PODSTAWY MECHANIKI
STOPNIE SWOBODY
Każde ciało doskonale sztywne mogące poruszać się w przestrzeni nazywamy ciałem swobodnym.
Stopniem swobody nazywa się możliwość wykonania ruchu ciała niezależnego od innych ruchów.
Punkt materialny ma na płaszczyz
nie dwa, a w przestrzeni trzy stopnie swobody.
Ciało doskonale sztywne ma na płaszczyz
nie trzy, a w przestrzeni sześć stopni swobody.
Trzy stopnie swobody ciała sztywnego na płaszczyz
nie oznaczają możliwość dwóch przesunięć
niezależnych w kierunku osi x i y oraz możliwość obrotu ciała w płaszczyz
nie Oxy.
Sześć stopni swobody ciała w przestrzeni oznaczają możliwość trzech niezależnych przesunięć w
kierunku osi x, y i z oraz możliwość niezależnego obrotu ciała wokół tych osi.
Więzami nazywamy warunki ograniczające ruch ciała w przestrzeni.
Wprowadzenie więzów jest równoznaczne z działaniem na ciało sił biernych, czyli reakcji.
Najczęstszymi sposobami podparcia ciał sztywnych są: przegub walcowy, przegub kulisty,
podpora przegubowa stała, zawieszenie na cięgnach wiotkich, oparcie o gładką i chropowatą
powierzchnię, utwierdzenie całkowite, podparcie na prętach zamocowanych przegubowo na
obu końcach.
1
PODSTAWY MECHANIKI
Przegub walcowy.
Ciało sztywne jest osadzone na
walcowym sworzniu przechodzącym
przez kołowy otwór wykonany w tym
ciele.
Po pominięciu siły tarcia jako małej w
porównaniu z siłą normalną R do
powierzchni styku linia działania tej
reakcji będzie przechodziła przez oś
sworznia.
Występujące dwie reakcje Rx i Ry
stanowią dwie niewiadome i umożliwiają
wyznaczenie wartości reakcji R i jej
kierunku.
2
PODSTAWY MECHANIKI
Przegub kulisty.
W celu unieruchomienia punktu podparcia w
przestrzeni stosuje się przeguby kuliste, które
krępują swobodę przesunięć, ale umożliwiają
obrót wokół dowolnej osi. Ich zakończenie jest
wykonane w kształcie kuli, która jest osadzona
w łożysku kulistym.
W wyniku pominięcia sił tarcia w przegubie
kulistym powstaje reakcja R o dowolnym
kierunku w przestrzeni, przechodząca przez
środek kuli i mająca trzy niezależne składowe
Rx, Ry i Rz.
Podpora przegubowa przesuwna (rolkowa).
Ponieważ opór przy przesuwaniu
takiej podpory w kierunku
poziomym jest bardzo mały,
przyjmuje się, że linia działania
reakcji jest prostopadła do
płaszczyzny poziomej (przesuwu).
3
PODSTAWY MECHANIKI
Podpora przegubowa stała.
W przypadku zastosowania
podpory przegubowej stałej koniec
podparcia ciała sztywnego może
się obracać dookoła osi przegubu,
ale nie może się przemieszczać w
dwóch kierunkach.
Przy założeniu, że w przegubie nie ma tarcia, linia działania reakcji R przechodzi przez punkt A. Powstają dwie
niezależne od siebie składowe reakcje Rx i Ry. Rozważając podporę przegubową stałą w przestrzeni należy
zauważyć, że koniec podparcia B nie może się przemieszczać w trzech kierunkach i dlatego występują trzy
niezależne składowe reakcje Rx, Ry i Rz.
Zawieszenie na cięgnach wiotkich. Podwieszenie ciała za pomocą wiotkich cięgien
stwarza tzw. podpory kierunkowe jednostronne,
bo cięgna mogą być tylko rozciągane. Reakcje
S1 i S2 działają na ciało wzdłuż tych cięgien,
zgodnie z rysunkiem
4
PODSTAWY MECHANIKI
Oparcie o gładką i chropowatą powierzchnię.
W przypadku oparcia ciała o gładką powierzchnię (styk punktowy) występuje jedna reakcja RA,
prostopadła do powierzchni styku. Jeżeli powierzchnia będzie chropowata, to wystąpią dwie
składowe reakcji RA: normalna do powierzchni N i styczna siła tarcia T.
Utwierdzenie całkowite.
Gdy chodzi o zupełne unieruchomienie ciała, wtedy stosuje się utwierdzenie całkowite. Ciało
sztywne na płaszczyz
nie ma trzy stopnie swobody, a więc wystąpi reakcja R o dwóch składowych
Rx i Ry oraz moment utwierdzenia M. Rozważając całkowite unieruchomienie ciała w przestrzeni,
należy zastosować takie utwierdzenie, które przedstawia sześć więzów. Wystąpi wtedy reakcja R o
trzech składowych Rx, Ry i Rz oraz moment utwierdzenia M o trzech składowych Mx, My i Mz .
5
PODSTAWY MECHANIKI
Ciało podparte na prętach zamocowanych przegubowo na obu końcach (prętach
przegubowych).
Ciało sztywne można także unieruchomić przez podparcie na prętach zakończonych przegubami.
Jeżeli pominiemy ciężary własne prętów i tarcie w przegubach, to reakcje na ciało będą działać
wzdłuż tych prętów SA, SB i SC, zgodnie z rysunkiem.
6
PODSTAWY MECHANIKI
ZBIEŻNY UKA
AD SIA

PA
ASKI ZBIEŻNY UKA
AD SIA

Układy sił, w których linie działania przecinają się w jednym punkcie nazywamy zbieżnymi układami
sił. Takie układy mogą być płaskie lub przestrzenne.
Płaski układ sił zbieżnych P1, P2,..., Pn przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą wypadkową P
równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w punkcie O.
7
PODSTAWY MECHANIKI
W analitycznym sposobie wyznaczania wypadkowej korzystamy z twierdzenia o rzucie sumy
wektorów, według którego rzut sumy geometrycznej wektorów na dowolną oś jest równy sumie
rzutów tych wektorów na tę samą oś. Przyjmując układ współrzędnych Oxy, oznaczamy odpowiednio
przez ą1, ą2,..., ąn kąty nachylenia poszczególnych sił do osi Ox. Wypadkowa tych sił działa wzdłuż
prostej l przechodzącej przez punkt O i nachylonej do osi Ox pod kątem ą.
Składowe wypadkowej Px i Py mają postać
Wartość liczbową wypadkowej P i kąt ą, który
tworzy ona z osią Ox, wyznaczamy ze wzorów
8
PODSTAWY MECHANIKI
W geometrycznym sposobie wyznaczania wypadkowej należy zbudować wielobok sił, w którym
wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania.
Z punktu O odkładamy wektor P1, a z jego końca wektor P2 i tak kolejne wektory aż do Pn.
Wektor poprowadzony z początku wektora P1 do
końca wektora Pn jest wypadkową
rozpatrywanego układu sił zbieżnych.
Przestrzenny układ sił zbieżnych P1, P2,..., Pn
przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą
wypadkową P równą sumie geometrycznej tych
sił i przyłożoną również w punkcie O
9
PODSTAWY MECHANIKI
Analityczny sposób wyznaczenia wypadkowej przestrzennego układu sił zbieżnych polega na
wyznaczeniu składowych wypadkowej Px, Py i Pz w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz
Wartość liczbową wypadkowej P oraz jej cosinusy kierunkowe wyznaczamy ze wzorów
W geometrycznym sposobie wyznaczania wypadkowej należy zbudować wielobok sił, w którym
wektory sił odkładamy równolegle do ich linii działania. Wektor poprowadzony z początku wektora P1
do końca wektora Pn jest wypadkową rozpatrywanego układu sił zbieżnych.
10
PODSTAWY MECHANIKI
RÓWNOWAGA PA
ASKIEGO ZBIEŻNEGO UKA
ADU SIA

Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) płaskiego układu sił zbieżnych (czynnych i
reakcji więzów) brzmi następująco: aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyz
nie były w
równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu współrzędnych muszą być równe zeru
Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) płaskiego układu sił zbieżnych brzmi:
aby układ sił zbieżnych działających w jednej płaszczyz
nie znajdował się w równowadze, wielobok
utworzony ze wszystkich sił tego układu musi być zamknięty.
Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego działaniu
płaskiego układu sił zbieżnych:
a. wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,
b. narysować siły czynne i reakcje więzów,
c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,
d. obrać układ współrzędnych Oxy, napisać równania równowagi według powyższych wzorów i
rozwiązać je ze względu na niewiadome (metoda analityczna),
e. narysować zamknięty wielobok sił utworzony ze wszystkich sił rozpatrywanego układu i
wyznaczyć poszukiwane niewiadome (metoda geometryczna).
11
PODSTAWY MECHANIKI
Analityczny warunek równowagi (metoda analityczna) przestrzennego układu sił zbieżnych
sprowadza się do trzech równań rzutów sił na dowolne trzy nierównoległe do jednej płaszczyzny
osie. Po przyjęciu rzutowania na osie prostokątnego układu współrzędnych Oxyz otrzymamy
następujące równania równowagi
Geometryczny warunek równowagi (metoda geometryczna) przestrzennego układu sił zbieżnych jest
spełniony, gdy wypadkowa tych sił będzie równa zeru. Wielobok sił jest wtedy zamknięty i ma zgodny
obieg wektorów sił.
Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego działaniu
przestrzennego układu sił zbieżnych są podobne jak w przypadku płaskiego układu sił zbieżnych.
12
PODSTAWY MECHANIKI
REDUKCJA PA
ASKIEGI UKA
ADU SIA

Dowolny układ sił, działających na ciało sztywne, o liniach działania leżących w jednej płaszczyz
nie
możemy zastąpić wektorem głównym R, przyłożonym do dowolnie wybranego środka redukcji O oraz
momentem głównym Mo względem środka redukcji O. Wektor główny R jest równy sumie
geometrycznej wszystkich sił układu
Wartość wektora głównego oraz kąt ą, jaki wektor ten tworzy z osią Ox, wyznaczamy ze wzorów
Moment główny Mo względem środka redukcji O jako początku układu współrzędnych Oxy jest równy
sumie momentów danych sił układu względem punktu O
13
PODSTAWY MECHANIKI
Wektor momentu głównego Mo jest wektorem o jednej składowej w kierunku wersora k, czyli
prostopadły do płaszczyzny Oxy i wektora głównego R.
Wyrażenie
gdzie F jest siłą działającą wzdłuż prostej l, a r jej ramieniem nazywamy momentem siły względem
dowolnego punktu O.
Jest to wektor mający następujące cechy:
" wartość liczbową równą iloczynowi (F � r)
wartości siły F i jej ramienia r
" Kierunek prostopadły do płaszczyzny
wyznaczonej przez linię działania siły oraz
biegun
" Zwrot momentu przyjmujemy zgodnie z regułą
śruby prawoskrętnej
14
PODSTAWY MECHANIKI
Wzór na moment główny w prostszej postaci
przedstawia się następująco:
gdzie M1, M2, ... , Mn to poszczególne momenty sił.
Parą sił nazywamy układ dwóch sił równej
wartości i równoległych (o jednakowych
kierunkach), lecz o przeciwnych zwrotach.
Iloczyn wartości jednej z sił i ramienia pary
nazywamy momentem pary sił.
15
PODSTAWY MECHANIKI
Warunek równowagi par sił.
Dowolna liczba par sił działających w jednej płaszczyz
nie lub w płaszczyznach równoległych jest w
równowadze wtedy, gdy algebraiczna suma ich momentów jest równa zeru.
Każdą parę sił możemy zastąpić wektorem momentu sił i odwrotnie -� każdy wektor momentu sił
możemy zastąpić parą sił, jeśli tylko iloczyn wartości siły i odległości między siłami wynosi M.
Moment pary sił uważamy za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w stronę
przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia w stronę
zgodną z ruchem wskazówek zegara, to jej moment uważamy za ujemny.
16
PODSTAWY MECHANIKI
RÓWNOWAGA DOWOLNEGO PA
ASKIEGO UKA
ADU SIA

Płaski dowolny układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli sumy rzutów wszystkich sił na osie układu
są równe zeru i moment wszystkich sił względem dowolnego punktu O płaszczyzny działania sił jest
równy zeru.
Jeżeli moment układu sił względem dwóch punktów A i B jest równy zeru oraz rzut sił na oś
nieprostopadłą do odcinka AB łączącego te punkty jest równy zeru, to płaski układ sił jest w
równowadze
Dla równowagi płaskiego układu sił sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów nie
leżących na jednej prostej muszą być równe zeru
17
PODSTAWY MECHANIKI
Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji więzów ciała sztywnego poddanego
działaniu dowolnego płaskiego układu sił:
a. wydzielić ciało sztywne, którego równowagę rozpatrujemy,
b. narysować siły czynne i reakcje więzów,
c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie wyznaczalny,
d. w metodzie analitycznej napisać równania równowagi i rozwiązać je ze względu na niewiadome,
e. w metodzie geometrycznej narysować zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił
rozpatrywanego układu i wyznaczyć poszukiwane niewiadome.
Szczególnym przypadkiem dowolnego płaskiego układu sił jest płaski układ sił równoległych. Zatem
płaski równoległy układ sił znajduje się w równowadze, jeżeli spełnione są dwa równania równowagi
ZAGADNIENIA STATYCZNIE WYZNACZALNE
Zagadnieniami statycznie wyznaczalnymi nazywamy takie zagadnienia, które dotyczą równowagi
układu sił działających w jednej płaszczyz
nie na jedno lub kilka ciał sztywnych (układ mechaniczny),
w których istnieje możliwość wyznaczenia niewiadomych sił.
Niewiadome siły stanowią zwykle reakcje podpór albo siły wzajemnego oddziaływania wewnątrz
rozważanego układu mechanicznego.
18
PODSTAWY MECHANIKI
W przypadku układu statycznie
wyznaczalnego liczba reakcji
zastępujących działanie więzów
jest równa liczbie równań
równowagi.
Jeżeli więzów jest za mało, to
dany układ mechaniczny jest
niesztywny. Równowaga
takiego układu może być
zapewniona w przypadku
spełnienia dodatkowych
warunków, które zapewniają
układowi odpowiednią postać
geometryczną.
Gdy więzów jest więcej niż potrzeba do unieruchomienia danego układu mechanicznego, dany
układ jest przesztywniony. Wówczas niewiadomych reakcji jest więcej niż mamy równań
równowagi i dlatego niektórych reakcji nie można wyznaczyć metodami stosowanymi w statyce.
Zagadnienia takie nazywamy zagadnieniami statycznie niewyznaczalnymi.
Do obliczenia niewiadomych sił należy uwzględnić odkształcenia i przemieszczenia prętów.
Uzyskane w ten sposób dodatkowe równania współzależności odkształceń stanowią zależności o
charakterze geometrycznym.
19
PODSTAWY MECHANIKI
TARCIE ŚLIZGOWE
Tarciem nazywa się zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał.
W przypadku ciała pozostającego w spoczynku na chropowatej powierzchni zależność między siłą
tarcia T a naciskiem normalnym N wyraża się następująco
gdzie � - współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego).
Jeżeli siła tarcia osiąga swą graniczną wartość, co oznacza, że tarcie jest całkowicie rozwinięte, to
siła tarcia przedstawia się następująco
Kierunek siły tarcia T, działającej na ciało znajdujące się w spoczynku, jest przeciwny do kierunku
ruchu, który zaistniałby, gdyby tarcia nie było.
Kąt tarcia jest to maksymalny kąt �, o jaki może się odchylić linia działania całkowitej reakcji R od
kierunku normalnej do powierzchni styku i zachodzi następująca zależność
20
PODSTAWY MECHANIKI
W przypadku ciała ślizgającego się po chropowatej powierzchni siła tarcia jest skierowana przeciwnie
do kierunku ruchu, a jej wartość jest określona zależnością
gdzie �k - współczynnik tarcia ślizgowego (kinetycznego).
Wskazówki metodyczne przy wyznaczaniu reakcji
więzów ciał sztywnych poddanych działaniu płaskich
układów sił z tarciem
a. wydzielić ciało sztywne, bądz
ciała sztywne,
których równowagę rozpatrujemy,
b. narysować siły czynne, reakcje więzów
obciążających te ciała i siły tarcia,
c. sprawdzić, czy układ sił jest statycznie
wyznaczalny i obrać układ współrzędnych Oxy,
d. napisać równania równowagi,
e. napisać równania tarcia,
rozwiązać układ równań zestawionych w dwóch
ostatnich punktach oraz wyznaczyć wielkości
niewiadome.
21
PODSTAWY MECHANIKI
TARCIE TOCZNE
Tarcie toczenia powstaje przy usiłowaniu przetoczenia walca o ciężarze G po poziomej płaszczyz
nie.
Siła tarcia tocznego musi spełniać warunki (przy równowadze walca)
W przypadku toczenia walca wartość siły tarcia tocznego T musi być mniejsza od wartości siły tarcia
ślizgowego �N rozwiniętego, co wyraża się nierównością
gdzie f - współczynnik tarcia tocznego, r -
promień walca.
22
PODSTAWY MECHANIKI
Tarciem cięgna o krążek nazywamy siły tarcia występujące między powierzchniami cylindrycznymi i
cięgnami na nie nawiniętymi. Związek miedzy napięciami S1 i S2 w cięgnie opasującym krążek wyraża
się wzorem
gdzie � - współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) między cięgnem a powierzchnią krążka,
ą - kąt opasania, na którym cięgno przylega do krążka.
23
PODSTAWY MECHANIKI
ŚRODKI CI
ŻKOŚCI  ŚRODKI CI
ŻKOŚCI FIGUR PA
ASKICH
Przyjmuje się, że grubość figury płaskiej jest stała i znikomo mała w porównaniu z pozostałymi
wymiarami oraz ciężar na jednostkę pola powierzchni figury płaskiej jest stały. Położenie środka
ciężkości figury płaskiej zależy zatem tylko od kształtu geometrycznego tej figury.
Obliczanie współrzędnych środka ciężkości traktuje się jako zagadnienie dwuwymiarowe, gdyż
współrzędna zc = 0.
Współrzędne środka ciężkości figury płaskiej wyznaczamy ze wzorów
gdzie A - pole powierzchni figury płaskiej w m2.
Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych figur płaskich współrzędne środka ciężkości
figury płaskiej obliczymy ze wzorów
gdzie Sy - moment statyczny względem osi y, Sx - moment statyczny względem osi x.
Przydatne twierdzenia do obliczania współrzędnych środka ciężkości figury płaskiej
" gdy figura płaska ma oś symetrii, to środek ciężkości leży na tej osi,
" jeżeli figura płaska ma dwie osie symetrii, to środek ciężkości leży w punkcie przecięcia tych osi.
24
PODSTAWY MECHANIKI
ŚRODKI CI
ŻKOŚCI BRYA

Położenie środka ciężkości bryły zależy tylko od kształtu geometrycznego tej bryły.
Obliczanie współrzędnych środka ciężkości traktuje się jako zagadnienie trójwymiarowe.
Współrzędne środka ciężkości bryły wyznaczamy ze wzorów
gdzie V - całkowita objętość danej bryły w m3.
Przy wykorzystaniu definicji momentów statycznych brył współrzędne środka ciężkości bryły
obliczymy ze wzorów
gdzie Syz, Sxz i Sxy to momenty statyczne z odpowiednim indeksem, określającym płaszczyznę,
względem, której oblicza się te momenty.
25
PODSTAWY MECHANIKI
ŚRODKI CI
ŻKOŚCI LIN I POWIERZCHNI
Przyjmujemy, że grubość powłoki jest znikomo mała w porównaniu z pozostałymi wymiarami oraz
ciężar na jednostkę pola powierzchni powłoki jest stały. Położenie środka ciężkości C powłoki zależy
tylko od kształtu geometrycznego jej powierzchni.
Współrzędne środka ciężkości powłoki wyznaczamy ze wzorów
gdzie A - całkowite pole powierzchni powłoki w m2.
Przyjmujemy, że wymiary poprzeczne linii są znikomo małe w porównaniu z długością oraz ciężar
odniesiony do jednostki długości linii jest stały. Przykładami linii mogą być np. pręty, druty i liny.
Współrzędne środka ciężkości linii wyznaczamy ze wzorów
gdzie l - całkowita długość linii w m.
26