FUNKCJE ZESPOLONE ĆWICZENIA 9/10  Funkcja zespolona zmiennej zespolonej
cz. II
ZAD. 1 (własności funkcji wykładniczej)
Pokazać , \
e :
a) eiz = cos z + i sin z, "z " C ,
b) ez `" 0, "z " C ,
1 2 1
c) ez ez = ez +z2 , "z1, z2 " C ,
d) ez = ez+T �! T = 2kĄi, k = ą1,ą2,... "z " C
ZAD.2
Pokazać, \
e funkcje f (z) = sin z ( f (z) = cos z) są nieograniczone.
ZAD.3
Pokazać , \
e :
2
1. cos2 z + sin z = 1 dla z " C ,
2
2. cos2 z - sin z = cos 2z dla z " C ,
3. sin(z + Ą ) = -sin z dla z " C ,
Ą
�ł
4. cos�ł - z = sin z dla z " C ,
�ł �ł
2
�ł łł
5. cos(z + T ) = cos z , T = 2kĄ , k = ą1,ą2 ą 3,... "z " C ,
6. sin(z + T ) = sin z , T = 2kĄ , k = ą1,ą2 ą 3,... "z " C
7. sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w dla z, w " C ,
8. sin(iy) = -i sinh y dla y " R ,
9. cos(iy) = cosh y dla y " R .
ZAD.4
Obliczyć:
1. eiĄ , e-iĄ ,
2. cos(1+ i) ,
3. ln(-i), ln(-2 + 3i), ln(-2), ln(1+ i), ln(-5i)
4. (1+ i)2i , (-2 + 2 3i)i
Ą
"
(1+ i)n " (3 + 4i)n " ( 4 i)n
5. sumę szeregu , ,
" " "
n! n! n!
n=0 n=1 n=1
"
(-1)n (1+ i)2n " (-1)n (1- i)2n+1
6. sumę szeregu , ,
" "
(2n)! (2n +1)!
n=0 n=0
ZAD.5
Rozwiązać równania :
1. cos z = 2i dla z " C ,
5
2. cos z = - dla z " C ,
4
3. cos z = 0 dla z " C ,
4. sin z = 0 dla z " C ,
5. ez = 1, z " C .
ZAD.6
Wykorzystując warunek dostateczny istnienia pochodnej, zbadać w jakich punktach istnieje pochodna
funkcji f (z) . Obliczyć tę pochodną.
1. f (z) = (Re z + z)Im(z)
2. f (z) = (3 + z)Im(z)
3. f (z) = cos z
2
4. f (z) = ze|z|
z
5. f (z) =
| ez |
6. f (z) =| z |2 eRe z
7. f (z) = z(Re z)2
ZAD.7
Sprawdzić, czy funkcja f (z) jest holomorficzna:
1. f (z) = z(Re z)
2. f (z) = ez , z " C
3. f (z) = (1+ z)2 , z " C
4. f (z) = sin z, z " C
ZAD.8
Znalez
ć funkcję holomorficzna f (z) = u(x, y) + iv(x, y) je\
eli :
1. u(x, y) = 2xy + y, f (-2) = i ,
2. v(x, y) = ex sin y + 2y, f (0) = 5