1. Równania różniczkowe cząstkowe
Definicja 1.1 Równaniem różniczkowym cząstkowym (rrc) nazywamy
równanie różniczkowe, w którym występuje funkcja niewiadoma dwóch
lub więcej zmiennych i jej pochodne cząstkowe. Ogólna postać rrc dla
funkcji n - zmiennych u(x1, . . . , xn) jest następująca:
"u "u "2u "2u
(1) F (x1, x2, . . . , xn, u, , . . . , , , . . . , , . . . ) = 0.
"x1 "xn "x2 "x2
1 n
Definicja 1.2 Rzędem rrc nazywamy największy rząd pochodnej funk-
cji niewiadomej w danym równaniu.
Definicja 1.3 Funkcję u(x1, . . . , xn) spełniającą równanie (1) nazy-
wamy rozwiązaniem lub całką rrc.
Definicja 1.4 Jeżeli funkcja F jest liniowa względem funkcji u i jej po-
chodnych cząstkowych, a jej współczynniki zależą tylko od zmiennych
niezależnych x1, . . . , xn, to rrc nazywamy liniowym.
Definicja 1.5 Jeżeli funkcja F jest liniowa względem pochodnych
rzędu n, a jej współczynniki zależą nie tylko od zmiennych niezależ-
nych x1, . . . xn, ale od u i jej pochodnych rzędu n - 1, to równanie
nazywamy quasi-liniowym.
Z teorii równań różniczkowych zwyczajnych wiadomo, że rozwiąza-
nie zależy od stałych dowolnych, jeśli nie są podane warunki na funkcję
niewiadomą. Rozwiązanie ogólne równania cząstkowego zależy od do-
wolnych funkcji zmiennych niezależnych.
Przykład 1.1 u = 0 dla funkcji u(x, y).
y
RozwiÄ…zanie - u(x, y) = v(x) gdzie v oznacza dowolnÄ… funkcjÄ™ zmien-
nej x.
Przykład 1.2 u = 0 dla funkcji u(x, y).
xy
RozwiÄ…zanie - u(x, y) = v(x) + Õ(y) gdzie v, Õ sÄ… dowolnymi funk-
cjami zmiennych x i y - odpowiednio.
Definicja 1.6 Niech dany będzie układ równań różniczkowych zwy-
czajnych z u niewiadomymi funkcjami y1(x), . . . , yn(x) :
Å„Å‚
dy1
ôÅ‚
= f1(x, y1, . . . , yn)
òÅ‚
dx
. . . .
ôÅ‚
ół dyn
= fn(x, y1, . . . , yn)
dx
1
Niech y1 = y1(x), . . . , y1 = y1(x) będą jakimś szczególnym rozwiąza-
niem tego układu. Całką pierwszą układu równań nazywamy każdą
funkcję F (x, y1, . . . , yn) o tej własności, że funkcja złożona
x F (x, y1(x), . . . , yn(x))
jest stała.
Wez
my pod uwagę równanie liniowe jednorodne rzędu pierwszego z
funkcjÄ… niewiadomÄ… u(x, y) postaci
"u "u
(2) a(x, y) + b(x, y) + c(x, y)u = 0
"x "y
gdzie a(x, y), b(x, y) są funkcjamu ciągłymi zmiennych x, y o ciągłych
pochodnych w pewnym obszarze. Prawdziwe jest następujące:
Twierdzenie 1.1 Jeżeli funkcja u = F (x, y) jest jakimkolwiek roz-
wiązaniem równania (2), wówczas funkcja F (x, y) jest całką pierwszą
równania
dx dx du
= =
a(x, y) b(x, y) c(x, y)u
Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie 1.2 Jeżeli F (x, y) jest całką pierwszą równania
dx du
fracdxa(x, y) = =
b(x, y) c(x, y)u
wówczas funkcja u = F (x, y) jest rozwiązaniem równania cząstkowego
(2))
Na podstawie powyższych twierdzeń możemy znalez
ć rozwiązanie
szczególne równania (2)
Twierdzenie 1.3 Dowolna funkcja różniczkowalna Ś rozwiązania
szczególnego F
u = Åš(F )
jest całką ogólną równania (2)
Twierdzenia 1 - 3 można uogólnić na przypadek rrc liniowgo jedno-
rodnego z funkcją niewiadomą n zmiennych niezależnych x1, . . . , xn; tj.
2
na przypadek równania
"u "u
(3) a1(x1, . . . , xn) + · · · + an(x1, . . . , xn) = 0
"x1 "xn
Aby znalez
ć rozwiązanie ogólne rrc rzędu pierwszego liniowego jed-
norodnego należy
(1) Zbudować układ charakterystyk:
dx1 dx2 dxn
= = · · · =
a1(x1, x2, . . . , xn) a2(x1, x2, . . . , xn) an(x1, x2, . . . , xn)
(2) Dla układu charakterystyk znalez
ć całki pierwsze:
Õi(x1, . . . , xn) = Ci, i = 1, 2, . . . , n.
(3) Rozwiązanie ogólne równania (3) jest postaci
Åš(Õ1, . . . , Õn) = 0.
"u
Przykład 1.3 y - x"u = 0.
"x "y
Rozwiązanie: Znajdujemy i rozwi azujemy układ charakterystyk:
dx dy
= -
y x
xdx = -ydy
1 1
x2 = - y2 + C
2 2
x2 + y2 = C
Zatem u = x2 + y2 jest rozwiązaniem szczególnym równania, a tym
samym
u = Åš(x2 + y2)
jest rozwiązaniem odólnym, gdzie Ś - dowolna funkcja jednej zmiennej.
"u "u
Przykład 1.4 xz + yz - (x2 + y2)"u = 0.
"x "y "z
Rozwiązanie: Znajdujemy i rozwi azujemy układ charakterystyk:
dx dy dz
= =
xz yz -(x2 + y2)

dx dy
=
xz yz
dy dz
=
yz -(x2+y2)
3
dx dy y
Z pierwszego : = , czyli ln x = ln y + ln C1, skÄ…d = C1. Podsta-
x y x
wiajÄ…c do drugiego mamy :
dy dz dy dz
= =Ò! =
2 2
yz -(y2C1 + y2) yz -(1 + C1)y2
2
(1 + C1)ydy = -zdz
1 1
2
(1 + C1)y2 = - z2 + C2,
2 2
2
(1 + C1)y2 + z2 = C2,

x2
1 + y2 + z2 = C2,
y2
x2 + y2 + z2 = C2,
x
u(x, y, z) = Åš( , x2 + y2 + z2).
y
Zupełnie analogicznie poszukujemy rozwiązania rrc rzędu pierwszego,
liniowego niejednorodnego, tzn. równania
(4)
"u "u
a1(x1, . . . , xn) +· · ·+an(x1, . . . , xn) = b(x1, . . . , xn)u+c(x1, . . . , xn).
"x1 "xn
Budujemy wówczas układ charakterystyk postaci
dx1 dxn du
= · · · = = .
a1(x1, . . . , xn) an(x1, . . . , xn) b(x1, . . . , xn)u + c(x1, . . . , xn)
Dalej analogicznie jak przy równaniu jednorodnym.
Podobnie, jak dla równań różniczkowych zwyczajnych, można mówić
o zagadnieniu Cauchy ego dla równań cząstkowych. Zagadnieniem Cau-
chy ego nazywamy problem wyznaczenia powierzchni całkowej danego
równania, która przechodzi przez daną z góry linię w przestrzeni.
Przykład 1.5 Znależć powierzchnię całkową równania
"u "u
x + y = 1
"x "y
przechodzącą przez linię o równaniach
x = t2, y = t, u = 0.
4
Rozwiązanie: Budujemy układ charakterystyk:

dx dy
=
x y
dy du
=
y 1

x
= C1
y
ln y = u + C2 =Ò! C2 = ln y - u
x
Ś( , ln y - u) = 0 rozw. ogólne
y
x
ln y - u = ¨( )
y
Korzystając z war. nałożonych na pow. całkową mamy
x t2
C1 = = = t, C2 = ln t - 0 = ln t.
y t
skÄ…d C2 = ln C1,
x
ln y - u = ln ,
y
x
ln y - ln = u,
y
u = 2 ln y - ln x,
czyli
u = 2 ln y - ln x.

Przykład 1.6 xzx + yzy = z.
RozwiÄ…zanie.
dx dy dz
= =
x y z

dx dz
=
x z
dy dz
=
y z

ln |x| = ln |z| + A
A, B " R.
ln |y| = ln |z| + B

x = C1z
C1, C2 " R.
y = C2z

x
= C1
z
y
= C2 C1, C2 " R.
z
Zatem rozwiązanie ogólne:
x y
Åš( , ) = 0,
z z
gdzie Åš - dowolna funkcja.
5
Rozwiążmy powyższe r ownanie przy warunku z = y2 dla x = 1 :
Å„Å‚
x
ôÅ‚ = C1
ôÅ‚
z
ôÅ‚
òÅ‚ y 1
= C2 z =
z C1
ôÅ‚
z = y2 =Ò!
y = z · C2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x = 1

1
z =
C1
C2
y =
C1

1 C2 2
2
z = y2 =Ò! = =Ò! C1 = C2.
C1 C1
Zatem
2
x y
= =Ò! xz = y2.
z z
x y2 y
Uwaga, ponieważ - = 0 a Ś(x, ) = 0, więc
z z2 z z
Åš(x, y) = x - y2.
Rozwiążmy jeszcze raz nasze r ownanie przy warunku
Å„Å‚
ôÅ‚
x = t + 1
òÅ‚
y = t2 t " R.
ôÅ‚
ół
z = t3
Podobnie jak poprzednio:
Å„Å‚
x
= C1
ôÅ‚
ôÅ‚ z
ôÅ‚
y
ôÅ‚
ôÅ‚
= C2
t+1
òÅ‚
z
= C1
t3
x = t + 1 =Ò!
t2
ôÅ‚
= C2
ôÅ‚
ôÅ‚ t3
y = t2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
z = t3
StÄ…d
1 1 1
= C2, + = C1
t t2 t3
2 3
C2 + C2 = C1,
czyli
2 3
y y x
+ =
z z z
zy2 + y3 = xz2,
xz2 - y2z - y3 = 0,
x y2 y3 y
Ponieważ mamy - - = 0 a Ś(x, ) = 0, więc u nas
z z2 z3 z z
Åš(x, y) = x - y2 - y3.
6