Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Tw.( Warunek wystarczajÄ…cy różniczkowalnoÅ›ci) Jeżeli funkcja f : Rn ƒ" D R ( D -
"f "f
otwarty, x " D ) ma pochodne cząstkowe : x" E (x) ( j = 1,..., n) w D, ciągłe w x , to f
"x "x
j j
jest różniczkowalna w sensie Frecheta w x .
Dow: dla n=2
x = (x1, x2) h = (h1, h2 )
f (x + h) - f (x) = f (x1+h1, x2 + h2) - f (x1, x2) =
f (x1 + h1, x2 + h2) - f (x1, x2 + h2) + f (x1, x2 + h2) - f (x1, x2) =
z tw. Lagrange a o wartości średniej
"f "f "f "f
= (c1)h1 + (c2)h2 = (x)h1 + (x)h2 +
"x1 "x2 "x1 "x2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"f "f "f "f
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ (c1) - (x)÷Å‚h1 + (c2) - (x)÷Å‚h2
ìÅ‚
"x1 "x1 Å‚Å‚ ìÅ‚ "x2 "x2 Å‚Å‚
íÅ‚ íÅ‚
Wystarczy pokazać, że r(x,h) = o(||h||) czyli, że
"f "f "f "f
h1 h2
lim(0,0) (c1) - (x) + (c2) - (x) = 0 .
2 2 2 2
(h1 ,h2 )
"x1 "x1 h1 + h2 "x2 "x2 h1 +h2
Jest to prawda, gdyż
"f "f "f "f
lim(0,0) (c1) - (x) = 0 i lim(0,0) (c2) - (x) = 0 z ciągłości pochodnych
(h1 ,h2 ) (h1 ,h2 )
"x1 "x1 "x2 "x2
h1 h2
cząstkowych w x a wyrażenia i są ograniczone,
2 2 2 2
h1 +h2 h1 +h2
Interpretacja geometryczna pochodnej
Niech f : X ƒ" D Y .Zbiór punktów W = {(x, f (x))" X ×Y : x " D ‚" X} nazywamy
wykresem funkcji f : X ƒ" D Y .
Fakt. Jeżeli funkcja f : X ƒ" D Y jest różniczkowalna w punkcie a"D to wektor s"X×Y jest
styczny do wykresu W funkcji f w punkcie (a,f(a)) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wektor
h"X taki, że
s=(h, f '(a)Å"h)
Tw. Jeżeli funkcja f : X ƒ" E Y jest różniczkowalna w punkcie a"E, to hiperpÅ‚aszczyzna w X×Y o
'
równaniu y = f (a) + f (a)(x - a) jest hiperpłaszczyzną styczną do wykresu funkcji f w punkcie
(a,f (a)) .
Przypadki szczególne
1
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
x(t)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y(t)śł
" r :[Ä…, ²] t r(t) = " R3 jest funkcjÄ… wektorowÄ…, którÄ… interpretujemy jako opis
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚z(t)śł
ûÅ‚
parametryczny krzywej w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest różniczkowalna w punkcie t0"[Ä…,²]
Pochodna r'(t0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R w R3 reprezentowanym przez
îÅ‚ Å‚Å‚
x'(t0)
macierz
r'(t0) =ïÅ‚y'(t0)śł
ïÅ‚ śł. Prosta o równaniu parametrycznym r = r(t0 ) + r' (t0 )(t - t0 ) jest
ïÅ‚z'(t0)śł
ðÅ‚ ûÅ‚
stycznÄ… do krzywej r = r(t) w punkcie r0 = r(t0 ) .
x(u,v)
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚y(u,v)śł
" r :[a,b]×[c,d] (u,v) r(u,v) = " R3 jest funkcjÄ… wektorowÄ…, którÄ…
ïÅ‚ śł
ïÅ‚
ðÅ‚z(u,v)śł
ûÅ‚
interpretujemy jako opis parametryczny powierzchni w R3 . Załóżmy, że funkcja ta jest
różniczkowalna w punkcie (u0,v0)
Pochodna r'(u0,v0) jest odwzorowaniem liniowym ciągłym z R2 w R3 reprezentowanym przez
x
îÅ‚"u "xÅ‚Å‚
ïÅ‚"y "v śł
macierz .
r'(u0,v0) =ïÅ‚"u "yśł
" "v
z
ïÅ‚"u "zśł
ðÅ‚" "v ûÅ‚(u ,v0)
0
2
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
u
îÅ‚ - u0
Å‚Å‚
PÅ‚aszczyzna o równaniu parametrycznym r = r(u0 ,v0 ) + r' (u0 ,v0 )ïÅ‚ śł , które można
ðÅ‚v - v0 ûÅ‚
także zapisać w postaci:
r = r(u0,v0) + ru (u - u0) + ru (v - v0) ,
gdzie ru i rv oznaczają kolumny macierzy reprezentującej pochodną r'(u0,v0) jest płaszczyzną
stycznÄ… do powierzchni r = r(u,v) w punkcie r0 = r(u0 ,v0 ) .
Po rozpisaniu na współrzędne w postaci równanie płaszczyzny stycznej przybiera postać
x
îÅ‚"uÅ‚Å‚ îÅ‚"v Å‚Å‚
x x0 x
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚"yśł ïÅ‚"yśł
ïÅ‚yśł
.
=ïÅ‚y0śł+ïÅ‚"uśł(u-u0)+ïÅ‚"v śł(v-v0)
" "
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
z z
ïÅ‚"uśł ïÅ‚"v śł
ïÅ‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚zśł ðÅ‚z0ûÅ‚
ûÅ‚
ðÅ‚" ûÅ‚ ðÅ‚" ûÅ‚
Po przemnożeniu obu stron równania r - r0 = ru (u - u0 ) + rv (v - v0 ) skalarnie przez wektor
n = ru ×rv ortogonalny do ru i rv rugujemy parametry u i v i otrzymujemy ogólnÄ… postać
równania płaszczyzny stycznej
no(r - r0 ) = 0 , gdzie n = ru ×rv .
W szczególności jeśli powierzchnia jest wykresem funkcji 2 zmiennych z = f (x1, x2 ) , to
można ją zapisać parametrycznie przyjmując u=x1 i v=x2. Wówczas
"f
îÅ‚- Å‚Å‚
1 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
"u
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł "f
ru = 0 , rv = 1 , n = . Stąd płaszczyzna o równaniu
ïÅ‚- "v
śł
ïÅ‚"f śł ïÅ‚"f śł
ïÅ‚ śł
ïÅ‚"u śł ïÅ‚"v śł
1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
z - b = A1(x1 - a1) + A2 (x2 - a2 ) ,
"f "f
gdzie A1 = (a1, a2 ) , A2 = (a1,a2 ) b = f (a1, a2 ) jest styczna do powierzchni o
"x1 "x2
równaniu z = f (x1, x2 ) w punkcie (a1, a2 ,b) .
Def .Mówimy, że płaszczyzna o równaniu z - b = A1(x1 - a1) + A2 (x2 - a2 )
jest styczna do powierzchni o równaniu z = f (x1, x2 ) w punkcie (a1, a2 ,b) , gdzie b = f (a1, a2 )
f (x1,x2 )-[ A1( x1-a1)+ A2 (x2 -a2 )+b]
jeżeli lim = 0 .
(x1,x2 )-(a1,a2 )
(x1,x2 )(a1,a2 )
Uwaga. Każdy wektor zaczepiony w punkcie (a1, a2 ,b) i leżący w płaszczyz
nie stycznej, czyli wektor
postaci s=[h1,h2,A1h1+A2h2] jest styczny do powierzchni z = f (x1, x2 ) w punkcie (a1, a2 ,b) .
3
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
Przykłady
Å„Å‚x(t) = 2cost
r
ôÅ‚
1. Napisać równanie prostej stycznej do krzywej r (t) = y(t) = 2sin t , t"R w punkcie A(0,2,0).
òÅ‚
2
ôÅ‚z(t) = t Ä„
-
ół Ą 4
îÅ‚- 2
Å‚Å‚
r
ïÅ‚ śł
Ä„
Rozw. Punktowi A(0,2,0) odpowiada parametr t0 = . Ponadto r '(Ä„ ) = 0 . Wobec tego
2 2
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
1
ðÅ‚ ûÅ‚
x 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚- 2
Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚ ïÅ‚ śł
poszukiwane równanie stycznej jest następujące yśł = 2śł + 0 t .
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
zûÅ‚ 0ûÅ‚ 1
ðÅ‚ ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2. Napisać równanie płaszczyzny stycznej do powierzchni z=x2+y2 w punkcie A(1,2,5).
"z "z
Ogólnie z - z(x0 , y0 ) = (x , y )(x - x0 ) + (x , y )(y - y0 ) . W rozważanym przypadku
0 0 0 0
"x "y
z-5=2(x-1)+4(y-2).
Reguły różniczkowania
Tw. Jeżeli f : X ƒ" D Y X, Y  przestrzenie unormowane
g : X ƒ" D Y f , g - różniczkowalne w x " D , Ä…"R,
to f + g i ą g są różniczkowalne w x i
2 2 2
( f + g) (x) = f (x) + g (x)
2 2
(Ä… g) (x) = Ä… g (x)
f
Jeżeli Y = R , to dodatkowo ( f Å" g) i sÄ… różniczkowalne w x i
g
2
( f g) (x) = f '(x)g(x) + f (x)g'(x)
2
ëÅ‚ öÅ‚ f '(x) Å" g(x) - f (x) Å" g'(x))
f
ìÅ‚ ÷Å‚ (x) = ; g(x) `" 0
ìÅ‚ ÷Å‚
g g2(x)
íÅ‚ Å‚Å‚
Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)
1
Def. Mówimy, że funkcja f jest klasy CD jeżeli posiada w każdym punkcie zbioru D wszystkie
pochodne cząstkowe ciągłe w D , czyli jest F- różniczkowalna w każdym punkcie zbioru D.
4
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
RÓŻNICZKOWANIE ZA
OŻENIA
X ,Y, Z - przestrzenie unormowane , E ‚" X - otwarty x " E f (E) ‚" D
f : X ƒ" E Y g : Y ƒ" D Z
Tw. Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie x " E (E  otwarty) i g jest różniczkowalna w
punkcie f (x) , to złożenie gof jest funkcją różniczkowalną w punkcie x " E i
2 2 2
(gof ) (x) = g ( f (x)) f (x) .
Jeżeli f jest funkcją klasy C1 i g jest funkcją klasy C1 , to gof też jest klasy C1 .
E D E
Dowód. (jak dla funkcji jednej zmiennej)
(gof )(x + h) - (gof )(x) = g( f (x + h)) - g( f (x)) =
= g'( f (x))( f (x + h) - f (x))+ r1( f (x), f (x + h) - f (x)) =
= g'( f (x))( f '(x)h + r2(x,h))+ r1( f (x), f (x + h) - f (x)) =
= g '( f (x)) f '(x)h + g '( f (x)) r2 (x,h) + r1( f (x), f (x + h) - f (x))
Trzeba pokazać, że || g'( f (x))r2(x,h) + r1( f (x), f (x + h) - f (x)) ||= o(|| h ||) - dokładnie tak
jak dla funkcji jednej zmiennej)
I przypadek szczególny (norma euklidesowa)
y1 = f1(x1,..., xn ) z1 = g1(y1,..., ym )
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
f : Rn ƒ" E Rm f : g : Rm ƒ" D Rk g :
òÅ‚M òÅ‚M
ôÅ‚y = fm (x1,..., xn ) ôÅ‚z = gk ( y1,..., ym )
m k
ół ół
Õ = gof : Rn ƒ" E Rk
"Õ1 "Õ1
îÅ‚
(x) (x)Å‚Å‚
ïÅ‚
"x1 "xn śł
ïÅ‚ śł
(gof )'(x) = O =
ïÅ‚ śł
ïÅ‚"Õ (x) "Õk (x)śł
k
ïÅ‚
"x1 "xn śł
ðÅ‚ ûÅ‚k×n
5
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
"g1 "g1 "f1 "f1
îÅ‚
( f (x)) ( f (x))Å‚Å‚ îÅ‚ (x) (x)Å‚Å‚
ïÅ‚
"y1 "ym śł ïÅ‚ "x1 "xn śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
= O O
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚"g ( f (x)) "gk ( f (x))śł ïÅ‚"f (x) "fm (x)śł
k m
ïÅ‚
"x1 "ym śł ïÅ‚ "x1 "xn śł
ðÅ‚ ûÅ‚k×m ðÅ‚ ûÅ‚m×n
Dla przykładu
Õi (x1,..., xn ) = gi ( f1(x1,..., xn ),..., fm (x1,..., xn ))
m
"f
"Õi "gi
p
StÄ…d (x1,..., xn ) = ( f1(x1,..., xn ),..., fm (x1,..., xn )) (x1,..., xn ) ; i=1,...,k; j=1,...,n
""y
"x "x
j p=1 p j
II-gi przypadek szczególny
Õ(x) = g(y1(x),..., yn (x)) R R
2
f1(x)
îÅ‚ Å‚Å‚
n
îÅ‚
"g "g "g
śł
2 2
Õ (x) = ( f (x)),..., ( f (x))Å‚Å‚ïÅ‚M = ( f (x))fi (x)
ïÅ‚"y ""y
"yn śłïÅ‚ śł i=1 i
ðÅ‚ 1 ûÅ‚ïÅ‚ f1(x)ûÅ‚
2 śł
ðÅ‚
(dlatego  zwykłe fi' (x) , bo pochodne cząstkowe funkcji jednej zmienne to "zwykłe" pochodne)
Uogólnienie twierdzenia Lagrange a o wartości średniej
Tw. Niech f : Rn ƒ" E R (E  otwarty, a,b " E , odcinek ab ‚" E ) bÄ™dzie funkcjÄ… różniczkowalnÄ…
w każdym punkcie odcinka ab . Wówczas istnieje c"int ab takie, że
2
f (b) - f (a) = f (c)(b - a) . [int  interior  wnętrze]
Dow. Parametryzujemy odcinek ab x(t) = a + t(b - a) t "[0,1]
Funkcja Õ(t) = f (x(t)) jest funkcjÄ… R R ciÄ…gÅ‚Ä… na [0,1] (jako zÅ‚ożenie funkcji ciÄ…gÅ‚ych) oraz
różniczkowalną w (0,1) , czyli spełnia założenia tw. Lagrange a, więc
6
Automatyka i Robotyka  Analiza  Wykład 16  dr Adam Ćmiel  [e-mail]
2
Õ(1)- Õ(0) = Õ (¸ )(1 - 0) ¸ "(0,1)
|| ||
- tw. Lagrange a dla Õ (jednej zmiennej)
2
f (b) - f (a) = f (x(¸ ))(b - a) x(¸ ) = c
Tw.(o różniczkowaniu funkcji odwrotnej). Jeżeli f : Rn ƒ" E Rn jest klasy C1 (E  otwarty)
E
2
oraz macierz f (a) jest odwracalna dla pewnego a" E , to wówczas istnieją zbiory otwarte
1:1
U ‚" E ‚" Rn i V ‚" Rn takie, że a"U , b = f (a)"V i f :U "!V - bijekcja.
-1 1 -1
2 2
Ponadto funkcja g odwrotna do f (czyli g = f ) jest klasy CV oraz g (b) = [f (a)] - macierz
odwrotna.
Komentarz zamiast dowodu:
Istnienie zbiorów U,V i funkcji odwrotnej do g wymaga dowodu np. z twierdzenia Banacha o
punkcie stałym (Rudin str. 186). Wzór na pochodną jest natychmiastową konsekwencją tw. o
różniczkowaniu funkcji złożonej:
g[f (x)]= x
2 2
g ( f (x)) f '(x) = In×n ( f (x))-1
2 2
g ( f (x)) = ( f (x))-1
7