Całkowanie funkcji niewymiernych
Całki z funkcji niewymiernych sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych.
�ł �ł
ax + b
+"R�ł x,n + d �łdx ad - bc `" 0 '" a,b,c,d - liczby rzeczywiste
�ł �ł
cx
�ł łł
R  funkcja wymierna dwu zmiennych
P(x, y)
R(x, y)=
W(x, y)
ax + b
n
t =
n-1 n n-1 n
cx + d
- nt d(ct - a)- nt c(b - t d)dt
dx =
2
ax + b n
(t c - a)
tn =
cx + d
n-1
nt (ad - bc)dt
dx =
b - tnd 2
n
(t c - a)
x =
tnc - a
(x,
+"R ax2 + bx + c)dx
R  funkcja wymierna dwu zmiennych
b2 - 4ac `" 0 '" a `" 0
a > 0
1) pierwsze podstawienie Eulera
2
2t(b + 2 at)- 2 a(t - c)dt
ax2 + bx + c = t - ax
dx =
2
(b + 2 at)
bx + c = t2 - 2 axt
2
2 at + 2tb + 2 ac
t2 - c
dx = dt
2
x =
(b + 2 at)
b + 2 at
ax2 + bx + c = t + ax ax2 + bx + c = ax - t
Inne podstawienia: ,
1
Przykład
x2 ą k = t - 1x
2
2
x2 ą k = t - 2tx + x2
t ą k
dt
2
2
dx t k 1
2t
= x = = = dt = ln t = ln x2 ą k + x + C
+" +" 2 +"
2t t ą k t
x2 ą k
2
t ą k 2t
dx = dt
2
2t
2
t ą k
x2 ą k =
2t
c > 0
2) drugie podstawienie Eulera
ax2 + bx + c = xt + c 2 c(a - t2)+ 2t(2 ct - b)dt
dx =
2
(a - t)
ax + b = xt2 - 2 ct
2 ct2 + 2 ca - 2tb
2 ct - b
dx = dt
2
x =
(a - t)
a - t2
ax2 + bx + c = xt - c
Inne podstawienia:
a < 0 '" c < 0
3) trzecie podstawienie Eulera
( zał �! " > 0 �! "x1, x2 " R : ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2 )
2tx1(t2 - a)+ 2t(ax2 - t2x1)dt
ax2 + bx + c = t(x - x1)
dx =
2
2
2
(t - a)
a(x - x1)(x - x2) = t2(x - x1)
2ta(x2 - x1)dt
ax2 - t2x1 dx =
2
2
x =
(t - a)
a - t2
2
Wzór Abela
Wn(x) dx
dx = Wn-1(x)�" ax2 + bx + c + k �"
,
+" +"
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
Wn Wn-1
n n
gdzie ,  wielomiany stopnia odpowiednio i -1 k " R
,
Dane:
Wn ,a ,b, c
Szukane:
Wn-1(x)= ?,k = ?
Metoda współczynników nieoznaczonych
Po zróżniczkowaniu tożsamości we wzorze Abela otrzymujemy:
Wn(x) 2ax + b k
= Wn-12 (x)�" ax2 + bx + c +Wn-1(x) +
ax2 + bx + c 2 ax2 + bx + c ax2 + bx + c
1
Wn(x) = Wn-12 (x)�"(ax2 + bx + c)+ Wn-1(x)(2ax + b)+ k
2
Powyższa tożsamość jest tożsamością wielomianów, zatem jest ona spełniona gdy współczynniki
przy odpowiednich potęgach wielomianu po prawej stronie i po lewej stronie tożsamości są sobie
równe. Stąd łatwo wyznaczyć współczynniki wielomianu Wn oraz stałą k.
Przykład
8 - x2 dx
dx = (Ax + B) 4x - x2 + k
+" +"
4x - x2 4x - x2
następnie różniczkując to równanie otrzymujemy:
8 - x2 4 - 2x 1
= A 4x - x2 + (Ax + B) + k
4x - x2 2�" 4x - x2 4x - x2
8 - x2 = A(4x - x2)+ (Ax + B)(2 - x)+ k
z czego łatwo jest wyliczyć:
1
A =
ńł
2
�łB = 3
�ł
�łk = 2
ół
czyli:
8 - x2 x dx
�ł
dx = + 3�ł 4x - x2 + 2
�ł �ł
+" +"
2
�ł łł
4x - x2 4x - x2
3
x - 2 = 2t
dx dx 2dx dx
= = = = =
+" +" +" +"
2 2 2
dx = 2dt
4x - x2 4 - 4t 1- t
4 - (x - 2)
x - 2
= arcsint = arcsin + C
2
8 - x2 x x - 2
�ł
dx = + 3�ł 4x - x2 + 2arcsin + C
�ł �ł
+"
2 2
�ł łł
4x - x2
Wn(x)
I = dx
ą " R, k " N
+"
k
(x - ą) �" ax2 + bx + c
n e" k
Jeżeli
Wn(x) R(x)
= P(x)+
k k
(x -ą) (x - ą)
P(x) R(x)
I = dx + dx
+" +"
k
ax2 + bx + c (x -ą) �" ax2 + bx + c
gdzie pierwszą całkę rozwiązujemy metodą współczynników nieoznaczonych, a drugą  w
następujący sposób (przypadek nn < k
Jeżeli
1 1
t = �! x - ą =
x - ą t
Stosujemy podstawienie a następnie rozwiązujemy całkę metodą
1
dx = - dt
2
t
współczynników nieoznaczonych.
opracował Paweł Sztur
4