Janusz Kacerka
Dyskretne Układy
Regulacji
                                       
Semestr 5 Elektrotechnika
Rozdział 3 - 4
Spis treści
3. FUNKCJE DYSKRETNE I RÓWNANIA RÓŻNICOWE......................................................................................................................................................3
3.1 FUNKCJE DYSKRETNE................................................................................................................................................................................................................3
3.2 OPIS UKA
ADÓW DYSKRETNYCH W PRZESTRZENI STANÓW .........................................................................................................................................................7
4.PRZEKSZTAA
CENIE Z............................................................................................................................................................................................................20
4.1 DEFINICJA PRZEKSZTAA
CENIA Z..............................................................................................................................................................................................20
4.2 WYBRANE WA
AŚCIWOŚCI PRZEKSZTAA
CENIA Z.......................................................................................................................................................................25
4.3 TRANSMITANCJA DYSKRETNA .................................................................................................................................................................................................30
LITERATURA ...............................................................................................................................................................................................................................61
2
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
3. Funkcje dyskretne i równania różnicowe
Do analizy i syntezy układów dyskretnych stosuje się funkcje dyskretne a w przypadku
liniowych układów stacjonarnych wykorzystuje się przekształcenie Z.
3.1 Funkcje dyskretne
Z dowolnej funkcji ciągłej y(t) można otrzymać funkcję dyskretną y(kTs). Operację taką
przedstawiono jako wynik działania idealnego klucza (rys.2.3). Dla uproszczenia zapisu i
zwykle z tego powodu, że okres impulsowania jest zadany i stały dla całego układu funkcje
dyskretna zapisuje się w postaci y(k), opuszczając oznaczenie Ts.
Ponieważ w układach dyskretnych operuje się na funkcjach dyskretnych, to nie można
stosować zwykłych pochodnych i równań różniczkowych. Analogiem pochodnej funkcji
ciągłej w układach dyskretnych jest różnica funkcji dyskretnej określona wzorem
3
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
(3.1)
"y(k)= y(k +1)- y(k)
We wzorze wprowadzono funkcję przesuniętą względem chwili k. Funkcje dyskretne
mogą być przesunięte w lewo (przyspieszone) o zadaną liczbę okresów impulsowania albo
w prawo (opóz
nione).
y(k) y(k)
k k
1 2
3 4 5 3 4 5
0 0 1 2
Rys.3.1. Funkcja dyskretna przesunięta w lewo o 2 okresy  y(k+2)
4
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
y(k) y(k)
k k
1 2 3 4 5 3 4 5
1
0 0 2
Rys.3.2. Funkcja dyskretna przesunięta w prawo o 2 okresy  y(k-2)
Podobnie jak w układach ciągłych pochodne wyższych rzędów tak i tutaj występują
różnice wyższych rzędów
(3.2)
"2 y(k)= "y(k +1)- "y(k)= y(k + 2)- y(k +1)- y(k +1)+ y(k)= y(k + 2)- 2y(k +1)+ y(k)
(3.3)
"3y(k)= "2 y(k +1)- "2 y(k)= y(k + 3)- 3y(k + 2)+ 3y(k +1)- y(k)
i ogólnie różnica rzędu n
5
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
(3.4)
"n y(k)= "n-1y(k +1)- "n y(k)
Układ dyskretny można opisać równaniem różnicowym postaci
ap"p y(k)+ ap-1"p-1y(k)+,,,+a1"y(k)+ a0 y(k)=
(3.5)
= bq"qu(k)+ bq-1"q-1u(k)+,,,+b1"u(k)+ b0u(k)
gdzie y  dyskretny sygnał wyjściowy, u - dyskretny sygnał wejściowy, pe"q
Ze względu na możliwość operowania funkcjami przesuniętymi równanie przedstawia
się także w postaci
p q
(3.6)
"c y(n + k)= "d u(n + k)
k k
k =0 k =0
Rozwiązanie równania wymaga p wartości sygnałów y tj. y(0),y(1)...y(p-1) i znanego
przebiegu sygnału wejściowego u(n)
6
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
3.2 Opis układów dyskretnych w przestrzeni stanów
Równania dyskretne obiektu mogą być także przedstawione w przestrzeni stanów.
Systemem (układem) dynamicznym, liniowym, stacjonarnym, dyskretnym nazywa się
system, którego funkcja stanu jest rozwiązaniem równania różnicowego
x(k + 1) = Ax (k )+ Bu (k ), x(k ) = x(0)
(3.7)
k = 0
i którego funkcja wyjścia jest określona liniowym równaniem algebraicznym
y(k ) = Cx (k )+ Du (k ), (3.8)
gdzie:
x(k)" Rn  wektor stanu układu,
u(k)" Rp  wektor wejścia układu,
y(k)" Rm  wektor wyjścia układu,
A,B,C,D  macierze rzeczywiste,
7
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
równanie (1)  równanie stanu,
równanie (2)  równanie wyjścia,
n  stopień równania stanu,
p  liczba wejść,
m  liczba wyjść,
k  indeks skalarny, przyjmujący wartości całkowite dodatnie reprezentuje kolejne
dyskretne momenty czasu [12]
x[(k + 1)Ti ] = A(kT )x (kT )+ B (kT )u (kT )
(3.9)
i i i i
y[kT ]= C (kT )x(kT )+ D (kT )u(kT )
(3.10)
i i i i i
Równania (3.9),(3.10) są równaniami różnicowymi układów liniowych niestacjonarnych z
uwzględnieniem okresu impulsowania Ti. Okres impulsowania oznacza się także Ts (sample
8
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
time)
x(k + 1) = A(k )x(k )+ B(k )u(k )
(3.11)
y(k ) = C (k )x(k )+ D (k )u (k )
(3.12)
Równania (3.11) i (3.12) są równaniami różnicowymi układów liniowych
niestacjonarnych z domyślnym okresem impulsowania. Na rysunku 3.3 przedstawiono
schemat blokowy niestacjonarnego układu dyskretnego.
D(k)
x(k+1) x(k)
u(k) y(k)
Opóz
nienie
B(k) C(k)
Ti
A(k)
9
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
Rys.3.3.Schemat blokowy liniowego, niestacjonarnego, dyskretnego układu sterowania
Na schemacie zaznaczono człon opóz
niający o jeden okres impulsowania. Wynika to
z zasady obliczeń, wymagających pamiętania poprzednich stanów (Przykład 2.1).
Przedstawione równania są równaniami dotyczącymi bardzo ogólnych przypadków,
gdzie występuje więcej wejść i wyjść niż jedno (układy MIMO). W układach omawianych
na wykładzie najczęściej występuje jedno wejście i jedno wyjście (układy SISO).
Przykład 3.1
Dane jest równanie różnicowe układu z jednym wejściem i jednym wyjściem
(3.13)
y(k + 3)+ a2 y(k + 2)+ a1y(k +1)+ a0 y(k)= b0u(k)
Przedstawić równanie w przestrzeni stanów, przyjmując zmienną stanu x1(k)=y(k) oraz
10
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
x2(k)= x1(k +1)= y(k +1)
(3.14)
x3(k)= x2(k +1)= y(k + 2)
Wyjściowe równanie różnicowe można wówczas zapisać w następujący sposób
x1(k +1)= x2(k)
x2(k +1)= x3(k)
(3.15)
x3(k +1)= -a0x1(k)- a1x2(k)- a2x3(k)+ b0u(k)
y(k)= x1(k)
Macierze stanu, wejścia, wyjścia i transmisyjna przyjmą następujące postaci
x(k +1)= Ax(k)+ Bu(k) y(k)= Cx(k)+ Du(k)
0 1 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
(3.16)
ó# Ą# ó# Ą#
A = 0 0 1 B = 0 C = [1 0 0] D = [0]
ó# Ą# ó# Ą#
ó#- a0 - a1 - a2 Ś#
Ą# ó# Ą#
0
Ł# Ł#b Ś#
Równania mają ilustrację w postaci schematu blokowego
11
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
x3(k)= x2(k)=
x3(k+1) x2(k+1) x1(k+1) x1(k)
y(k)
Opóz
- Opóz
- Opóz
-
u(k)
1
nienie nienie nienie
b0
Ts Ts Ts
-a2
-a1
-a0
Rys.3.3.Schemat blokowy układu z przykładu 3.1
Rozwiązanie układu równań różnicowych liniowych można uzyskać metodą klasyczną w
następujący sposób.
12
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
Dane są warunki początkowe
x(k) = x0 (3.17)
k =0
oraz wartości sygnału wejściowego u(k).
W kolejnych chwilach otrzymuje się następujące wartości
n = 0 x(1)= Ax0 + Bu(0)
n =1 x(2)= Ax(1)+ Bu(1)= A2x0 + ABu(0)+ Bu(1)
(3.18)
,
n = 2 x(3)= Ax(2)+ Bu(3)= A3x0 + A2Bu(0)+ ABu(1)+ Bu(2)
a ogólnie
i=n-1
x(n)= Anx0 + An-1-iBu(i) (3.19)
"
i=0
Macierz An nazywa się macierzą podstawową układu równań różnicowych.
13
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
Wyznaczanie równań różnicowych w przestrzeni stanów układów opisanych w
dziedzinie układów ciągłych za pomocą układu równań pierwszego rzędu rozpatruje się dla
dwóch przypadków
a) układ ciągły jest poprzedzony impulsatorami idealnymi (tyle impulsatorów ile wejść).
b) układ ciągły jest poprzedzony ekstrapolatorami zerowego rzędu.
Przy wyznaczaniu równań korzysta się z rozwiązania układu równań różniczkowych w
przedziale [k,k+1]. Ogólna postać rozwiązania układu równań różniczkowych o stałych
współczynnikach jest określona wzorem
t
A(t-�)
0
x(t)= eA(t-t )x0 + (3.20)
+"e Bu(�)d�
t0
Schematy blokowe omawianych układów przedstawiono na rysunkach 3.4 i 3.5.
14
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
&
x = A1x + B1u
y = C1x + D1u
Rys.3.4.Układ ciągły opisany w przestrzeni stanów z impulsatorem idealnym
&
x = A1x + B1u
y = C1x + D1u
Ekstrapolator
zerowego
rzedu
Rys.3.5.Układ ciągły opisany w przestrzeni stanów z ekstrapolatorem
Ciąg impulsów wyjściowych idealnego impulsatora
15
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
(3.21)
u*(t)= u(kTi)� (t - kTi) k = 0,1,2,...
We wzorze (3.20) przyjęto x0=x(kTi), t=(k+1)Ti, t0=kTi,
Wektor stanu po upływie okresu impulsowania
(k +1)Ti
A1[(k +1)Ti -�]
1
(3.22)
x[(k +1)Ti]= eA Ti x(kTi )+ B1u(kTi )d�
+"e
kTi
Ze względu na filtrujące właściwości impulsów Diraca w całce otrzymuje się
1 1
(3.23)
x[(k +1)Ti]= eA Ti x(kTi )+ eA Ti B1u(kTi )
Macierze układu dyskretnego
1 1
(3.24)
A = eA Ti B = eA Ti B1 C = C1 D = D1
Drugi z omawianych układów dotyczy impulsów prostokątnych na wyjściu elementu
formującego
16
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
(k +1)Ti
A1[(k +1)Ti -�]
1
(3.25)
x[(k +1)Ti]= eA Ti x(kTi )+ B1u(kTi )d�
+"e
kTi
Po zmianie granic całkowania otrzymuje się najpierw
Ti
A1t
1
(3.26)
x[(k +1)Ti]= eA Ti x(kTi)+
+"e B1u(kTi)dt
0
a następnie macierze układu następującej postaci
1 1
(3.27)
A = eA Ti B = A1-1[eA Ti -1]B1 C = C1 D = D1
Przykład 3.2
Dany jest element inercyjny pierwszego rzędu, opisany równaniem
17
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
1 k
&
x = - x + u
(3.28)
T T
y = x
Należy wyznaczyć dyskretne równania stanu dla układu poprzedzonego impulsatorem
idealnym i ekstrapolatorem zerowego rzędu.
Ustalono macierze układu ciągłego. Są to
1 k
(3.29)
A1 = - B1 = C1 = 1 D1 = 0
T T
Korzystając ze wzoru (3.24) otrzymuje się
Ti Ti
- -
k
T T
(3.30)
A = e B = e C = 1 D = 0
T
18
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 3
W drugim przypadku skorzystano ze wzoru (3.27)
Ti Ti
- �# - ś#
T T
ź# (3.27)
A = e B = kś#1- e C = 1 D = 0
ś# ź#
�# #
W układach dyskretnych liniowych stosuje się przekształcenie Z, które umożliwia
operowanie równaniami algebraicznymi zamiast równaniami różnicowymi.
19
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
4.Przekształcenie Z
4.1 Definicja przekształcenia Z
Dla funkcji dyskretnej f(kTs) transformatą F(z), nazywa się sumę szeregu
nieskończonego
"
(4.1)
F(z)= f (kTi )z-k
"
k =0
Transformata istnieje, jeżeli szereg jest zbieżny. Zmienna z jest zmienna zespoloną.
Funkcja dyskretna f(kTi) albo f(k) nazywa się oryginałem dyskretnym, a f(t) 
oryginałem ciągłym.
Przykład 4.1
Dana jest funkcja dyskretna jednostkowa określona wzorem:
20
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
1 dla n e" 0
ż#
(4.2)
1(n)=
�#0 dla n < 0
�#
Jej przebieg pokazano na rysunku
1(n)
1
n
1 2
3 4 5
0
Rys.4.1.Jednostkowa funkcja dyskretna
Suma szeregu (4.1) ma postać
21
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
"
1 1 1 1 z
(4.3)
1(z)= z-k = 1+ + + +L+ +L =
"
z z2 z3 zk z -1
k =0
Jest to suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 1 i ilorazie 1/z. Dla |1/z|<1
szereg jest zbieżny.
Przykład 4.2
Dana jest funkcja dyskretna wykładnicza określona wzorem
i
ż#
e-ąnT dla n e" 0
i
(4.4)
e-ąnT 1(n) =
�#
0 dla n < 0
�#
Transformata Z tej funkcji ma postać
22
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
"
i i i i
e-ąT e-ą2T e-ą3T e-ąkT
-ąnTi
i
Z[e-ąnT 1(n)]= z-k = 1+ + + +L+ +L =
"e
z z2 z3 zk
k =0
(4.3)
i
z e-ąT
= ; warunek < 1
i
z - e-ąT z
Tablica transformat wybranych funkcji
Funkcja ciągła f(t) Funkcja dyskretna f(n) Transformata F(z)
� (t) 1
�(nTs)
z
1(t)
1(nTs )
z -1
23
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Funkcja ciągła f(t) Funkcja dyskretna f(n) Transformata F(z)
Ts �" z
t �" 1(t)
(nTs )�" 1(nTs )
(z -1)2
z
s
eąat �" 1(t) eąanT �" 1(nTs )
s
z - eąaT
z
s
anT �" 1(nTs )
at �" 1(t)
z - a
z
eą j�t �"1(t) eą j�nTs �"1(nTs )
z - eą j�Ts
s
s zTse-aT
te-at �"1(t) (nTs )e-anT �"1(nTs )
2
s
(z - e-aT )
24
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
4.2 Wybrane właściwości przekształcenia Z
Transformata funkcji dyskretnej przesuniętej w lewo o k okresów impulsowania
k -1
(4.4)
Z[f (n + k)]= zk F(z)- f (i)zk -i
"
i=0
W przypadku szczególnym, gdy
(4.5)
f (0)= f (1)= L = f (k -1)= 0
(4.6)
Z[f (n + k)]= zk F(z)
Transformata funkcji opóz
nionej o k okresów impulsowania
(4.7)
Z[f (n - k)]= z-k F(z)
Transformata różnicy funkcji dyskretnej
(4.8)
Z["f (n)]= (z -1)F(z)- zf (0)
25
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Suma funkcji dyskretnej i jej transformata.
Suma funkcji dyskretnej jest określona wzorem
i=n-1
(4.9)
�(n) = f (i)
"
i=0
Pierwsza różnica sumy funkcji dyskretnej jest określona wzorem
i=n i=n-1
(4.10)
"�(n) = �(n +1) - �(n) = f (i)- f (i)= f (n)
" "
i=0 i=0
Transformata sumy funkcji dyskretnej
F(z)
(4.11)
Z[�(n)]= gdzie F(z)= Z[f (n)]
z -1
Splot funkcji dyskretnych i jego transformata
Splotem funkcji dyskretnych nazywa się funkcję dyskretną przyjmującą postać
26
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
n
(4.12)
f1(n)* f2(n)= f1(i)f2(n - i)
"
i=0
Można zauważyć, że odpowiedz
układu dynamicznego na ciąg impulsów Diraca z
wagami w postaci wartości sygnału ciągłego (odpowiedz
na sygnał impulsowy) jest
splotem funkcji dyskretnych (wzór 2.7). Transformata splotu funkcji dyskretnych
n
Ą#
(4.11)
Z[f1(n)* f2(n)]= Z f1(i)f2(n - i)ń# = F1(z)F2(z)
"
ó# Ą#
Ł# i=0 Ś#
Wynika stąd, że transformata Z odpowiedzi dyskretnej układu y(n) jest określona
wzorem
Ą#k=n
(4.12)
Y(z)= Z[y(n)]= Zó# =
"u(k)g(n-k)ń# Z[u(k)]�"Z[g(k)]=U(z)G(z)
Ą#
Ł#k=0 Ś#
27
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Wielkość G(z) nazywa się transmitancją dyskretną. Jej postać wyprowadza się
zazwyczaj na podstawie równania różnicowego.
Twierdzenia o wartościach granicznych funkcji dyskretnych.
Z transformaty funkcji dyskretnej można uzyskać informacje o jej wartości
początkowej tzn. dla n=0 oraz o wartości dla n"
Wartość początkowa funkcji dyskretnej
z -1
(4.13)
f (0)= lim f (n)= lim F(z)= lim F(z)
n0 z" z"
z
Wartość końcowa funkcji dyskretnej
z -1
(4.14)
f (")= lim f (n)= lim F(z)
n" z1
z
Przykład 4.3
28
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Dana jest transformata dyskretnej funkcji wykładniczej
z
(4.15)
F(z)=
s
z - e-ąT
Należy wyznaczyć wartość początkową i końcową funkcji dyskretnej dla ą>0.
Ze wzoru (4.13) wartość początkowa wykładniczej funkcji dyskretnej
z
(4.16)
f (0)= lim f (n)= lim =1
s
n0 z"
z - e-ąT
a ze wzoru (4.14) wartość końcowa funkcji dyskretnej
z -1 z
(4.17)
f (")= lim f (n)= lim = 0
s
n" z1
z z - e-ąT
29
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
4.3 Transmitancja dyskretna
Transmitancję wyprowadza się z równania różnicowego zbudowanego z funkcji
przesuniętych
(4.18)
ak y(n + k) + ak -1y(n + k -1) + ...+ a1y(n +1) + a0y(n) = bmu(n + m) + ...+ b1u(n +1) + b0u(n)
gdzie ke"m. Inna postać równania
j=m
i=k
(4.19)
"a y(n + k - i)= "b u(n + m - j)
k-i m- j
i=0 j=0
Obie strony równania poddaje się transformacji Z przy zerowych warunkach
początkowych, otrzymując przy wykorzystaniu transformat funkcji przesuniętych
j=m
i=k
j
(4.20)
zk -iY(z)=
"a -i "b zm- U(z)
k m- j
i=0 j=0
30
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy
zerowych warunkach początkowych nosi nazwę transmitancji dyskretnej
j=m
j
"b zm-
m- j
Y(z) bmzm + bm-1zm-1 +L+ b1z + b0
j=0
(4.21)
G(z)= =
i=k
U(z)= ak zk + ak-1zk-1 +L+ a1z + a0
"a zk-i
k-i
i=0
Przykład 4.4
Dane jest równanie różnicowe drugiego rzędu
(4.22)
a2 y(n + 2)+ a1y(n +1)+ a0 y(n)= b1u(n +1)+ b0u(n)
Wyznaczyć transmitancję dyskretną układu.
Przekształcenie Z obu stron równania przy zerowych warunkach początkowych
31
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
(4.23)
a2z2Y(z)+ a1zY(z)+ a0Y(z)= b1zU(z)+ b0U(z)
Transmitancja dyskretna
Y(z) b1z + b0
G(z)= = (4.24)
U(z) a2z2 + a1z + a0
Koniec przykładu.
Transformata odpowiedzi układu dyskretnego jest określona wzorem
(4.25)
Y(z)= G(z)U(z)
Wyznaczanie funkcji dyskretnej na podstawie transformaty Z
Transformata odpowiedzi nie jest wystarczająca do oceny zachowania układu
dyskretnego. Należy zbadać także przebieg funkcji dyskretnej odpowiedzi badanego
32
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
układu. Stosuje się ogólna metodę znaną jako odwrotne przekształcenie Z. W prostszych
przypadkach można zastosować rozkład funkcji zespolonej Y(z) na szereg potęgowy.
Funkcja zespolona Y(z) jest najczęściej funkcja wymierną zmiennej zespolonej z
L(z) L(z)
Y(z)= G(z)U(z)= = (4.26)
M(z) cl zl + cl-1zl-1 +L+ c1z + c0
W wyrażeniu na Y(z) występuje oprócz transmitancji dyskretnej także transformata
sygnału wejściowego układu. Trzeba zwrócić uwagę na to, że oprócz miejsc zerowych
mianownika transmitancji wystąpią miejsca zerowe transformaty sygnału U(z), co jest
istotne przy wyznaczaniu przebiegu funkcji dyskretnych. Odwrotne przekształcenie Z
wymaga rozwiązania równania charakterystycznego transformaty, to znaczy równania
otrzymanego po przyrównaniu wielomianu mianownika do 0
33
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
(4.27)
cl zl + cl-1zl-1 +L+ c1z + c0 = 0
Pierwiastki równania w najprostszym przypadku są pojedyncze
(4.28)
z1, z2, z3,L, zl
Odwrotne przekształcenie Z jest określone wzorem
f (n)= [F(z)zn-1]
(4.29)
"Re sz
l
l
Res jest skrótem od residuum - pojęciem z dziedziny funkcji zespolonych. W
przypadku funkcji wymiernej (4.21) dla pierwiastków jednokrotnych składniki sumy mają
postać
Re sz [Y(z)zn-1]= lim[Y(z)(z - zl )zn-1]
(4.30)
l
zzl
34
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Dla pierwiastków wielokrotnych składniki sumy przyjmują postać zależną od
wielokrotności pierwiastków równania charakterystycznego
ml -1
1 d
ml
(4.31)
Re sz [Y(z)zn-1]= [Y(z)(z - zl ) zn-1]
zl
l
l
(ml -1)! dzm -1
gdzie ml jest krotnością pierwiastka zl.
Przykład 4.4
Wyznaczyć oryginał dyskretny transformaty funkcji dyskretnej
z
(4.32)
Y(z)=
(z - 0.1)(z + 0.2)
35
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Miejsca zerowe mianownika to z1=0.1 i z2=-0.2. Pierwiastki są jednokrotne a zatem
można stosować wzór (4.29) i (4.30).
Ą# z(z - 0.1) ń# Ą# z(z + 0.2) ń#
y(n)= zn-1Ą# + zn-1Ą#
ó# ó#
(z - 0.1)(z + 0.2) (z - 0.1)(z + 0.2)
Ł# Ś#z =0.1 Ł# Ś#z =-0.2
1 2
(4.33)
0.1 - 0.2 1
n-1 n-1 n
= (0.1) + (- 0.2) = [0.1n -(- 0.2) ]
0.3 - 0.3 0.3
Można sprawdzić, że wartość początkowa sygnału y(n) wyznaczona ze wzoru (4.33) i
z twierdzenia o wartości początkowej są sobie równe. Wartości początkowe wyznaczono
określając następujące granice:
36
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
z
y(0)= limY(z)= lim = 0
z" z"
(z - 0.1)(z + 0.2)
(4.34)
1
n n
y(0)= lim y(n)= lim [(0.1) -(- 0.2) ]= 0
n0 n0
0.3
Koniec przykładu.
Wyznaczanie oryginału transformaty przez rozkład na szereg potęgowy.
Przykład 4.5
Wyznaczyć oryginał dyskretny transformaty funkcji dyskretnej z przykładu 4.4
z z
(4.35)
Y(z)= =
(z - 0.1)(z + 0.2) z2 + 0.1z - 0.2
stosując rozwinięcie na szereg potęgowy zmiennej z.
Po podzieleniu licznika i mianownika transformaty przez najwyższa potęgę
37
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
mianownika i po wykonaniu dzielenia wielomianów otrzymano
(4.36)
y(z)= (z-1 :1+ 0.1z-1 - 0.2z-2)= 0 + z-1 - 0.1z-2 + 0.21z-3 +L
Współczynniki rozwinięcia są kolejnymi wartościami funkcji dyskretnej w chwilach
0,1,2,3...
Koniec przykładu.
Wyznaczanie transmitancji dyskretnej
Transmitancję można wyznaczyć mając do dyspozycji równanie różnicowe w postaci
sumy funkcji przesuniętych jak we wzorach (4.18)  (4.21). Podobna operację można
przeprowadzić mając zapis układu dyskretnego w przestrzeni stanów (3.7),(3.8).
x(n +1)= Ax(n)+ Bu(n)
(4.37)
y(n)= Cx(n)+ Du(n)
38
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Po przekształceniu Z równań otrzymano
zX (z)= AX (z)+ BU(z)
(4.38)
Y(z)= CX (z)+ DU(z)
Przekształcenie równań macierzowych (4.38) prowadzi do następującego wyniku:
-1
[z1- A]X (z)= BU(z) X (z)= [z1- A] BU(z)
-1
(4.39)
Y(z)= CX (z)+ DU(z) Y(z)= C[z1- A] BU(z)+ DU(z)
-1
G(z)= C[z1- A] B + D
W ogólnym przypadku sygnały u(n) i y(n) a także ich transformaty są wektorami (MIMO),
a w związku z tym G(z) jest macierzą transmitancji dyskretnych. Poprawny jest wzór
(4.40)
Y(z)= G(z)U(z)
Natomiast nie można wyznaczyć G(z)=Y(z)/U(z). Taka zależność jest poprawna tylko w
39
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
układach SISO.
Przekształcenie opisu w przestrzeni stanów dyskretnych na transmitancję (macierz
transmitancji) jest operacja jednoznaczną. To znaczy dla danego równania różnicowego
otrzymuje się jedną postać transmitancji (dla części obserwowalnej i sterowalnej).
Przejście od transmitancji dyskretnej do opisu w przestrzeni stanów nie jest jednoznaczne
i wynik zależy od przyjętej metody postępowania. Bardzo często stosuje się tzw. metodę
bezpośrednią. Przebieg postępowania jest następujący. Z transmitancji (4.21) otrzymuje
się
bmzm-n + bm-1zm-1-n +L+ b1z-n+1 + b0z-n
Y(z)= U(z)=
(4.41)
1+ ak-1z-1 +L+ a1z-n+1 + a0z-n
=[bmzm-n + bm-1zm-1-n +L+ b1z-n+1 + b0z-n]E(z)
Zmienna pomocnicza E(z) umożliwia wprowadzenie równania sumatora
40
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
U(z)=[1+ ak-1z-1 +L+ a1z-n+1 + a0z-n]E(z)
(4.42)
E(z)= U(z)- ak-1z-1E(z)- ak-2z-2E(z)-L- a0z-nE(z)
Równania najlepiej jest zilustrować schematem blokowym, na którym wykorzystano
bloki opóz
niające o jeden okres impulsowania z-1.
41
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
bn-1
b1
x2(k)
xn(k+1)
xn-1(k)
x1(k) y(k)
u(k)
z-1 z-1 z-1
b0
-an-1
-a1
-a0
Rys.4.1.Schemat blokowy układu metodą bezpośrednią
Ze schematu wynika równanie
42
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
0 1 0 L 0 0
Ą# ń# Ą# ń#
ó# Ą# ó#0Ą#
0 0 1 L 0
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
0 0 0 L 0 0
x(n +1)= (n)+ (n)
ó# Ą#x ó#MĄ#u
(4.43)
M M M M
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#0Ą#
0 0 0 L 1
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó#
Ś#
Ł#- a0 - a1 - a2 L - an-1Ś# Ł#1Ą#
y(n)= [b0 b1 bn-1]x(n)+[0]u(n)
Oprócz przedstawionej metody bezpośredniej korzysta się z innych standardowych
postaci otrzymanych metoda równoległą, iteracyjną i innymi. Macierze w innych
metodach mają te same wymiary, ale różne elementy. Na przykład w metodzie
równoległej macierz stanu ma postać
43
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
z1 0 L 0
Ą# ń#
ó# Ą#
0 z2 L 0
ó# Ą#
(4.44)
A =
ó# Ą#
0 0 O 0
ó# Ą#
0 0 L zn Ś#
Ł#
W macierzy A na przekątnej występują miejsca zerowe wielomianu mianownika
transmitancji. Budowa tej macierzy w przypadku biegunów wielokrotnych jest bardziej
złożona.
Wyznaczanie transmitancji dyskretnej z transmitancji ciągłej obiektu
a) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej z odpowiedzi impulsowej układu ciągłego
Wiadomo, że odpowiedz
układu ciągłego na sygnał impulsowy jest splotem
dyskretnym funkcji dyskretnych wejścia i dyskretnej odpowiedzi impulsowej układu
44
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
ciągłego. Wynika stąd, że wystarczy wyznaczyć transformatę Z funkcji dyskretnej
odpowiedzi impulsowej układu ciągłego. Rezultat jest transmitancją dyskretną układu.
Przykład 4.6.
Wyznaczanie transmitancji dyskretnej elementu całkującego idealnego, którego
transmitancja ma postać
k
(4.45)
G(s)=
s
gdzie k- współczynnik wzmocnienia.
Odpowiedz
impulsowa w postaci dyskretnej będzie wynosiła:
(4.46)
h(t)= k �"1(t) h(n)= k �"1(nTs)
Transformata Z odpowiedzi ma postać:
45
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
z z
(4.47)
Z{h(n)}= Z{k �"1(nTs)}= G(z)=
z -1 z -1
Koniec przykładu 4.6
Przykład 4.7
Element całkujący jak w przykładzie 4.6 jest poprzedzony elementem ZOH
(ekstrapolatorem zerowego rzędu). Należy wyznaczyć transmitancję dyskretną
połączenia.
y(k)
u(k)
k/s
Rys.4.2.Element całkujący poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu
46
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Transmitancja połączenia szeregowego elementów wynosi
s
1- e-sT
(4.48)
G(s)= k
s2
Odpowiedz
impulsową i przekształcenie Z zaprezentowano w równaniu (4.49).
h(t)= k[t1(t)-(t -Ts)1(t -Ts )] h(nTs)= k[nTs1(nTs)-(nTs -Ts)1(nTs -Ts )]
(4.49)
kzTs kzTs z -1 kzTs kTs
G(z)= Z[h(nTs)]= - z-1 = =
2 2 2
z z -1
(z -1) (z -1) (z -1)
Koniec przykładu 4.7
b) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej pierwszą metodą Eulera
Załóżmy transmitancję członu
47
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
F(s) 1
(4.50)
Gc(s)= =
E(s) s
Odpowiada to równaniu różniczkowemu
df
(4.51)
= e(t)
dt
Całując obie strony równania, otrzymuje się
t
f (t)= f (t0)+
(4.52)
+"e(t)dt t e" t0
t0
Dla okresu próbkowania Ts otrzymuje się
(k +1)Ts
(4.52)
f (kTs +Ts )= f (kTs)+
+"e(t)dt
kTs
Wartość całki można wyznaczyć jako pole prostokąta, jak na rysunku
48
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
e(t)
e(kTs)
kTs (k+1)Ts
Rys.4.3. Aproksymacja przebiegu ciągłego pierwszą metodą prostokątów
Z rysunku 4.3 wynika wartość całki jako pole prostokąta o podstawie Ts
(4.53)
f (kTs + Ts )= f (kTs )+ Tse(kTs )
Z tego równania różnicowego po transformacji Z powstaje równanie
(4.54)
zF(z)- F(z)= TsE(z)
a następnie transmitancja członu całkującego
49
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
F(z) Ts
(4.55)
H(z)= =
E(z) z -1
Pierwsza metoda Eulera (prostokątów I) może posłużyć do zamiany transmitancji
ciągłej na dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze
1 Ts
H(z)= Gc(s) = =
z-1
(4.56)
s=
z-1
s z -1
Ts
s=
Ts
c) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej drugą metodą Eulera
Pole prostokąta podczas całkowania może być obliczone tak, jak pokazano to na
rysunku 4.4. Pole prostokąta jest określone jako pole prostokąta o podstawie Ts i
wysokości e(kTs+Ts).
(4.57)
f (kTs + Ts )= f (kTs )+ Tse(kTs + Ts )
50
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
e(t)
e(k+1)Ts
kTs (k+1)Ts
Rys.4.4. Aproksymacja przebiegu ciągłego drugą metodą prostokątów
Z tego równania różnicowego po transformacji Z otrzymuje się
(4.58)
zF(z)- F(z)= zTsE(z)
a następnie transmitancję członu całkującego
F(z) zTs
(4.59)
H(z)= =
E(z) z -1
51
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Druga metoda Eulera (prostokątów II) może posłużyć do zamiany transmitancji ciągłej
na dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze
1 zTs
H(z)= Gc(s) = =
z-1
(4.60)
s=
z-1
s z -1
zTs
s=
zTs
d) Wyznaczanie transmitancji dyskretnej metodą Tustina
Jest to metoda trapezów, która daje zdecydowanie najlepsze odwzorowania w
porównaniu z metodami prostokątów.
52
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
e(t)
e(k+1)Ts
kTs (k+1)Ts
Rys.4.4. Aproksymacja przebiegu ciągłego drugą metodą prostokątów
53
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
e(t)
e[(k+1)Ts]
e(kTs)
kTs (k+1)Ts
Rys.4.5. Aproksymacja przebiegu ciągłego metodą trapezów
Z rysunku 4.5 wynika wartość całki jako pole trapezu o wysokości Ts
Ti
(4.61)
f (kTi + Ti )= f (kTi )+ [e(kTi )+ e(kTi + Ti)]
2
Z tego równania różnicowego po transformacji Z otrzymuje się
54
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Ts
(4.62)
zF(z)- F(z)= [E(z)+ zE(z)]
2
a następnie transmitancję członu całkującego
F(z) Ts z +1
(4.63)
H(z)= =
E(z) 2 z -1
Metoda Tustina (metoda trapezów) może posłużyć do zamiany transmitancji ciągłej na
dyskretną przez podstawienie pokazane we wzorze dla członu całkującego (4.63):
1 Ts z +1
H(z)= Gc(s) = =
2 z-1
(4.64)
s=
2 z-1
s 2 z -1
Ts z+1
s=
Ts z+1
Przykład 4.8
Wyznaczyć różnymi metodami transmitancje dyskretne elementu inercyjnego
55
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
pierwszego rzędu, którego transmitancję ciągłą określono wzorem
k
(4.65)
G(s)=
sT +1
gdzie k  współczynnik proporcjonalności, T  stała czasowa.
Założono, że element inercyjny jest poprzedzony ekstrapolatorem zerowego rzędu.
a) Metoda odpowiedzi impulsowej
s
1- e-sT k
(4.67)
g(s)=
s sT +1
Postać funkcji dyskretnej
56
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
t -(t-Ts )1(t-T )
- ś#
�# �# - ś#
s
T T
ś# ź# ś# ź#
g(t)= kś#1- e (t)- kś#1- e (t )
ź#1 ź#1 -Ts
(4.66)
�# # �# #
g(t)= g1(t)- g2(t) g(nTs )= g1(nTs )- g2(nTs )
Transformata funkcji dyskretnej
G(z)= Z{g(nTs )}= Z{g1(nTs )- g2(nTs )}=
(4.67)
= Z{g1(nTs )}- z-1Z{g1(nTs )}
57
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Ts
�# - ś#
T
ś# ź#
kzś#1- e
nTs �# ś#
ź#
ż# �#
-
z
�#k�#1
ź#
�# #
T
ś# ź#Ź# ś# z
(4.68)
Z{g1(nTs )}= Z (nTs )- e 1(nTs )ś#�# = kś# =
�#
Ts
Ts
ś# ź#�# ś# z -1 - ź#
-
- ś#
ź#
�#
�# #
T
�# �#
T
ś# ź#
�# z - e #
(z -1)�# z - e
ś# ź#
�# #
Po uwzględnieniu wzoru (4.67) otrzymuje się transmitancję elementu inercyjnego
Ts
�# - ś#
T
Ts
ś# ź#
kzś#1- e
-
ź#
T
1- e
�# #
(4.69)
G(z)= (1- z-1) = k
Ts
Ts
-
- ś#
T
T
ś# ź#
z - e
(z -1)�# z - e
ś# ź#
�# #
b) Transmitancja dyskretna z równania stanu elementu inercyjnego
Macierze elementu inercyjnego z równania (3.27)
58
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Ts Ts
- �# - ś#
T T
ź# (4.70)
A = e B = kś#1- e C = 1 D = 0
ś# ź#
�# #
Transmitancja dyskretna z (4.39)
Ts
-
Ts -1 Ts
T
Ą# - ń# �# - ś#
1- e
-1
T T
(4.71)
ź#
G(z)= C[z1- A] B + D = - e kś#1- e = k
ó#z Ą#
Ts
ś# ź#
-
Ł# Ś# �# #
T
z - e
Wynik jest analogiczny jak w poprzednio w punkcie a).
c) Transmitancja I metodą Eulera (metoda prostokątów)
k k kTs
ż#G �#
G(z)= (s)= = =
�# Ź#
(4.72)
sT +1�#s= z-1 z -1T +1 zT + Ts -T
�#
Ts
Ts
59
Dyskretne Układy Regulacji
Rozdział 4
Wynik ten jest uproszczonym wyrażeniem (4.71). Rozwinięcie w szereg Maclaurina
funkcji wykładniczej i pozostawienie liniowych składników rozwinięcia
2 3
Ts
-
Ts 1 Ts 1 Ts Ts
�# ś# �# ś#
T
(4.73)
e = 1- + - +L E" 1-
ś# ź# ś# ź#
T 2!�# T 3!�# T T
# #
we wzorze na transmitancję (4.71) prowadzi do wyniku otrzymanego metodą prostokątów
(4.72)
Ts Ts
-
1-1+
T
1- e kTs
T
(4.74)
G(z)= k E" k =
Ts
Ts zT + Ts -T
-
T
z -1+
z - e
T
60
Dyskretne Układy Regulacji
Literatura
Literatura
[1] Ackerman J.: Regulacja impulsowa. WNT, Warszawa 1976
[2] Brzózka J.: Regulatory cyfrowe w automatyce. Mikom, Warszawa2002
[3] Brzózka J.: Regulatory i układy automatyki. Mikom, Warszawa2004
[4] Dębowski A.: Automatyka. Podstawy teorii. WNT, Warszawa 2008
[5] Gessing R.: Teoria sterowania. Część I. Układy liniowe. Skrypt uczelniany ' Politechniki Śląskiej nr 1302,
Gliwice 1987.
[6] Kaczorek T.: Teoria sterowania. T.1. PWN, Warszawa 1977
[7] Kaczorek T.: Teoria układów regulacji automatycznej. WNT, Warszawa 1977
[8] Laboratorium Teorii Sterowania i Podstaw Automatyki, Błachuta M. [red.]: (praca zbiorowa), Wydawnictwo
Politechniki Śląskiej nr 2082
[9] Markowski A., Kostro J., Lewandowski A.: Automatyka w pytaniach i odpowiedziach. WNT, Warszawa 1979
[10] Markowski J.: Elementy urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 2006
[11] Mutambara A.: Design and Analysis of Control Systems. CRC Press, New York, 1999
[12] Niederliński A.: Systemy i sterowanie. Wyd. Politechniki Śląskiej, skrypt Nr 746, Gliwice 1978
[13] Ogata K.: Discrete  time control systems. Prentice Hall Inter., Englewood Cliffs 1987
[14] PN-88 M-42000 Automatyka i pomiary przemysłowe. Terminologia
[15] Rumatowski K.: podstawy automatyki. Część 2. Układy dyskretne i stochastyczne. Wydawnictwo Politechniki
Poznańskiej, Poznań 2005
[16] Sch�nfeld R.: Digitale Regelung elektrischer Abtriebe. VEB Verlag, Berlin 1987
[17] Sch�nfeld R.: Grundlagen der automatischen Steuerung. VEB Verlag, Berlin 1984
61
Dyskretne Układy Regulacji
Literatura
[18] Sinha N.K.: Controls systems. John Wiley &Sons, New York 1995
[19] Takahashi Y., Rabins M., Auslander D.: Sterowanie i systemy dynamiczne. WNT, Warszawa 1976
[20] Tewari A.: Modern Control Design with Matlab and Simulink. John Wiley & Sons Ltd, New York 2002
[21] Wajs K.: Linie pierwiastkowe w automatyce. WNT, Warszawa 1973
[22] http://pl.wikipedia.org/wiki/SCADA
[23] http://pl.wikipedia.org/wiki/System_czasu_rzeczywistego
62
Dyskretne Układy Regulacji