Klasa 3c Wielomiany i funkcja wymierna 1 Powtórzenie
1
1. Wyznacz dziedzinę funkcji f x =- x3 - 3x2 - 3x + 9 .
( )
x4 -10x2 + 9
2. Wyznacz parametry m i n tak, aby liczba  1 była pierwiastkiem trzykrotnym wielomianu
W x = x4 + 5x3 + mx2 + m - n x + n .
( ) ( )
2x
3. Naszkicuj wykres funkcji f x = i z wykresu odczytaj dziedzinę, zbiór wartości, przedziały, w
( )
x -1
których funkcja jest malejąca oraz ekstrema tej funkcji.
4. Dla jakich wartości parametru m reszta z dzielenia wielomianu W x = x3 + m x2 + mx - 4 przez
( )
dwumian x - 2 wynosi 8?
( )
5. Reszta z dzielenia wielomianu W x przez x - 5 jest równa 12 i wiadomo, że pierwiastkiem
( ) ( )
wielomianu jest liczba  3. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez x - 5 x + 3 .
( )( )
6. Zbiorem rozwiązań nierówności x2 - b2x + c < 0 jest przedział 2; 3 . Wyznacz parametry b i c.
( )
7. Dany jest wielomian W x = x4 - 3x2 + 5 . Nie wykonując dzielenia wyznacz resztę z dzielenia tego
( )
wielomianu przez wielomian x - 2 x + 3 x -1 .
( )( )( )
8. Dla jakich wartości parametru m wielomian P x = x4 - ( - 3 x2 + m2 -1 nie ma pierwiastków
2m
( ) )
rzeczywistych?
2x2 +1
9. Rozwiąż nierówność < 2 .
x2 -1
ax + b
10. Dana jest funkcja homograficzna f x = . Wyznacz wzór tej funkcji, jeśli wiesz, że jest to
( )
x + d
funkcja nieparzysta i do jej wykresu należy punkt A 3, 1 . Podaj wzór funkcji, której wykres
( )
otrzymamy po przesunięciu wykresu funkcji f x o wektor 5, - 2 .
( ) [ ]
x +1
ż#y =
�#
11. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań - 3
.
x
�#
�#x + 2y =-1
�#
12. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m prosta o równaniu y = mx ma dwa punkty wspólne z
parabolą y = x2 - 5 .
13. Liczby x1, x2 są różnymi pierwiastkami trójmianu y = mx2 - ( ) - 4 . Naszkicuj wykres funkcji
2m + 4 x
1 1
f m = + i podaj zbiór jej wartości.
( )
x1 x2
14. Wykaż, że zbiór A = x : x " R '" x3 - x2 - 5x - 5 = 0 jest dwuelementowy.
{ }
15. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W x przez wielomian P x = x +1 x - 6 wiedząc, że reszty
( ) ( ) ( )( )
z dzielenia wielomianu W x przez x +1 i x - 6 wynoszą odpowiednio  5 i 9.
( ) ( ) ( )
16. Wykaż, że jeśli liczba 2 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W x = x4 - 4x3 +10x2 - 24x + m ,
( )
to ten wielomian nie ma innych pierwiastków rzeczywistych.
x - 2
17. Rozwiąż nierówność e" 2 .
2x + 6
Klasa 3c Wielomiany i funkcja wymierna 1 Powtórzenie
3
ż#
y =-
�#
18. Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ x .
�#
�#
y = x2 - 4
�#
19. Wielomian W x jest czwartego stopnia i ma dwa pierwiastki dwukrotne 3 i 6. Wyznacz wzór tego
( )
wielomianu, jeśli wiadomo, że do jego wykresu należy punkt A 4, 8 .
( )
1
20. Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f x = jest zbiór wszystkich
( )
x2 + m x2 - mx + 3
( )( )
liczb rzeczywistych?
1
ż#x"R 24
21. Wyznacz zbiór A )" B , jeśli A = : - > 0�# i B = x " R : x3 x -1 2 - x x + 5 e" 0 .
( ) ( )( )
�#Ź#
{ }
x
�#�#
22. Dla jakich wartości parametru proste y = x - 4 i y = -3x + m przecinają się na hiperboli o równaniu
3x
y = ?
x -1
23. Wykaż, że nie istnieje parametr m taki, że funkcja określona wzorem
ż# - mx2 + x +12
x3
4
�# dla x " R -{ } jest wielomianem drugiego stopnia.
f x =
( )
�# x - 4
�#m dla x = 4
�#
y = x
ż#
24. Para liczb x, y jest rozwiązaniem układu równań . Naszkicuj wykres funkcji
( )
�#
y = mx + 2
�#
f m = x + y .
( )
ż# m -1 x - 2y = 2
( )
�#
25. Dany jest układ równań liniowych z parametrem m: . Zbadaj liczbę rozwiązań tego
�#
( )
�#x + m + 2 y =1
�#
x
układu równań ze względu na wartość parametru m. Narysuj wykres funkcji f m = , gdzie para
( )
2 y
x, y jest rozwiązaniem tego układu.
( )
x2 +1 1 x
26. Rozwiąż równanie + = , gdzie a jest parametrem rzeczywistym.
ax
a2x - 2a - 2 a
27. Wykaż, że równanie ax3 + b - 4 x2 + cx + d = 0 , gdzie a, b, c i d tworzą rosnący ciąg kolejnych liczb
( )
naturalnych nieparzystych, ma tylko jedno rozwiązanie.
3 5
�# ś# �# ś#
28. Liczby i są pierwiastkami wielomianu W x = x3 + ax2 +17x + b .
( )
ś# ś#3ź#
2ź#
�# # �# #
a) Wyznacz wartości parametrów a i b.
b) Znajdz
trzeci pierwiastek wielomianu.
6 + a x -1
c) Rozwiąż nierówność e" 0 .
bx -15
29. W prostokątnym układzie współrzędnych wyznacz zbiór tych wszystkich punktów o współrzędnych
m, n takich, że funkcja f x = x2 - 2mx + n +1 ma dwa różne miejsca zerowe należące do przedziału
( ) ( )
(-1; 1 .
)
3 1
30. Z równania + =1 wyznacz y jako funkcję f zmiennej x i narysuj wykres funkcji y = f x .
( )
x +1 y - 3