Rozdział 4
Funkcje wymierne
Marek Małolepszy, Witold Walas
4.1. Uprość wyrażenie:
-2x2 - 3x + 2 x2 - 4 x2 + 4x - 5
a) ; e) ; i) ;
2x - 1 -x2 + x + 6 x2 + 3x - 10
-x + 2
-2x2 + 10x - 12 2x2 - 5x + 2
b) ;
f) ; j) ;
x2 - 5x + 6
x2 - 4x + 4 -x2 + 5x - 6
x2 - 5x + 4
x2 - 9 3x2 + 10x - 8
c) ;
g) ; k) ;
x2 - 1
3x2 - 10x + 3 x2 + 5x + 4
x2 - 2x + 1 x2 + 2x - 8 3x2 - 7x + 2
d) ; h) ; l) .
2x2 - 5x + 3 x2 - x - 20 -6x2 - x + 1
4.2. Uprość wyrażenie:
x3 - 1 -x3 + 2x2 + x - 2 -2x4 - 5x2 + 3
a) ; e) ; i) ;
x2 - 1 x3 - 3x - 2 2x4 - 9x2 + 4
2x3 - 16 x3 + 3x2 - 4 -x4 + x3 - 2x2 + 2x
b) ; f) ; j) ;
x2 + 2x + 4 x3 + x2 - 2x 2x4 - x3 + 4x2 - 2x
x3 + 5x2 + 8x + 4 3x3 + 5x2 - 3x - 2 x4 + 3x3 - x - 3
c) ; g) ; k) ;
x3 + 6x2 + 12x + 8 3x3 - 10x2 + 2x + 3 x5 + 2x3 - x2 - 2
x3 + x2 - 4x - 4 2x4 + 2x2 - 4 x5 - 2x4 + x2 - 2x
d) ; h) ; l) .
x2 - x - 2 -x3 + 3x2 + x - 3 x5 - 4x3 + x2 - 4
4.3. Uprość wyrażenie:
x + 2 1
x2 - 4 1
b) - ;
a) + ;
x2 - 1 x + 1
x + 2 x
2 Marek Małolepszy, Witold Walas
x + 3 1 x - 3 x + 1 8
c) - ; e) + - - 1;
x2 + 2x 2x + 4 x + 1 x - 3 x2 - 2x - 3
x + 2 x - 2 x2 + 4 x + 1 x - 2 6
d) + - ; f) + - - 2.
x - 2 x + 2 x2 - 4 x - 2 x + 1 x2 - x - 2
4.4. Uprość wyrażenie:
x2 - 4 x - 2
a) : ;
x2 - x x2 - 3x + 2
x2 - 1 x2 - 2x + 1
b) : ;
x2 + x x2 + 1
x + 1 x2 - 3x
c) x + 1 + : 1 + ;
x + 2 x - 3
x + 2 x(x - 2
d) x - : 1 + ;
1 - 2x 2x + 1
x - 1 x2 - 7
e) 2x - 2 + : x + 2 + ;
x + 2 x + 1
x2 + 4x + 3 x2 + 4 x2 - 4
f) x + 3 + : - .
x - 1 x + 1 x - 1
4.5. Naszkicuj wykres funkcji:
x - 1 x - 3 x - 3
a) f(x) = ; d) f(x) = ; g) f(x) = ;
x x + 1 3x - 1
x
2x - 1 4x + 1
b) f(x) = ;
e) f(x) = ; h) f(x) = ;
x + 4
x + 2 -x + 2
x + 2 -2x + 3 3x - 2
c) f(x) = ; f) f(x) = ; i) f(x) = .
x + 1 x + 2 -2x + 1
4.6. Sprawdz
czy funkcje f i g saÛ równe:
x2 - 3x + 2
a) f(x) = x + 1, g(x) = ;
x - 2
x3 + 3x2 + x + 3
b) f(x) = x + 3, g(x) = ;
x2 + 1
2x3 - x2 + 4x - 2
c) f(x) = 2x - 1, g(x) = ;
x2 + 2
x4 - 2x3 + x - 2
d) f(x) = x - 2, g(x) = ;
x3 + 1
2x3 - 3x2 + 3x - 1
e) f(x) = 2x - 1, g(x) = ;
x2 - x + 1
4. Funkcje wymierne 3
1 x2 - x + 1
f) f(x) = , g(x) = ;
x + 1 x3 + 1
3 2x - 1
g) f(x) = 2 - , g(x) = ;
x + 2 x + 2
1 x3 - 3x2 + x
h) f(x) = x + , g(x) = ;
x - 3 x2 - 3x
24 x3 + 4x2 + 3x
i) f(x) = x + 7 + , g(x) = ;
x - 3 x2 - 3x
2 2x3 + 3x2 + 2x + 1
j) f(x) = 2x + 3 - , g(x) = .
x2 + 1 x2 + 1
4.7. Funkcję f rozlóż na sumę wielomianu i funkcji wymiernej wlaściwej:
x + 4 3x - 2
-3x2 + 2x - 1
a) f(x) = ; e) f(x) = ;
i) f(x) = ;
x + 2 -x + 2
x - 2
-x + 4 x2 + x + 3
-2x2 + 5x + 2
b) f(x) = ; f) f(x) = ;
j) f(x) = ;
x - 2 x + 1
-x + 4
2x - 1 -x2 + 3x + 2
2x2 - 2x + 3
c) f(x) = ; g) f(x) = ;
k) f(x) = ;
x + 3 x - 3
x2 - x - 1
-2x + 3 2x2 + 6x - 3 3x2 - 4x + 1
d) f(x) = ; h) f(x) = ; l) f(x) = .
x - 4 x + 3 x2 + x - 5
4.8. Funkcję f rozlóż na sumę wielomianu i funkcji wymiernej wlaściwej:
x3 + 3x + 1 x4 - 2x3 - 4x
a) f(x) = ; e) f(x) = ;
x2 + 4 x2 - x - 6
2x3 - x2 + 1 2x4 - 6x3 + x2 - 3x
b) f(x) = ; f) f(x) = ;
x2 - x + 2 x2 - 3x
-3x3 + 4x2 - x + 2 2x4 + 7x3 - x2 - 4x - 1
c) f(x) = ; g) f(x) = ;
x2 - 3x + 2 2x2 + x
x3 - 3x2 + x + 1 x4 + 1
d) f(x) = ; h) f(x) = .
x2 - x - 2 x3 + 2x + 2
4.9. Funkcję f rozlóż na sumę ulamków prostych pierwszego rodzaju:
3 5x + 7
a) f(x) = ; d) f(x) = ;
x2 - x - 2 x2 + 2x - 3
2x + 8
4 e) f(x) = ;
b) f(x) = ; x2 - 4
x2 + 2x - 3
x + 6 7x - 1
c) f(x) = ; f) f(x) = ;
x2 + 6x + 8 -x2 + 2x + 3
4 Marek Małolepszy, Witold Walas
-2x + 3 x - 2
g) f(x) = ; j) f(x) = ;
x2 - 2x + 1 x2 - 6x + 9
x + 3
3x + 4
k) f(x) = ;
h) f(x) = ;
x3 + 4x2 + 5x + 2
x2 + 4x + 4
3x - 5 -x2 + 8x - 11
i) f(x) = ; l) f(x) = .
x2 - 4x + 4 x3 - 7x2 + 15x - 9
4.10. Funkcję f rozlóż na sumę ulamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju:
x2 + 2x + 1 2x2 + x + 4
a) f(x) = ; g) f(x) = ;
x3 - x2 + 3x - 3 x4 + 3x2 + 2
x2 - x x3 - 2x2 + 3x - 2
b) f(x) = ; h) f(x) = ;
x3 + 2x2 + 2x + 4 x4 + 4x2 + 3
x + 1
3x2 + x
i) f(x) = ;
c) f(x) = ;
x4 - x3 + 3x2 - 2x + 2
x3 + 2x2 + x + 2
x3 + 2x + 1
x2 + 2x - 4
j) f(x) = ;
d) f(x) = ;
x4 - x3 + 3x2 - x + 2
x3 + x2 + 4x + 4
3x2 - 2x + 2
x2 + 3x - 3
k) f(x) = ;
e) f(x) = ;
x4 - x3 + 4x2 - x + 3
x3 - x2 - x - 2
11x + 3 x3 - 8
f) f(x) = ; l) f(x) = .
x3 - x2 - 3x - 9 x4 + 2x3 + 4x2 + 4x + 4
4.11. Funkcję f rozlóż na sumę wielomianu i ulamków prostych pierwszego rodzaju:
x3 + 5x2 + 6x - 2 2x4 + 4x3 + 3x2 + 3x
a) f(x) = ; g) f(x) = ;
x2 + 4x + 3 x2 + 2x + 1
x3 - 2x2 - 6x - 2 x4 - 4x3 + 2x2 + 7x - 3
b) f(x) = ; h) f(x) = ;
x2 + x - 2 x2 - 4x + 4
2x3 - x2 - 7x - 6 2x4 + 7x3 + 4x2 - 2x + 1
c) f(x) = ; i) f(x) = ;
x2 - 4 x2 + 4x + 4
-x3 + 13x + 6 x4 - 3x3 + 2x2 + 3x - 2
d) f(x) = ; j) f(x) = ;
x2 - 2x - 8 x3 - 3x2 + 3x - 1
x4 - x2 + 5x + 1 x5 - 6x4 + 13x3 - 15x2 + 16x - 9
e) f(x) = ; k) f(x) = ;
x2 - 1 x3 - 6x2 + 12x - 8
x4 - 3x3 - x2 + 2x - 5 x5 + 6x4 + 9x3 + x2 - 4x
f) f(x) = ; l) f(x) = .
x2 - 2x - 3 x3 + 3x2 + 3x + 1
4. Funkcje wymierne 5
4.12. Funkcję f rozlóż na sumę wielomianu oraz ulamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju:
3x5 - 6x4 - 5x3 - 11x2 + 19 2x5 - x4 + 4x3 - x2 - x
a) f(x) = ; e) f(x) = ;
x3 - 2x2 - x - 6 x4 + 3x2 + 2
x6 - x5 + 6x3 - 4x2 + x - 12 x6 - x5 + 5x4 - 2x3 + 6x2 - 1
b) f(x) = ; f) f(x) = ;
x3 - x2 + 2x + 4 x4 + 5x2 + 6
x5 - x3 + 3x x5 + 4x - 2
c) f(x) = ; g) f(x) = ;
x3 + 2x2 + 9 x4 + 6x2 + 8
x5 - 3x4 + 5x3 - 15x2 - 12 x5 - x
d) f(x) = ; h) f(x) = .
x3 - 3x2 + 3x - 9 x4 + x3 + 4x2 + 2x + 4
4.13. RozwiaÛż równanie:
2 3 -2 4x
a) = -1; d) = 1; g) = 4; j) = -2;
x 2 + 3x 2 - 3x x + 3
-1 3 x -x
b) = 2; e) = 2; h) = 3; k) = 1;
x 2x - 4 x + 2 3x + 2
3 1 x 5x
c) = 0; f) = -3; i) = 1; l) = 2.
x 3 + 5x 3 - x 3x - 4
4.14. RozwiaÛż równanie:
2 -4x 2x + 2
a) = x; e) = 2x; i) = 2x + 1;
3x + 1 3 + x 3x
4x - 9 -4x + 2
3
f) = x; j) = -x + 4;
b) = 2x;
x - 2 x + 5
2 - 3x
3x 3x + 1
1
g) = x + 1; k) = -2x - 3;
c) = -x;
2x - 1 -x + 1
3x - 4
x x - 2 -2x - 1
d) = 4x; h) = x - 2; l) = 2x + 4.
2 - 3x 2x + 3 3x + 2
4.15. RozwiaÛż równanie:
x - 2 2 2x 2x + 3
a) + = 0; e) = ;
x x + 1 x - 4 x + 2
x + 3 2 x + 3 x
b) + = 0; f) = ;
x x + 2 2x + 2 x - 1
2x + 1 1 5 2 1
c) - = 0; g) - = - ;
x x + 2 12x + 6 3x - 3 2
x - 3 x 8 13
d) = ; h) - = 5;
x + 1 x - 1 x + 2 x - 3
6 Marek Małolepszy, Witold Walas
4 1 x - 2 3x - 1
i) - = -1; k) - = 3;
x - 1 x - 3 x + 4 x + 1
2x + 2 x x - 3 4x - 1
j) + = -2; l) + = 1.
x - 1 x + 3 2x + 2 x + 4
4.16. RozwiaÛż równanie:
7 4 1 6 5 2
a) - - = 0; g) - - = -1;
x + 3 x + 2 x - 1 2x + 1 x + 1 x2 + 2x + 1
3 12 x + 7
14 3 1
h) - - + 10 = 0;
b) + + = 2;
x - 2 x + 3 x2 + 1
x + 5 x + 1 1 - x
2 1 4x - 12
2 3 1
i) - = ;
c) - = ;
x + 1 x - 1 x2 + 2
x + 4 x + 2 x - 1
4 11 2x
5 18 1
j) - - 3 = ;
d) - + = -3;
x - 1 x - 2 x2 + 2
x + 1 x + 3 x - 2
2x x2 + x + 4
7 19
k) + = x2;
e) + = -2x - 2;
x2 + 2 x + 1
x + 2 x - 4
9 11 2x + 1 x2 + 3
f) + = -4x; l) + = -x.
x + 1 x - 3 x2 + x x - 2
4.17. Dla danej funkcji f rozwiaÛż równanie:
1
a) f(x) - 2f(x - 1) = -1, f(x) = ;
x
2
b) f(x) - 3f(2x) + 2 = 0, f(x) = ;
1 - x
-1
c) f(x) + 3f(2x - 1) - 2 = 0, f(x) = ;
x + 2
-x
d) 2f(x) - f(2x + 3) + 1 = 0, f(x) = ;
2x + 1
x - 1
e) f2(x) - 4f(x) + 3 = 0, f(x) = ;
x + 2
x + 1
f) 2f2(x) + 3f(x) - 2 = 0, f(x) = ;
x - 3
2 - x
g) -f2(x) + 2f(x) + 3 = 0, f(x) = ;
4 + x
2x + 1
h) 3f2(x) + 5f(x) - 2 = 0, f(x) = ;
x - 2
x2 + 1
i) f(x) + 3f(x - 1) - 4 = 0, f(x) = ;
x + 1
4. Funkcje wymierne 7
x2 - 2
j) 2f(x) - f(x + 2) - f(2) = 0, f(x) = .
x - 1
4.18. RozwiaÛż równanie ze wzglÄ™du na zmiennaÛ x:
x + 3 x - 2a
2x2 + ax
a) = a; c) = 3a;
e) = -a;
2x - a x + 3
x + 2
2x + a x2 + ax ax2 + (a - 1) x
b) = 2; d) = a; f) = 1.
x + 3a x - 4 2a - x
4.19. RozwiaÛż nierówność:
2 -2 x + 2
a) > 0; e) e" 3; i) d" -2;
x 2 - x x - 3
x
3 3x - 1
f) > 0;
b) d" 1; j) e" 4;
2 - x
x 2 - x
-2 2x - 4
4x
c) > 3; k) < 2;
g) e" 0;
x x + 5
x + 3
1 x -x - 6
d) d" 0; h) < 1; l) > -1.
x - 1 1 - x 2x - 1
4.20. RozwiaÛż nierówność:
4x - 2 -3x + 4 2 - 2x 2x
a) e" -3x; e) d" -x + 2; i) < ;
-2x + 3 2x - 3 x - 3 x + 4
3x - 2 -5x + 1 x + 1 -2x
b) < 5x; f) > 2x + 4; j) e" ;
2x - 1 2x - 2 3x - 2 x + 2
x + 1 x + 3 x - 1 x + 3 2x + 1
c) < x - 3; g) + > 0; k) d" ;
2x - 1 2x + 2 x + 1 3x - 1 x - 4
1 - 2x 3x + 1 2x 5 - x x + 1
d) e" 2x + 2; h) - d" 0; l) > .
3 + 2x x + 2 x + 3 2x - 1 2x - 2
4.21. RozwiaÛż nierówność:
2 + x x - 1 2x + 2 x + 1
a) - > 1; e) - 2x;
3 - x 2x - 1 x - 1 3x - 1
x + 1 x - 2
-x - 1 2x - 1
f) + > 2x - 1;
b) + -2;
3x - 2 x + 2
2x - 3 x + 1
4x 2x + 1
2x + 1 x - 2
g) - > -x - 2;
c) - < 3;
x - 3 x + 2
x - 1 x + 3
3x + 1 x - 3 2x - 1 x2 - 2x
d) + 4; h) - < 2x + 1;
x - 3 x + 2 x2 - 1 x + 1
8 Marek Małolepszy, Witold Walas
x2 - 3x 2x - 2 4 x2 + x + 2 2
i) - -x - 1; k) + + > x + 4;
x2 - 4 x - 2 x + 2 x - 3 x2 - 2x - 3
x + 2 x2 - x - 6 2 1 x2 - 3x x + 2
j) + - x; l) - + > -x + 1.
x + 1 x - 2 x2 - x - 2 x + 4 x - 2 x2 + 3x - 4
4.22. Dla danej funkcji f rozwiaÛż nierówność:
2
x2 - 2
a) 2f(-x) - f(2x + 1) 2, f(x) = ;
g) 2f(1 - x) - f(2x) 1, f(x) = ;
x
x + 1
1
x2 + 2
1
b) f(x) + 2f(x - 2) -1, f(x) = ;
h) f + f (x) < 1, f(x) = ;
x
x + 1
x + 1
-x
2x + 1
1
c) 3f(-x) - f(2x - 2) > 2, f(x) = ;
i) f + 2f (x) 2x, f(x) = ;
x-1
x + 1
x + 2
x - 1
x + 3
x
d) f2(x) + 4f(x) + 3 < 0, f(x) = ;
j) f - f (x) < -x - 2, f(x) = ;
x+3
x + 2
x + 2
2x + 1
2
x
e) f2(x) - f(x) - 6 < 0, f(x) = ;
k) f - f (x) 2x, f(x) = ;
x+1
x - 3
x2 - x
x + 4 x - 2
x+1
f) -f2(x) + 2f(x) - 4 > 0, f(x) = ; l) f + 2f (x) > x, f(x) = .
x-1
3x + 1 2x + 1
4.23. RozwiaÛż uklad nierównoÅ›ci:
x
2x - 3
x2 + 2
a) -1 1;
d) 1 3;
g) 0 < < 2;
x + 2
x + 2
x2 - x + 3
2x + 1
x2 + 3 2x2 - x
b) -1 1;
e) -1 < < 0; h) -2 < 1;
x - 3
4 - x x2 + 3x + 1
-x - 1 x + 2 x2 + 3x
c) -1 1; f) 0 < 3; i) -3 < 1.
x - 3 x2 + 2x - 2 x2 - 2x + 4
Odpowiedzi
x - 1 x + 3 -2x + 1
4.1. a) -x - 2
d) g) j)
2x - 3 3x - 1 x - 3
1
-x + 2 x - 2 3x - 2
b)
e) h) k)
3 - x
x - 3 x - 5 x + 1
x - 4 -2x + 6 x - 1 -x + 2
c) f) i) l)
x + 1 x - 2 x - 2 2x + 1
4. Funkcje wymierne 9
x + 2 -x + 1
x2 + x + 1
d) x + 2
g) j)
4.2. a)
x - 3 2x - 1
x + 1
-x + 1
2x2 + 4
x + 3
b) 2x - 4 e)
h)
k)
x + 1
-x + 3
x2 + 2
x + 1
x + 2 x2 + 3 x
c)
f) i) l)
x + 2
x -x2 + 4 x + 2
1
x2 - 2x + 5
(x - 1)2
c)
e)
4.3. a)
2x
x2 - 2x - 3
x
3 x2 + 4 3
b) d) f)
x2 - 1 x2 - 4 x2 - x - 2
x + 3 x + 1
x2 - 4
c) e)
4.4. a)
x + 2 x + 2
x
x2 + 1 4x + 2 x2 + 4x + 3
b) d) f)
x2 - x 2x - 1 -x + 4
4.5. a) d)
y
y
1
1
x
1
-1
-1 1 3 x
-3
b)
y
e)
y
1
2
x
-4 1
-1 1
x
-2 1
c)
y y
f)
1
2
x
-2 1
1
-2
-2 -1 1 x
10 Marek Małolepszy, Witold Walas
g) i)
y y
3
1
1
1 x
1 3
x
-2
h)
y
1
x
1 2
-4
4.6. a) nie d) nie g) nie j) tak
b) tak e) tak h) nie
c) tak f) tak i) nie
2 2
4.7. a) f(x) = 1 + g) f(x) = -x +
x + 2 x - 3
2 -3
b) f(x) = -1 + h) f(x) = 2x +
x - 2 x + 3
-7 -9
c) f(x) = 2 + i) f(x) = -3x - 4 +
x + 3 x - 2
-5 10
d) f(x) = -2 + j) f(x) = 2x + 3 +
x - 4 x - 4
-4 5
e) f(x) = -3 + k) f(x) = 2 +
x - 2 x2 - x - 1
3 -7x + 16
f) f(x) = x + l) f(x) = 3 +
x + 1 x2 + x - 5
-x + 1 -5x + 30
4.8. a) f(x) = x + e) f(x) = x2 - x + 5 +
x2 + 4 x2 - x - 6
-3x - 1
f) f(x) = 2x2 + 1
b) f(x) = 2x + 1 +
x2 - x + 2
-1
-10x + 12
g) f(x) = x2 + 3x - 2 +
c) f(x) = -3x - 5 +
x
x2 - 3x + 2
x - 3 -2x2 - 2x + 1
d) f(x) = x - 2 + h) f(x) = x +
x2 - x - 2 x3 + 2x + 2
1 -1 1 -1
4.9. a) f(x) = + b) f(x) = +
x - 2 x + 1 x - 1 x + 3
4. Funkcje wymierne 11
2 -1 3 -2
c) f(x) = + h) f(x) = +
x + 2 x + 4 x + 2
(x + 2)2
2 3 3 1
d) f(x) = + i) f(x) = +
x + 3 x - 1 x - 2
(x - 2)2
3 -1 1 1
e) f(x) = + j) f(x) = +
x - 2 x + 2 x - 3
(x - 3)2
-2 -5 1 -1 2
f) f(x) = + k) f(x) = + +
x + 1 x - 3 x + 2 x + 1
(x + 1)2
-2 1 -1 2
g) f(x) = + l) f(x) = +
x - 1 x - 1
(x - 1)2 (x - 3)2
1 2 x + 2 -x
4.10. a) f(x) = + g) f(x) = +
x - 1 x2 + 3 x2 + 1 x2 + 2
1 -1 x -2
b) f(x) = + h) f(x) = +
x + 2 x2 + 2 x2 + 1 x2 + 3
2 x - 1 -1 1
c) f(x) = + i) f(x) = +
x + 2 x2 + 1 x2 + 2 x2 - x + 1
-1 2x x 1
d) f(x) = + j) f(x) = +
x + 1 x2 + 4 x2 + 1 x2 - x + 2
1 2 -x x + 2
e) f(x) = + k) f(x) = +
x - 2 x2 + x + 1 x2 + 1 x2 - x + 3
2 -2x + 1 2x - 1 -x - 3
f) f(x) = + l) f(x) = +
x - 3 x2 + 2x + 3 x2 + 2 x2 + 2x + 2
1 -2 1 -2
4.11. a) f(x) = x + 1 + + g) f(x) = 2x2 + 1 + +
x + 3 x + 1 x + 1
(x + 1)2
2 -3 -1 3
b) f(x) = x - 3 + + h) f(x) = x2 - 2 + +
x + 2 x - 1 x - 2
(x - 2)2
3 -2 2 -3
c) f(x) = 2x - 1 + + i) f(x) = 2x2 - x + +
x + 2 x - 2 x + 2
(x + 2)2
2 -1 -1 2 1
d) f(x) = -x - 2 + + j) f(x) = x + + +
x + 2 x - 4 x - 1
(x - 1)2 (x - 1)3
2 3 -1 3
e) f(x) = x2 + + k) f(x) = x2 + 1 + +
x + 1 x - 1 x - 2
(x - 2)3
1 -2 2 1
f) f(x) = x2 - x + + l) f(x) = x2 + 3x - 3 + +
x + 1 x - 3
(x + 1)2 (x + 1)3
2 x - 1 -15 6
4.12. a) f(x) = 3x2 - 2 + + c) f(x) = x2 - 2x + 3 + +
x - 3 x2 + x + 2 x + 3 x2 - x + 3
-3 3x -1 x - 3
b) f(x) = x3 - 2x + + d) f(x) = x2 + 2 + +
x + 1 x2 - 2x + 4 x - 3 x2 + 3
12 Marek Małolepszy, Witold Walas
-3x x + 2 4x - 1 -10x + 1
e) f(x) = 2x - 1 + + g) f(x) = x + +
x2 + 1 x2 + 2 x2 + 2 x2 + 4
-1 3x + 1 3 -3x - 1
f) f(x) = x2 - x + + h) f(x) = x - 1 + +
x2 + 2 x2 + 3 x2 + 2 x2 + x + 2
11 3
4.13. a) x = -2 e) x = i) x =
4 2
b) x = -1 f) x = -2 j) x = -1
2 3
5
c) brak pierwiastków g) x = k) x = -1
6 2
1
d) x = h) x = -3 l) x = 8
3
2 1
4.14. a) x = -1, x = e) x = -5, x = 0 i) x = -2, x =
3 3 2
b) brak pierwiastków f) x = 3 j) x = -3, x = 6
" "
1 1- 3 1+ 3
c) x = , x = 1 g) x = , x = k) x = -1, x = 2
3 2 2
" "
7 -3- 3 -3+ 3
d) x = 0, x = h) x = -1, x = 2 l) x = , x =
12 2 2
" "
1- 33 1+ 33
4.15. a) x = -2, x = 1 e) x = -4
i) x = , x =
3
2 2
b) x = -6, x = -1 f) brak pierwiastków j) x = -11, x = 0
5
c) x = -1 g) x = -1, x = 2 k) x = -5, x = -2
5
3
d) x = h) brak pierwiastków l) x = -11, x = 2
5 7
3
4.16. a) x = -1, x = 4
g) x = - , x = 0, x = 1
2
3 3
b) x = -2, x = 2, x = 3
h) x = - , x = -1, x = 1, x =
2 2
" "
c) x = 0, x = -13
i) x = - 2, x = 2, x = 3
2
d) x = 1
j) brak pierwiastków
e) x = 1
k) x = 2
" "
2 2
f) x = 2 l) x = - , x =
2 2
4. Funkcje wymierne 13
" "
5
4.17. a) x = - 2 + 1, x = 2 + 1 f) x = -5, x =
3
" "
1- 3 1+ 3
b) x = , x = g) x = -5
2 2 2
3
c) x = -11, x = -1 h) x = -1, x =
4 4
" "
3- 105 3+ 105
d) brak pierwiastków i) x = , x = , x = 1
8 8
" "
3- 17 3+ 17
e) x = -7 j) x = , x = , x = 0
2 2 2
a2 + 3
1 1
4.18. a) x = dla a = , brak pierwiastków dla a =

2 2
2a - 1
b) x " R\ {0} dla a = 0, brak pierwiastków dla a = 0

11a
1 1
c) x = dla a = , brak pierwiastków dla a =

3 3
1 - 3a
" "
d) x = -2 -a, x = 2 -a dla a " (-", -4) *" (-4, 0] , x = -4 dla a = -4, brak pierwiastków dla
a > 0
" "
-a- a2-4a -a+ a2-4a
e) x = , x = dla a " (-", 0] *" [4, +") ; brak pierwiastków dla a " (0, 4)
2 2
f) x " R\ {0} dla a = 0; x = -2, x = 1 dla a = 0

4.19. a) x " (0, +") g) x " (-", -3) *" [0, +")
1
b) x " (-", 0) *" [3, +") h) x " -", *" (1, +")
2
4
c) x " -2, 0 i) x " , 3
3 3
9
d) x " (-", 1) j) x " , 2
7
8
e) x " 2, k) x " (-5, +")
3
1
f) x " (0, 2) l) x " -", *" (7, +")
2
1 3
4.20. a) x " , *" [2, +") d) x " -", -5 *" -3, -1
6 2 2 2 2
" "
1 5- 5 3 5+ 5
b) x " , +" e) x " -", *" ,
2 2 2 2
" "
1 3
c) x " - 3 + 2, *" 3 + 2, +" f) x " (-", -3) *" , 1
2 4
14 Marek Małolepszy, Witold Walas
2
g) x " (-", -1) *" -1, +" j) x " (-", -2) *" , +"
3 3
" "
1
h) x " -3 - 6, -3 *" -2, -3 + 6 k) x " -", *" (4, +")
3
" "
1
i) x " (-", -4) *" - 2, 2 *" (3, +") l) x " , 1
2
1
4.21. a) x " , 3 g) x " (-2, 1) *" (3, +")
2
" "
3 1- 7 1+ 7
b) x " (-", -1) *" -2, *" [2, +") h) x " -1, *" (0, 1) *" , +"
7 2 3 3
" "
c) x " (-", -3)*" 1 - 6, 1 *" 1 + 6, +" i) x " [-3, -2) *" [0, 2) *" [3, +")
d) x " (-", -7] *" (-2, 3) j) x " -3, -1 *" (2, 4]
2
" "
5- 17 1 5+ 17
e) x " -1, *" , 1 *" , +" k) x " (-2, -1) *" (3, +")
3 4 3 4
" "
5- 73 2 5+ 73 5
f) x " (-", -2) *" -1, *" , l) x " (-4, -2) *" 1, *" (2, +")
12 3 12 4
" " " "
- 5-3 5-3 3- 35 3+ 35
4.22. a) x " -", *" -1, *"(0, +") g) x " -", *" -1, 0 *" 2,
2 2 2 4 2 4
b) x " [-3, -1) *" [0, 1) h) x " (-", 0)
1 5 1 7
c) x " 0, *" , 1 i) x " (-", -2) *" [-1, 0] *" ,
2 8 2 4
d) x " -5, -1 j) x " (-", -3) *" -2, -4
4 2 3
" "
5 2 2
e) x " -", *" (10, +") k) x " - , *" (1, +")
4 2 2
f) brak rozwiazań l) x " -", -1 *" -1, -1
Û
2 3 6
4.23. a) x " [-1, +") f) x " -8, -2 *" [1, +")
3
2
g) x " R
b) x " -4,
3
" "
h) x " 2 - 5, 2 + 5
c) x " (-", 1]
4
i) x " -",
d) x " (-", -9] *" [5, +")
5
e) brak rozwiazań
Û