PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU  FUNKCJA WYMIERNA  POZIOM ROZSZERZONY
DOPUSZCZAJ
CY
1. Które z poni\
szych funkcji sÄ… funkcjami wymiernymi ? Odpowiedz
uzasadnij.
4 + x x - 4
a) F(x) = x2 + 3x -1 b) G(x) = c) H(x)= x2 + 3 d) G(x)=
x - 6 x2 + 2x
x -1 2x + 3 6x + 3
2. Która z podanych funkcji jest homograficzna i dlaczego ? f (x)= g(x)= h(x)=
x + 2 3 2x +1
3. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji wymiernych :
x + 3 x2 + 7
a) F(x) = x + 7 b) G(x)= c) H(x)=
x - 2 x2 - 9
4. Podaj przykład dowolnej funkcji wymiernej, której dziedziną jest zbiór : a) R -{-1,0,4} b) R
3x2 24x12 x2 -16
5. Skróć ułamki : a) b) c)
6x3 8x9 x + 4
7
6. a) Rozszerz ułamek = tak, aby otrzymać wyra\
enie o podanym mianowniku.
5x 15x2
2 - x 4 - x2
b) Rozszerz ułamek = tak, aby otrzymać wyra\
enie o podanym liczniku.
3
x2 - 2x + 3 2x2 - 4x +1 x -1 x + 3 2x - 5 6
7. Wykonaj działania : a) - + b) - +
2 4 3 x - 4 x - 4 4 - x
x + 3 x2 x +1 x2 + x x2 - 2x x2 - 4
c) Å" d) : e) :
3x x2 - 9 x -1 x -1 x3 x2
x -1 2 7 3 3
8. RozwiÄ…\
równanie : a) = b) = c) x - = 2
4 x +1 x - 5 x - 3 x
x + 4 - x2 + x + 6 2 5
9. RozwiÄ…\
nierówność : a) e" 0 b) < 0 c) >
1- x x + 9 x 7
10. Ka\
dy z wykresów funkcji, których wzory podano poni\
ej, otrzymano w wyniku przesunięcia
a 5 7 4
równoległego wykresu funkcji f (x) = o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q. a) b) 2 - c) - 3
x x - 3 x x +1

11. Wykres funkcji homograficznej g powstaje z przesunięcia wykresu funkcji f o wektor v . Podaj wzór
określający funkcję g oraz naszkicuj jej wykres, gdy :

- 3 4 -1
a) f (x) = v = [2,0] b) f (x)= v = [0,-3] c) f (x)= v = [5,1]
x x x
12. Uzupełnij tabelkę tak, aby zmienne x i y były odwrotnie proporcjonalne.
x -10 12 30
y 0,5 1 2
DOSTATECZNY
1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji wymiernych :
x2 + 2 2x -1 3x - 8
a) F(x)= b) G(x)= c) H(x)=
x2 - 2x - 3 x3 - x x2 + 2x + 2
4x2 - 49 x2 + 4x + 4 x2 + 3x - 4
2. Skróć ułamki : a) b) c)
7 - 2x 2x + 4 - 2x2 - 2x + 4
3. Rozszerz dany ułamek tak, aby otrzymać wyra\
enie o podanym liczniku
x2 - 3x x3 - 9x 3x - 2 9x2 -12x + 4
= =
x -1 x + 5
4x 3x - 3 2
4. Wykonaj działania : a) + - 6 b) -
x - 3 x + 3 x2 - 4 x2 - 4x + 4
x + 3 x2 -16 x2 - 25 x2 + 5x x2 + 2x - 3 x2 + 7x +12
c) Å" d) : e) :
x - 4 x2 + 6x + 9 x2 - 3x x2 - 9 x2 + 3x -10 x2 - 9x +14
1 2 x - 2 - x x
5. RozwiÄ…\
równanie : a) - = 1 b) + =
x -1 x + 2 x - 3 x2 - 9 x + 3
3x -1 1 x -1 x +1 - 2
6. RozwiÄ…\
nierówność : a) > -1 b) x d" 3 - c) - < 2 d) e" 6
x - 3 x -1 x x -1 x
7. Ka\
dy z wykresów funkcji, których wzory podano poni\
ej, otrzymano w wyniku
a
przesunięcia równoległego wykresu funkcji f (x) = o wektor [p,q]. Wyznacz a, p, q.
x
3x -11 - 4x + 6 2x + 8
a) b) c)
x - 4 x - 2 x + 3
Następnie naszkicuj wykres funkcji i na jego podstawie omów następujące własności : dziedzina,
zbiór wartości, miejsca zerowe, znak funkcji, monotoniczność, ró\
nowartościowość oraz asymptoty.
- 5x + 4
8. a) Oblicz argument x, dla którego funkcja f (x) = przyjmuje wartość  1.
3x - 7
2x -1
b) Wyznacz zbiór tych argumentów x, dla których funkcja f (x)= przyjmuje
x + 4
wartości niewiększe od 1.
2x -1 - x + 5
9. a) Dla jakich argumentów x wartości funkcji f (x)= oraz g(x)= są równe ?
x +1 2x -1
x -1
b) Dla jakich argumentów x funkcja f (x)= osiąga wartości większe ni\

x + 5
x + 6
funkcja g(x)= ?
x -1
10. Zbadaj, czy funkcje W(x) i F(x) są równe jeśli :
x 1 x2 x2 + 2 1
a) W(x)= , F(x)= b) W(x)= , F(x)= x c) W(x)= , F(x)=
x2 x x x4 - 4 x2 - 2
11. Ośmiu pracowników wykonało pracę w ciągu 8,5 godziny. W ciągu ilu godzin tę samą pracę wykona
dwunastu robotników, pracujących z taką samą wydajnością ?
a
12. Rysunek przedstawia wykres funkcji f określonej wzorem f (x) = + q , gdzie x `" p .
x - p
Wyznacz współczynniki a, p i q.
x -1
13. Oblicz wartość funkcji wymiernej F(x)= dla argumentu 1+ 3 . Wynik przedstaw
x + 2
w postaci a + b c , gdzie a, b, c " W i c > 0 .
DOBRY
1. Wyznacz dziedzinę następujących funkcji wymiernych :
x3 + x2 2 x3 - 27
a) F(x)= b) G(x)= c) H(x)=
x4 - 5x2 + 4 x3 + x2 + x +1 x3 + 4x2 + 8x
x3 + 4x2 + 4x 4x3 - 9x 4x3 - 8x2 + 3x - 6
2. Skróć ułamki : a) b) c)
x2 + 2x 8x4 - 27x 12x3 + 4x2 + 9x + 3
7 3 12 5 - 2x 5 4 - 3x
3. Wykonaj działania : a) - - + x b) + -
2x - 6 x + 3 x2 - 9 1- x2 x -1 - x2 + 2x -1
x3 - 3x2 + 3x -1 x2 - 4 x3 + 5x2 - x - 5 x2 -1
c) Å" d) :
x3 - 8 x2 - 2x +1 x2 + 8x +15 x + 3
3x +1 3 x - 6 1 6
4. RozwiÄ…\
równanie : a) = b) = x -1 c) + = -1
3 9x2 - 3x +1 x - 2 x +1 x2 - 2x - 3
x4 + x2 +1 3 7 6 x -1 1
5. RozwiÄ…\
nierówność : a) < 0 b) + e" c) - > 1
x2 - 4x - 5 x +1 x + 2 x -1 2x x
6. Wyznacz dziedzinę, zbiór wartości oraz miejsca zerowe funkcji. Naszkicuj jej wykres
i na jego podstawie określ przedziały monotoniczności.
2 x -1 2x
a) f (x)= b) g(x)= c) h(x)=
x -1 x +1 x +1
7. Aby wyznaczyć wszystkie pary ( x, y) liczb całkowitych spełniających równanie
xy + x +2y  1 = 0 mo\
emy postąpić tak:
" wyznaczyć z równania y w następujący sposób:
y(x + 2) + x  1 = 0
y(x + 2) =  x + 1 (dzielimy obie strony równania przez (x + 2) dla x `"  2; dla x =  2
równanie jest sprzeczne)
- x +1 -1(x + 2) + 3 3
y = y = y =  1 +
x + 2 x + 2 x + 2
" wyznaczyć wszystkie takie liczby całkowite x, dla których (x + 2) jest całkowitym dzielnikiem liczby 3, zatem: x
+ 2 =  3 lub x + 2 =  1 lub x + 2 = 1 lub x + 2 = 3, skÄ…d x" { 5,  3,  1, 1}
" obliczyć y dla znalezionych wartości x
" dane równanie spełniają pary liczb: ( 5,  2), ( 3,  4), ( 1, 2), (1, 0).
Postępując podobnie wyznacz wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych spełniających
równanie xy + 4x + 2y + 1 = 0.
8 . Dwaj bracia Bartek i Wojtek mogą wykonać pewną pracę w ciągu 20 dni.
Bartek pracujÄ…c oddzielnie potrzebuje na wykonanie tej pracy o 30 dni mniej ni\
Wojtek.
W ile dni uporałby się z tą pracą ka\
dy z nich z osobna ?
c 2c - 2b b
9. O dodatnich liczbach a, b, c wiemy, \
e spełniają warunek = = .
a + b a c
c
Wyznacz wartość ilorazu .
b
a - x
10. Funkcja f(x) = przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x " ( 1, 2),
1
x - b
2
a jej miejscem zerowym jest liczba 2. Podaj wartość współczynników a i b
oraz zapisz wzór funkcji f.
1 1 1
11. Udowodnij, \
e dla ka\
dego k " R  {0,  1} prawdziwa jest równość = - ,
k(k + 1) k k + 1
1 1 1 1
a następnie rozwią\
równanie + + + = 1.
(x + 5)(x + 6) (x + 6)(x + 7) (x + 7)(x + 8) (x + 8)(x + 9)
BARDZO DOBRY
1. Dla jakich wartości parametru m ( m " R ) dziedziną funkcji wymiernej W(x) jest
2x -1 x - 2
zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, jeśli : a) W(x)= b) W(x)=
x2 + 2mx + m mx2 + 2mx +1
Ax + B C x -13
2. Dane sÄ… funkcje f (x) = + i g(x)=
x +1 x - 5 x2 - 4x - 5
a) Dla A = 1, B = 3, C = 8 rozwiÄ…\
nierówność f (x) e" g(x).
b) Dla jakich wartości parametrów A, B, i C funkcje f i g są równe ?
1 1
1+ 3 +
2x 2x x x
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x x +1
3. Wykonaj działania : a) + b) + :
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ - ÷Å‚
2 2
x2 +1 x2 -1Å‚Å‚ íÅ‚ x2 +1 x2 -1Å‚Å‚
íÅ‚
-1 - 3
x x +1
2x + x x - 2 x x2 + 2 x +1 -1
4. Uprość wyra\
enia : a) + b)
4x - x 5x + x x2 - x
x2 + 5 1 2 2x -1 3x -1 x - 7
5. RozwiÄ…\
równanie : a) = - b) + = + 4
2
x3 - 3x - 2 x - 2 x +1 x + 2 x -1
(x +1)
x2 - x +1
3x2 x 5x
c) - = d) = -1
x3 -1 2 - 2x 4x2 + 4x + 4
x2 - x +1
6. Przeprowadz
dyskusję istnienia rozwiązań i ich liczby w zale\
ności od wartości
m - x x - 3 2x +1 m -1 x
parametru m. a) = b) = c) = m (graficznie)
3 m 2x -1 m +1 x -1
x - 2 - 3x +1
x2 + x +1
7. RozwiÄ…\
nierówność : a) e" x + 3 b) <1
x + x x2 - 3x -1
8. Dla jakich wartości parametru m ( m " R ) nierówność jest spełniona przez ka\
dÄ…
x2 - mx +1 1+ mx
liczbÄ™ rzeczywistÄ… x ? a) > -3 b) < m
x2 + x +1 x2 +1
x + 3
9. Na podstawie definicji zbadaj monotoniczność funkcji f (x) = w przedziale (2,+").
x - 2
x2 + (m -1)x + 4
10. Dla jakich wartości parametru m (m"R) równanie = 0 ma dwa ró\
ne rozwiÄ…zania ?
x + 3
Å„Å‚mx - 2my = 5 - m
11. Dany jest układ równań liniowych
òÅ‚mx + my = 2m - 1 , gdzie m jest parametrem.
ół
|x|
Wyznacz rozwiązanie (x, y) tego układu, a następnie naszkicuj wykres funkcji f(m) = .
y
x2 - (m2 - m)x + m3 - 2m2
12. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie = 0
x - 3
ma dwa rozwiązania tych samych znaków.
1
x2 - mx + 1
m + 3
13. Dla jakiej wartości parametru m, m " R  { 3}, równanie = 0 nie ma rozwiązań ?
x + 1
14. Z równania xy + 3y  2x  4 = 0 wyznacz y jako funkcję f zmiennej x, a następnie narysuj wykres
funkcji g(x) = |f(x)|. Określ liczbę rozwiązań równania g(x) = k w zale\
ności od wartości parametru k.
15. Dwóch robotników wykonało pewną pracę w ciągu 10 godzin. Gdyby pierwszy z nich wykonał
1
część pracy, a następnie drugi dokończył resztę to zajęłoby to im 25 godzin. W ciągu ilu
3
godzin wykonałby te pracę ka\
dy z robotników pracując samodzielnie ?
16. Kilku przyjaciół wybrało się na obiad do restauracji. Wszyscy zamówili takie samo danie i umówili się,
\
e ka\
dy płaci za siebie. Okazało się jednak, \
e pan Roztargniony nie miał przy sobie pieniędzy,
więc pozostali biesiadnicy postanowili podzielić się po równo kosztami obiadu przyjaciela, dopłacając
do ceny obiadu po 6 złotych 40 groszy ka\
dy. Oblicz, ile osób uczestniczyło w obiedzie i ile kosztował
jeden obiad, skoro całkowity koszt posiłku wyniósł 192 zł.
17. Odległość między dwiema stacjami kolejowymi jest równa 124 km. Pociąg ekspresowy przebywa trasę
w czasie o 27 minut krótszym ni\
pociąg pospieszny. Średnia prędkość pociągu pospiesznego jest
o 18 km/h mniejsza ni\
średnia prędkość pociągu ekspresowego. Oblicz, z jaką prędkością pokonuje
tÄ™ trasÄ™ ka\
dy z tych pociągów.