
dzinie rzeczywistej. Sa jednak istotne różnice. Wgle biać sie w nie nie możemy z braku
miejsca i czasu, ale o jednej coÅ› powiemy.
Funkcja wykladnicza o podstawie e i wykladniku rzeczywistym jest ściśle ro-
1 2
sna ca: jeśli x1 < x2 , to ex < ex . Z funkcja wykladnicza ez jest inaczej. Mamy
e2Ąi = cos 2Ą + i sin 2Ą = 1 , zatem dla każdego z " zachodzi równość ez+2Ąi =
eze2Ä„i = ez . Funkcja wykladnicza w dziedzinie zespolonej jest wie c okresowa, jej
okresem jest 2Ä„i  liczba czysto urojona.
Wartościami tej funkcji sa wszystkie liczby zespolone (w tym rzeczywiste) z
jednym wyja tkiem: 0 = ez dla z " . Wynika to natychmiast z tego, że każda

liczbe dodatnia r = |w| można zapisać w postaci ex , x " . Wystarczy przyja ć
x = ln r (jest to oczywiście jedyny wybór). Naste pnie przyjmujemy y = Argw i
otrzymujemy równość w = ez , gdzie z = x + iy = ln |w| + iArgw . Piszemy wtedy
z = ln w jednak trzeba pamie tać o tym, że w dziedzinie zespolonej symbol ln w może
oznaczać która kolwiek z nieskończenie wielu liczb z , dla których zachodzi równość
w = ez . Można wie c napisać ln(-1) = Ąi albo ln(-1) = -5Ąi itp. Logarytmów
zespolonych używać nie be dziemy, natomiast w niektórych przypadkach be dziemy
stosować pote gi o podstawie e i wykladniku nierzeczywistym.

12. 01 Rozwia zać równanie
a. ez = 1 ; b. ez = -1 ; c. ez = i ; d. ez = 10 ; e. ez = e .
12. 02 Wykazać, że jeśli x, y " , to ex+yi = ex , Arg ex+yi = y .
0
12. 03 Wykazać, że istnieje liczba zespolona z0 taka, że ez = z0 .
Uwaga: dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi nierówność ex e" 1 + x
1 1
12. 04 Niech sin z = (eiz - e-iz) , cos z = (eiz + e-iz) .
2i 2
(a) Wykazać, że cos2 z + sin2 z = 1 .
(b) Wykazać, że dla każdego w " istnieje z " taka, że w = sin z .
1 2
12. 05 Zalóżmy, że z1, z2, a, b " , z1 = z2 . Niech f(t) = aetz + betz .Wykazać, że

jeśli dla każdej liczby rzeczywistej t zachodzi równość f(t) = 0 , to a = 0 = b .
12. 06 Zalóżmy, że z1, z2, a0, a1, b0, b1 " , z1 = z2 . Zdefiniujmy funkcje f wzorem

1 2
f(t) = a0 + a1t etz + b0 + b1t etz .
Wykazać, że jeśli dla każdego t " zachodzi równość f(t) = 0 , to a0 = a1 =
=0 = b0 = b1 .
Wskazówka: bez klopotu można rozwia zać to zadanie bez żadnych pomyslów, ale
można też zauważyć, że jeśli f(t) = 0 dla każdego t , to również f (t)-z1f(t) = 0
3
Funkcja wykladnicza o wykladniku zespolonym
dla każdego t " .
12. 07 Zalóżmy, że z1, z2, a0, a1, a2, . . . , am, b0, b1, b2, . . . , bm " , z1 = z2 . Niech

1 2
f(t) = a0 + a1t + a2t2 + · · · + amtm etz + b0 + b1t + b2t2 + · · · + bntn etz .
Wykazać, że jeśli dla każdego t " zachodzi f(t) = 0 , to
a0 = a1 = . . . = am = 0 = b0 = b1 = . . . = bn .
Wskazówka: rozwia zać poprzednie zadanie i chwile pomyśleć.
4