Przykład numerycznego rozwiązania równania różniczkowego II rzędu
Należy znalez
ć rozwiązanie równania różniczkowego
2 2 2
x + 2x + 50x = 0 (1)
przy czym x(0) = 1, x (0) = 0.
Podstawiając y = x mamy zamiast równania różniczkowego drugiego rzędu, układ dwóch
równań rzędu pierwszego.
2
x = y
ż#
(2)
�#y2
= -50x - 2y
�#
gdzie:
x(0) = 1 oraz y(0) = 0.
Stosując wzory (10.37) i (10.38) otrzymujemy wartości
K1 = h �" yk
ż#
�#
M1 = h �" (-50xk - 2yk )
�#
�#
M1
�# ś#
K2 = h �" yk +
ś# ź#
�#
2
�# #
�#
�#
�# K1 M1 ś#
�# ś# ś#ź#
M2 = h �"ś#- 50�# xk + - 2�# yk +
ś# ź# ś# ź#ź#
ś#
�#
2 2
�# # �# #
�# #
�#
�#
(3)
�#
M2
�# ś#
�#
K3 = h �" yk +
ś# ź#
�# 2
�# #
�#
�#
�# K2 M2 ś#
ś# ś#ź#
�# M3 = h �" ś#- 50�# xk + - 2�# yk +
ś# ź# ś# ź#ź#
ś#
2 2
�# # �# #
�# �# #
�#
�#
K4 = h �"(yk + M3)
�#
M4 = h �"(- 50(xk + K3)- 2(yk + M3))
�#
�#
które podstawiamy do wzorów:
1
ż#x = xk + (K1 + 2K2 + 2K3 + K4 )
k +1
�#
6
�#
(4)
�#
1
�#
yk +1 = yk + (M1 + 2M + 2M + M )
2 3 4
6
�#
�#
Uzyskamy w ten sposób kolejne wartości rozwiązania x(t), jak i również jego pochodnej x (t).