Krzysztof Moszyński
DWANAŚCIE WYK
LADÓW
Z METOD
NUMERYCZNYCH
RÓWNAC

RÓŻNICZKOWYCH
CZASTKOWYCH

Skrypt do przedmiotu
1000 - 135NRC
UNIWERSYTET WARSZAWSKI
WYDZIA MIM 2003/2004
L
.
Dziekuje wszystkim moim studentom, którzy znalez
li

liczne b edy w tym skrypcie i mi o nich donieśli.
l

Specjalne podziekowanie sk
ladam

Pani Katarzynie Piaskowskiej
za zrobienie pe korekty tego tekstu.
lnej
Krzysztof Moszyński
2
Wyk 1
lad
Wstep

Klasyfikacja zagadnień
Przyjmijmy, dla naszych celów, taka klasyfikacje zagadnień rozpatry-

wanych dla równań różniczkowych czastkowych:

" I. Zagadnienia stacjonarne
" II. Zagadnienia ewolucyjne
I. Typowy przyk zagadnienia stacjonarnego:
lad
(1) -"u(p) = f(p) dla p " &! �" Rn,
(2) u(p) = Ć(p) dla p " "&!,
Jest to równanie Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta.
Klasyfikacja operatorów różniczkowych drugiego rzedu

d d

"2 "
L(u) = - ai,j(p) u + bj(p) u + c(p)u
"xi"xj j=1 "xj
i,j=1
A(p) = (ai,j(p)) jest macierza wspó
lczynników: A(p)T = A(p).
" Jeśli A(p) jest dodatnio określona (piszemy A(p) > 0), to operator L jest
eliptyczny w punkcie p,
" jeśli A(p) ma d - 1 dodatnich wartości w i jedna ujemna, to operator
lasnych

L jest hiperboliczny w punkcie p,
" jeśli A(p) jest określona nieujemnie, ale nie jest określona dodatnio, zaś
macierz [A(p)|b(p)] jest rzedu d, to operator L jest paraboliczny w punkcie

p.
d "2
" = - to Laplasjan; -" jest operatorem eliptycznym.
j=1
"x2
j
3
II. Przyk zagadnień ewolucyjnych.
lady
" Równanie hiperboliczne pierwszego rzedu

" "
(1) u + c u = 0
"t "x
c - sta t -  czas , x -  przestrzeń . Zmienne niezależne t i x sa
la,
traktowane odmiennie !
Stawiane zagadnienia:
1.
" "
(1) u + c u = 0,
"t "x
(2) u(0, x) = Ć(x), x " R.
zagadnienie poczatkowe (Cauchy ego)

2.
" "
(1) u + c u = 0,
"t "x
(2) u(0, x) = Ć(x), x " R+,
(3) u(t, 0) = �(t), t " R+.
dla c > 0. Jest to zagadnienie mieszane poczatkowo - brzegowe.

Latwo zauważyć, że u(t, x) = Ć(x-ct) jest rozwiazaniem zagadnienia Cauchy-


ego, jeśli Ć jest klasy C1. Takie rozwiazanie można interpretować jako  prze-

suwanie warunku poczatkowego w czasie - konwekcja.

" Równanie hiperboliczne drugiego rzedu

"2 "2
(1) u - a u = 0
"t2 "x2
dla a > 0.
4
1. Zagadnienie Cauchy ego:
"2 "2
(1) u - a u = 0,
"t2 "x2
(2) u(0, x) = Ć1(x), ut(0, x) = Ć2(x).
dla x " R.
2. Zagadnienie mieszane:
"2 "2
(1) u - a u = 0
"t2 "x2
(2) u(0, x) = Ć1(x), ut(0, x) = Ć2(x),
dla x " [0, L] -warunki poczatkowe,

(3) u(t, 0) = �1(t), u(t, L) = �2(t)
dla t " [0, T ] - warunki brzegowe.
Charakter rozwiazania. Bedziemy poszukiwać rozwiazania postaci

u(t, x) = ei(ąx+łt).
Po podstawieniu do równania znajdziemy:
"
u(t, x) = ei[ą(x+ at)]
podobnie jak w przypadku równania rzedu 1, jest także przesuwanie, ale

bardziej z W obu przypadkach sa to  zjawiska falowe .
lożone.
" Równanie paraboliczne
" "2
(1) u = a u, a > 0.
"t "x2
Zagadnienia stawiane:
1. Zagadnienie Cauchy ego
" "2
(1) u = a u, a > 0,
"t "x2
(2) u(0, x) = Ć(x), x " R.
5
2. Zagadnienie mieszane
" "2
(1) u = a u, a > 0,
"t "x2
(2) u(0, x) = Ć(x), x " [0, L]
(3) u(t, 0) = �1(t), u(t, L) = �2(t), t " [0, T ]
Charakter rozwiazania. Podobnie jak poprzednio, poszukujemy rozwiaza-

nia postaci
u(t, x) = ei(ąx+łt).
Po wstawieniu do równania otrzymamy:
2 2
u(t, x) = eiąx-aą t = eiąxe-aą t, a > 0.
Charakter rozwiazania jest zupe inny niż w przypadku zagadnień z równa-
lnie

niami typu hiperbolicznego. Nie ma tu zjawiska unoszenia, natomiast wyste-

2
puje czynnik e-aą t, który  przygniata rozwiazanie w miare up czasu.
lywu

Rozważane równanie opisuje proces rozchodzenia sie ciep
la.

6
Wyk 2.
lad
Zagadnienia stacjonarne - metody różnicowe.
Rozpatrujemy równanie różniczkowe liniowe
(1) Lu(p) = f(p) dla p " &! �" Rd
oraz warunki brzegowe
(2) lku(p) = Ćk(p) dla p " �k,
dla k = 1, 2, � � � , l, gdzie "&! = *"k�k jest brzegiem obszaru &!. Operator L, to
operator różniczkowy równania różniczkowego, operatory lk, k = 1, 2, � � � , l
to operatory warunków brzegowych. Najprostszy przyk takiego opera-
lad
tora lk - to warunek Dirichleta. Operator ten przyporzadkowuje funkcji u

(argument operatora L) jej ślad na cześć brzegu �k, na którym dzia Dla
la.

funkcji dostatecznie regularnych określonych na obszarze &! istnieje operator
śladu na brzeg (lub cześć brzegu obszaru). Operator ten przyporzadkowuje

funkcji u z dziedzina &! pewna funkcje określona na wspomnianej cześci

brzegu (można sobie wyobrażać, że jest to  obciecie u do �k.) Szczegó
lowo

mówi o tym tak zwane Twierdzenie o Śladzie. Innym rodzajem operatora
lk jest warunek Neumanna. Taki operator przyporzadkowuje funkcji u

jej pochodna normalna zewnetrzna do omawianej cześci brzegu obszaru &!.

Jest to jeden z przypadków wspomnianego wyżej Twierdzenia o Śladzie;
potrzeba tu oczywiście wyższej regularności funkcji u. Na przyk
lad:
u(p) = Ć(p), p " "&! warunek Dirichleta,
du
(p) = �(p), p " "&! warunek Neumanna.
dn
Z zagadnieniem (1)(2) zwiazane sa różne przestrzenie funkcyjne:

" u " U,
" Ćk " Śk, k = 1, 2, � � � , l,
" f " F .
7
Zak
ladamy, że te przestrzenie sa wyposażone w normy:
� U, � F , � Ś , k = 1, 2, � � � , l.
k
Mamy
L : U F, lk : U Śk.
Dla zagadnienia (1)(2) rozpatrujemy jego aproksymacje różnicowa

(3) Lhuh = fh,
(4) lk,huh = Ćk,h, k = 1, 2, � � � , l.
Tutaj
uh " Uh, fh " Fh, Ćk,h " Śk,h, gdzie Uh, Fh, Śk,h,
to przestrzenie funkcji siatkowych. Sa to przestrzenie unormowane,
z normami odpowiednio
� U , � F , � Ś , k = 1, 2, � � � , l.
h h k,h
Podobnie jak dla zagadnienia (1)(2),
Lh : Uh Fh, lk,h : Uh Śk.
Przestrzenie funkcji siatkowych sa zdefiniowane na obszarach siatko-
wych &!h, �k,h. Obszary takie powstaja poprzez na
lożenie siatki pros-
tokatnej, o osiach równoleg do osi uk wspó
lych ladu lrzednych na obszar &!.

Wez siatki klasyfikujemy jako wewnetrzne i brzegowe. Punkty brze-
ly

gowe leża na brzegu &!, lub w bezpośrednim jego sasiedztwie. Jeśli brzeg

siatkowy nie zawiera sie w  prawdziwym brzegu, warunki brzegowe trzeba

przenieśF
a brzeg siatkowy. Do tego s specjalne procedury, o których
luża
bedzie mowa w dalszej cześci wyk Dla obszarów ograniczonych, przestrze-
ladu.

nie funkcji siatkowych sa z regu skończonego wymiaru. Siatke charak-
ly

teryzuje liczba h zwana krokiem siatki. Jest to maksymalna d
lugoś7
rawedzi

kostek elementarnych z których zbudowana jest siatka. Ponieważ jesteśmy
zainteresowani tym, co dzieje sie, gdy h 0, nasze rozważania dotycza z

regu rodzin siatek zależnych od parametru h, gdzie h jest elementem
ly
pewnego zbioru liczb rzeczywistych dodatnich �, majacego jedyny punkt

skupienia w zerze.
8
Przyk norm w przestrzeniach siatkowych. (Dla przestrzeni Uh.)
lady
" Norma  max . Niech uh = {u(p)|p " &!h}.
uh h," = max |uh(p)|.
p"&!h
" Norma L2. Niech uh = {u(p)|p " &!h}.
h

1
2
uh h,2 = (hxhy |uh(p)|2) .
p"&!h
Ten przyk dotyczy obszaru siatkowego w R2, o sta krokach hx i hy
lad lych
w kierunku osi x i osi y uk wspó
ladu lrzednych.

Przestrzenie U i Uh, F i Fh, Śk i Śk,h i zagadnienia (1)(2) i (3)(4) nie
sa oczywiście zupe niezależne od siebie. Omówimy teraz zwiazki które
lnie

miedzy poszczególnymi parami powinny zachodzi.
�

Przestrzenie funkcji siatkowych stanowia aproksymacje odpowiadajacych

im przestrzeni funkcyjnch U, F i Śk. Zwiazek miedzy takimi parami przestrzeni

ustalaja operatory obciecia. Tak wiec mamy:

U
rh : U Uh,
F
rh : F Fh,
Śk
rh : Śk Śk,h.
Niekiedy wygodnie jest wprowadzic również operatory przed
lużenia, na
przyk
lad
pU : Uh U.
h
Z regu jako pU przyjmuje sie pewne izomorfizmy liniowe przestrzeni Uh
ly,
h

w przestrzeń U. Operator pU spe do pewnego stopnia role odwrotności
lnia
h

operatora obciecia.

Niech
U U
Ąh = pUrh : U U.
h
Ten operator określa jakość aproksymacji przestrzeni U przez rodzine trójek

U
(5) {Uh, rh , pU}h"�.
h
9
Definicja. Zbieżność aproksymacji. Mówimy, że aproksymacja (5)
przestrzeni U jest zbieżna, jeśli
U
Ąh I,
1
gdy h 0, silnie .
W teorii metod różnicowych, na ogó nie używa sie operatorów przed
l luże-

nia, gdyż wystarczaja do jej opisania operatory obciecia. Zak sie nato-
lada

miast, że normy w przestrzeniach funkcji siatkowych sa zgodne z ich
odpowiednikami w przestrzeniach, które one aproksymuja.

Definicja. Zgodność norm.2 Niech bedzie dana przestrzeń unormowana

U
(U, � ) i rodzina {Uh, � h, rh }h"�. Normy � h sa zgodne z norma �
jeśli
U
"u"U rh u h u
gdy h 0.
Zapis  operatorowy równania różnicowego. Zauważmy, że każde
równanie określone na obszarze siatkowym &!h można zapisać w nastepujacy

sposób

(6) A(p, q)uh(q) = fh(p) p " &!h *" �h.
q"Nh(p)
Tutaj:
" Nh(p) jest otoczeniem siatkowym punktu p. Takie otoczenie sk
lada
sie z tych punktów siatki &!h, które chcemy uwzgledniw równaniu dla
�

tego punktu.
" A(p, q) jest pewna funkcja określona na (&!h*"�h)�(&!h*"�h) (jeśli nasze
równanie jest nieliniowe, to może ona także zależeć od uh). Funkcja
ta określa wspó
lczynniki równania.
1
Rodzina operatorów Ph zbiega silnie do operatora P w przestrzeni Banacha X, gdy
h 0, jeśli (Ph - P )x 0 "x"X
2
Ten warunek zgodności norm zastepuje warunek zbieżności aproksymacji wyrażony

U
przy użyciu operatorów Ąh .
10
Nasze równanie (6) może odpowiadać zarówno aproksymacji równania różni-
czkowego, jak i aproksymacji warunków brzegowych. Wszystko zależy od
definicji Nh(p)!
Przyk Dla równania -"u(p) = f(p), dla p " &!h, u(0) = u(1) = 0
lad.
gdzie &! = [0, 1] tworzymy aproksymacje różnicowa na siatce

&!h = {0, h, 2h, � � � , Nh}
1
gdzie h = , �h = {0, 1}:
N
[uk-1 - 2uk + uk+1]
- = fk, dla k = 1, 2 � � � , N - 1
h2
u0 = uN = 0.
Tutaj Nh(p) = {(k - 1)h, kh, (k + 1)h} dla pk = h, 2h � � � , (N - 1)h, zaś
Nh(0) = {0} i Nh(Nh) = {Nh}.
Dla &!h:
ńł
-1
�ł dla q " Nh(p) = Nh(p) \ {p}
�ł
h2
2
A(p, q) = dla q = p
h2
�ł
ół
0 dla qńot " Nh(p)
Dla �h:

1 dla q = p
A(p, q) =
0 dla qńot = p
fh(p) = f(p) dla p " &!h,
fh(p) = 0 dla p " �h.
Teoria Laxa zbieżności schematów
różnicowych
Powróćmy do abstrakcyjnego sformu
lowania naszego problemu. Dane jest
zagadnienie brzegowe
(1) Lu = f, u " U, f " F,
(2) lu = Ć, u " U, Ć " Ś,
11
gdzie L : U F ; l : U Ś i U, F , Ś sa pewnymi przestrzeniami
unormowanymi. Zak
ladamy, że zagadnienie brzegowe (1)(2) jest dobrze
postawione, to znaczy, że istnieje jednoznaczne rozwiazanie, które zależy w

sposób ciag od danych zadania. Równaniom (1)(2) przyporzadkujemy
ly

odpowiedni zestaw równań różnicowych (schemat różnicowy)
(3) Lhuh = fh, uh " Uh, fh " Fh,
(4) lhuh = Ćh, , Ćh " Śh
gdzie Uh, Fh, Śh sa unormowanymi przestrzeniami funkcji siatkowych,
określonych na rodzinie obszarów siatkowych &!h, takich że h 0.
Definicja. Zbieżność. Schemat różnicowy (3)(4) jest zbieżny, jeśli
U
h
rh u - uh U 0, gdy h 0,
h
gdzie u " U jest rozwiazaniem zagadnienia (1)(2), zaś uh " Uh, rozwiazaniem

zagadnienia (3)(4).
Definicja. Aproksymacja lokalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwiazaniu u w punkcie p " &!h z rzedem q, jeśli

U
Lhrh u(p) - fh(p) = O(hq),
U
lhrh u(p) - Ćh(p) = O(hq).3
Definicja. Aproksymacja globalna. Schemat (3)(4) aproksymuje zagad-
nienie (1)(2) na rozwiazaniu u globalnie z rzedem q, jeśli

U
h
Lhrh u - fh F = O(hq),
h
U
h
lhrh u - Ćh Ś = O(hq).
h
3
Dla wyrażenia w, równość w = O(hr) oznacza, że zachodzi oszacowanie w d" Khr,
gdy h 0, gdzie sta K nie zależy od h.
la
12
Definicja. Stabilność. Schemat (3)(4) jest stabilny, jeśli istnieje h0 > 0,
że:
" dla h < h0 zagadnienie (3)(4) ma jednoznaczne rozwiazanie dla dowol-

nych fh " Fh i Ćh " Śh,
" istnieje sta M (nie zależna od h) taka, że dla dowolnego rozwiazania
la

uh zadania (3)(4) zachodzi oszacowanie
h h h
uh U d" M[ fh F + Ćh Ś ].
h h h
Twierdzenie Laxa. Jeśli schemat (3)(4) aproksymuje globalnie zagadnienie
(1)(2) na jego rozwiazaniu u z rzedem q e" 1 i jest stabilny, to schemat jest

zbieżny i zachodzi oszacowanie
U
h
rh u - uh U = O(hq).
h
Dowód. Z za o aproksymacji wynika, że
lożenia
U
h
Lhrh u - fh F = O(hq),
h
U
h
lhrh uh - Ćh Ś = O(hq).
h
Ponadto
h
Lhuh - fh F = 0
h
h
lhuh - Ćh Ś = 0.
h
Dodajac stronami do pierwszego równania trzecie i do drugiego czwarte po

zmianie znaku pod norma, dostaniemy:

U
h
Lh(rh u - uh) F = O(hq),
h
U
h
lh(rh u - uh) Ś = O(hq).
h
Ponieważ schemat (3)(4) jest stabilny, to zagadnienie
U
(5) Lh(rh u - uh) = O(hq),
U
(6) lh(rh u - uh) = O(hq).
13
4 U
(patrz odsy )) ma jednoznaczne rozwiazanie rh u - uh i istnieje sta M
lacz la

taka, że
U
rh u - uh U d" MO(hq) = O(hq).
h
Uwaga. Warunek zbieżności schematu różnicowego
U
h
rh u - uh U 0
h
odbiega od podanego wcześniej warunku zbieżności aproksymacji przestrzeni.
W tym ostatnim przypadku porównujemy elementy w przestrzeni U, podczas
gdy tutaj dla każdego h, szacowanie odbywa sie w innej przestrzeni

i innej normie. Zwróćmy jednak uwage na to, że za
lożyliśmy również

warunek zgodności norm, który sprowadza wszystko  do wspólnego mi-
anownika . Użyta w Teorii Laxa definicja zbieżności - to tak zwana zbieżność
dyskretna. Powrócimy jeszcze dalej do sprawy wzajemnej zależności wspom-
nianych dwóch pojeć.

14
Wyk 3.
lad
Stabilność - zbieżność
Twierdzenie Lax a mówi o tym, że badanie zbieżności schematu można
zastapić dwiema prostszymi czynnościami:

" badaniem rzedu schematu,

" badaniem stabilności schematu.
Badanie rzedu schematu nie przedstawia na ogó wiekszych trudności. O wiele
l

trudniejsze jest stwierdzenie, czy schemat jest stabilny. Zarówno pojecie

aproksymacji globalnej, jak i pojecie stabilności jest zwiazane z konkretna

norma (a w
laściwie z konkretnymi normami w przestrzeniach Fh, Śh, Uh ).
Wobec tego także metoda badania stabilności bedzie zależa od konkretnej
la

normy.
Stabilność w normie  max .
Za
lożymy, że obszar &! jest ograniczony. Wynika stad, że obszar siatkowy &!h

jest zbiorem skończonym. Wez
my pod uwage schemat różnicowy liniowy

(Lhuh)(p) = fh(p), p " &!h,
(1)
(lhuh)(p) = Ćh(p), p " �h.
Schemat ten zapiszemy wykorzystujac pojecie otoczenia siatkowego:


(2) A(p, q)uh(q) = gh(p), p " &!h *" �h,
q"Nh(p)
gdzie

fh(p), p " &!h,
gh(p) = ,
Ćh(p), p " �h
zaś otoczenia siatkowe dobrane sa na &!h i �h zgodnie z zależnościami (1) .
Twierdzenie 1.(Pewien warunek dostateczny stabilności.)Jeśli istnieje licz-
ba ą > 0 niezależna od h taka, że

[|A(p, p)| - |A(p, q)|] e" ą, "p " &!h *" �h,

q"Nh(p)
15

gdzie Nh(p) = Nh(p) \ {p}, to schemat (2) jest stabilny w normie max.
Dowód. Za najpierw, że istnieje rozwiazanie uh równania (2). Udowod-
lożymy

nimy, że istnieje sta M > 0 taka, że dla normy  max
la
uh U d" M[ fh F + Ćh Ś],
h h h
gdzie
uh U = max |uh(p)|,
h
p"&!h
fh F = max |fh(p)|,
h
p"&!h
Ćh Ś = max |Ćh(p)|.
h
p"�h
Ponieważ &!h jest zbiorem skończonym, to istnieje taki punkt p0 " &!h, że
uh U = max |uh(p)| = |uh(p0)|.
h
p"&!h
Mamy
gh h e" |gh(p0)| =

= | A(p0, q)uh(q)| = |A(p0, p0)uh(p0) + A(p0, q)uh(q)| e"

q"Nh(p0) q"Nh(p0)

e" [|A(p0, p0)||uh(p0)| - |A(p0, q)||uh(q)|] e"

q"Nh(p0)

e" [|A(p0, p0)||uh(p0)| - |A(p0, q)||uh(p0)|] =

q"Nh(p0)

= [|A(p0, p0)| - |A(p0, q)|] uh U e" ą uh U.
h h

q"Nh(p0)
Zatem
gh h e" |gh(p0)| e" ą uh U, ą > 0
h
i stad

(3) ą uh U d" max |fh(p)| + max |Ćh(p)| = fh F + Ćh Ś.
h h h
p"&!h p"�h
Ponieważ oszacowanie (3) zachodzi dla dowolnego rozwiazania równania (2),

wiec zachodzi także dla równania jednorodnego, to jest, gdy gh(p) = 0, "p.

Stad wynika, że jedynym rozwiazaniem jednorodnego równania (2), które jest

16
po prostu uk równań liniowych algebraicznych o macierzy kwadratowej,
ladem
jest uh = 0. A wiec równanie (2) ma jednoznaczne rozwiazanie. Oznacza to


stabilność w normie max .
Przyk 1. Zbudujemy aproksymacje różnicowa równania
lad

-"u(p) + cu(p) = f(p), p " &!,
u(p) = 0, p " "&!.
Tutaj c > 0 jest sta a, &! - to wnetrze kwadratu [0, L] � [0, L], L > 0. Na
l

L
&! tworzymy siatke o sta kroku h = , zaliczajac do brzegu siatkowego
lym
N
te punkty siatki, które leża na brzegu "&!. Powstanie w ten sposób obszar
siatkowy &!h o brzegu siatkowym �h. Niech pi,j = (hi, hj) i ui,j H" u(pi,j).
Nasz schemat dla punktu pi,j:
ui,j-1 - 2ui,j + ui,j+1 ui-1,j - 2ui,j + ui+1,j
- - + cui,j = fi,j,
h2 h2
dla pi,j " &!h, zaś ui,j = 0 dla pi,j " �h. Dla punktów p " &!h
"
Nh(p) = " p "
"
zaś dla punktów p " �h
Nh(p) = {p}.
W równaniu

A(p, q)uh(q) = gh(p)
q"Nh(p)
gdy p " &!h
ńł
4
�ł c + dla q = p
�ł
h2
1
A(p, q) = - dla q " Nh(p) q = p ,

h2
�ł
ół
0 dla innych q
oraz gh(p) = fh(p). Gdy p " �h
A(p, p) = 1
oraz gh(p) = 0.
17
Zbadamy teraz warunek stabilności. Dla p " &!h

4 1
|A(p, p)| - |A(p, q)| = c + - 4 = c > 0,
h2 h2

q"Nh(p)
dla p " �h
|A(p, p)| = 1 > 0,
zatem ą = min{c, 1} > 0.
Oznacza to, że warunek dostateczny stabilności bedzie spe jeśli c >
lniony,

0. Twierdzenie 1 nie chwyta zatem ważnego przypadku naszego zagadnienia,
gdy c = 0.
Przyk 2.
lad
Na takim samym obszarze &! jak w Przyk 1, dane jest równanie
ladzie
różniczkowe
-"u(p) + cu(p) = f(p), c > 0, p " &!,
oraz warunek brzegowy  mieszany
du(p)
� + �u(p) = Ć(p), p " "&!.
dn
Obszar siatkowy &!h, oraz jego brzeg �h beda takie same jak poprzednio.

Tworzymy też te sama aproksymacje równania różniczkowego. Pozostaje

wiec do skonstruowania aproksymacja warunku brzegowego. Dla aproksy-

macji pochodnej normalnej zewnetrznej zastosujemy najpierw pierwsze różnice

dzielone w przód lub w ty zależnie od tego na której ścianie kwadratu leży
l,
punkt p.
" " " " � � �
" o o o � � �
p q o o � � �
" o o o � � �
� � � � � � �
� � � � � � �
Na przyk na lewej krawedzi kwadratu, warunek brzegowy zaaproksymu-
lad

jemy przez
u(p) - u(q)
� + �u(p) = Ć(p).
h
18
Mamy wiec dla p " �h


�
+ � q = p
h
A(p, q) =
-�
q = p

h
przy tym
Nh(p) = {p, q}
Tak samo, jak poprzednio:

4
c + p = q
h2
A(p, q) =
1
- p = q

h2
i dla p " &!h
"
Nh(p) = " " " .
"
Widać stad, że schemat bedzie stabilny, gdy znaki � i � sa jednakowe. Nasze

twierdzenie nie odpowiada na pytanie o stabilność, gdy � = 0.
Powyższa aproksymacja warunku brzegowego ma jednak wade: wewnatrz

obszaru schemat jest aproksymowany z rzedem 2, zaś na brzegu tylko z

rzedem 1. Globalna aproksymacja ma zatem jedynie rzad 1. Zgodnie z

Twierdzeniem Laxa, ta aproksymacja warunku brzegowego może spowodować
zmniejszenie szybkości zbieżności ca schematu.
lego
Zadanie 1. Zaproponuj inna konstrukcje warunku brzegowego, taka aby

ca schemat by rzedu 2. Można przy tem za że równanie różniczkowe
ly l lożyć,

jest spe także na brzegu obszaru. Zbadaj stabilność.
lnione

Kryterium stabilności w normie max wyrażone w Twierdzeniu 1 jest
dość s Widzieliśmy to na przyk równania -"u = f. Dla schematów
labe. ladzie
liniowych postaci (2) zbudujemy teraz mocniejsze kryterium.
Wygodnie bedzie oznaczyć

Ż
&!h = &!h *" �h.
Ż
Za
lożymy, że &!h jest zbiorem skończonym oraz, że jest suma mnogościowa
dwóch roz acznych zbiorów &!1 i &!2:
l
h h

Ż
&!h = &!1 *" &!2, &!1 )" &!2 = ",
h h h h
przy czym spe sa nastepujace warunki
lnione

19
1.
"p"&! A(p, p) > 0,
Ż
h

"p"&! "q"N (p) A(p, q) d" 0,
Ż
h
h

"p"&! A(p, q) e" 0.
Ż
h
q"Nh(p)
2.

1
"p"&! A(p, q) e" 0 zaś "q" Nh(p) A(p, q) < 0,
h
h
q"Nh(p)

2
"p"&! A(p, q) > 0 zaś "q" Nh(p) A(p, q) d" 0.
h
h
q"Nh(p)
Ż
3. Obszar siatkowy &!h ma nastepujaca w
lasność: dla każdego

punktu p " &!1 istnieje punkt s " &!2 oraz punkty pj " &!1 dla j =
h h h
1, 2, � � � , r takie, że p1 " Nh(p), p2 " Nh(p1), � � � , pr " Nh(pr-1), s "
Nh(pr)
Schemat postaci (2),

(2) A(p, q)uh(q) = gh(p) "p"&! ,
Ż
h
q"Nh(p)
który posiada w
lasności (1)(2)(3) nazywa sie schematem typu dodat-

niego.
Twierdzenie 2. Niech schemat (2) bedzie typu dodatniego. Wtedy:

" Jeśli

"p"&! A(p, q)uh(q) e" 0,
Ż
h
q"Nh(p)
to "p"&! uh(p) e" 0,
Ż
h
" Jeśli

"p"&! A(p, q)uh(q) d" 0,
Ż
h
q"Nh(p)
to "p"&! uh(p) d" 0.
Ż
h
20

Dowód. Przypuśćmy, że A(p, q)uh(q) e" 0 i, że istnieje taki punkt
q"Nh(p)
Ż
p, że u(p) < 0. Ponieważ &!h jest zbiorem skończonym, to można znalez
ć taki
� �
Ż
punkt p0 " &!h, że
uh(p0) = min uh(p) < 0.
p"Nh(p)
Możliwe sa dwa przypadki:


1. p0 " &!2. Wtedy A(p0, q) > 0 i dla q " Nh(p0) A(p0, q) d" 0, i
h q"Nh(p0)
wtedy latwo sprawdzić, że


A(p0, q)uh(q) =
q"Nh(p)

= [ A(p0, q)]uh(p0) + A(p0, q)[uh(q) - uh(p0)] < 0,

q"Nh(p0) q"Nh(p0)
skad sprzeczność z za
lożonym warunkiem


A(p, q)uh(q) e" 0.
q"Nh(p)


2. p0 " &!1. Wtedy A(p0, q) e" 0 i dla q " Nh(p0) A(p0, q) < 0, i
h q"Nh(p0)
wtedy latwo sprawdzić, że


A(p0, q)uh(q) =
q"Nh(p)

= [ A(p0, q)]uh(p0) + A(p0, q)[uh(q) - uh(p0)] d" 0,

q"Nh(p0) q"Nh(p0)
co jeszcze nie jest sprzeczne z za
lożonym warunkiem

A(p, q)uh(q) e" 0.
q"Nh(p)
Pokażemy jednak, że w Nh(p0) istnieje taki punkt q0, że uh(q0) >
uh(p0). Wtedy bedzie


A(p0, q)uh(q) =
q"Nh(p)

= [ A(p0, q)]uh(p0) + A(p0, q)[uh(q) - uh(p0)] < 0.

q"Nh(p0) q"Nh(p0)
21
Pokażemy teraz, że istotnie, taki punkt q0 " Nh(p0) istnieje. Zauważmy
najpierw, że zgodnie z p.3 definicji schematu typu dodatniego, dla
punktów p0 i s istnieje ciag {pj}j=1,2,���,r �" &!1 o w
lasnościach tam
h

opisanych. Gdyby takiego punktu q0 " Nh(p0) nie by to znaczy
lo, loby,
że możnaby przyja ć "q"N (p0) q = p0 i wtedy możnaby w konsekwencji
h
przyja ć p1 = p0. Rozumujac w ten sposób, doszlibyśmy w końcu do

wniosku, że można przyja ć, że s = p0. To z kolei zosta wykluczone w
lo
punkcie 1. tego dowodu, gdyż s " &!2. Ostatecznie widzimy, że
h
" albo znajdziemy w Nh(p0) punkt q dla którego uh(p0) < uh(q),
" albo dojdziemy do wniosku, że uh(p0) = uh(s) < 0, to zaś nie jest
możliwe, gdyż s " &!2. Zatem zawsze w Nh(p0) musi istnieć q0 i
h
uh(q0) > uh(p0) = minp"&! uh(p) < 0.
Ż
h
Wniosek 1. Jeśli schemat (2) jest typu dodatniego i

A(p, q)uh(q) = 0 "p"&! ,
Ż
h
q"Nh(p)
to
"p"&! uh(p) = 0.
Ż
h
Dowód. Wynika bezpośrednio z Twierdzenia 2.
Wniosek 2. Schemat (2) typu dodatniego ma zawsze jednoznaczne rozwiazanie

Ż
uh(p), p " &!h.
Dowód. Jest tak, ponieważ równanie (2) jednorodne, ma tylko zerowe
rozwiazanie. (Patrz Wniosek 1.)

Wniosek 3. Niech schemat (2) bedzie typu dodatniego i rozpatrzmy drugi

schemat, który różni sie od niego tylko prawa strona:


Ż
A(p, q)uh(q) = gh(p), p " &!h,
q"Nh(p)

Ż
A(p, q)vh(q) = Gh(p), p " &!h.
q"Nh(p)
22
Jeśli "p"&! gh(p) d" Gh(p), to,
Ż
h
uh(p) d" vh(p), "p"&! .
Ż
h
Dowód. Odejmijmy od drugiego równania - pierwsze. Teraz możemy zas-
tosować Twierdzenie 2.
Wniosek 4. Przypuśćmy, że istnieje funkcja siatkowa
Ż
�h : &!h R
taka, że:
1. "M,(M niezależne od h), że "p"&! 0 d" �h(p) d" M,
Ż
h

2. A(p, q)�h(q) e" 1, "p"&! ,
Ż
q"Nh(p)
h
Wtedy schemat typu dodatniego

A(p, q)uh(q) = gh(p), "p"&!
Ż
h
q"Nh(p)

jest stabilny w normie max .
Dowód. Niech vh(p) = K�h(p), gdzie K = maxp"&! |gh(p)|, oraz niech
h

Gh(p) = A(p, q)vh(q) =
q"Nh(p)

= K A(p, q)�h(q) e" K =
q"Nh(p)
Ż
= max |gh(p)|, "p " &!h.
Ż
p"&!h
Zatem
-Gh(p) d" gh(p) d" Gh(p), "p"&! ,
Ż
h
skad na mocy Wniosku 3

-vh(p) d" uh(p) d" vh(p), "p"&! ,
Ż
h
23
lub
|uh(p)| d" vh(p) = max |gh(p)|�h(p) d" M max |gh(p)|.
Ż Ż
p"&!h p"&!h

Ta ostatnia nierówność oznacza stabilność w normie max :
h
u U = max |uh(p)| d" M max |gh(p)| d"
h
Ż Ż
p"&!h p"&!h
d" M[max |fh(p)| + max |Ćh(p)|] =
p"&!h p"�h
h h
= M[ fh F + �h Ś ].
h h
24
Wyk 4.
lad
Sumowanie  przez cześci .

Na przedziale [a, b] dana jest siatka punktów
b - a
x0 = a, xj = x0 + jh, j = 0, 1, � � � , N + 1, h = ,
N + 1
oraz dwie funkcje siatkowe
uh = {u0, u1, � � � , uN+1},
vh = {v0, v1, � � � , vN+1}.
Niech
"uk = uk+1 - uk, różnica  w przód ,
"uk = uk - uk-1, różnica  w ty
l .
Nietrudno zauważyć, że
N N

vj"uj = - uj"vj + vNuN+1 - v0u1.
j=1 j=1
Jeśli v0 = 0 i uN+1 = 0, to
N N

vj"uj = - uj"vj.
j=1 j=1
Ca
lkowa nierówność Friedrichsa.
Niech u : [0, L] R bedzie funkcja różniczkowalna. Mamy wtedy dla t "

[0, L]

t
u(t) = u(0) + u (s)ds.
0
Za óżmy, że u spe (lewostronnie) warunek brzegowy Dirichleta u(0) = 0.
l lnia

t
Wtedy u(t) = u (s)ds, i stad
0


t t t
|u(t)|2 d" 1ds |u (s)|2ds = t |u (s)|2ds d" t u 2,
0
0 0 0
25
gdzie � 0 oznacza norme przestrzeni L2(0, L). Stad ostatecznie


L
L2
u 2 = |u(s)|2ds d" u 2.
0 0
0 2
Otrzymaliśmy w ten sposób ca nierówność Friedrichsa:
lkowa
Jeśli u(0) = 0, to
L2
(") u 2 d" u 2.
0 0
2
W przestrzeni C1([0, L]) |u|1 = u 0 jest seminorma, ale w jej pod-

1
przestrzeni C0([0, L]) funkcji spe
lniajacych jednorodny warunek brzegowy

Dirichleta (wystarczy lewostronnie!), | � |1 jest norma.

Przestrzenie Sobolewa.
Niech (a, b) bedzie przedzia Zerowa przestrzeń Sobolewa:
lem.

H0(a, b) = L2(a, b).
Aby zdefiniować przestrzeń H1(a, b) określimy najpierw przestrzeń G1([a, b])
funkcji u : [a, b] R ciag i majacych w [a, b] pochodna ca
lych lkowalna z

kwadratem. W G1([a, b]) określimy iloczyn skalarny
(u, v)1 = (u, v)0 + (u , v )0
i zwiazana z nim norme

1
2
u 1 = (u, u)1 ,

b
gdzie (u, v)0 = u(s)v(s)ds jest iloczynem skalarnym w przestrzeni L2(a, b).
a
Przestrzeń Sobolewa H1(a, b), to uzupe
lnienie przestrzeni G1([a, b])
w normie � 1.
Przez C"(a, b) oznaczymy przestrzeń funkcji określonych na przedziale (a, b),
"
które maja wszystkie pochodne ciag zaś przez C0 (a, b) �" C"(a, b) jej
le,

podprzestrzeń funkcji o nośniku zwartym, zawartym w (a, b).
26
1 "
Przestrzeń Sobolewa H0 (a, b), to uzupe
lnienie przestrzeni C0 (a, b)
w normie � 14
Mamy nastepujace inkluzje:

1
H0(a, b) �" H1(a, b) �" H0(a, b).
W przestrzeni G1([a, b]), a wiec także i w przestrzeni H1(a, b) |u|1 = u 0

1
jest seminorma (zastanów sie dlaczego?). Natomiast w H0(a, b), |u|1 jest

norma równoważna normie � 1. Wynika to z nierówności Friedrichsa:
Oczywiście |u|2 = u 2 d" u 2 + u 2. Z drugiej strony, z nierówności
1 0 0 0
Friedrichsa:
L2
|u|2 d" u 2 d" (1 + )|u|2.
1 1 1
2
Uogólnienia. Niech &! �" Rd bedzie obszarem ograniczonym o brzegu

kawa lkami g
ladkim. Analogicznie jak wyżej określimy najpierw przestrzeń
Ż Ż
G1(&!) funkcji ciag u : &! R, które maja pierwsze pochodne czastkowe
lych

Ż Ż
ca
lkowalne z kwadratem na &!. W przestrzeni G1(&!) określimy iloczyn skalar-
ny
d

" "
(u, v)1 = (u, v)0 + ( u, v)0
"xj "xj
j=1
i zwiazana z nim norme � 1.

Ż
Uzupe
lnienie przestrzeni G1(&!) w normie � 1, to przestrzeń
Sobolewa H1(&!).
Podobnie, uzupe
lnienie w tej samej normie � 1 przestrzeni
"
C0 (&!) funkcji o nośniku zwartym, zawartym w &!, majacych wszys-

tkie pochodne czastkowe ciag w obszarze &!, to przestrzeń Sobole-
le

1
wa H0 (&!).
Wyższe pochodne. Oznaczmy przez ą wielowskaznik, to jest wektor ą =
d
[i1, i2, � � � , id] o wspó lkowitych. Niech |ą| = ij. Niech
lrzednych ca
j=1

"|ą|
Dąu = u.
1 2 d
"xi "xi � � � "xi
1 2 d
4 1
Można uważać H0 (a, b) za zbiór tych elementów przestrzeni H1(a, b), które spe
lniaja
jednorodny warunek Dirichleta.
27
Ż Ż
Określimy Gk(&!) jako przestrzeń funkcji u : &! R które sa klasy Ck-1, zaś
Ż Ż
ich k-te pochodne czastkowe sa ca
lkowalne z kwadratem na &!. Na Gk(&!)

zdefiniujemy iloczyn skalarny

(u, v)k = (Dąu, Dąv)0,
|ą|d"k
oraz odpowiadajaca mu norme � k.

Ż
Uzupe
lnienie Gk(&!) w normie � k, to przestrzeń Hk(&!). Podob-
" k
nie, uzupe
lnienie w tej normie przestrzeni C0 (&!), to H0 (&!).
Mamy w ten sposób dwie skale przestrzeni Sobolewa:
� � � Hk(&!) �" Hk-1(&!) �" � � � �" H0(&!),
oraz
k k-1
� � � H0 (&!) �" H0 (&!) �" � � � �" H0(&!)
przy czym dla każdego k
k
H0 (&!) �" Hk(&!).
Uwagi.
" Elementy przestrzeni H1(a, b), to funkcje ciag
le.

Naszkicujemy tutaj dowód tego faktu. Jeśli u " G1([a, b]), to "x,y "
[a, b]

y
u(y) - u(x) = u (s)ds.
x
Stad (nierówność Schwarza)


(") |u(y) - u(x)| d" (|y - x|) u 1.
Pamietamy, że G1([a, b]) jest zbiorem gestym w H1(a, b). Wez
my wiec

dowolny ciag Cauchy ego w G1([a, b]). Z nierówności (*) wynika, że

elementy tego ciagu sa jednakowo ciag w normie sup, a da sie także
le

udowodnić, że sa one wspólnie ograniczone. Można zatem zastosować
28
Twierdzenie Ascoli-Arzela, z którego wynika, że z takiego ciagu wybie-

rzemy podciag jednostajnie zbieżny do funkcji ciag Wyciagamy też
lej.

wniosek, że wszystkie takie podciagi sa zbieżne do tej samej granicy,

która identyfikujemy z elementem przestrzeni H1(a, b).
Takiego faktu nie da sie udowodnić dla H1(&!), jeśli &! jest obszarem w

Rd, gdzie d > 1.
" Twierdzenie o śladzie.Niech &! �" Rd bedzie obszarem ograniczonym,

o brzegu "&! kawa g ladkim, bez ostrzy. Wtedy istnieje operator
lkami
śladu
ł : H1(&!) L2("&!)
taki, że
1.
"C>0"v"H1 łv 0,"&! d" C v 1,&!,
(&!)
2.
"v"G1 Ż łv(p) = v(p), p " "&!.
(&!)
Dowód. Dowód przeprowadzimy w przypadku, gdy d = 2, oraz gdy &!
jest prostokatem o ścianach równoleg do osi uk wspó
lych ladu lrzednych.

Taki obszar ma brzeg kawa g to znaczy, że daje sie rozbić na
lkami ladki,

skończona liczbe kawa lków, które dadza sie sparametryzować w przy

pomocy funkcji klasy C1. Ten brzeg jest także pozbawiony ostrzy, co
oznacza, że w żadnym punkcie dwa kawa brzegu nie maja wspólnej
lki
stycznej. Latwo uogólnić ten dowód na przypadek brzegu "&! opisanego

innymi krzywymi.
" . . . . . . .
" . . . . . . .
a " " " " . . . .
" . . " . . . .
p " &!p . " r . &! .
" . . " . . . .
b " " " " . . . .
" . . . . . . .
" . . . . . . .
29
Ż
Niech u " G1(&!), wtedy u 1 < ". Niech p = (x0, y) (punkt leżacy na

brzegu) i po óżmy
l
Ć(t) = u(x0 + t, y).
Wtedy
Ć (t) = ux(x0 + t, y),
oraz

t
Ć(t) = Ć(0) + Ć (s)ds.
0
Stad dla r > 0


r r t
rĆ(0) = Ć(t)dt - Ć (s)dsdt.
0 0 0
Po zmianie kolejności ca lce
lkowania w ca podwójnej dostaniemy

r r
rĆ(0) = Ć(t)dt - (r - s)Ć (s)ds.
0 0
Stosujac nierówność (x+y)2 d" 2x2 +2y2 i potem nierówność Schwarza,

dostaniemy kolejno

r r
r2Ć(0)2 d" 2[ 1Ć(t)dt]2 + 2[ Ć (s)ds]2 d"
0 0

r r
2
d" 2r Ć(t)2dt + r3 Ć (s)2ds,
0 3 0
oraz

r r
2 2
u(x0, y)2 d" u(x0 + t, y)2dt + r ux(x0 + s, y)2ds.
r 0 3 0
Po sca
lkowaniu wzgledem y w przedziale [a, b] (patrz rysunek) dostaniemy


b
2 2
u(x0, y)2dy d" u 2 + r ux 2 .
0,&!p 0,&!p
a r 3
Zatem
łu 2 d" C(&!p) u 2
0,�a,b 1,&!p
Ż
i stad otrzymujemy dla dowolnego elementu u " G1(&!)

łu 2 d" C(&!) u 2 .
0,"&! 1,&!
Ż
Wykorzystujac gestość G1(&!) w H1(&!) i zupe lność przestrzeni L2("&!),

wnioskujemy, że operator śladu ł jest określony na ca przestrzeni
lej
H1(&!) i, że odwzorowuje on przestrzeń H1(&!) w (cześć) przestrzeni

L2("&!) a wiec ł : H1(&!) L2("&!).

30
Różnicowa nierówność Friedrichsa. Ta nierówność jest odpowiednikiem
ca nierówności Friedrichsa. Jest przydatna przy badaniu stabilności
lkowej
schematów różnicowych. Wyprowadzimy ja w przypadku jednowymiarowym.
Niech na przedziale [0, L] dana bedzie siatka punktów o sta kroku
lym

L
xk = x0 + kh, k = 0, 1, � � � , N + 1, h = oraz funkcja siatkowa
N+1
uh = {u0, u1, � � � , uN+1}.
Mamy
uk = u0 + (u1 - u0) + (u2 - u1) + � � � + (uk - uk-1),
skad

k-1

"uj
uk = u0 + h ,
h
j=0
a wiec, jeśli u0 = 0, to

k-1

"uj
uk = h .
h
j=0
Stad, po zastosowaniu nierówności Schwarza





k-1


"uj " k-1 "uj


|uk| = h 1 � d" hk h ( )2.

h h

j=0 j=0
Zatem
N

"uj
|uk|2 d" kh � h ( )2,
h
j=0
oraz stad

N+1 N+1 N

"uj
h |uk|2 d" h2 kh ( )2 =
h
k=0 k=0 j=0
N

N + 1 "uj
= h2 (N + 2)h ( )2.
2 h
j=0
Otrzymaliśmy w ten sposób oszacowanie dla dyskretnej normy L2
N+1

uh 2 = h |uk|2 d" L2|uh|2 ,
0,h 1,h
k=0
31
 N j
gdzie |uh|2 = h ("u )2. Jest to różnicowa forma nierówności Friedrichsa.
1,h j=0
h
Ż
Uogólnienie. Niech &!h = &!h *" �h bedzie obszarem siatkowym w Rd. Oz-

naczmy jeszcze
Ż Ż Ż
&!+ = {p " &!h|p " &!h �! p + eihi " &!h},
hi
gdzie ei jest wersorem i-tej osi uk wspó
ladu lrzednych, zaś hi - krokiem siatki

w kierunku tej osi.
Ż
Jeśli uh : &!h R, oraz uh(p) = 0 dla p " �h, to

"uh(p)
uh 2 d" C(&!)hi ( )2,
0,h
h
p"&!+
hi
gdzie C(&!) jest sta a zależna tylko od obszaru &!.
l
32
Wyk 5.
lad
Oszacowania a priori. Stabilność w normach typu L2.
Rozważmy nastepujacy bardzo prosty przyk zagadnienia brzegowego
lad


(1) -u (t) + cu(t) = f(t) t " (a, b), c d" 0
(2) u(a) = u(b) = 0.
Za óżmy, że istnieje rozwiazanie klasyczne u, pomnóżmy stronami równanie
l

(1) przez u i sca w przedziale [a, b]. Ca przez cześci otrzymamy
lkujmy lkujac


b b b

(3) -u (b)u(b) + u (a)u(a) + (u (t))2dt + c (u(t))2dt = f(t)u(t)dt,
a a a
zaś stad, wykorzystujac warunki brzegowe


b
|u|2 + c u 2 = f(t)u(t)dt d" K1 f 0 u 0 d" K2 f 0|u|1 d" K3 f 0 u 1.
1 0
a
W ten sposób dostajemy tak zwane oszacowanie a priori rozwiazania u

|u|1 d" K2 f 0,
lub
u 0 d" K4 f 0,
lub też
u 1 d" K5 f 0.
Oszacowania te oznaczaja, że rozwiazanie zależy w sposób ciag od danych
ly

zadania. Mówimy, że zadanie (1)(2) jest dobrze postawione.
Przypuśćmy teraz, że zagadnienie (1)(2) zosta zaaproksymowane na
lo
siatce
t0 = a, tk = t0 + kh, k = 0, 1, � � � , N + 1
przez schemat różnicowy
""uk
- + cuk = fk, k = 1, 2, � � � , N,
h2
u0 = uN+1 = 0.
33
Postepujac w sposób analogiczny, jak w przypadku zagadnienia różniczkowego

(1)(2), po uwzglednieniu wzoru na sumowanie przez cześci oraz nierówności

Friedrichsa w wersji różnicowej, dostaniemy
N N+1 N+1

"uj
h ( )2 + ch u2 = fkuk
k
h
j=0 k=0 k=0
zaś stad otrzymamy oszacowania

uh h d" C fh 0,h,
gdzie jako � h można przyja ć każda z norm � 0,h lub � 1,h. Zauważmy od
razu, że z tej ostatniej nierówności wynika istnienie jednoznacznego rozwiaza-

nia naszego schematu (mamy bowiem do czynienia z uk równań alge-
ladem
braicznych liniowych o macierzy kwadratowej!). Ten fakt, oraz otrzymane
oszacowanie oznaczaja stabilność schematu w każdej z wymienionych wyżej
norm siatkowych.
Nierówności macierzowe. Normy energetyczne.
Niech A bedzie macierza kwadratowa, rzeczywista. Jeśli dla każ-

dego wektora x = 0 mamy (Ax, x) > 0, to mówimy, że A > 0, lub że

macierz jest określona dodatnio. Jeśli natomiast dla macierzy A i
B zachodzi zwiazek A - B > 0, to mówimy, że A > B. Zauważmy, że

relacja > dla macierzy jest jedynie porzadkiem cześciowym. Ana-

logicznie, określamy nierówność nie ostra dla macierzy w oparciu o
pojecie macierzy określonej nie ujemnie. Macierz A jest określona

nie ujemnie, jeśli dla każdego wektora x, (Ax, x) e" 0.
Normy Energetyczne.
Niech B bedzie macierza kwadratowa wymiaru N � N, rzeczywista, sy-

metryczna i dodatnio określona. W naszej przestrzeni wektorowej mamy
N
iloczyn skalarny (u, v) = ujvj. Przy pomocy macierzy B możemy
j=1
określić nowy iloczyn skalarny (u, v)B = (Bu, v), oraz zwiazana z nim norme


u B = (u, u)B. Jest to norma energetyczna zwiazana z macierza B.

34
Zapis macierzowy schematów różnicowych.
Niekiedy jest wygodnie zapisać schemat różnicowy (liniowy) w postaci
uk równań algebraicznych liniowych
ladu
Ahuh = gh.
De facto jest to rodzina uk ladów, gdzie h " � �" R, gdzie � jest rozważanym
zbiorem indeksów h; jedynym jego punktem skupienia jest 0. Znajomość
w
lasności macierzy Ah może być pomocna przy badaniu stabilności rozważa-
nego schematu. Istotnie:
Jeśli rodzina macierzy Ah, h " � jest wspólnie jednostajnie dodatnio określona,
to znaczy, jeśli
"ł>0, że "h"� i "u =0, (Ahuh, uh)h e" ł uh 2,

h h
to schemat jest stabilny w normie � h
Dowód. Mamy:
(gh, uh)h = (Ahuh, uh)h e" ł uh 2,
h
i stad

1
uh h d" gh h.
ł
1
Uwaga. Jeśli sta ł jest bardzo ma to sta w warunku stabilności
la la, la
ł
bedzie bardzo duża. Oznacza to, że rozwiazanie uh może być bardzo wrażliwe

ze wzgledu na zaburzenia gh. Wtedy może być wygodnie zastosować inna

norme:

gh 2 = (Ahuh, Ahuh)h = (Ahuh, ShShuh)h,
h
2
gdzie Ah = Sh (taka macierz Sh zawsze istnieje i jest symetryczna i dodatnio
określona, oraz komutuje z macierza Ah). Mamy wiec

gh 2 = (ShAhuh, Shuh)h = (AhShuh, Shuh)h e" ł uh 2 ,
h Ah
zaś stad ostatecznie

1
uh A d" gh h.
"
h
ł
W ten sposób zmniejszyliśmy sta a stabilności.
l
35
T
Można podobny efekt uzyskać także inaczej. Niech Bh = Bh > 0, i przypuść-
my, że
"ąe"0 nie zależne od h, takie, że (Ahuh, uh)h e" ą(Bhuh, uh)h.
Wtedy mamy:
ą uh 2 = ą(Bhuh, uh)h d" (Ahuh, uh)h =
Bh
-1 -1
= (gh, uh)h = (BhBh gh, uh)h = (Bh gh, Bhuh)h d"

-1 -1
d" (Bh gh, gh)h (Bh Bhuh, Bhuh)h =
= gh B-1 uh B ,
h
h
i stad

1
uh B d" gh B-1.
h
h
ą
36
Wyk 6
lad
Przyk (agitacja) Rozważamy dobrze nam znane zagadnienie brzegowe
lad

(1) -u (t) + cu(t) = f(t), t " (o, 1)
(2) u(0) = 0, u(1) = 0.
Niech V = C1([0, 1]) i niech V0 = {v " V | v(0) = v(1) = 0}. Pomnożymy
stronami równanie (1) przez v " V0 i sca
lkujemy w przedziale (0, 1) wyko-
rzystujac wzór na ca
lkowanie przez cześci oraz uwzgledniajac fakt, że wyraz

brzegowy znika; otrzymamy

1 1
(u (t)v (t) + cu(t)v(t))dt = f(t)v(t)dt.
0 0
Oznaczmy:

1
a(u, v) = (v (t)u (t) + cu(t)v(t))dt,
0

1
lv = f(t)v(t)dt.
0
Zauważmy, że
a : V � V R jest forma dwuliniowa nad V
l : V R jest forma liniowa nad V .
Zatem, zagadnienie (1)(2) zastapiliśmy innym zagadnieniem

(3) znajdz
u " V0, takie, że "v"V a(u, v) = lv.
0
Jest to równanie wariacyjne. Zagadnienie (3) jest sformu
lowaniem uo-
gólnionym zagadnienia (1),(2). Rzeczywiście, możemy uważać (3) za uogól-
nienie (1),(2), gdyż rozwiazanie klasyczne u zagadnienia (1)(2), jeśli istnieje,

to spe równanie wariacyjne (3), zaś nie każde rozwiazanie równania war-
lnia

iacyjnego (3) musi spe (1)(2). Zauważmy, że rozwiazania równania war-
lniać

iacyjnego (3) nie musza być dwukrotnie różniczkowalne: moga być tylko
jeden raz różniczkowalne!
37
Wez
my teraz pod uwage inne zagadnienie brzegowe


(4) -u (t) + cu(t) = f(t), t " (0, 1),

(5) u (0) = a, u (1) = b.
Warunki brzegowe (5) możemy interpretować tak: zadana jest pochodna nor-
malna zewnetrzna do brzegu obszaru &! = (0, 1), a wiec jest to warunek brze-

gowy Neumanna.
Postapimy teraz w podobny sposób jak poprzednio. Pomnożymy stro-

nami równanie (4), tym razem jednak przez dowolny element przestrzeni
V = C1([0, 1]). Po sca
lkowaniu przez cześci w przedziale (0, 1), otrzymamy


1 1

(u (t)v (t) + cu(t)v(t))dt = f(t)v(t)dt - av(0) + bv(1).
0 0
Możemy teraz napisać równanie wariacyjne
(6) a(u, v) = lv + gv,
gdzie
a : V � V R,
l, g : V R,

1

a(u, v) = (u (t)v (t) + cu(t)v(t))dt,
0

1
lv = f(t)v(t)dt,
0
gv = bv(1) - av(0).
Równania wariacyjne (3) i (6) maja nastepujaca w
lasność: jeśli prawa

strona równania różniczkowego f jest ciag w (0, 1) i jeśli u " C2 jest
la

rozwiazaniem, to u spe lnia odpowiednio (1)(2), lub (4)(5).

Sprawdz
my to na przyk dla (6). Niech najpierw v " V0. Ponieważ
lad
u " C2 to w (6) możemy ponownie sca przez cześci i otrzymamy
lkować


1

(-u (t) + cu(t) - f(t))v(t)dt = 0, "v"V .
0
0
Ze wzgledu na to, że v(0) = v(1) = 0, mamy g(v) = 0. Ponieważ


-u (t) + cu(t) - f(t), t " (0, 1)
38
jest funkcja ciag a, to warunek znikania ca dla wszystkich v " V0 pociaga
l lki


(7) -u (t) + cu(t) = f(t), t " (0, 1),
a wiec spe jest równanie różniczkowe (4). Wybierzmy teraz v " V ;
lnione

mnożac stronami równanie (4) przez v " V i ca przez cześci otrzymamy
lkujac


a(u, v) = lv + u (1)v(1) - u (0)v(0).
Po odjeciu stronami równania (6), otrzymamy


(u (1) - b)v(1) - (u (0) - a)v(0) = 0.
Możemy teraz dobrać v " V tak, aby najpierw v(0) = 1, v(1) = 0, oraz
nastepnie tak, aby v(0) = 0, v(1) = 1; otrzymamy


u (0) = a, u (1) = b.
Widzimy wiec, że spe jest również warunek Neumanna.
lniony

W
lasności form a i l
Stosujac nierówność Schwarza wyprowadzimy latwo nastepujace nierówności


|a(u, v)| d" M u 1 v 1,
oraz
|lv| d" L v 0 d" L v 1,
gdzie M i L sa sta Nierówności te oznaczaja ciag (ograniczoność)
lymi. lość

rozważanych form.
Nie trudno też oszacować wyrażenie a(u, u) z do
lu:

1 1

a(u, u) = (u (t)2 + cu(t)2)dt e" min{1, c} (u (t)2) + u(t)2)dt e" ł u 2,
1
0 0
gdzie ł = min{1, c} w tym przypadku. Ta ostatnia nierówność oznacza
koercywność formy a w przestrzeni V .
Sformu
lowania (3) i (6) sa uogólnione w tym sensie, że od rozwiazania

nie wymagaja jego dwukrotnej różniczkowalności. Formalnie wystarczy przy-
należność do V = C1([0, 1]). Jednak nie potrafimy udowodnić istnienia
39
i jednoznaczności rozwiazania tak postawionego zadania. Potrzebne jest

tu jeszcze wieksze rozszerzenie przestrzeni V0, lub V w ten sposób, aby

uzyskać ich zupe w sensie naturalnej dla tych przestrzeni normy � 1.
lność
1
Taka przestrzenia jest H0 (0, 1) dla zadania (3), zaś H1(0, 1) dla zadania
1
(6). Ze wzgledu na gestość V0 lub odpowiednio V w przestrzeni H0(0, 1),

wzglednie H1(0, 1), oraz ze wzgledu na ograniczoność rozpatrywanych form

a i l, formy te można przed w sposób zachowujacy ciag i koercywność
lużyć lość

1
na przestrzenie H0 (0, 1) i H1(0, 1).
Doszliśmy w ten sposób do pe sformu
lnego lowania uogólnionego.
Niech (V, (�, �)) bedzie rzeczywista przestrzenia Hilberta.

Dana jest forma dwuliniowa
a : V � V R,
" ciag "M>0, taka, że "u,v"V |a(u, v)| d" M u v ,
la:

" i koercywna: "ł>0 taka, że "u"V ł u 2 d" a(u, u)
oraz forma liniowa
l : V R
ciag "Le"0 "v"V |lv| d" L v .
la:

(") Poszukujemy u " V takiego, że a(u, v) = lv, "v"V .
1
Dla rozpatrywanych uprzednio przyk należy przyja ć H0(0, 1) dla
ladów
zadania (3), zaś H1(0, 1) dla zadania (6).
Zajmiemy sie teraz sprawa istnienia i jednoznaczności rozwiazania zagad-

nienia (").
Twierdzenie Laxa - Milgrama. Niech (V, (�, �)) bedzie rzeczywista przestrzenia

Hilberta,
a : V � V R,
forma dwuliniowa ograniczona i koercywna,

l : V R
40
forma liniowa ograniczona.

Wtedy równanie wariacyjne (") ma jednoznaczne rozwiazanie u " V .

Dowód. Ustalmy chwilowo u " V ;
v a(u, v)
dla każdego u " V ustalonego jest funkcjona liniowym nad V . Zatem
lem
mamy operator

A : V V ,
Au = a(u, �),

gdzie V oznacza przestrzeń dualna do przestrzeni V , to jest przestrzeń
wszystkich funkcjona ów liniowych i ograniczonych nad przestrzenia V .
l
Dla przestrzeni Hilberta V zachodzi Twierdzenie Riesza:
Istnieje izomorfizm liniowy (izometria)

� : V na V,

taki, że dla każdego f " V , �f = vf " V i f = vf , oraz dla każdego
v " V
fv = (vf, v).
Mamy wiec a(u, v) = (�(Au), v), a wiec a(u, v) = lv można zapisać

równoważnie
(�(Au), v) = (�(l), v).
Zatem nasze zadanie (") jest równoważne równaniu operatorowemu
("") Au = l.
Zauważmy, że operator A jest liniowy i ograniczony. Liniowość wynika
bezpośrednio z liniowości a.
Udowodnimy ograniczoność A. Mamy
Au =
= sup |Auw| = sup (�(Au), w) = sup |a(u, w)| d" M u w = M u ,
w =1 w =1 w =1
41
gdzie M jest sta a ciag formy a. To oznacza, że norma A jest ograniczona
l lości

z góry przez M. Teraz pokażemy, że równanie Au = l ma jednoznaczne
rozwiazanie. Zastosujemy, twierdzenie Banacha o punkcie sta
lym.

Niech
Ś(v) = v + ��(l - Av),
gdzie � > 0; mamy
Ś : V V.
Udowodnimy, że można tak dobrać �, że Ś bedzie odwzorowaniem zweża-

jacym. Stad wyniknie, istnienie jedynego u " V , takiego, że u = Ś(u), a

wiec Au = l.

Niech v1, v2 " V .
Ś(v1) - Ś(v2) = v1 - v2 - ��(A(v1 - v2)).
Stad:

Ś(v1) - Ś(v2) 2 = v1 - v2 2 + �2 �(A(v1 - v2)) 2 - 2a(v1 - v2, v1 - v2).
Teraz skorzystamy z ograniczoności i koercywności formy a.
Ś(v1) - Ś(v2) 2 d"
d" v1 - v2 2 + �2M2 v1 - v2 2 - 2�ł v1 - v2 2 = [M2 - 2�ł + 1] v1 - v2 2.
A wiec

Ś(v1) - Ś(v2) d" L v1 - v2
2ł
gdzie L2 = M2�2 - 2�ł + 1. Widzimy, że jeśli 0 < � < , to 0 d" L < 1.
M2
42
Wyk 7.
lad
Metoda Ritza - Galerkina. (Sformu
lowanie abstrakcyjne.) Niech V, (�, �)
bedzie przestrzenia Hilberta. Niech {Vh}h"�, Vh �" V bedzie rodzina pod-

przestrzeni skończonego wymiaru przestrzeni V . Bedziemy chcieli, aby dla

tej rodziny by spe nastepujace
lo lnione

Za lasność aproksymacji) Rodzina podprzestrzeni {Vh}h"�
lożenie. (W
przestrzeni V , ma w lasność aproksymacji jeśli
"u"V "h"� "vh(u) " Vh, że vh(u) - u 0, gdy h 0.
Równanie przybliżone. Nasze sformu
lowanie wariacyjne
(1) Poszukujemy u " V takiego, że a(u, v) = lv "v"V ,
 obetniemy do przestrzeni Vh; to znaczy zamienimy (1) przez
(2) Poszukujemy uh " Vh takiego, że a(uh, vh) = lvh "v "Vh.
h
Jest to równanie przybliżone - Metoda  Ritza - Galerkina .
Ponieważ przestrzenie Vh sa skończonego wymiaru, to sa one przestrzeniami
Hilberta (sa zupe Ponadto formy a i l zachowuja swoje w
lne!). lasności
ograniczoności i koercywności w przestrzeniach Vh, ze sta M i ł
lymi
niezależnymi od h. Zatem dla zagadnienia (2) funkcjonuje Twierdzenie Laxa-
Milgrama, skad wynika, że (2) ma zawsze jednoznaczne rozwiazanie.

Co to jest naprawde zagadnienie (2)?

Niech
Vh = span{Ćh, Ćh, � � � , Ćh },
1 2 Nh
gdzie elementy Ćh, j = 1, 2, � � � , Nh sa liniowo niezależne. Stad wynika, że
j

Nh
uh = Ćhcj, i ze wzgledu na liniowość form a i l, równanie (2) możemy
j=1 j

zapisać równoważnie:
Nh

(3) a(Ćh, Ćh)cj = lĆh, k = 1, 2, � � � , Nh,
j k k
j=1
43
lub, używajac zapisu macierzowego

(4) Ahc = l,
gdzie
Ah = (ak,j)k,j=1,2,���,N , ak,j = a(Ćh, Ćh)
h j k
jest macierza wymiaru Nh � Nh,
c = [c1, c2, � � � , cN ]T ,
h
jest wektorem, którego poszukujemy, zaś
l = [lĆh, lĆh, � � � , lĆh ]T .
1 2 Nh
Inaczej mówiac, Metoda Ritza-Galerkina polega ostatecznie na rozwiazaniu

uk równań algebraicznych liniowych (4).
ladu
Zbieżność. Interesuje nas, czy
uh - u 0, gdy h 0,
gdzie u jest rozwiazaniem (1), zaś uh jest rozwiazaniem (2), i jak szybko

u - uh da ży do zera. Bedziemy zak że formy a i l sa ograniczone, zaś
ladać,

forma a jest również koercywna.
Lemat 1. Metoda Ritza-Galerkina jest stabilna.
Dowód. Rozwiazanie uh równania (2) istnieje i jest jedyne; wykorzystujac

koercywność i ograniczoność form otrzymamy
ł uh 2 d" a(uh, uh) = |luh| d" l uh ,
zaś stad wynika

l
uh d" .
ł
Ta nierówność oznacza stabilność.
Lemat 2. Jeśli u " V jest rozwiazaniem równania (1), zaś uh " Vh jest

rozwiazaniem równania (2), to

(5) a(u - uh, vh) = 0 "v "Vh.
h
44
Komentarz. Gdyby forma a by symetryczna, (to znaczy, gdyby "u,v"V a(u, v) =
la
a(v, u)), to wzór (5) oznacza że uh jest rzutem ortogonalnym w sensie iloczynu
lby,
skalarnego (�, �)a, gdzie (u, v)a = a(u, v), elementu u na podprzestrzeń Vh dla tego
iloczynu skalarnego. Zatem, dla normy generowanej przez ten iloczyn skalarny uh
by najlepsza aproksymacja w przestrzeni Vh elementu u " V .
lby
Dowód. Mamy:
a(u, vh) = lvh,
u(uh, vh) = lvh,
"vh " Vh, wiec odejmujac stronami powyższe równości otrzymamy teze.

Twierdzenie C�a. Dla rozwiazań u " V i uh " Vh równań (1) i (2) zachodzi

oszacowanie
M
u - uh d" inf u - vh ,
vh"Vh
ł
gdzie M i ł sa sta ciag i koercywności formy a.
lymi lości

Dowód. Wykorzystujac koercywność formy a i Lemat 2 otrzymamy

ł u - uh 2 d" a(u - uh, u - uh) = a(u - uh, u) - a(u - uh, uh) =
= a(u - uh, u) - a(u - uh, vh)
gdzie vh " Vh jest dowolnym elementem. Stad

M
u - uh d" u - vh .
ł
Biorac po obu stronach ostatniej równości infv "Vh otrzymamy teze:
h

M
u - uh d" inf u - vh .
vh"Vh
ł
Wniosek. Jeśli podprzestrzenie Vh maja w
lasność aproksymacji, to me-
toda Ritza-Galerkina jest zbieżna.
Dowód. Istotnie, dla u " V "vh(u) " Vh takie, że u - vh(u) 0. Zatem
M
u - uh d" inf u - vh d" u - vh(u) 0.
vh"Vh
ł
45
Twierdzenie C�a wskazuje na to, ze jakość konkretnej wersji Metody
Ritza-Galerkina zależy od tego jak zostana wybrane przestrzenie skończonego
wymiaru Vh. Mówiac o jakości danej wersji metody mamy na myśli przede

wszystkim
" szybkość zbieżności uh do u gdy h 0,
" postać macierzy Ah uk równań (4); macierz ta jest na ogó bardzo
ladu l
dużego wymiaru. Zatem bardzo istotna pozytywna jej cecha by jej
laby
pasmowość.
Metoda Elementu Skończonego (MES) - Finite Element Method
(FEM) jest taka realizacja Metody Ritza-Galerkina która
" pozwala uzyskiwać oszacowania szybkości zbieżności,
" produkuje macierze Ah uk (4) o budowie pasmowej.
ladu
46
Wyk 8.
lad
Metoda Elementu Skończonego. Konforemna Metoda Elementu
Skończonego jest szczególnym przypadkiem Metody Ritza-Galerkina; Metode

Elementu Skończonego otrzymujemy dobierajac w specjalny sposób pod-

przestrzenie skończonego wymiaru Vh. Metoda Elementu Skończonego jest
konforemna, jeśli dla każdego h " �, Vh �" V .5 Przestrzenia V , w tym przy-
m
padku, jest najcześciej jedna z przestrzeni Sobolewa Hm(&!), lub H0 (&!).

Metode Elementu Skończonego opiszemy dla nieco uproszczonego przy-

padku, gdy obszar &! �" Rd jest wielościanem d-wymiarowym ograni-
czonym, to jest skończona suma mnogościowa simpleksów.
Ż
Rozważmy rodzine triangulacji zbioru &!,

�h = {T1, T2, � � � , TM}.
Liczba M i zbiory Tj zależa od parametru h " �, co nie zosta uwzglednione
lo

w oznaczeniach, aby ich nie komplikować. Rodzina �h nie musi sk sie
ladać

Ż
z simpleksów. Rozważa sie również rozk zbioru &! na innego rodzaju
lady

podzbiory. Dla ustalenia uwagi tutaj bedziemy mówić o triangulacjach,

pamietajac jakie warunki powinien spe taki rozk
lniać lad.

Rodzina �h jest regularna jeśli istnieja dwie sta dodatnie � i �, niezależne
le
od h i takie, że
" �h d" hT d" h, gdzie hT , to średnica simpleksu T " �h, zaś h =
maxT "�h{hT }.
�T
" e" �, gdzie �T jest promieniem kuli wpisanej w T .
hT
Element. Element, to trójka
{T, PT , ŁT },
gdzie
" T " �h,
5
Rozważa sie również wersje niekonforemna MES. Wtedy warunek Vh �" V "h"�

nie jest spe Do MES niekonforemnej nie stosuje sie przedstawiona wyżej teoria
lniony.

zbieżności oparta na twierdzeniu C�a.
47
" PT to przestrzeń liniowa skończonego wymiaru, funkcji określonych na
zbiorze T ; zwykle wymaga sie żeby przestrzeń PT zawiera wszystkie
la

wielomiany stopnia d" s, dla pewnego s-naturalnego.
" ŁT to tak zwany zbiór stopni swobody elementu. Zbiór ŁT jest skoń-
czonym uk liniowo niezależnych funkcjona ów nad przestrzenia
ladem l
PT :
ŁT = {Ćh, Ćh, � � � , Ćh }.
1 2 Nh
Funkcjona Ćh, � � � , Ćh maja nastepujaca w
ly lasność interpolacji: dla
1 Nh

dowolnego uk liczb ą1, ą2, � � � , ąN , równania
ladu
h
Ćh(P ) = ąj, j = 1, 2, � � � , Nh
j
wyznaczaja jednoznacznie element P " PT .
Baza dualna. Baze dualna budujemy wyznaczajac elementy P1, P2, � � � , PN
h
z przestrzeni PT przy pomocy uk równań
ladu
Ćh(Pk) = �k,j k, j = 1, 2, � � � , Nh.
j
Ze wzgledu na warunki, które spe stopnie swobody, baza dualna zawsze
lniaja

istnieje, i jest jedyna.
Zauważmy, że majac baze dualna możemy bardzo latwo wyznaczyć tak


zwany  interpolant , to jest taki element P " PT , który dla dowolnego
uk liczb ą1, ą2, � � � , ąN spe warunki  interpolacji :
ladu lnia
h
Ćh(P ) = ąj, j = 1, 2, � � � , Nh.
j
Widzimy, że
Nh

P = Pjąj.
j=1
W przypadku, gdy funkcjona Ćh  wybijaja wartość funkcji w zadanych
ly
j

punktach jest to prawdziwa interpolacja. Niech bowiem xh, xh, � � � , xh beda
1 2 Nh

różnymi punktami T . Niech
Ćh(P ) = P (xh), j = 1, 2, � � � , Nh.
j j
48
Jeśli {P1, P2, � � � , PN } jest baza dualna, to
h
Nh

Ćh(P ) = P (xh) = Ćh(Pj)ąj = ąk.
k k k
j=1
Przestrzenie MES. Przestrzenie Vh tworzymy  sklejajac w odpowiedni

sposób funkcje z przestrzeni PT . Otrzymujemy funkcje vh : &! R, vh " Vh
takie, że dla każdego T " �h
vh|T " PT .
Jeśli chcemy uzyskać konforemna MES, to sklejanie poszczególnych cześci vh

powinno być takie, żeby vh " V . Używajac tych przestrzeni Vh, które w tym

przypadku nazywa sie Przestrzeniami Elementu Skończonego, wygodnie jest

pos
lugiwać sie ich bazami. Przy tworzeniu tych baz czesto wykorzystujemy

bazy dualne na poszczególnych elementach.
W naszych rozważaniach najcześciej wykorzystywaliśmy przestrzenie So-

1
bolewa H1(&!) lub H0(&!) jako przestrzeń V . Ogólnie, przestrzenie Sobolewa
Hm(&!) najcześciej w takiej roli wystepuja. Toteż ich w
lasności beda dla nas

najistotniejsze.
Interpolant. Prawdziwe jest nastepujace twierdzenie, które podajemy tu

bez dowodu
Twierdzenie. (Bramble-Hilbert) Niech &! �" R2 i u " Hs(&!), gdzie s e" 2.
Niech �h bedzie regularna rodzina triangulacji obszaru &!. Wtedy w każdym

trójkacie T " �h można znalez
ć takie punkty

p1, p2, � � � , pl
i jedyny taki wielomian PT,s-1 stopnia nie wiekszego od s - 1, że

PT,s-1(pj) = u(pj) j = 1, 2, � � � , l
(Jest to wielomian interpolacyjny Lagrange a). Wielomiany PT, s-1 dla po-
szczególnych T " �h można tak  skleić , że powstanie  splajn zwany także
 interpolantem Ih(u). Mamy wtedy:
0
" Ih(u) " Hm (&!) dla pewnego m0 d" s
49
" " T " �h Ih(u)|T = PT,s-1 " PT ,
" jeśli m d" m0, to dla interpolantu zachodzi oszacowanie
(") u - Ih(u) &!,m d" Chs-m|u|&!,s,
gdzie sta C nie zależy od h, zaś |�|&!,s jest s-ta seminorma z przestrzeni
la
Sobolewa Hs(&!).
Nierówność (") z Twierdzenia Brambla-Hilberta wskazuje na to, czego można
oczekiwać po metodach typu MES. Jeśli bowiem, na przyk V = Hm(&!),
lad
u " Hs(&!), m < s, gdzie u jest rozwiazaniem zadania różniczkowego, uh "

Vh jest rozwiazaniem zadania przybliżonego przez MES oraz Ih(u) " Vh �"

Hm(&!), to z Twierdzenia C�a wynika
M M
u - uh &!,m d" inf u - vh &!,m d" u - Ih(u) &!,m d" Chs-m|u|&!,s.
vh" Vh
ł ł
Mamy stad oszacowanie szybkości zbieżności metody, w zależności od tego, w

jakiej normie � &!,m chcemy to oszacowanie otrzymać, oraz od regularności
rozwiazania u.

Dla przestrzeni MES, której elementami sa  splajny to jest funkcje
kawa wielomianowe, możemy naogó konstruować bazy, których elemen-
lkami l
tami sa funkcje o ma nośnikach. Niech
lych
Ś1, Ś2, � � � , ŚN
h
bedzie taka w baza przestrzeni Vh. Gdy forma dwuliniowa
laśnie

a : V � V R
jest forma ca to elementy ai,j = a(Śj, Śi) macierzy Ah uk równań
lkowa, ladu

Ż
algebraicznych liniowych Ahc = l, otrzymanego w konsekwencji stosowania
Ż
MES, beda znika dla i i j różniacych sie dostatecznie dużo. Oznacza to, że
ly

macierz Ah ma budowe pasmowa.

Przyk - patrz Zadania z ćwiczeń.
lady
50
Wyk 9.
lad
Pytanie. Niech
" V = H1(&!),
" rodzina triangulacji �h = {T1, T2, � � � , TM},
" ELEMENT= {T, PT , ŁT }, gdzie PT sk sie z wielomianów stopnia
lada

d" s,
" Vh-przestrzeń elementu skończonego, vh " Vh �! vh|T " PT .
Kiedy przestrzenie Vh sa konforemne?
Aby móc odpowiedzieć na to pytanie, trzeba jeszcze coś powiedzieć o prze-
strzeniach Sobolewa. Bedzie to twierdzenie o tych przestrzeniach, które tu

podamy bez dowodu.
Twierdzenie. Przestrzeń Hm(&!) jest identyczna ze zbiorem wszystkich ta-
kich elementów v " L2(&!), że Dąv " L2(&!) dla ą = [i1, i2, � � � , id]T i |ą| d" m,
gdzie
"|ą|
Dą =
1 2 d
"xi "xi � � � "xi
1 2 d
jest pochodna dystrybucyjna (s
laba).

"
O dystrybucjach.6 Znamy już zbiór C0 (&!)wszystkich funkcji majacych

wszystkie pochodne ciag i nośniki zwarte, zawarte w zbiorze otwartym &!.
le

"
W C0 (&!) wprowadza sie topologie przestrzeni liniowej lokalnie wypuk
lej.

Opiszemy krótko jaka to topologia.
"
" Dla każdego zbioru zwartego K �" &!, dla wszystkich funkcji z C0 (&!) o
nośniku w K tworzymy ciag seminorm

pK,j(Ć) = sup |DąĆ(x)|, j = 0, 1, 2, � � � .
x"K,|ą|d"j
W ten sposób dla każdego takiego zbioru K mamy przestrzeń funkcyjna
liniowa, lokalnie wypuk a.
l

6
Wiecej szczegó ów na ten temat - patrz np. K�saku Yosida  Functional Analysis ,
l

Springer-Verlag 1966, pp 27-30.
51
" Można pokazać, że topologia przestrzeni zwiazanej ze zbiorem zwartym K1

jest indukowana przez topologie takiej przestrzeni zwiazanej ze zbiorem

"
zwartym K2, jeśli K1 �" K2 �" &!. W ten sposób w C0 (&!) tworzy sie

tak zwana topologie granicy prostej. Zbiór otwarty dla w takiej topologii,

to taki zbiór, którego przeciecie z każda podprzestrzenia zwiazana z dowol-

nym zbiorem zwartym K �" &! jest otwarty. Taka topologia  widzi fakt, że
"
elementy C0 (&!) maja wszystkie pochodne ciag
le.

"
Dystrybucja na &!, to funkcjona liniowy i ciag T nad przestrzenia C0 (&!),
l ly

"
T : C0 (&!) R.
"
Przyk 1. Niech f " L2(&!) i Ć " C0 (&!); niech
lad

Tf(Ć) = f(x)Ć(x)d&!.
&!
Jest to dystrybucja przyporzadkowana elementowi f " L2(&!).

"
Przyk 2. Niech f " Cn([a, b]), n e" 1 i Ć " C0 ((a, b)); niech
lad

b
Tf(Ć) = f(x)Ć(x)dx.
a
Mamy f (x)Ć(x) + f(x)Ć (x) = [f(x)Ć(x)] i stad


b

Tf (Ć) = f (x)Ć(x)dx = -Tf(Ć ),
a
gdyż funkcje Ć maja nośniki zwarte w przedziale otwartym (a, b).
Komentarz. Dystrybucja Tf odpowiada funkcji f. Zamiast myśleć o funkc-
jach możemy myśleć o dystrybucjach im przyporzadkowanych. W tym sensie


możemy uważać dystrybucje za  uogólnione funkcje . Tf - to dystrybycja przy-
porzadkowana pochodnej f ; powyższy wzór sugeruje nastepujaca ogólna definicje:

52
Definicja pochodnej dystrybucji. Pochodna Dą dystrybucji
"
T : C0 (&!) R,
gdzie &! �" Rd i ą = [i1, i2, � � � , id], to dystrybucja
"
DąT : C0 (&!) R,
taka, że
DąT (Ć) = (-1)|ą|T (Dą(Ć))
"
dla każdego Ć " C0 (&!).
Komentarz. Jeśli bedziemy traktować  zwyk funkcje jako dystrybucje, możemy
le

mówić o pochodnych dystrybucyjnych (s lnie
labych) dowolnego rzedu dla zupe

dowolnych funkcji.
Możemy teraz wyjaśnić, co to znaczy
 pochodna dystrybucyjna Dą elementu v " L2(&!)
należy do L2(&!)
Znaczy to poprostu, że istnieje taki element w " L2(&!), że

DąTv(Ć) = (-1)|ą|Tv(DąĆ) = (-1)|ą| vDąĆd&! = wĆd&!,
&! &!
"
dla dowolnego elementu Ć " C0 (&!).
Przyk dystrybucji. Niech &! = R, i niech
lad

0 dla t < x
Hx(t) = .
1 dla t e" x
Jest to tak zwana funkcja Heviside a. Znajdziemy pochodna s funkcji
laba
Hx. Dystrybucja przyporzadkowana Hx:


"
TH (Ć) = Hx(t)Ć(t)dt.
x
-"
Mamy

"
d
TH = T d (Ć) = -TH (Ć ) = - Hx(t)Ć (t)dt =
x Hx x
dt
dt -"
53

"
= - Ć (t)dt = Ć(x),
x
d
gdyż Ć(") = 0; a wiec, TH (Ć) = Ć(x).
x
dt
Pochodna dystrybucyjna funkcji Hx  wybija wartość argumentu Ć w
punkcie x. Te dystrybucje nazywa sie  delta Dirac a i oznacza sie sym-

bolem �x. W sensie s
labym:
d
Hx = �x, �x(Ć) = Ć(x).
dt
Dystrybucja �x nie należy do L2(&!).
Teraz możemy odpowiedzieć na pytanie o konforemność przestrzeni
elementu skończonego Vh dla V = H1(&!). Na postawione pytanie
odpowiada poniższe Twierdzenie, które podaje warunek dostateczny na kon-
foremność przestrzeni elementu skończonego.
Przypomnijmy uprzednio sformu za
lowane lożenia.
" V = H1(&!),
" &! jest wielościanem d-wymiarowym,
" Elementy przestrzeni elementu skończonego Vh sa  kawa wielomianami
lkami
stopnia d" s. Dok
ladniej: dla każdego elementu T triangulacji �h
vh|T jest wielomianem (d-zmiennych) stopnia d" s.
Twierdzenie. Jeśli vh " Vh jest funkcja ciag a na &!, to vh " H1(&!).
l

Dowód. Trzeba udowodnić, że z ciag vh wynika, że dla j = 1, 2, � � � , d
lości

pochodne dystrybucyjne
"vh
"xj
"vh
należa do L2(&!). Niech dla p " T , wT,i(p) = (p) dla i = 1, 2, � � � , d gdzie
"xi
�h = {T1, T2, � � � , TM}.
54
Funkcje wT,i na każdym simpleksie T sa oczywiście dobrze określone, gdyż
vh na T jest wielomianem stopnia d" s. Ponadto jeśli zdefiniujemy wi, i =
1, 2, � � � , d na &! tak, że
wi|T (p) = wT,i(p) dla p " T,
to otrzymamy wi " L2(&!) dla i = 1, 2, � � � , d. Jest tak, gdyż wi pozostaje
nieokreślone tylko na zbiorze wewnetrznych ścian wielościanu &!, zaś zbiór

ten jest d-wymiarowej miary zero.
Z Twierdzenia Greena i Twierdzenia Gaussa wynika, że na każdym sim-
pleksie T mamy:

"vh "Ć
wi,T ĆdT = ĆdT = - vh dT + nivhĆdS, i = 1, 2, � � � , d,
T T "xi T "xi "T
gdzie n1, n2, � � � , d to sk
ladowe wersora normalnego zewnetrznego do "T i

"
Ć " C0 (&!). Wez
my teraz pod uwage dwa simpleksy T1 i T2, stykajace sie

wspólna ściana S. Na tej wspólnej scianie S:
" vh, jest ciag
la,

" ni i = 1, 2, � � � , d pochodzace od T1 i T2 różnia sie znakiem.


Zsumujemy teraz stronami � � � powyższy wzór. Otrzymamy dla
T "�h
i = 1, 2, � � � , d:

"Ć "
wiĆd&! = - vh d&! = Tv (Ć)
h
&! &! "xi "xi
Co sta sie z ca po brzegach? Ze wzgledu na to, co dzieje sie na każdej
lo lkami

wspólnej ścianie S, ca po brzegach wewnetrznych simpleksów znikna i
lki

pozosta tylko ca po "&!, gdyby nie funkcje Ć, które maja nośniki zwarte
laby lka
w zbiorze otwartym &!. Ostatecznie nie zostaje nic! Jak zauważyliśmy już
wcześniej, wi " L2(&!), i = 1, 2, � � � , d. Ze wzgledu na definicje  należenia

pochodnej s do L2(&!), uwaga ta kończy dowód twierdzenia.
labej
55
Wyk 10.
lad
Grzechy wobec Metody Elementu Skończonego.
Opisana tutaj metoda Elementu Skończonego dzia poprawnie pod warun-
la
kiem zachowania wszystkich przyjetych za Jednak nie zawsze możemy,
lożeń.

badz
też nie zawsze chcemy, te za spe Dotyczy to najcześciej:
lożenia lnić.

" Stosowania tych samych form a i l w sformu
lowaniu oryginalnym i przy-
bliżonym naszego zadania. Użycie innych form określajacych  przy-

bliżone równanie wariacyjne, to jest pierwszy z grzechów. Do pope
l-
nienia tego grzechu może zmusić nas brak możliwości dok
ladnego  anal-
itycznego obliczenia ca potrzebnych do wyznaczenia form a i l.
lek
Możemy być zmuszeni do zastosowania kwadratur numerycznych. Nie-
kiedy także może być nam wygodniej użyć kwadratury numerycznej niż
obliczać analitycznie skomplikowane ca szczególnie jeśli kwadratura
lki,
numeryczna daje wynik z dok
ladnościa tego samego rzedu co równanie

aproksymujace nasze zadanie oryginalne.

" Zachowania konforemności metody, to znaczy budowania przestrzeni
elementu skończonego w taki sposób, aby przestrzenie Vh by pod-
ly
przestrzeniami przestrzeni V , na której jest określone zadanie orygi-
nalne. Ten grzech zwykle jest pope z rozmys Niekiedy ze
lniany lem.
wzgledu na charakter rozwiazania zadania oryginalnego, a w szczególno-

ści ze wzgledu na jego niska regularność, lepiej jest stosować wersje

niekonforemna Metody Elementu Skończonego.
Rozpatrzmy te dwa przypadki
Zachowanie konforemności, ale zmienione formy a i l dla zadania
przybliżonego.
Niech V bedzie przestrzenia Hilberta, Vh �" V rodzina jej podprzestrzeni

skończonego wymiaru.
Zadanie  oryginalne : szukamy u " V takiego, że
a(u, v) = lv "v " V.
Zadania  przybliżone : szukamy uh " Vh, takich, że
ah(uh, vh) = lhvh "vh " Vh.
56
Zak la lymi
ladamy, że forma dwuliniowa a jest ciag i koercywna ze sta odpowied-

nio M i ł; o formach ah zak le
ladamy, że sa jednakowo ciag i jednakowo

koercywne, to znaczy, ze istnieja sta M i ł nie zależne od h, takie że
le
|ah(uh, vh)| d" M uh vh ,
ł uh 2 d" ah(uh, uh).
Przy tych za
lożeniach z Twierdzenia Lax a - Milgrama wynika, że zarówno
zadanie  oryginalne , jak i zadania  przybliżone maja jednoznaczne rozwia-

zania. Jednak przedstawiona dotychczas teoria zbieżności oparta o Twierdze-
nie C�a nie funkcjonuje. Twierdzenie C�a trzeba zstapić czymś innym.

Pierwszy Lemmat Stranga. Niech u i uh beda odpowiednio rozwiazaniem

zadania  oryginalnego i  przybliżonego . Przy przyjetych za
lożeniach ist-

nieje sta C taka, że
la
u - uh d"
|a(vh, wh) - ah(vh, wh)| |lwh - lhwh|
d" C{ inf [ u - vh + sup ] + sup }
vh"Vh
wh wh
wh"Vh wh"Vh
Komentarz. Zbieżność bedzie zachowana przy odpowiednich warunkach aproksy-

macji na
lożonych na podprzestrzenie Vh, pod warunkiem, że wyrażenia zawierajace

a, ah oraz l i lh po prawej stronie nierówności, da ża do zera. Zauważmy także, że
cześć prawej strony przed która stoi znak inf jest zwiazany zarówno z aproksymacja

przestrzeni V , przez Vh, jak i z aproksymacja formy a przez formy ah. Pozosta
la
cześć prawej strony dotyczy aproksymacji l przez lh.

Dowód. Najpierw szacujemy uh - vh , gdzie vh " Vh jest dowolnym ele-
mentem, wykorzystujac koercywność ah. Niech wh = uh - vh. Wtedy

ł uh-vh 2 d" ah(uh-vh, uh-vh) = a(u-vh, wh)-a(u-vh, wh)+ah(uh-vh, wh).
Stad

ł uh - vh 2 d" a(u - vh, wh) + a(vh, wh) - ah(vh, wh) - a(u, wh) + ah(uh, wh).
Dzielac stronami przez wh i dobierajac odpowiednio sta a C1 otrzymamy
l

|a(vh, wh) - ah(vh, wh)| |lwh - lhwh|
uh -vh d" C1[ u-vh + sup ]+ sup .
wh wh
wh"Vh wh"Vh
57
Ponieważ uh - u d" uh - vh + u - vh , po dodaniu do obu stron u - vh
i dobraniu nowej sta C otrzymamy
lej
|a(vh, wh) - ah(vh, wh)| |lwh - lhwh|
u-uh d" C{[ u-vh + sup ]+ sup }.
wh wh
wh"Vh wh"Vh
Po obu stronach teraz bierzemy infv "Vh
h
u - uh d"
|a(vh, wh) - ah(vh, wh)| |lwh - lhwh|
d" C{ inf [ u - vh + sup ] + sup }.
vh"Vh
wh wh
wh"Vh wh"Vh
Jeśli mamy do czynienia z niekonforemnościa Metody Elementu
Skończonego trzeba Twierdzenie C�a zastapić Drugim Lemmatem Stranga.

Drugi Lemmat Stranga. Niech:
" V -przestrzeń Hilberta,
" a : V � V R forma dwuliniowa ciag ze sta a ciag M i koercy-
la l lości

wna ze sta a koercywności ł > 0,
l
" l : V R forma liniowa ciag
la,

" Vh rodzina przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, unormowanych,
z normami � h odpowiednio. Zak ladamy, że normy � h sa określone
7
na przestrzeniach V + Vh.
" ah : (V + Vh) � (V + Vh) R rodzina form dwuliniowych ciag
lych

ze sta a ciag M nie zależna od h i koercywnych na Vh ze sta a
l lości l

koercywności ł > 0 niezależna od h,
ł vh 2 d" ah(vh, vh)
h
dla vh " Vh,
" lh : Vh R rodzina form liniowych ciag
lych.

7
V + Vh, to przestrzeń elementów postaci v + vh, gdzie v " V i vh " Vh.
58
Rozpatrujemy:
zadanie  oryginalne :
poszukujemy u " V spe
lniajacego równanie wariacyjne

a(u, v) = lv "v"V
oraz zadanie  przybliżone :
poszukujemy uh " Vh spe
lniajacego równanie wariacyjne

ah(uh, vh) = lhvh "v "Vh.
h
Przy przyjetych za la
lożeniach istnieje sta C, taka, że

|ah(u, wh) - lhwh|
u - uh h d" C[ inf u - vh h + sup ].
vh"Vh
wh h
wh"Vh
Dowód. Zauważmy najpierw, że z Twierdzenia Laxa - Milgrama wynika
istnienie jednoznacznych rozwiazań u i uh, zarówno dla zagadnienia  orygi-

nalnego , jak i dla zagadnień  przybliżonych . Wykorzystujac teraz koercy-

wność ah szacujemy uh - vh = wh dla dowolnego vh " Vh
ł uh - vh 2 d" ah(uh - vh, wh) =
h
= ah(u - vh, wh) - ah(u - vh, wh) + ah(uh - vh, wh) =
= ah(u - vh, wh, wh) + lhwh - ah(u, wh).
Stad

|ah(u, wh) - lhwh|
ł uh - vh h d" M u - vh h + sup .
wh h
wh"Vh
Podobnie jak w dowodzie Pierwszego Lemmatu Stranga dodajemy stronami
u - vh h, i po dobraniu sta C oraz wzieciu infv "Vh po obu stronach,
lej
h

otrzymujemy teze:

|ah(u, wh) - lhwh|
u - uh h d" C[ inf u - vh h + sup ].
vh"Vh
wh h
wh"Vh
Z Drugiego Lemmatu Stranga wynika zbieżnośc metody, pod warun-
kiem, że przestrzenie Vh maja odpowiednie w
lasności aproksymacyjne dla
59
przestrzeni V , oraz pod warunkiem, że wyrażenie w tezie, rozpoczynajace sie

od supw "Vh da ży do zera, gdy h 0.
h
Uwagi dotyczace realizacji algorytmów Metody Elementu Skoń-

czonego.
" Element bazowy. Wszystkie simpleksy wchodzace w sk triangu-
lad

lacji �h tworzymy na ogó dokonujac przekszta afinicznego sim-
l, lcenia

Ć Ć
pleksu bazowego T . Dla przestrzeni R2, T to trójkat dany przez nierów-

ności
0 d" x + y d" 1,
x e" 0, y e" 0.
" Wspomniane wyżej przekszta afiniczne jest postaci F (p) = Bp+b,
lcenie Ć Ć
Ć
gdzie p " T , B jest macierza, zaś b wektorem. Nie trudno zauważyć,
Ć

że
hT hT
Ć
cond(B) = B B-1 d" ,
�T �T
Ć
gdzie �T i �T , to odpowiednio średnice sfer wpisanych simpleksów T i
Ć
Ć
T , zaś hT i hT średnice tych simpleksów. Dowód pozostawiamy jako
Ć
zadanie. Nierówność ta wskazuje na to, że jeśli triangulacja jest regu-
larna, to wspó lcenia
lczynnik uwarunkowania przekszta afinicznego F
jest ograniczony, gdyż �T i hT , jako wymiary zwiazane z simpleksem
Ć Ć

wzorcowym, sa ustalone.
" Przez to przekszta afiniczne odwzorowujemy ca element
lcenie ly
Ć
{T , PT , ŁT }
Ć Ć
na element
{T, PT , ŁT }.
Warto wiec zastanowić sie, jaka jest postać poszczególnych sk
ladników

tego elementu przekszta
lconego.
60
Wyk 11.
lad
Wstep. Bedzie nam potrzebne kilka pojeć z Analizy Funkcjonalnej. Przy-

pomnijmy.
" OPERATOR DUALNY. Niech X, Y beda przestrzeniami Banacha,

A : X Y , operatorem liniowym i ograniczonym. Symbolem X
oznaczamy przestrzeń dualna do X, to jest przestrzeń Banacha wszyst-
kich funkcjona ów liniowych i ograniczonych określonych na X. Norma
l
w X , to zwyk norma funkcjona Elementy przestrzeni X bedziemy
la lu.

oznaczali symbolami x , y � � �. Zamiast pisać x (x) dla x " X i x " X
bedziemy czesto pisać < x , x >; zatem x (x) =< x , x >.


Niech x " X i y " Y , beda dowolnymi elementami. Zauważmy, że

< y , Ax > określa funkcjona liniowy nad X, możemy wiec napisać
l

< y , Ax >=< A y , x >,

gdzie A : Y X . W ten sposób określony zosta operator A , zwany
l
operatorem dualnym (do A). Latwo sprawdzić, że A jest liniowy i

ograniczony, a dok A = A .
ladniej
" JADRA, UZUPE
LNIENIA ORTOGONALNE I ZBIORY PO-

LARNE. Przy powyższych za
lożeniach:
KerA = {x " X | Ax = 0},

KerA = {y " Y | A y = 0} = {y " Y | < y , Ax >= 0 " x " X}.
Sa to jadra A i A . Jadro operatora liniowego i ograniczonego jest

domkniete.

Jeśli Z �" V , gdzie V jest przestrzenia Hilberta, to
ZĄ" = {v " V | (z, v) = 0 " z " Z}.
Jeśli Z jest podprzestrzenia domknieta, to ZĄ" nazywa sie uzupe lnieniem

ortogonalnym Z.
Jeśli U �" X i U = j
, to U0 = {x " X | < x , u >= 0 " u " U}
nazywa sie zbiorem polarnym dla U. Zbiór polarny jest domkniety.

61
" PRZESTRZEC
BIDUALNA, PRZESTRZEC
REFLEKSYW-
NA. Przestrzeń dualna przestrzeni dualnej, to przestrzeń bidualna:
(X ) = X . Jej elementami sa funkcjona liniowe ograniczone nad
ly
X . Zauważmy, że jeśli x " X , to dla dowolnego ustalonego x " X,
x (x ) = x (x), x " X , a zatem x x definiuje odwzorowanie li-
niowe X w X . Jeśli to odwzorowanie jest izomorfizmem X i X , to
przestrzenie X i X można uważać za identyczne. Mówimy wtedy, że
przestrzeń X jest refleksywna. Każda przestrzeń Hilberta jest refleksy-
wna.

Zbadajmy co to jest (KerA )0. Mamy A : Y X .
(KerA )0 =

= {y " Y | < y , y >= 0 "y " Y takiego, że < y , Ax >= 0 " x " X}.

Jeśli przestrzeń Y jest refleksywna (Y = Y )
(KerA )0 =

= {y " Y | < y , y >= 0 " y " Y takiego, że < y , Ax >= 0 " x " X}.
Zauważmy, że wtedy AX �" (KerA )0.
Twierdzenie. Niech X i Y beda refleksywnymi przestrzeniami Banacha,

A : X Y - operatorem liniowym i ograniczonym. Wtedy
AX = AX w Y �! AX = (KerA )0.
Dowód. Zauważmy, że wystarczy udowodnić, że AX = (KerA )0. Wiemy
już, że AX �" (KerA )0. Ponieważ każdy zbiór polarny jest domkniety, to

również AX �" (KerA )0. Przypuśćmy, że AX = (KerA )0. Wtedy istnieje

taki element y0 " (KerA )0, ze y0 " AX. Wiadomo, że wtedy istnieje taki

funkcjona y0 " Y , że < y0, y0 > = 0, zaś < y0, Ax >= 0, " x " X. Ale
l
dochodzimy w ten sposób do sprzeczności, gdyż jeśli y0 " (KerA )0, to musi
62

być < y0, y0 >= 0, jeśli < y0, Ax >= 0 " x " X. Zatem nie może być
8
AX = (kerA )0).

Ogólniejsze równanie wariacyjne.
Niech U i V beda przestrzeniami Hilberta. Jeśli nie bedzie to konieczne,

nie bedziemy rozróżniać oznaczeniami norm tych przestrzeni. Niech

a : U � V R bedzie forma dwuliniowa,


zaś niech l " V . Ponadto za
lożymy, że
(1) "M e" 0 " u " U " v " V |a(u, v)| d" u v (ciag
lość),

a(u, v)
(2) "ł > 0 " u " U ł u d" sup (warunek inf-sup),
v
v"V
(3) " v " V, v = 0 " u " U a(u, v) = 0.

Rozważamy równanie wariacyjne
(4) poszukujemy u " U takiego, że a(u, v) = lv " v " V.
Twierdzenie NNBA (Ne%0ńas, Nirenberg, Babua
ka, Aziz.) Jeśli spe
l-
nione sa warunki (1), (2), (3), to równanie wariacyjne (4) ma jednoznaczne

rozwiazanie u " U dla każdego l " V .

Dowód. Wiemy, że forma a definiuje operator liniowy:

a(u, v) =< Au, v >, A : U V .
" Operator A jest ciag Mamy
ly.

Au = sup | < Au, v > | = sup |a(u, v)| d"
v"V, v =1 v"V, v =1
d" sup M u v = M u ,
v"V, v =1
a wiec A d" M.

8
Gdy X i Y sa przestrzeniami Hilberta (nas interesuje w ten przypadek) latwo
laśnie

znalez
ć funkcjona y0. Niech P : Y AX �" Y bedzie operatorem rzutu ortogonalnego
l


na podprzestrzeń domknieta AX. Wtedy y0 = �(y0 - P y0), gdzie � : Y Y jest


izomorfizmem Riesza. Z definicji P wynika, że < y0, Ax >= 0 " x " X, natomiast warunek

< y0, y0 > = 0 wynika z nierówności Schwarza i w boków trójkata prostokatnego.
lasności

63
" Odwracalność A. Przypuśćmy, że A nie jest odwracalny. Wtedy w
U istnieja dwa elementy różne u1 = u2 i Au1 = Au2. Mamy wtedy z

warunku  inf-sup
a(u1 - u2, v) < A(u1 - u2), v >
ł u1 - u2 d" sup = sup = 0
v v
v"V v"V
a wiec u1 = u2, wbrew za
lożeniu.


" Ciag A-1 na AU. Niech l " AU �" V i niech u = A-1l. Wtedy z
lość

warunku  inf-sup
a(u, v) < Au, v > < l, v >
ł u d" sup = sup = sup = l .
v v v
v"V v"V v"V
1
To oznacza, że u = A-1l d" l , a wiec A-1 jest ograniczony na
ł
AU.
" Domknietość AU. Ponieważ U = A-1AU to AU jest przeciwobrazem

zbioru domknietego U przez funkcje ciag a A-1 jest wiec zbiorem dom-
l


knietym w V .

" AU = (KerA )0. Wynika to z domknietości AU (patrz  Twierdzenie ).

Zatem

AU = {v " V | a(u, v) = 0 " u " U}0 �" V .

" A : U V jest odwzorowaniem na ca a przestrzeń V . Istotnie,
l

ze wzgledu na warunek (3) KerA = {0}, wiec AU = (KerA )0 = V .

Teraz zajmiemy sie  zagadnieniem przybliżonym . Zastosujemy (kon-

foremna) metode Ritza-Galerkina. Niech Uh �" U, Vh �" V beda rodzinami

podprzestrzeni skończonego wymiaru. Trzeba bedzie za że sa one do-
lożyć,

brane do siebie tak, aby
a(uh, vh)
(3 ) " h " � " uh " Uh ł uh d" sup ,
v
vh"Vh
(można za że sta ł jest ta sama co we wzorze (3))
lożyć, la
(4 ) " h " � " vh " Vh vh = 0 " uh " Uh a(uh, vh) = 0.

64
Równanie  przybliżone
(5) poszukujemy uh " Uh takiego, że a(uh, vh) = lvh " vh " Vh.
Ponieważ za lnienie
lożyliśmy spe warunków (3 ) i (4 ), równanie (5) ma dla
każdego h " � jednoznaczne rozwiazanie uh " Uh.

Realizacja. Przestrzenie Uh i Vh dobieramy tak, aby by tego samego
ly
wymiaru dla każdego ustalonego h. Niech
Uh = span{Ćh, Ćh, � � � , Ćh },
1 2 Mh
h h h
Vh = span{�1 , �2 , � � � , �M }.
h
Wtedy
Mh

uh = Ćhch.
j j
j=1
Nasze równanie (5) może być teraz zapisane tak
Mh

h h
(6) a(Ćh, �k)ch = l�k, k = 1, 2 � � � , Mh.
j j
j=1
Jest to uk równań algebraicznych liniowych
lad
(6 ) Ahch = lh,
o macierzy
h
Ah = (ah ), ai,j = a(Ćh, �i ),
i,j j
Odwracalność macierzy Ah wynika z warunków (3 )(4 ).
Lemmat. Jeśli u jest rozwiazaniem równania (4), zaś uh rozwiazaniem

równania (5), to
a(u - uh, vh) = 0 " vh " Vh.
Dowód. Mamy
a(u, vh) = lvh " vh " Vh �" V,
oraz
a(uh, vh) = lvh " vh " Vh �" V.
Odejmujac stronami te równości otrzymujemy teze.

65
Twierdzenie o zbieżności. Jeśli u jest rozwiazaniem równania (4), zaś

uh rozwiazaniem równania (5), to

M
u - uh d" (1 + ) inf u - wh ,
wh"Uh
ł
gdzie M i ł jest odpowiednio sta a ciag i koercywności formy a.
l lości

Dowód. Niech wh " Uh bedzie dowolnym elementem Uh. Z Lemmatu wynika

a(u - wh + wh - uh, vh) = 0 " vh " Vh.
Stad
a(u - wh, vh) = a(uh - wh, vh) " vh " Vh.
Wykorzystujac warunek  inf-sup , otrzymamy

a(uh - wh, vh) a(u - wh, vh)
ł uh - wh d" sup = sup d" M u - wh ,
vh vh
vh"Vh vh"Vh
a wiec

M
uh - wh d" u - wh .
ł
Ponieważ
uh - u d" uh - wh + u - wh ,
po dodaniu po obu stronach poprzedniej nierówności u - wh otrzymamy
M
u - uh d" (1 + ) u - wh ,
ł
zaś biorac po obu stronach tej ostatniej nierówności infw "Uh otrzymamy
h
teze.

66
Wyk 12.
lad
POBLEM PUNKTU SIOD
LOWEGO. Niech U i V beda przestrzeni-

ami Hilberta. Dane sa dwie formy dwuliniowe a i b
a : U � U R,
b : U � V R,

oraz f " U , g " V
Geneza problemu punktu siod jest poszukiwanie minimum funkcjo-
lowego
na nieliniowego
lu
1
J(u) = a(u, u)- < f, u >
2
dla u " U spe
lniajacych warunek

b(u, �) =< g, � >
dla każdego � " V .
Utwórzmy tak zwana funkcje Lagrange a:

L(u, ) = J(u) + [b(u, )- < g,  >].
Poszukiwanie ekstremum J przy wspomnianym warunku sprowadza sie do

rozwiazania uk 2 równań
ladu

"
L(u, ) = 0,
"u
"
L(u, ) = 0,
"
gdzie pochodne sa rozumiane w sensie Fr�cheta.9
9
Niech F : X Y , gdzie X i Y sa przestrzeniami Banacha zaś h " X jest dowolnym
elementem X. Przypuśćmy, że istnieje operator liniowy ograniczony, zależny (na ogó w
l
sposób nieliniowy od x " X), A(x) : X Y , taki, że F (x + h) - F (x) = A(x)h + �(x, h) i
�(x,h)
0, gdy h 0. Wtedy operator A(x) : X Y nazywa sie pochodna Fr�cheta
h
funkcji F w punkcie x " X, zaś A(x)h " Y nazywa sie różniczka Fr�cheta funkcji F w

punkcie x dla przyrostu h " X.
67
Latwo obliczamy:

"
L(u, )h = �(u, h)- < f, h > +b(h, ), h " U,
"u
"
L(u, )k = b(u, k)- < g, k >, k " V,
"
1
gdzie �(u, h) = [a(u, h) + a(h, u)]. Równania wyznaczajace punkt stacjo-
2
narny sa w tym przypadku postaci
�(u, h) + b(h, ) =< f, h >, " h " U,
b(u, k) =< g, k >, " k " V.
Tutaj � jest forma dwuliniowa symetryczna. Pozbywamy sie tego warunku

symetrii; uogólniajac, bedziemy nazywali zagadnieniem punktu siod
lowego

nastepujacy uk dwóch równań wariacyjnych:
lad

(P S) poszukujemy pary u " U,  " V takiej , że
a(u, h) + b(h, ) =< f, h > " h " U,
b(u, k) =< g, k > " k " V,
gdzie a i b - to formy dwuliniowe ograniczone, a : U �U R, b : U �V R,

f " U , g " V .
Wiemy już, że formy a i b określaja operatory A i B
a(u, h) =< Au, h >, A : U U ,

b(u, k) =< Bu, k >, B : U V ,
b(k, u) =< Bk, u >=< B u, k >, B : V U .
Równania (PS) możemy zapisać w sposób równoważny, pos
lugujac sie ope-

ratorami A i B
Au + B  = f,
(P S ) Bu = g.
Wygodnie bedzie jeszcze oznaczyć

W = {w " U | b(w, k) = 0 " k " V } = KerB.
68
Lemat. Warunki 1, 2, 3 sa równoważne:
1. " ł > 0 ł � d" supv"V b(v, �),
v
2. b(v, �) =< Bv, � >

B : U V ,
Ą"
B : W V jest izomorfizmem na i Bv e" ł v ,
3. B : V U
0
B : V W �" U jest izomorfizmem na i B � e" ł � .
Dowód.
" 1. �! 3. Mamy b : U � V R, oraz
b(u, �) < Bu, � > < B �, u >
ł � d" sup = sup = sup = B � ,
u u u
u"U u"U u"U
a wiec B -1 istnieje i jest ograniczony: B : V B V �" U . Oznacza

to, że B V jest przeciwobrazem przez B-1 zbioru domknietego V . Stad

0
wynika, że B V = B V , a wiec B V = (KerB)0 = W . A wiec

0
B : V W
jest izomorfizmem i ł � d" B � .
" 3. �! 1. Jeśli B � e" ł � , to
b(u, �) < B �, u >
sup = sup = B � e" ł � .
u u
u"U u"U
0
" 3. �! 2. Mamy b(u, �) =< B �, u >, a ponieważ B : V W �" U
0
jest izomorfizmem, to "  " W �" U " v " V B v = . Niech
Ą" 0
u " W ; (u, �)U jest funkcjona nad U, zatem (u, �)U " W . Istnieje
lem
zatem v " V , B v = (u, �)U, a wiec, dla takiego v

" w " U < B v, w >= (u, w)U =< Bw, v >= b(w, v).
69
Ą"
Podstawmy w = u " W ; stad

b(u, k) b(u, v) (u, u)U u 2
sup e" = = .
k v v v
k"V
Ale z twierdzenia Riesza wynika, że u = B v e" ł v . Zatem
Ą"
ostatecznie " u " W �" U
b(u, k) < Bu, k > B v u
sup = sup = Bu = e" ł u .
k k v
k"V k"V
To znaczy, że forma b jest ograniczona i spe warunek  inf-sup .
lnia
Pokażemy jeszcze, że
" k " V, k = 0 " u " U b(u, k) = 0.

Przypuśćmy, że tak nie jest; wtedy
" k = 0 " u " U b(u, k) =< Bu, k >=< B k, u >= 0.

0
Ponieważ jednak B : V W jest izomorfizmem, to B k = 0 �!
k = 0. Stad sprzeczność z za
lożeniem, że k = 0. Zatem na podstawie
Ą"
Twierdzenia NNBA B : W V jest izomorfizmem i Bu e"
ł u , to znaczy, że 3. �! 2.

" 2. �! 1. Niech g " V . Wtedy " � " V mamy
< g, � >
� = sup .

g
g"V
Ą" Ą"
Ponieważ B : W V jest izomorfizmem, to istnieje u " W taki, że
Bu = g. Zatem
< Bu, � > b(u, �) b(u, �)
� = sup d" sup d" sup ,
Ą" Bu Ą" ł u ł u
u"U
u"W u"W
gdyż Bu e" ł u ; to znaczy, że
b(u, �)
ł � d" sup .
u
u"U
70
Twierdzenie Franco Brezzi. Jeśli spe sa nastepujace warunki:
lnione

" ą > 0 ą u d" a(u, u) " u " W = Ker B �" U,
b(u, �)
" ł > 0 ł � d" sup " � " V,
u
u"U
to zagadnienie (P S) ma jednoznaczne rozwiazanie dla dowolnych f " U i


g " V .
Dowód.
1. Drugie równanie (PS) jest postaci b(u, k) =< g, k > " k " V . Ze
wzgledu na drugi punkt tezy Lemmatu, znajdziemy taki element

Ą"
u0 " W , że Bu0 = g.
2. Teraz poszukujemy w0 " W = Ker B takiego, że
a(u0 + w0, v) =< f, v >, " v " W �" U,
lub też inaczej, poszukujemy rozwiazania w0 równania

a(w0, v) =< f, v > -a(u0, v), " v " W �" U.
Takie w0 " W istnieje i jest jednoznaczne, gdyż nasze równanie spe
lnia
za Twierdzenia Laxa-Milgrama.
lożenia
3. Teraz szukamy , z równania
b(v, ) =< f, v > -a(u0, v) - a(w0, v), " v " U.
Funkcjona wystepujacy po prawej stronie oznaczymy symbolem F :
l

< F, v >=< f, v > -a(u0, v) - a(w0, v).
Z Lemmatu (punkt 3.) wiemy, że
0
B : V W �" U
jest izomorfizmem, zatem istnienie rozwiazania  jest równoważne warun-

0
kowi F " W , czyli warunkowi
< F, w >= 0 " w " W.
Ale ten warunek jest spe ze wzgledu na definicje w0 w punkcie 2.
lniony

tego dowodu.
71
Aproksymacja zadania (PS). Wybieramy podprzestrzenie skończonego
wymiaru Uh �" U, oraz Vh �" V , oraz definiujemy
Wh = {w " Uh| b(w, k) = 0 " k " Vh},
Wh(g) = {w " Uh| b(w, k) =< g, k > " k " Vh}.
Zauważmy, że na ogó Wh �" W = ker B �" U.
l
Warunki LBB (Lady~
enska, Babua
ka, Brezzi). Sa to warunki na
lożone
na podprzestrzenie Uh �" U i Vh �" V . Formy
a : U � U R,
b : U � V R
sa ograniczone i ponadto
(A) a jest Wh -koercywna " ą > 0 ą uh d" a(uh, uh) " uh " Wh,
zak lnia
ladamy też, że forma b spe nastepujacy warunek  inf-sup :

b(vh, �h)
(B) " ł > 0, ł �h d" sup " �h " Vh.
vh
vh"Uh
Problem  przybliżony .
poszukujemy pary (uh, h) " Uh � Vh spe
lniajacej równania

(P Sh) a(uh, v) + b(v, h) =< f, v > " v " Uh,
b(uh, k) =< g, k > " k " Vh.
Zauważmy, że ze wzgledu na warunek LBB, dla problemu (P Sh) zawsze

istnieje jednoznaczne rozwiazanie.

Realizacja. Przypuśćmy, że znamy bazy dla przestrzeni Uh �" U i dla
przestrzeni Vh �" V
Uh = span{Ć1, Ć2, � � � , ĆM},
72
Vh = span{�1, �2, � � � , �M}.10
Mamy
M M

uh = Ćcj, h = �jdj,
j=1 j=1
wiec  równania przybliżone możemy zapisać w formie macierzowej


T
Ah Bh c f
=
Bh d g
gdzie
Ah = (ak,j), ak,j = a(Ćj, Ćk),
Bh = (bk,j), bk,j = b(Ćj, �k),
c = [c1, c2, � � � , cM]T ,
d = [d1, d2, � � � , dM]T ,
f = [< f, Ć1 >, < f, Ć2 >, � � � , < f, ĆM >]T ,
g = [< g, �1 >, < g, �2 >, � � � , < g, �M >]T .
Pierwsze Twierdzenie o zbieżności. Niech (u, ) " U � V i (uh, h) "
Uh � Vh beda rozwiazaniami równań (P S) i (P Sh) odpowiednio. Wtedy, jeśli

spe jest warunek LBB, to
lniony
u - uh +  - h d" C [ inf u - wh + inf  - �h ],
�h"Vh
wh"Wh(g)
gdzie C jest sta a niezależna od h.
l
Dowód. Odejmijmy stronami odpowiadajace sobie równania z uk (P S)
ladu

i (P Sh). Otrzymamy
a(u - uh, v) + b(v,  - h) = 0, " v " Uh,
b(u - uh, k) = 0 " k " Vh.
Zauważmy od razu, że z drugiego równania wynika, że u-uh " Wh. Ponadto
z drugiego równania (P S) i (P Sh) wynika, że odpowiednio, u " W (g), zaś
10
Zarówno Ćj, �j, jak i M zależa na ogó od h, czego nie uwidaczniamy w notacji, aby
l
nie komplikować oznaczeń.
73
uh " Wh(g). Niech wh " Wh(g), �h " Vh. Odejmujac i dodajac te elementy,

dostaniemy
(") a(uh - wh, v) + b(v,  - �h) = a(u - wh, v) + b(v,  - �h).
Podstawmy teraz v = uh - wh " Wh. Wtedy b(uh - wh, h - �h) = 0, gdyż
uh - wh " Wh, zaś h - �h " Vh. Wykorzystujac teraz ciag form a i b,
lość

oraz Wh-koercywność formy a, otrzymamy
("") uh - wh d" C1 [ u - wh +  - �h ],
gdzie C1 jest pewna sta a niezależna od h.
l
Wróćmy teraz do wzoru ("). Dzielac stronami przez v , wykorzystujac

warunek  inf-sup , oraz ciag form a i b otrzymamy, dla pewnej sta C2
lość lej

h - �h d" C2[ u - wh +  - �h + uh - wh ].
Teraz podstawiajac ("") do ostatniej nierówności, oraz dobierajac odpowied-

nio sta a C3, stwierdzamy, że
l
h - �h d" C3 [ u - wh +  - �h ].
Po dodaniu stronami nierówności (""), oraz dobraniu sta C4, mamy
lej
uh - wh + h - �h d" C4 [ u - wh +  - �h ].
Jeszcze dodajemy stronami u - wh +  - �h , wykorzystujemy po lewej
stronie nierówność trójkata, oraz dobieramy sta a C. Po wzieciu po obu
l

stronach infw "Wh(g), inf� "Vh otrzymamy teze twierdzenia.
h h
Pierwsze Twierdzenie o Zbieżności, podaje oszacowanie b edu dla u w
l

zależności od u - wh oraz  - �h . Ze wzgledu na to, że Wh �" W ,

oszacowania b edu dla u nie da sie odseparować od b edu dla . Jest to
l l

niekorzystne, gdyż czesto w konkretnych przypadkach, aproksymacja dla 

jest s niż możliwa do uzyskania aproksymacja u. Dodanie warunku,
labsza
zwanego warunkiem C pozwala pozbyć sie tego k lożenie
lopotu. Jednakże za

warunku C nak jeszcze wiecej wymagań na dobór przestrzeni Uh i Vh.
lada

74
Drugie Twierdzenie o Zbieżności. Za óżmy, że podprzestrzenie Uh �" U
l
i Vh �" V spe warunki LBB, oraz że spe lniony jest warunek C
lniaja
(C) Wh �" W = Ker B.
Wtedy zachodzi nastepujace oszacowanie:

u - uh d" C inf u - wh .
wh"Wh(g)�"Uh
Dowód. Podobnie jak w dowodzie poprzedniego twierdzenia najpierw ode-
jmujemy stronami odpowiednie równania (P S) i (P S ). Otrzymamy
a(u - uh, v) + b(v,  - h) = 0 " v " Uh �" U,
b(u - uh, k) = 0 " k " Vh " V.
Niech wh " Wh(g); Odejmujemy i dodajemy wh i dostajemy
a(uh - wh, v) = a(u - wh, v) + b(v,  - h).
Podstawmy teraz v = uh - wh. Zauważmy, że ze wzgledu na warunek (C)

b(uh - wh,  - h) = 0. Zatem pozostaje tylko
a(uh - wh, uh - wh) = a(u - wh, uh - wh).
Warunek Wh- koercywności formy a, oraz jej ciag daja nierówność
lość

uh - wh d" C1 u - wh .
Po dodaniu stronami u - wh , skorzystaniu z nierówności trójkata, oraz po

wzieciu po obu stronach infw "Wh(g) otrzymamy teze.
h
Ważnym przyk zagadnienia punktu siod
ladem lowego jest zagad-
nienie Stokesa w postaci uogólnionej. Jego wersja klasyczna, to:
-"u(x) - "p(x) = f(x),
divu(x) = 0, x " &!,
u(x) = 0, x " "&!,

i dodatkowo, dla jednoznaczności p(x)d&! = 0. Zmienna u interpretuje sie
&!

jako pole predkości w obszarze &!, zaś p-jako ciśnienie.

75
NRC
ZADANIA Z ĆWICZEC

1. Przypomnij definicje normy macierzy kwadratowej. Podaj różne real-

izacje normy w zależności od przyjetej normy w przestrzeni wektorowej.

2. Na siatce równomiernej zaaproksymuj przez różnice dzielone pochodna
pierwsza, druga,... Użyj różnic w przód i w ty różnicy centralnej, ...
l,
Zbadaj rzad aproksymacji (reszty).

3. Zaaproksymuj przez różnice dzielone na siatce kwadratowej operator
różniczkowy
"2 "2
-"u = - u - u.
"x2 "y2
4. Na odcinku [0, 1] zaaproksymuj na siatce równomiernej równanie
-u (x) = f(x)
z warunkami brzegowymi Dirichleta
u(0) = A, u(1) = B.
Wypisz w postaci Ax = b otrzymany uk równań algebraicznych lin-
lad
iowych. Udowodnij, że macierz A jest symetryczna i dodatnio określona.
5. Aproksymacja przestrzeni Banacha (U, � ), to rodzina trójek
(") {Uh, rh, ph}h"�
gdzie
" (Uh, � h) h " � - rodzina przestrzeni (skończonego wymiaru),
" rh : U Uh - to operatory obciecia,

" ph : Uh U - to operatory przed
lużenia.
" Niech uh " Uh dla każdego h " �. Rodzina {uh}h"� jest zbieżna
dyskretnie do u " U, jeśli
rhu - uh h 0, gdy h 0.
76
Tutaj � �" R jest zbiorem indeksów h " �. Zak sie, że � ma jedyny
lada

punkt skupienia 0. Aproksymacja (") jest zbieżna jeśli Ąh s I, gdzie
Ąh = phrh, gdy h 0. Aproksymacja (") jest stabilna, jeśli operatory
przed
lużenia s wspólnie ograniczone.
Udowodnij, że jeśli aproksymacja przestrzeni jest zbieżna i
stabilna, to zbieżność dyskretna rodziny {uh}h"� pociaga jej

zbieżność w przestrzeni U, to znaczy phuh -u 0, gdy h 0.
Niech U = C([0, 1]) z norma  sup . Na przedziale [0, 1] budujemy
siatke N + 1 punktów równoodleg i przyjmujemy Uh = RN+1 z
lych

norma  max . Określamy jako rh  obciecia funkcji z U do zbioru

punktów siatki, zaś jako ph intepolacje przy pomocy lamanej. (Jak


wyglada zbiór �?)

Sprawdz
, że dla tego przyk zachodzi udowodnione wyżej
ladu
twierdzenie.
6. Na siatce kwadratowej na p
laszczyz
nie zaaproksymuj różnicowo
(a) druga pochodna mieszana (zak lość
ladamy ciag drugich pochod-

nych mieszanych),
(b) laplasjan.
Aproksymować trzeba w punkcie 0, zaś wolno używać tylko punktów
0, 1, 2, 3, 4.
1 " 2
" 0 " .
3 " 4
7. Zaaproksymuj różnicowo na siatce kwadratowej &!h *" �h, zbudowanej
na obszarze &! = [0, L] � [0, L] �" R2 w ten sposób, że brzeg siatkowy
�h leży na "&!, równanie
-"u(p) + b1ux(p) + b2uy(p) + cu(p) = f(p)
(a) z warunkiem brzegowym Dirichleta,
(b) z warunkiem brzegowym Robin
d
ą u(p) + �u(p) = Ć(p)
dn
77
Użyj do aproksymacji pierwszych pochodnych
" różnic centralnych,
" różnic w przód,
" różnic w ty
l.
Zbadaj stabilność schematu w każdym z przypadków, używajac jako

kryterium Twierdzenia 1 z wyk 3.
ladu
8. Na siatce kwadratowej zbudowanej na kwadracie [0, L] � [0, L]
0 1 2 3 4
1 1 2 3 1
2 4 5 6 2
3 7 8 9 3
4 1 2 3 4
zaaproksymuj równanie -"u+cu = f z warunkiem brzegowym Dirich-
leta, używajac schematu z otoczeniem siatkowym

"
Nh(p) = " p " .
"
Wypisz uk równań algebraicznych liniowych. Zwróć uwage na struk-
lad

ture macierzy uk
ladu.

9. Przenieś na siatke warunek brzegowy Dirichleta, używajac

(a) ekstrapolacji liniowej:
. . . .
. 1 0 2 .
. . . .
78
(b) interpolacji liniowej
. . . .
. 1 2 0 .
. . . .
Punkty oznaczone 1 i 2 leża na siatce, zaś punkt oznaczony 0 leży na
prawdziwym brzegu. Aproksymujemy zagadnienie brzegowe
-"u(p) + cu(p) = f(p), c e" 0, p " &!,
u(p) = Ć(p), p " "&!,
(zak
ladamy, że ma ono rozwiazanie co najmniej klasy C2!) przy po-

mocy schematu z otoczeniem siatkowym
"
Nh(p) = " " " ,
"
dla &! �" R2, na siatce o sta kroku h w obu kierunkach. Zak
lym ladamy
także, że uzyskuje sie w ten sposób schemat rzedu 2.

Wyciagnij stad wnioski dotyczace b edu inter(extra)polacji: Użyj wielo-
l

mianu interpolacyjnego i wzorów na oszacowania b edu interpolacji.
l

Porównaj wyniki z punktu widzenia stosowalności różnych kryteriów
stabilności.
10. Dla zagadnienia
-"u(p) + cu(p) = f(p), c > 0, p " &!,
postawionego na kwadracie &! �" R2 o bokach równoleg do osi
lych
uk wspó
ladu lrzednych, z warunkiem brzegowym Neumanna

d
u(p) = Ć(p), p " "&!11
dn
11 d
oznacza tutaj operator pochodnej normalnej do brzegu, skierowanej na zewnatrz
dn
obszaru &!.
79
zbudowano schemat różnicowy na siatce ze sta krokiem h w obu
lym
kierunkach, oparty na takim samym otoczeniu siatkowym dla punktów
wewnetrznych jak w poprzednim zadaniu. Niech brzeg siatki bedzie

zawarty w brzegu obszaru &!.
Zak lnione
ladajac, że równanie różniczkowe jest spe także na brzegu "&!,

zbuduj aproksymacje warunku brzegowego rzedu przynajmniej 2.

11. Zastosuj kryterium stabilności sformu
lowane we wnioskach z Twier-
dzenia 2 z Wyk 3 do zbadania stabilności schematu
ladu
("")x + ("")y (" + ")x
-[ ]uk,l + [ ]uk,l+
h2 2h
(" + ")y
+[ ]uk,l + cuk,l = fk,l c e" 0,
2h
dla punktów wewnetrznych obszaru siatkowego &!h, z warunkami Dirich-

leta na brzegu obszaru �h. Jako obszar przyjmij kwadrat na p
laszczyz
nie,
którego boki sa równoleg do osi uk wspó
le ladu lrzednych, oraz zbuduj

siatke o sta kroku h w obu kierunkach, której brzeg leży na brzegu
lym

obszaru.
12. (a) Dane jest zagadnienie brzegowe

-u (t) + cu(t) = f(t), c e" 0, t " (a, b),
u(a) = u(b) = 0,
Zak
ladajac, że istnieje rozwiazanie klasyczne u, udowodnij, że

spe ono nastepujace oszacowanie
lnia

u d" M f 0,
gdzie � oznacza każda z (semi)norm | � |1, � 1, � 0, zaś M
jest sta Zastanów sie co oznacza to oszacowanie.
la.

(b) Zagadnienie z punktu (a) zaaproksymowano różnicowo na siatce
b - a
tk = a + kh, k = 0, 1, � � � , N + 1, h =
N + 1
i otrzymano schemat
""uk
- + cuk = fk, k = 1, 2 � � � , N,
h2
80
u0 = uN+1 = 0.
Udowodnij, że schemat jest stabilny zarówno w normie � 0, jak
i w normie � 1. Zastanów sie nad dobrymi i z stronami
lymi

aproksymacji w każdej z rozważanych norm.
13. Dany jest uk równań algebraicznych liniowych
lad
Ax = d
o macierzy symetrycznej i dodatnio określonej. Proces iteracyjny Ri-
chardsona jest określony w nastepujacy sposób

x0 - dowolny, xk+1 = xk + �rk,
gdzie rk = d - Axk jest tak zwanym reziduum na k-tym kroku, zaś
� to wspó
lczynnik relaksacji, który dobieramy tak, aby uzyskać jak
najlepsza zbieżność procesu.
(a) Wyraz
przy pomocy w
lasności widma macierzy C = I - �A
warunek konieczny i dostateczny zbieżności do zera ciagu macie-

rzy Ck, gdy k ". Zastosuj uzyskany wynik dla określenia
warunków zbieżnośći procesu Richardsona.
(b) zak
ladajac, że widmo macierzy A jest uporzadkowane jak niżej

1 d" 2 d" � � � d" N
wyznacz taka wartość � przy której zbieżność procesu Richardsona
jest najszybsza.
(c) Dla optymalnej wartości � wyraz
wspó
lczynnik zbieżności procesu
Richardsona poprzez wspó
lczynnik uwarunkowania macierzy
A.
14. Do iteracji Richardsona dla uk Ax = d wprowadz
precondit-
ladu
ing w nastepujacy sposób: niech M = MT > 0 i niech macierz

M bedzie bliska macierzy A. Oznaczmy przez C pierwiastek z M:

M = CC. Ponadto za óżmy, że potrafimy latwo rozwiazać uk
l lad

Mz = r. Utwórzmy nowy uk C-1AC-1y = C-1d, który oznaczymy
lad
�
�y = d.
81
(a) Zastanów sie, dlaczego ten nowy uk może mieć mniejszy wspó
lad l-

czynnik uwarunkowania niż uk oryginalny.
lad
(b) Zauważ, że x = C-1y.
(c) Zbuduj proces Richardsona dla nowego uk oznaczajac kolejne
ladu

wektory procesu przez yk, zaś rezidua przez sk.
(d) Wzorujac sie na zależności miedzy x i y utwórz nowe wektory

xk i nowe rezidua z nimi zwiazane rk, wykorzystujace macierz

A, macierz M i wektor d. Stanowczo pozbadz
sie macierzy C-1!

W trakcie procesu dopuszczamy rozwiazywanie uk równań z
ladu

macierza M.
15. Roz óżmy macierz A:
l
A = L + D + U,
gdzie L, D, U, to odpowiednio cześć pod diagonala, diagonala i cześć

nad diagonala.

(a) Iteracja Jacobiego:
Lxk + Dxk+1 + Uxk = d.
Udowodnij, że jeśli

|ai,j|
"� 0 d" � < 1 "i i =j < �,
|ai,i|
to iteracja Jacobiego jest zbieżna do rozwiazania uk
ladu.

(b) Gauss-Seidel:
(L + D)xk+1 + Uxk = d.
Wykorzystujac Twierdzenie o Postaci Kanonicznej (patrz

niżej), udowodnij, że iteracja Gaussa -Seidel a zbiega, gdy
A = AT > 0.
(c) Proces iteracyjny dwupoziomowy dla uk Ax = d jest w postaci
ladu
kanonicznej, gdy
xk+1 - xk
B + Axk = d.
�
82
tutaj B jest macierza odwracalna, zaś � > 0, to wspó
lczynnik
relaksacji. Zauważ, że proces ten może zawierać w sobie precon-
diting. Zachodzi twierdzenie:
Twierdzenie o Postaci Kanonicznej. Jeśli
" A = AT > 0
�
" B - A > 0
2
to proces jest zbieżny w normie energetycznej:
x - xk A 0.
Udowodnij Twierdzenie o Postaci Kanonicznej.
(d) Zbadaj zbieżność procesu pod - nad relaksacji:
(D + �L)xk+1 = [(1 - �)D - U�]xn + �d.
Tutaj Ax = d, A = AT > 0, zaś �, to parametr dodatni. Gdy
� < 1, proces nazywa sie pod-relaksacja, gdy � > 1 nad-relaksacja.

Dla � = 1, to proces Gaussa-Seidel a.
16. Niech u " C1(&!), gdzie &! �" Rd jest obszarem o brzegu dostatecznie
regularnym.
(a) Znajdz
div"u.
(b) Niech v " C1(&!) i niech w " [C1(&!)]d. Udowodnij, że

vdiv(w)d&! = div(vw)d&! - "vwd&!.
&! &! &!
Zastosuj
Twierdzenie Gaussa. Niech u " [C1(&!)]d. Wtedy

div(u)d&! = u ndS,
&! "&!
gdzie n jest wersorem normalnym do brzegu "&!, skierowanym na
zewnatrz obszaru.

aby otrzymać wzór na ca
lkowanie przez cześci


d
- v"ud&! = - v udS + "v"ud&!.
&! "&! dn &!
83
(c) Zastosuj uzyskany wzór do utworzenia sformu
lowania uogólnionego
dla równania:
-"u(p) + cu(p) = f(p), p " &!
z warunkiem jednorodnym Dirichleta, oraz z warunkiem (niejed-
norodnym) Neumanna. Pamietaj o Twierdzeniu o Śladzie!.

(d) Powtórz to samo dla równania typu eliptycznego
d

" "
- [ai,j ]u + cu = f,
"xi "xj
i,j=1
z warunkiem Dirichleta jednorodnym.
(e) Wyprowadz
odpowiednik  naturalnego warunku Neumanna w
tym przypadku.
17. Niech
a : V � V R
bedzie forma dwuliniowa ciag a, koercywna i symetryczna, zaś
l

l : V R
forma liniowa ciag a nad przestrzenia Hilberta V .
l

Określimy funkcjona
l
1
J(v) = a(v, v) - lv.
2
(a) Udowodnij, że warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby
J(u) = min J(v)
v"V
jest
a(u, v) = lv, "v " V.
(b) Udowodnij, że J osiaga zawsze jedyne minimum globalne w V .

84
18. Niech K �" V bedzie zbiorem wypuk i domknietym w przestrzeni
lym

Hilberta V , a : V � V R forma dwuliniowa ciag a, symetryczna, i
l

koercywna nad V , l : V R forma liniowa ciag a nad V . Udowodnij
l

nastepujaca wersje Twierdzenia Lax a - Milgrama:

Twierdzenie. W K istnieje jedyny punkt u, w którym funkcjona J
l
osiaga minimum.

Wskazówka. Udowodnij najpierw, że funkcjona J jest ograniczony z do
l lu
na zbiorze K przez liczbe - l , gdzie ł, to sta koercywności. Nastepnie
la
2ł
określ ciag elementów

vk " K, J(vk) = ck " R,
gdzie ck jest ciagiem minimalizujacym, to jest da żacym do kresu dolnego

funkcjona J. Udowodnij, że każdy taki ciag {vk} jest ciagiem Cauchy ego.
lu

19. Przy za
lożeniach poprzedniego zadania, udowodnij, że u " K jest punk-
tem w którym funkcjona J osiaga minimum wtedy i tylko wtedy, gdy
l

spe on nastepujaca nierówność wariacyjna
lnia

a(u, v - u) e" l(v - u) "v " K.
Wskazówka.
" Zauważ, że a(u,v) jest iloczynem skalarnym w przestrzeni Hilberta V .
" Zauważ, że norma w V i norma wprowadzona przez forme a sa równowa-

żne.
" Wyraz
funkcjona l poprzez nowy iloczyn skalarny (Twierdzenie Rie-
l
sza!).
" Zauważ, że minimalizacja funkcjona J na K, to to samo co znalezie-
lu
nie w K elementu najlepszej aproksymacji, w sensie nowej normy, dla
znalezionej reprezentacji Riesza funkcjona l.
lu
" Znajdz
warunek geometryczny, (analogiczny do takiego warunku dla
rzutu ortogonalnego na podprzestrzeń) dla rzutu ortogonalnego na
zbiór K.
20. Zbadaj elementy: {T, PT , ŁT }, V = H1(&!), &! " R2. Wyznacz bazy
dualne, zbadaj konforemność, zbuduj bazy w przestrzeni elementu skoń-
czonego.
85
(a) T - trójkat o wierzcho p0, p1, p2; PT -wielomiany dwóch
lkach

zmiennych, stopnia d" 1; ŁT : Ćj(P ) = P (pj) j = 0, 1, 2.
(b) T - trójkat; pj j = 0, 1, 2, środki boków, PT - jak wyżej ŁT - jak

wyżej.
(c) T kwadrat o wierzcho pj j = 0, 1, 2, 3; PT : wielomiany
lkach
dwóch zmiennych stopnia nie wiekszego niż 2; ŁT : jak wyżej

(cztery elementy).
21. Dla funkcji f(x) = |x| znajdz
przynajmniej dwie pochodne dystry-
bucyjne.
22. Do rozwiazania uk równań algebraicznych liniowych
ladu

Ax = d
o macierzy A symetrycznej i dodatnio określonej zastosowano Metode

Gradientów Sprzeżonych - w skrócie CG. Metoda iteracyjna CG

polega na minimalizacji funkcjona
lu
1
J(x) = xT Ax - xT d
2
na każdym kroku iteracji. Minimalizacji dokonujemy zawsze w przes-
trzeni wymiaru 1.
Warto sobie zapamietać, że metoda CG charakteryzuje sie znacznie

lepszym wspó
lczynnikiem zbieżności niż metody iteracyjne dotychczas
omówione. Wiemy na przyk że dla iteracji Richardsona wspó
lad, lczynnik
zbieżności wynosi
cond(A) - 1
q = .
cond(A) + 1
Dla metody CG mamy

cond(A) - 1

q = .
cond(A) + 1
Przy bardzo dużych wartościach cond(A) pojawienie sie pierwiastka ma

duże znaczenie!
86
(a) Iteracje zaczynamy od dowolnego punktu x0. Wybieramy wektor

p0 = r0 = d - Ax0.
(b) Jeśli już określiliśmy xk i pk, to wybieramy
xk+1 = xk + ąkpk,
gdzie ąk jest tak dobrane, że
J(xk + ąkpk) = min J(xk + ąpk).
ą"R
Kolejny wektor pk+1 określamy przy pomocy warunków
rk+1 = rk - ąkApk,
pk+1 = rk+1 + �kpk,
gdzie pT Apk+1 = 0.
k
Należy:
" wyliczyć wspó
lczynniki ąk i �k,
" pokazać, że prawdziwe sa także takie (numerycznie dogodniejsze)
wzory
T T
rk rk rk+1rk+1
ąk = , �k = .
T
pT Apk rk rk
k
" pokazać, że na każdym kroku iteracji minimalizuje sie

x - xk A,
" pokazać, że algorytm znajduje dok rozwiazanie uk po n
ladne ladu

krokach, gdzie n jest wymiarem zadania.
23. Bardzo proste zagadnienia ewolucyjne. Zajmiemy sie najpierw

zagadnieniem Cauchy ego dla bardzo prostego równania hiperbolicz-
nego pierwszego rzedu.

ut + �ux = 0, u(0, x) = Ć(x), t e" 0, x " R,
gdzie � jest sta
la.
87
(a) Udowodnij, że jeśli Ć " C1, to rozwiazaniem jest

u(t, x) = Ć(x - �t).
Zinterpretuj ten wynik jako przemieszczajaca sie fale.

(b) Metoda Fouriera badania stabilności schematów różnico-
wych polega na tym, że poszukujemy rozwiazania schematu różni-

cowego w postaci
un = łneiąk
k
gdzie ą jest dowolna liczba rzeczywista, un H" u(kh, n�), h > 0 to
k
krok  przestrzenny , zaś � > 0 to krok  czasowy . Po wstawieniu
tego wyrażenia do schematu, wyliczamy ł w zależności od ą. Jeśli
z tego zwiazku wynika, że

|ł(ą)| d" 1 " ą " R,
to schemat jest stabilny w pewnej normie dyskretnej (patrz także
dalsze zadania).
Zbadaj stabilność nastepujacych schematów różnicowych

i zinterpretuj ich po
lożenie na siatce, zbadaj ich rzad:

i. Schematy Upwind.
un+1 - un = �[un - un ],
k k k k-1
�
gdzie  = , zaś � > 0 to krok  czasowy , a h > 0 to krok
h
 przestrzenny . Wielkość  > 0 należy traktować jako sta
la.
Trzeba zauważyć, że stabilność schematu zależy zarówno od
znaku � (dla jakich � ten schemat jest dobry?), jak i od
wartości . Znajdz
warunek jaki powinna spe sta .
lniać la
Zinterpretuj ten fakt z punktu widzenia postaci siatki. Skon-
struuj schemat dobry dla dla � o przeciwnym znaku. Jeśli
stabilność schematu zależy od wartości , to taki schemat
nazywa sie warunkowo stabilny.

ii.  Pozornie lepszy schemat.

un+1 = un + �[un - un ].
k k k+1 k-1
2
88
iii. Schemat Laxa - Friedrichsa.
un + un 
k-1 k+1
un+1 = + �[un - un ].
k k+1 k-1
2 2
iv. Równanie typu parabolicznego.
ut = auxx, a > 0, 0 d" x d" L, 0 d" t,
warunek poczatkowy

u(0, x) = Ć(x), x " [0, L], L > 0,
warunki brzegowe
u(t, 0) = �1(t), u(t, L) = �2(t).
Przy pomocy metody Fouriera zbadaj stabilność schematu z
parametrem 0 d" � d" 1
un+1 =
k
= un + a[�(un - 2un + un )+
k k-1 k k+1
+(1 - �)(un+1 - 2un+1 + un+1)],
k-1 k k+1
�
 = .
h2
Schemat dla � = 0 jest otwarty. Trzeba zauważyć, że dla
pewnych wartości � (dla jakich?) schemat jest warunkowo
stabilny, dla innych jest stabilny bezwarunkowo. Zauważ jaka
jest stabilność schematu otwartego. Zauważ, że schemat zam-
kniety wymaga rozwiazania na każdym kroku czasowym uk
la-

du równań algebraicznych liniowych. Wypisz ten uk Zas-
lad.
tanów sie jak możnaby go rozwiazywać numerycznie. Zbadaj

1
rzad schematu w zależności od �. (Uwaga na punkt � = !)
2
Wyciagnij wnioski co do budowy siatki, w przypadku gdy
schemat jest tylko warunkowo stabilny.
(c) Inna, bardziej uniwersalna metoda badania stabilności
schematów 2-poziomowych. Schemat dwupoziomowy jest w
postaci kanonocznej, jeśli
un+1 - un
B Ż Ż + Aun = fn,
� Ż Ż
89
gdzie un oznacza ca rozwiazanie schematu na n-tym poziomie
le

Ż
czasowym, A i B sa macierzami odpowiedniego wymiaru, f jest
Ż
wektorem. Zak sie, że A = AT > 0.
lada

Można udowodnić, że schemat jest stabilny (w normie mieszanej:
L2 dla zmiennych przestrzennych, max dla zmiennej t), jeśli
h
�
" " (0, 1] że B e" I + A.
2
Zbadaj stabilność schematu z zadania 23(b)iv. przy pomocy tego
kryterium. Zastosuj te sama metode w przypadku, gdy wspó
lczyn-

nik a = a(x) > 0 (zależy od x).
24. DFT - Dyskretna Transformata Fouriera. Niech
u = {u0, u1, � � � , uN-1}
Ż
bedzie ciagiem liczbowym. Ciag ten przed
lużamy  w obie strony w

sposób periodyczny, to znaczy tak, że dla dowolnego s ca
lkowitego uk =
uk+sN.
DFT ciagu u, to ciag

Ż
Fu = � = {�0, �1, � � � , �N-1},
Ż Ż
gdzie
N-1

2Ąkj
1
N
�k = e-i uj k = 0, 1, � � � , N - 1.
N
j=0
Odwrotna DFT (IDFT) ciagu u, to ciag

Ż
�
= {�
0, �
1, � � � , �
N-1}
Ż
gdzie
N-1

2Ąjk
N
�
k = e uj, k = 0, 1, � � � , N - 1.
j=0
(a) Odwrotność. Udowodnij, że F-1u = �
.
Ż Ż
(b) Przesuniecie. Niech

u = {up, u1+p, u2+p, � � � , uN-1+p},
Ż�+p
90
gdzie p jest liczba ca
lkowita. Udowodnij, że
(uĆ ) = v = {v0, v1, � � � , vN-1},
Ż�+p Ż
gdzie
2Ą
N
vk = ei kp�k.
(c) Norma. Niech
N-1

u 2 = h |uj|2.
0,h
Ż
j=0
Udowodnij, że
1
"
� 0,h = u 0,h.
Ż Ż
N
(d) Dla schematu różnicowego dwupoziomowego, otwartego postaci
r

un+1 = ajun ,
k k+j
j=-r
z warunkiem poczatkowym

u0 = Ćk k = � � � , -1, 0, 1, � � �
k
periodycznym o okresie N, znajdz
DFT.
(e) Udowodnij, że dla każdego n = 0, 1, 2, � � �
�n = (łk)n�0,
k k
gdzie łk jest pewna liczba zespolona zależna od k.
(f) Wypisz postać łk jako funkcji k.
(g) Wyraz
un poprzez �0.
Ż Ż
(h) Na podstawie przeprowadzonych rozważań w poprzednich punk-
tach zadania, uzasadnij, dlaczego w Metodzie Fouriera badania
stabilności schematów różnicowych omawianego typu, poszuku-
jemy rozwiazania schematu w formie

un = ł(ą)neiąk " ą " R.
k
(i) Udowodnij, że warunek |ł(ą)| d" 1 pociaga stabilność schematu

rozważanej wyżej postaci w normie
u = max un 0,h.
0d"n
Ż Ż
91
LITERATURA
Podstawowe z
ród na których opiera sie ten tekst to:
la,

1. Dietrich Braess  Finite Elements Second edition, Cambridge Uni-
versity Press, 2001
2. Maksymilian Dryja, Janina i Micha Jankowscy  Przeglad Metod i
l

Algorytmów Numerycznych Wydawnictwa Naukowo  Techniczne,
Warszawa 1982
3. K�saku Yosida  Functional Analysis Springer  Verlag, 1966
92