Równania różniczkowe zwyczajne1
Zagadnienie poczÄ…tkowe2
" Klasyfikacja równań i układów równań różniczkowych
" Wybrane metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych
" RozwiÄ…zywanie zagadnienia poczÄ…tkowego w Maple u
1
Równanie różniczkowe, w którym niewiadoma funkcja zależy tylko od
jednego argumentu nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym
2
Z zagadnieniem poczÄ…tkowym (zagadnieniem Cauchy ego) mamy do
czynienie wtedy, gdy znana jest wartość niewiadomej funkcji i jej
pochodnych dla jednej (początkowej) wartości zmiennej niezależnej
Klasyfikacja równań różniczkowych
Podział ze względu na rząd pochodnej funkcji niewiadomej
" równania pierwszego rzędu
" równania wyższych rzędów
Podział ze względu na budowę równania
" równania liniowe
" równania nieliniowe
Przykład
(n ) (n -ð1)
óð
pn ( x) y +ð pn -ð1( x) y +ð ... +ð p1( x) y +ð p0 ( x) y =ð f ( x)
Jest to równanie n - tego rzędu, liniowe, o zmiennych
współczynnikach, niejednorodne
Równanie różniczkowe nieliniowe n-tego rzędu
(n ) (n -ð 2) (n -ð1)
óð
y =ð f ( x, y, y ,... y , y )
warunki poczÄ…tkowe
y (0) =ð y0
óð óð
y (0) =ð y0
óðóð óðóð
y (0) =ð y0
Mð
( n -ð1) ( n -ð1)
y (0) =ð y
0
Układ równań różniczkowych
Forma kanoniczna układu równań różniczkowych 1-go rzędu
d y1
=ð f1( x, y1, y2 , ... yn )
warunki poczÄ…tkowe
d x
y1(0) =ð y10
d y2
=ð f2 ( x, y1, y2 , ... yn )
y2 (0) =ð y
20
d x
Mð
Mð
yn (0) =ð yn 0
d yn
=ð fn ( x, y1, y2 , ... yn )
d x
Zapis macierzowy
óð
y =ð f ( x, y ), y (0) =ð y
0
y1 f1( x, y ) y10
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Ä™ð Å›ð
y2 f2 ( x, y )Å›ð y20
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
y =ð , f =ð , y =ð
0
Mð Mð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Mð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
yn fn ( x, y )ûð yn
ëð ûð ëð ëð 0 ûð
Sprowadzanie równania n  tego rzędu do
układu n równań pierwszego rzędu
(n ) (n -ð 2) (n -ð1)
óð
y =ð f ( x, y, y ,... y , y )
Wprowadzamy n niewiadomych funkcji: y1, y2 , y3 ,... yn
óð óð
y1 =ð y ®ð y =ð y1 =ð y2
óð óðóð óð
y =ð y2 ®ð y =ð y2 =ð y3
óðóðóð óð
y =ð y3 =ð y4
óð
yk =ð yk +ð1 , k =ð 1..n -ð 1
ìð
íð
Mð
óð
yn =ð f ( x, y1 ... yn )
îð
(n -ð1)
óð
y =ð yn -ð1 =ð yn
( n -ð1)
y =ð yn ( n ) óð
y =ð yn =ð f ( x, y1 ... yn )
y1 y2
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
y2 y3
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
óð
y =ð f ( x, y ) y =ð Mð , f =ð Ä™ð Mð Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
yn -ð1 yn
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
yn f ( x, y1, y2 ... yn -ð1, yn )ûð
ëð ûð ëð
Przykład
óðóð óð
y =ð f ( x, y, y )
óð
y1 =ð y2
ìð
íð
óð
y2 =ð f ( x, y1, y2 )
îð
( y1 =ð y )
Metody przybliżone rozwiązywania zagadnienia początkowego
- metoda Eulera
- metoda Picarda
- metody szeregów Taylora
- metoda Rungego i Kutty
- metoda Adamsa-Bashforda, Adamsa-Moultona
- metoda Milne a
- metoda Hamminga
- metoda Geara
- ...
Metoda Eulera (najprostsza metoda różnicowa)
d y
=ð f ( x, y ) , y ( x0 ) =ð y0
d x
y( x)
xi +ð1 =ð xi +ð h , i =ð 0 .. n -ð 1
yi +ð1
yi
h - krok obliczeniowy
h
x
yi =ð ? , i =ð 1..n
xi xi +ð1
d y Dðy
ð , Dðy =ð yi +ð1 -ð yi , Dð x =ð xi +ð1 -ð xi =ð h
d x Dðx
yi +ð1 -ð yi
równanie różnicowe
=ð f ( xi , yi )
h
yi +ð1 =ð yi +ð h f ( xi , yi )
Metoda Picarda (iteracyjna metoda analityczna )
d y
=ð f ( x, y ) , y ( x0 ) =ð y0
d x
y
x x
d y =ð f ( x, y )d x ®ð d y =ð f ( x, y )d x ®ð y -ð y0 =ð f ( x, y )d x
òð òð òð
y0 x0 x0
x
y =ð y0 +ð f ( x, y )d x
òð
x0
y =ð y1( x)
x
y2 =ð y0 +ð f ( x, y1)d x
òð
x0
x
y3 =ð y0 +ð f ( x, y2 )d x
òð
x0
Mð
x
yi +ð1 =ð y0 +ð f ( x, yi )d x
òð
x0
Metoda szeregów Taylora (metoda analityczna)
d y
=ð f ( x, y ) , y ( x0 ) =ð y0
d x
(r )
óð óðóð óðóðóð
y ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 )
y ( x) =ð y ( x0 ) +ð ( x -ð x0 ) +ð ( x -ð x0 )2 +ð ( x -ð x0 )3 +ð ... +ð ( x -ð x0 )r ...
1! 2! 3! r!
d y
óð
=ð y =ð f ( x, y ) =ð f
óð
®ð y ( x0 ) =ð f ( x0 , y0 )
d x
óð
d y d f ( x, y ) Å›ð f ( x, y ) Å›ð f ( x, y ) d y
óðóð
y =ð =ð =ð +ð =ð f +ð f f
x y
d x d x Å›ð x Å›ð y d x
óðóðóð
y =ð f +ð f f +ð ( f +ð f f ) f +ð f ( f +ð f f )
xx xy xy yy y x y
(4)
y =ð f +ð f f +ð ( f +ð f f ) f +ð f ( f +ð f f ) +ð
xxx xxy xxy xyy xy x y
+ð [ðf +ð f f +ð ( f +ð f f ) f +ð f ( f +ð f f )]ðf +ð
xxy xyy xyy yyy yy x y
+ð 2 ( f +ð f f ) ( f +ð f f ) +ð f [ðf +ð f f +ð ( f +ð f f ) f +ð f ( f +ð f f )]ð
xy yy x y y xx xy xy yy y x y
Mð
2
Å›ð f ( x, y ) Å›ð f ( x, y )
(r ) (r )
notacja: f =ð f ( x, y ) , f =ð , f =ð , ... y ( x0 ) =ð y ( x)
x xx x =ð x0
2
Å›ð x
Å›ð x
y =ð y0
Metoda szeregów Taylora (metoda analityczno-numeryczna)
d y
=ð f ( x, y ) , y ( x0 ) =ð y0
d x
(r )
óð óðóð óðóðóð
y ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 ) y ( x0 )
y ( x) =ð y ( x0 ) +ð ( x -ð x0 ) +ð ( x -ð x0 )2 +ð ( x -ð x0 )3 +ð ... +ð ( x -ð x0 )r
1! 2! 3! r!
y( x)
Niech : x0 =ð xi , x =ð xi +ð1 =ð xi +ð h
yi +ð1
Oznaczenia : y ( x) =ð y ( xi +ð1) =ð yi +ð1
yi
y ( x0 ) =ð yi
h
( r )
y ( x0 ) =ð yi( r )
x
xi xi +ð1
1 1 1 1 1
2 4 r
óð óðóð óðóðóð
yi +ð1 =ð yi +ð h yi +ð h yi +ð h3 yi +ð h yi(4) +ð ... h yi(r )
1! 2! 3! 4! r!
óð
yi =ð f ( xi , yi )
r j
( j )
h
yi+ð1 ð yi +ð yi
óðóð
yi =ð f ( xi , yi ) +ð f ( xi , yi ) f ( xi , yi ) åð
x y
j!
j =ð1
Mð
dla r = 1  metoda Eulera !
RozwiÄ…zywanie zagadnienia poczÄ…tkowego w Maple u
> ?dsolve,ICs
dsolve({ODE, ICs}, y(x))
dsolve({ODE, ICs}, y(x), extra_args)
dsolve({sysODE, ICs}, {funcs})
dsolve({sysODE, ICs}, {funcs}, extra_args)
SÅ‚owniczek:
ODE - równanie różniczkowe zwyczajne (ordinary differential equation)
ICs - warunki poczÄ…tkowe (Initial Conditions)
y(x) - poszukiwana funkcja
sysODE - układ równań różniczkowych (system of ODEs)
{funcs} - zbiór poszukiwanych funkcji
extra_args - dodatkowe argumenty (np.:  type=numeric lub  type=series )
Tworzenie wykresów rozwiązań uzyskanych na drodze
numerycznej przy pomocy Maple a
> ?odeplot odeplot(dsn, vars, range, options)
Słowniczek: dsn - wynik obliczeń komendy: dsolve ( ... , numeric)
vars - lista wykreślanych funkcji
range - zakres zmiennej niezależnej
options - opcje wykresów 2-D lub 3-D
Uwaga: komenda odeplot znajduje siÄ™ w pakiecie plots