Rozdział 7
Funkcje wykładnicze
Krzysztof Kisiel, Monika Potyrała
7.1. Oblicz:
a) 2-4; i) (3-1 + 4-1)-2;
" -3 "3
b) 3 - ; j) 4-3 · 5-3;
9
-6
3
k) (2 + (2 + 2-1)-1)-2;
c) ;
4
" "
d) 25 · 2-4;
l) 3 + 2 2 - (1 + 2);
"
3
e) (2-3 · 3-3)-1;
m) (2Ä„ · 4Ä„)-1 - ( 512)-Ä„;
" "
f) [(2 + 3-2)-1 + 2]-2; 3
2 · 8 · 16-2 7
n) · 212;
"
2
3-5 4-2
4
43 · 8
g) : ;
4-6 7-3
4
"
7
-2
1 1 9
3
o) 4 · 9 · 3-2 "
· · · .
h) (4 + 4-1)-2;
6
81 27
4· 3
7.2. Wstaw znak = albo = tak, żeby uzyskać zdanie prawdziwe.

-1 2
16 3 "
3
a) . . . ;
9 4 k) 3 3 3 . . . 34;
-1 2
36 7
b) . . . ;
" -1
49 6 1
l) 5 . . . 5- 4
;
-1 3
9 2
c) . . . ;
8 3
-2
"
1
d) 2-1 + 4-1 . . . 6-1;
m) 7 . . . 7- 8
;
e) 2-1 + 4-1 . . . 3 · 2-2;
" " "
3 3
f) 2-2 + 3-2 . . . 6-2;
n) 4 · 2 . . . 2;
g) (2-2 + 3-2)-1 . . . 2 · 32 · 5-1; 1
1
o) . . . 28;
""
h) 2-3 + 2-4 + 2-7 . . . 2-14; 2
i) 2 · 2-3 + 2-1 + 2-2 . . . 270;
p) 23 + 2-1 + 2-2 . . . 20;
"
3
j) 2 2 2 . . . 24; q) 2-1 + 2-2 + 2-3 . . . 20.
2 Krzysztof Kisiel, Monika Potyrała
7.3. Wyznacz zbiór wartości funkcji:
a) f (x) = 2x - 1; h) f (x) = -2x-1 - 1;
b) f (x) = -3x + 2;
i) f (x) = -3-x;
x-1
1
c) f (x) = ;
2
j) f (x) = -(1)x + 2;
3
d) f (x) = 2-x + 2;
x+1
1 k) f(x) = 2x + 3x + 2-x + 3-x;
e) f (x) = ;
3
x-1
1
1
f) f (x) = + 1;
l) f(x) = .
2
2x + 4x + 2-x + 4-x
g) f (x) = 2-x+1 + 2;
7.4. Wyznacz zbiór wartości funkcji:
|x|
1
e) f (x) = 2|x| - 3|x|;
a) f (x) = ;
2
x
1
1
b) f (x) = - 1 ;
3
f) f(x) = 2|x|+1;
c) f (x) = 2-|x|+1;
-|x|
1
d) f(x) = 3|x+1| - 4; g) f (x) = - .
2
7.5. Naszkicuj wykres funkcji:
x-1
1
a) f (x) = 2x + 1; f) f (x) = + 1;
3
b) f (x) = 3x - 2; g) f (x) = 2-x+1 + 2;
c) f (x) = 2-x + 1; h) f (x) = 2x-1 - 1;
x
1
d) f (x) = ; i) f (x) = -2x;
2
x x
1 1
e) f (x) = - 1; j) f (x) = - + 1.
3 2
7.6. Naszkicuj wykres funkcji:
|x|
1
d) f (x) = 2|x+1| + 1;
a) f (x) = ;
3
x
1
e) f (x) = 4-|x|+1 - 1 ;
b) f (x) = - 1 ;
3
c) f (x) = 3-|x|+1 - 1; f) f (x) = -3|x|-1 + 2 + 1.
7.7. RozwiaÛż równanie:
2
a) 42x+1 = 4x +2x-1; g) 167x+5 = 42x-1;
h) 5 · 6x - 36 = -6x;
b) 34x-1 = 96x;
"
2 2-x
1
i) = 25-x;
c) ( 4)x+1 = 2x ;
4
x
"
x+3
1 j) 4 · 22x-1 + 16 · 22x-3 = 22x+1 + 1;
2
d) ( 9)x-1 = ;
81
k) 10 · 53x-1 + 53x+1 - 2 = 53x+1;
e) 22x-7 = 43-x;
" " 1
3x-1
2 1
l) 7 · + 81 · 3-3x-1 = .
f) 6x -1 = ( 3 · 2)x;
3
33x-3
7. Funkcje wykladnicze 3
7.8. RozwiaÛż równanie:
1
a) 2 · 25x - 7 · 5x - 15 = 0; h) 16x+2 + 15 · 4x - 4 = 0;
i) 9-x+1 + 3-x+2 - 4 = 0;
b) -9x + 3x = -6;
1
c) 49x + 4 · 7x + 5 = 0; j) 9x+2 - 10 · 3x + 3 = 0;
k) 3 · 4x-1 - 5 · 2x + 8 = 0;
d) 4x+1 - 2x+2 + 1 = 0;
x x
169 13
l) 3 · - 4 · - 39 = 0;
e) -9x + 2 · 3x+1 - 9 = 0;
9 3
1
m) 2 · 9x- 2 - 1, 6 · 3x - 1, 2 = 0;
f) 49x + 8 · 7x + 12 = 0;
1
g) 64x + 6 · 8x - 7 = 0; n) 16x+2 - 17 · 4x = -4.
7.9. RozwiaÛż równanie:
15
163x
a) 2x - 2-x = ;
4
h) = 16x;
162x - 16x + 2
b) 2x + 2-(x+2) = 1;
1 - 3 · 4x 5
79
i) = ;
c) 3x+1 - 2 · 3-x+1 = ;
3
1 + 4x 1 - 42x
3 1
1
" 1 + 2 · 6x
d) 4x+2 - 4-x+4 = 16 - ;
2
j) = 0;
1 - 6x
1
e) 2x - = 0;
k) 9x = 6x + 4x;
2x
1
3 · 2x - 1
l) 16x+2 = 15 · 8x + 4x+1;
f) = 1;
1 1
22x + 1
m) 2 · 25x+2 = 21 · 10x + 5 · 4x+2;
4
g) = 1;
n) 9 · 16x+1 = 337 · 12x - 16 · 9x+1.
72x + 3 · 7x
7.10. RozwiaÛż nierówność:
1
2
1
x
a) 3x < 1;
h) 3x+1 > ;
9
2
b) 3x < 27;
"
3-x
4 3
1
2
i) 5x-2 · > 256x-3;
c) 4x > 16;
5
2+2x
·x
x-2
"
2 x+3
d) 5 e" 556;
j) 62x-1 e" 6x+3;
x
1
e) > 6x;
36
1
x-2
3 5 25
x
-x2+x+6
1 k) · d" ;
5 3 9
f) > 1;
3
-x2 |6-x|
2x 1 1
g) · > 2; l) > 814-x.
2 2 9
7.11. RozwiaÛż nierówność:
x
x
1
a) 8 · 5x + 8 < 2 · 25x + 8 · 5x + 6; "1
f) - 5 · - 104 > 0;
13
13
b) -4x+1 + 8 d" -3 · 16x + 5 · 4x + 2;
g) 4x - 2x > 2x-1 + 1;
"
1
c) 49x + 2 · 7x - 8 > 3 · 7x - 8;
h) 9x+4 - 4 · 3x + 3 < 0;
x x
1 1
d) -4x + 3 · 2x+1 - 5 e" 3 · 2x - 3;
i) - + 3 · - 2 > 0;
16 4
1
e) 9x - 8 · 3x + 15 > 0; j) · 36x + 6x - 15 d" 0;
4
4 Krzysztof Kisiel, Monika Potyrała
1
x x
25 5
k) 9 · - 12 · - 5 < 0; m) 4x - 4 < 16x - 4x+2 + 1.
9 3
l) 81x - 2 · 9x - 3 > 0;
7.12. RozwiaÛż nierówność:
x-2 -x-2
1 1
2x+1 - 5
a) + > 82;
3 3
g) < -1;
1 1 22x - 3 · 2x+1 + 8
b) 4x+4 - 4-x+4 > 1;
1 - 2 · 5x 1 + 5x
c) 2 · 3x-3 + 3-2x < 3-x; h) - > 1;
1 + 5x 1 + 2 · 5x
d) 2x+4 - 3 · 2-x+2 d" 61;
3 7 6
i) + < ;
2 · 3x - 6
1 + 5x 2 + 5x 5x - 1
e) < 0;
32x - 3x + 1
"
x
"
2x + 7 · 2
x
9x + 1
j) " > 2 .
f) > 0; x
2 - 2
92x - 9x - 6
7.13. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
1 1
a) f(x) = ; c) (x) = .
22x+1 - 3 · 2x + 1 22x + 33x + 44x - 3
1
b) f(x) = ;
2x-1
1
24 · 2x - - 4
2
7.14. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
"
"
1
k) f(x) = 22x - 2x + 4x - 3 · 2x - 4;
a) f(x) = " ;
"
22x+3 - 2x+1 - 1
4x - 2x
2x x
l) f(x) = " ;
3 3
b) f(x) = 8 · - 30 · + 27;
2 2 32x+1 + 5 · 3x - 2
"
c) f(x) = 22x+1 - 3 · 2x+3 + 64;
m) f(x) = 6x - 6|5x-3|;
1
"
d) f(x) = " ;
16x + 3 · 4x + 2
2x+1
n) f(x) = " ;
"5 - 6 · 5x+2 + 625
3 · 9x + 5 · 3x - 2
e) f(x) = 42x - 4x+1;
"
1
o) f(x) = 4x+1 - 16x - ("2)-8x;
f) f(x) = 2x + 4;
"
3
g) f(x) = 3x - 61
1
"
p) f(x) = ;
h) f(x) = 22x+3 - 2x-1 + 8;
22x-4 + 32 - 5(2x-2 + 1)
"
i) f(x) = 3x2 - 81;
2x - 1
" "
q) f(x) = .
j) f(x) = 32x+1 - 4 · 3x + 1 - 22x + 2x;
2x - 2
7.15. Wyznacz dziedzinÄ™ funkcji:
a) f(x) = f1(x - 2) - f2(x), gdzie f1(x) = 4x+3 - 7 · 3x+2, f2(x) = 33x+2 - 5 · 43x;
3
"
2x - t
b) f(x) = " , gdzie para liczb u i t jest rozwiazaniem ukladu równaÅ„:
Û
3x - u - 3
3t · 2u ="
576
u - t = ( 2)4
7. Funkcje wykladnicze 5
Odpowiedzi
1 65536
7.1. a) g) m) 0
16 83349
16
1
b) 0 h)
n)
289
256
4096 144
c) i)
729 49 o) 1
1
d) 2 j)
8000
25
e) 216 k)
144
361
f) l) 0
2209
-1 2
16 3 "
3
7.2. a) = ;
9 4 k) 3 3 3 = 34;

-1 2
36 7
b) = ;
" -1
1
49 6
;
l) 5 = 5- 4
-1 3
9 2
c) = ;

8 3
-2
"
1
d) 2-1 + 4-1 = 6-1;

m) 7 = 7- 8
;
e) 2-1 + 4-1 = 3 · 2-2;
" " "
3 3
f) 2-2 + 3-2 = 6-2;

n) 4 · 2 = 2;
1
g) (2-2 + 3-2)-1 = 2 · 32 · 5-1; 1

o) = 28.

""
2
h) 2-3 + 2-4 + 2-7 = 2-14;

i) 2 · 2-3 + 2-1 + 2-2 = 270;
p) 23 + 2-1 + 2-2 = 20;

"
3
j) 2 2 2 = 24; q) 2-1 + 2-2 + 2-3 = 20.

7.3. a) (-1, +"); g) (2, ");
b) (-", 2);
h) (-", -1);
c) (0, +");
i) (-", 0);
d) (2, +");
j) (-", 2);
e) (0, +");
f) (1, +"); k) (-4, +");
7.4. a) [0, +") d) (1, 2];
b) (0, +");
c) (-", 0]; e) (0, +").
6 Krzysztof Kisiel, Monika Potyrała
y y
7.5. a) f)
4
2 2
1 1
1 x 1 x
y y
b) g)
6
4
1 3
2
1 x
-1 1
-2
-1 1
x
y y
c) h)
5
3
3
2
2 1
1
1 2 3 x
-1
-2 -1 1 x
y y
d) i)
4 1
1 2 x
2
2 -1
1 -2
-2 -1 1 x
-4
y y
e) j)
1
2
1 -2 1
x
-1
-1 1 x
-1
-3
y y
7.6. a) b)
2
1 1
-1 1 -1 1
x x
7. Funkcje wykladnicze 7
y y
c) e)
1
1
-1 1
x
-1
-1 1
x
y y
d) f)
5
3
2
2
1
1
-2 -1 1 2
x
-3 -1 1 x
" "
7.7. a) x = - 2, x = 2 g) x = -11;
12
b) x = -1;
h) x = 1;
8
" "
1- 5 1+ 5
i) x = 3;
c) x = , x = ;
2 2
d) brak pierwiastków;
j) x = -1;
2
13
e) x = ;
k) x = 0;
4
" "
1- 17 1+ 17
f) x = , x = ; l) x = -1.
4 4 3
7.8. a) x = 1; h) x = -1;
b) x = 1; i) x = 1;
c) brak pierwiastków; j) x = -1, x = 1;
d) x = -1; k) x = 2, x = log2 8;
3
e) x = 1; l) x = 1;
f) brak pierwiastków; m) x = 1;
g) x = 0; n) x = -1, x = 1;
1
7.9. a) x = 2; h) x = ;
4
1
i) x = ;
b) x = -1;
2
j) brak rozwiazań;
Û
c) x = 2;
"
1 1+ 5
d) x = ; k) x = log3 ;
2 2
2
e) x = 0;
l) x = 2;
f) x = 0, x = 1;
m) x = 1;
g) x = 0; n) x = -2, x = 2.
8 Krzysztof Kisiel, Monika Potyrała
7.10. a) brak rozwiazań; g) x " (-", -2) *" (1, +");
Û
b) x " (-3, 3); h) x " (0, +");
" "
54
c) x " (-", 2) *" ( 2, "); i) x " (-", );
137
d) x " (-", -8] *" [7, +"); j) x " (-3, -1] *" (1, +");
2 2
e) x " (-", 0); k) x " [-1, 0) *" [1, +");
f) x " (-", -2) *" (3, +"); l) x " (2, +");
1
7.11. a) x " (0, +"); h) x " (-1, );
2 2
1
b) x " [0, ];
i) x " (-1, 0);
2
2
c) x " (0, +");
j) x " (-", 1];
d) x " [0, 1];
k) x " (-", 1);
e) x " (-", 1) *" (log3 5, +");
l) x " (1, +");
f) x " (-", 2);
2
g) x " (1, +"); m) x " R;
7.12. a) x " (-", -2) *" (2, +"); f) x " (1, +");
2
b) x " (1, +");
g) x " (0, 1) *" (log2 3, 2);
4
"
h) brak rozwiazań;
Û
c) x " (1 + log3 3-1, 1);
2
i) x " (0, 1);
d) x " (-", 2];
e) x " (-", 1); j) x " (2, +");
7.13. a) x " (-", -1) *" (-1, 0) *" (0, +");
b) x " (-", -1) *" (-1, +");
c) x " (-", 0) *" (0, +") (wskazówka: dla x = 0 mamy 22x + 33x + 44x = 3, dla x < 0 dostajemy
22x + 33x + 44x < 1 + 1 + 1 = 3, a dla x < 0 otrzymujemy 22x + 33x + 44x > 1 + 1 + 1 = 3)
7.14. a) x " (-1, +"); j) x " (-", -1] *" [0, +");
b) x " (-", 1] *" [2, +");
k) x " [2, +");
c) x " (-", 2] *" [3, +");
l) x " [0, +");
d) x " (-", 1] *" [2, +");
3
m) x " [1, ];
2 4
e) x " [1, +");
n) x " (-1, +");
f) x " R;
1
o) x " [-", ];
2
g) x " R;
p) x " (-", 2) *" (4, +");
h) x " R;
i) x " (-", -2] *" [2, +"); q) x " [0, 1) *" (1, +");
7.15. a) x " [2, +"); b) x " (2, +");