Funkcje wymierne
...
amxm + am- 1xm- 1 + + a1x + a0
Q(x) =
...
bnxn + + b1x + b0
gdzie a0, ..., am, b0, ..., bn R, am 0 i bn 0
" `" `"
D=R|{x0, ...., xs} ; x0, ...., xs- miejsca zerowe mianownika.
Gdy mgdy m>n Q(x) nazywamy f. wymierna niewlasciwa.
Szczególnym przypadkiem f. wymiernej jest funkcja homograficzna:
ax + b d a
f (x) = f : R \{- } R \{ }
cx + d c c
- d a
Proste są asymptotami tej funkcji.
y = i x =
c c
Przykład:
2x - 1 - d a
f : R \{2} R \{2}
f (x) = y = i x =
x - 2 c c
Funkcja odwrotna do funkcji homograficznej też jest funkcją
homograficzną.
Funkcje trygonometryczne
Najważniejsze własności funkcji trygonometrycznych.
sin2 x + cos2 x = 1
1 cos x
sin x
ctg x = =
tg x =
tg x sin x
cos x
sin 2x = 2sin x cos x
cos2x = cos2 x - sin2 x
 Funkcje cyklometryczne
Funkcje trygonometryczne rozważane w swoich
dziedzinach nie są różnowartościowe, nie są więc
odwracalne, ale zwężone do przedziałów w których są
monotoniczne stają się bijekcjami  mają funkcje
odwrotne.
Funkcje odwrotne do f. trygonometrycznych
(odpowiednio zawężonych) nazywa się funkcjami
cyklometrycznymi (kołowymi).
Arcus sinus.
Ą Ą
Funkcję y=sinx zawężamy do przedziału - ; .
2 2
na
na
Ą Ą
Ą Ą
sin x : - ; - 1;1
arcsin x : - 1;1 - ;
Ą Ą
1- 1
/ - ;
2 2
2 2
2 2
Ą
2
1
Ą
-
2
-1
1
Ą Ą
Ą
-
2 2
2
-1
Ą
-
2
Arcus cosinus.
Funkcję y=cosx zawężamy do przedziału - 0;Ą
.
na
na
cos x/ 0;Ą : 0;Ą < - 1,1 >
arccos x :< - 1,1 > 0;Ą
1- 1
Ą
y = cos x
Ą
21
1
Ą
2Ą
-
Ą
1
Ą
-1 1
2
-1
Arcus tangens.
Ą Ą
�ł �ł
- ;
Funkcję y=tgx zawężamy do przedziału�ł 2 2 �ł .
�ł łł
na
na
Ą Ą
�ł �ł
Ą Ą
�ł �ł
tgx : - ; R
�ł �ł
arctgx : R - ;
�ł �ł
Ą Ą
1- 1
/ - ;
2 2
�ł łł 2 2
�ł łł
2 2
Ą
Ą
2
-
2
Ą
Ą
2
-
2
Arcus cotangens.
Funkcję y=ctgx zawężamy do przedziału (0;Ą ) .
na
na
ctgx/ 0;Ą :(0;Ą ) R
arcctgx : R (0;Ą )
1- 1
Ą
Najważniejsze własności funkcji cyklometrycznych.
Ą Ą
arcsin x + arc cos x = ar ctg x + arccotx =
2 2
sin(arcsin x) = x arcsin(sin x) = x
cos(arc cos x) = x arc cos(cos x) = x
tg(ar ctg x) = x ar ctg(tg x) = x
ctg(arc ctg x) = x arc ctg(ctg x) = x
Ciągi
Nieskończonym ciągiem liczbowym nazywamy
każdą funkcję a : N = {1,2,3, . . .} R
(an)
Oznaczenia
n" N
{1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . }
a
( 1,3,5,7,9,11,...)
1 3 5 7 9 11 ...
Skończonym, k -wyrazowym ciągiem nazywać
będziemy funkcję a :{1,2,3, . . . ,k} R
np. (1,3,5,7,9)
My będziemy się zajmować ciągami nieskończonymi.
Uwaga:
Dziedzina ciągu  zbiór liczb N (bez zera!).
Ciąg liczbowy przyjmuje wartości ze zbioru liczb R
a(1) = a1
a(2) = a2
wartości funkcji
wyrazy ciągu
...
a(k) = ak
Sposoby określania ciągu:

podanie kolejnych wyrazów
(an) = (2,4,6,8,10,...)
n" N

podanie ogólnego wzoru
an= 2n

podanie wzoru rekurencyjnego
a1 = 2
ńł
�ł
an = an- 1 + 2
ół
Ciąg jest funkcją!
Można narysować
wykres ciągu,
badać własności :
monotoniczność,
ograniczoność, 1-1
an= 2n
2
an= 2 + (- 1)n+ 1
n
Własności ciągów:
Mówimy, że ciąg jest:
(an)
n" N

�! an < an+ 1
rosnący
'"
n" N

malejący
�! an > an+ 1
'"
n" N

stały
�! an = an+ 1
'"
n" N

ograniczony z góry
�! an d" g
(" '"
g n" N

ograniczony z dołu
�! an e" g
(" '"
g n" N
1+ n
Przykład: an=
ciąg malejący i ograniczony z góry.
1+ n2
Definicja granicy ciągu
Mówimy, że ciąg ma granicę (jest
(an)n" N
g
zbieżny do , dąży do ) , jeżeli dla każdej liczby
g g
� > 0 n0
istnieje liczba taka, że wszystkie wyrazy
n0
ciągu o wskaz
nikach większych od spełniają
warunek:
an - g < �
df
lim an = g �! an - g < �
'" (" '"
n "
� > 0 n0 n> n0
Definicja granicy ciągu  inaczej.
Liczba jest granicą ciągu jeżeli w
(an)n" N
g
dowolnie małym otoczeniu liczby g leżą prawie
wszystkie wyrazy ciągu.
Prawie wszystkie = z nieskończonego
zbioru pominięto tylko skończoną
liczbę elementów
Przykłady:
1
1. lim = 0
n "
n
2n + 1
2.
lim = 2
n
n - 1