3. FUNKCJE ZESPOLONE.
1. Znalez
ć część rzeczywistą i część urojoną
funkcji zespolonej
Odpowiedzi.
a) f ( z) iz i. b) f (z) z2
1. a) u y, v x 1
1
b)
c) f (z) zez. d) f (z) u x2 y2 , v 2xy
z
u ex (x cos y y sin y),
e) f (z) z2 f) f ( z) arg z
c)
g) f (z) 2z2 3z 1 v ex (y cos y xsin y)
1
z 1
x y
h) f (z) i) f (z)
d) u , v
z
1 z2
x2 y2 x2 y2
2. Sprawdzić, czy następujące funkcje są
e) u x2 y2 , v 2xy
holomorficzne.
y
y
1
f) u arctg , v 0
a) f (z) ln(x2 y2 ) iarctg
x
2 x
y
x
g) u 2x2 2y2 3x 1, v 4xy 3y
b) f (z) i
x2 y2 x2 y2
2
1 x2 y
y
x u ,
c) f (z) i
2 2
x2 y2 x2 y2 (1 x2 y )2 4x2 y
h)
2xy
d) f (z) (x4 6x2 y2 y4 ) 4xy(x2 y2 )i
v
2 2
2
(1 x2 y )2 4x2 y
e) f (z) ex y2 (cos2xy i sin2xy)
x y
i) u 1 , v
3. Znalez
ć część urojoną pewnej funkcji holomorfi-
x2 y2 x2 y2
cznej f (z), jeśli znana jest jej część rzeczywista.
2. a,c,d,e tak b) nie
a) u(x, y) x ex cosy
b) oraz
u(x, y) ln(x2 y2 )
3. a) v(x, y) y ex sin y C
f ( 1 i) ln 2 3i
y
b) v(x, y) 2arctg C
x
c) u(x, y) x2 y2 xy
y
f (z) ln(x2 y2 ) i(2arctg C) ,
x
2
d) u(x, y) x3 6x2 y 3xy 2y3
1
C 3
2
4. Znalez
ć część rzeczywistą pewnej funkcji holo- 1
c) v(x, y) 2xy y2 1 x2 C
2 2
morficznej f (z), jeśli znana jest jej część urojona.
d) v(x, y) 2x3 3x2 y 6xy2 y3 C
a) v(x, y) x2 y2
y
b) v(x, y) 4. a) u(x, y) 2xy C
x2 y2
x
c) v(x, y) 4xy 2y oraz f (1 2i) 5 12i
b) u(x, y) C
x2 y2
5. Obliczyć
c) u(x, y) 2x 2x2 2y2 C
a) Ln( 1) b) Ln8( 3 i)
,
f (z) 2x 2x2 2y2 C i(4xy 2y)
c) Ln(5 5i) d) cos(3 i)
C 9
e) sin(1 i) f) cos(5 i)
11
5. a) (2k 1)i b) ln16 i (2k )
6
g) 2i h) (1 i)i
1
3
1
c) ln5 2 i (2k ) d) ch1 i sh1
2 2
4
6. Wykazać, że
e) ch1sin1 ish1cos1 ch1cos5 ish1sin5
f)
a) sin2 z cos2 z 1
g) h) wskazówka A eln A
b) cosz cosz
2 k
g) e (cosln2 isinln2)
c) sin z cos(2 z)
2 k
4
h) e (cosln 2 i sinln 2)