Całkowanie funkcji wymiernych
Twierdzenie Gaussa
Niech
W " R[X ]
W (x) = an xn + an-1xn-1 + & + a1x + a0 an `" 0
,
Każdy taki wielomian możemy zapisać, jako iloczyn jednomianów i nierozkładalnych dwumianów:
r1 rs
k1 km
W(x) = an(x - x1) �"& �"(x - xm ) �"(x2 + p1x + q1) �"& �"(x2 + ps x + qs )
2
ki , rj " N p - 4q < 0 i =1,& ,m j = 1,& , s
gdzie: , , ,
j j
k1 +& + km + 2(r1 + & + rs ) = n
Uwaga
Zatem, stosując iloczyn uogólniony, wzór z tezy twierdzenia Gaussa zapisujemy:
m s
rj
ki
W(x) = an �" (x2 + p x + q )
"(x - xi ) �"" j j
i=1 j=1
Wniosek (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste)
1)
P,W " R[X ]
"Aki, Blj ,Clj " R
stopień P < stopień W
k1 k2 km
P(x) A1i A2i Ami
=
"(x - x1) + "(x - x2) + & + "(x - xm) +
i i i
W(x)
i=1 i=1 i=1
r1 r2 rs
B1 jx + C1 j B2 jx + C2 j Bsjx + Csj
+ + + & + =
" " "
j j j
j =1 (x2 + p1x + q1) j =1 (x2 + p2x + q2) j =1 (x2 + psx + qs)
kl rt
m s
Btjx + Ctj
Ali
=
""(x - xl ) + ""
i j
l =1 i=1 t =1 j =1 (x2 + pt x + qt)
1
2)
e"
Natomiast, jeśli stopień P stopień W , to nasz iloraz przedstawiamy jako:
P(x) R(x)
= Q(x)+
W(x) W(x) , gdzie stopień R < stopień W
Ułamki proste:
A
I rodzaju: , które całkujemy w sposób następujący:
k
(x - a)
ńł A �" ln x - a k = 1
A
�ł
-k+1
dx =
�ł - a)
A �"(x
+" k
(x - a) k > 1
�ł
ół - k +1
Bx + C
II rodzaju: , gdzie całkę z tego wyrażenia obliczamy w taki sposób:
k
(x2 + px + q)
Bx + C B 2x + p Bp dx B Bp
�łC �ł �łC �ł
dx = dx + - �ł �ł
= �" I1 + - �ł
�" I2
�ł
+" k +" k +" k
2 2 2 2
�ł łł �ł łł
(x2 + px + q) (x2 + px + q) (x2 + px + q)
ńł
ln x2 + px + q k = 1
�ł
1-k
I1 =
�ł
(x2 + px + q)
k > 1
�ł
ół 1- k
p
x +
2
= t
p2
q -
dx 1 dx
4
I2 = = �" = =
+" k +" k
2
2
p2 k
p p2
p dx
�ł �ł
(q
((x + ) + q - ) - )
(x )
4
2 4 = dt
2
�ł1 + + �ł
p2
p2
�ł �ł
q -
q - 4
4
�ł łł
p2
q -
1 1 dt
4
= �" dt = �"
+" k +" k
p2 k 2
p2 k -1
(1+ t2) (1+ t2)
(q - )
(q - )
4
4
gdzie
dt
= Ik
obliczamy ze wzoru rekurencyjnego podanego dwie strony wcześniej.
+" k
2
(1+ t )
2
 Przykład
2x -1
dx =
+" 2
(x3 + x)
Funkcję podcałkową rozkładamy na ułamki proste
2x -1 A B Cx + D Ex + F
= + + + =
2 2
x x2 x2 +1
x2(x2 +1) (x2 +1)
2 2
Ax(x2 +1) + B(x2 +1) + (Cx + D)(x2 + 1)x2 + (Ex + F)x2
=
2
x2(x2 + 1)
2 2
2x -1 a" Ax(x2 +1) + B(x2 +1) + (Cx + D)(x2 +1)x2 + (Ex + F)x (= "x " R)
Porównujemy teraz współczynniki stojące przy zmiennych w tej samej potędze:
x5 : 0 = A + C
x4 : 0 = B + D
x3 : 0 = 2A + C + E
x2 : 0 = 2B + D + F
x1 : 2 = A
x0 : -1 = B
Z tego układu równań wyliczamy:
A = 2 D = 1
B = -1 E = -2
C = -2 F = 1
czyli
�ł �ł
2x -1 2 1 - 2x +1 - 2x +1
�łdx = 2�"ln x + 1 - ln(x2 +1)+ arctgx +
dx =
+" 2 +"�ł - + +1 + +1)2
�ł
x x2 x2 x
(x3 + x) (x2 �ł
�ł łł
1 dx x2 1 1
+ + = ln + + + arctgx + I2 + C
+" 2
x2 +1 x2 +1 x x2 +1
(x2 +1)
dx 2n - 3 x
I2 = In = In-1 +
obliczamy ze wzoru (podanego
+" 2 n-1
2n - 2
(x2 +1) (2n - 2)(1+ x2)
wcześniej).
Zatem
2x -1 x2 1 1 1 x
dx = ln + + + arctgx + arctgx +
+" 2
x2 +1 x x2 +1 2 2(1+ x2)+ C =
(x3 + x)
x2 1 2 + x 3
= ln + + + arctgx + C
x2 +1 x 2x2 + 2 2
opracował Paweł Sztur
3